MAA3 Geometria

Tervetuloa lukion pitkän matematiikan geometria-kurssille! Tämä materiaali sisältää sekä teoriatietoa että tehtäviä, joista suurin osa suoritetaan sähköisesti suoraan oppimateriaaliin. Materiaali on tuotettu lisenssillä Nimeä-JaaSamoin 4.0 Kansainvälinen (CC BY-SA 4.0)

1. Kurssin tavoitteet ja keskeiset sisällöt

Geometrian kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion opetussuunnitelman sivulta 132.

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita
osaa ratkaista geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
osaa käyttää teknisiä apuvälineitä kuvioiden ja kappaleiden tutkimisessa ja geometriaan liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Keskeiset sisällöt

kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
sini- ja kosinilause
ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

2. Teoria

Seuraavilla sivuilla on käyty läpi kurssiin liittyvä asiasisältö. Tärkeimmät lauseet ja kaavat on korostettu harmailla laatikoilla. Joitakin lauseita todistetaan eli perustellaan, mistä lauseet tulevat. Esimerkit ja todistukset eivät oletuksena näy sivulla, vaan ne saa näkyviin painamalla todistuksen tai esimerkin otsikon edessä olevaa -merkkiä. Esimerkit ovat pääosin joko perinteisiä laskuesimerkkejä tai sitten havainnollistuksia GeoGebralla.

Kaikki teoria löytyy yhdeltä sivulta.

MAA3-teoria

Teorian voi avata myös luku kerrallaan omille sivuilleen.

1. Kuvioiden yhdenmuotoisuus

2. Kolmioiden geometriaa

3. Monikulmioiden pinta-aloja

4. Ympyrä

5. Avaruusgeometria

3. Tehtävät

Seuraavilla sivuilla on eri teoriakappaleisiin liittyviä tehtäviä. Tehtävät on jaoteltu sivuille ja sivuilla kappaleisiin samalla tavalla kuin teoriakappaleissakin.

3.1 MathCheck-tehtävät

Suurin osa tehtävistä tuottaa vastaukseksin jonkin lukuarvon. Sen tarkistamiseksi tällaisissa tehtävissä on alla olevan esimerkin näköinen MathCheck-laatikko. Jos laatikossa on valmiina =-merkki, kirjoita vastauksesi suoraan sen perään. Voit kirjoittaa ensin vastauksesi sieventämättömässä muodossa ja sieventää sitä lisämällä ketjuun =-merkkejä. MathCheck osaa kertoa, jos sieventämisesi menee jossakin kohdassa pieleen. Kopioi alla oleva teksti MathCheck-kenttään ja katso mitä tapahtuu, kun painat Tarkista. Korjaa virheellinen kohta ja katso, mitä silloin tapahtuu, kun painat Tarkista.

4^2-1^3 = 16-3 = 13

# esim1

Joissakin tapauksissa vastaus halutaan tallentaa tietyn nimiseksi. Tällöin vastauskentässä on valmiiksi haluttu vastauksen nimi. Jos esimerkiksi neliön pinta-ala halutaan tallentaa muuttujaan A, lukee vastauskentässä valmiiksi <=> A=. Kokeile tätäkin tapaa alla olevaan vastauskenttään kopioimalla alla oleva teksti siinä valmiiksi olevan tekstin perään ja painamalla Tarkista.

3^2 <=> A=9

# esim2

Huomaa, että MathCheck-laatikoissa tulee käyttää desimaalipistettä eikä -pilkkua! Eli desimaaliluku "nolla pilkku viisi" kirjoitetaan MathCheckiin 0.5.

MathCheck ei ymmärrä kulmia asteina vaan radiaaneina (toinen kulman yksikkö). Jotta tämä "ongelma" voidaan kiertää laittamalla asteina olevan kulman suuruuden perään kerroin pi/180. Jos siis haluat laskea MathChekillä laskun $\sin (60^{\circ})$ , sinun tulee kirjoittaa MathCheck-kenttään sin(60*pi/180).

# asteet

3.2 GeoGebra-tehtävät

Joissakin tehtävissä sinun tulee tuottaa vastaus GeoGebralla. Seuraa tarkasti ohjeita. Jos ohjeissa käsketään nimeämään esimerkiksi jokin kulma tietyllä tavalla, se johtuu tehtävän pisteytyksestä. Ohjelma osaa tarkistaa tehtävän vain, jos olet nimennyt kerrotut pisteet, kulmat tms. oikein.

GeoGebra on hyödyllinen väline geometrian opiskelussa, ja se on myös sallittu ohjelma ylioppilaskirjoituksissa. Siksi kannattaa harjoitella sen käyttöä myös sellaisissa tehtävissä, joiden kohdalle GeoGebraa ei ole valmiiksi laitettu. Sillä voit piirtää esimerkiksi mallikuvat tehtävien tilanteista helposti ja tarkasti.

3.3 Monivalintatehtävät

Monivalintatehtävissä on usein vain yksi vastauskerta johtuen siitä, ettei oikeaa vastausta ja täten pisteitä voi saada arvaamalla. Vastaamisen jälkeen tehtävä kertoo malliratkaisun. Jos malliratkaisu näyttää koodikieleltä, kokeile päivittää sivu (esimerkiksi Windows-koneissa F5-painikkeella), jolloin tekstin pitäisi muuttua ymmärrettävämmäksi.

3.4 Ylioppilaskoetehtävät

Osa tehtävistä on vanhoja pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtäviä. Nämä tehtävät tunnistat siitä, että tehtäväotsikon perään on suluissa merkitty kokeen tutkintokerta ja tehtävänumero. Esimerkiksi (S2014/5) tarkoittaa syksyn 2014 ylioppilaskokeen tehtävää numero 5. Ylioppilaskoetehtävien malliratkaisut löydät tarvittaessa myös täältä.