Area vinkki8 appears more than once in this document. Fix this to get rid of this warning.

4. Ympyrä: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät kappaleeseen Ympyrä. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa kappaleessakin.

# sade-teht

4.1 Säde, halkaisija, piiri

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Säde, halkaisija, piiri.

# teht_puhelinlinja

4.1.1 Tehtävä

Oleletaan, että maapallo on täysin pyöreä. Eräs puhelinyhtiö on vetänyt puhelinlinjan päiväntasaajaa pitkin maapallon ympäri. Kuinka paljon linjaa tarvitaan lisää, jos se halutaan nostaa korkeille tolpille. Anna vastaus metreinä ja yhden desimaalin tarkkuudella.

# puhelinlinja

Puhelinlinja pitenee näin paljon

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S18T8

4.1.2 Tehtävä (S2018/8)

Yksikköympyrän kehän pituus on . Arvioi tätä lukua approksimoimalla ympyrää sen sisään piirretyllä säännöllisellä kuusikulmiolla ja laskemalla kuusikulmion piirin pituus. Muodosta toinen arvio säännöllisen 12-kulmion avulla ja määritä kummankin approksimaation suhteellinen virhe vertaamalla tuloksia laskimen antamaan lukun likiarvoon.

 
 

Huomautus: Yksikköympyrä tarkoittaa ympyrää, jonka säde on .

# S18T8a

Suhteellinen virhe kuusikulmion tapauksessa (kolmen desimaalin tarkkuudella)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# S18T8b

Suhteellinen virhe 12-kulmion tapauksessa (kolmen desimaalin tarkkuudella)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_polkupyora

4.1.3 Tehtävä

Polkupyörän renkaan koko on eli sen halkaisija on tuumaa. Pyörään halutaan laittaa matkamittari, jota varten tarvitaan yhdellä renkaan pyörähdyksellä kuljettu matka. Laske pyörän yhden renkaan täydellä pyörähdyksellä kulkema matka ja ilmoita vastaus yhden desimaalin tarkkuudella senttimetreinä.

# polkupyörä
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_pyora

4.1.4 Tehtävä

Halkaisijaltaan pyörä pyörähtää kertaa. Kuinka pitkän matkan pyörä etenee?

# pyoriva_pyora_1

Anna vastaus kymmenen senttimetrin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

Kuinka monta pyörähdystä pyörä etenee matkalla?

# pyoriva_pyora_2

Anna vastaus ykkösten tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kukkaympyra

4.1.5 Tehtävä

Mari haluaa laittaa kukkia kasvamaan täsmälleen ympyrän muotoon. Hänellä on kukkaa ja hän haluaa, että kukkien välinen etäisyys ympyrän kaarta pitkin mitattuna on tasan . Mikä on tällaisen ympyrän halkaisija?

# kukkaympyra

Anna vastaus senttimetrien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_keskinormaali

4.1.6 Tehtävä

Osoita, että kahden leikkaavan ympyrän keskipisteiden välinen jana on ympyröiden leikkauspisteiden välisen janan keskinormaali.

Alla olevan kuvan merkinnöillä, sinun tulee osoittaa, että kuvaan punaisella merkittyjen janojen ja välinen kulma on ja että janat ja ovat keskenään yhtä pitkiä.

 
 

Ratkaisu

# pinta-ala-teht

4.2 Pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Pinta-ala.

# teht_koydella_rajataan_alue

4.2.1 Tehtävä

metrin köydellä rajataan alue. Laske alueen pinta-ala, kun se on muodoltaan

  1. neliön muotoinen.
# koysi_nelio

Anna vastaus neliömetrien tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. ympyrän muotoinen.
# koysi_ympyra

Anna vastaus neliömetrien tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyra_arkilla

4.2.2 Tehtävä

Piirretään A4-arkille () mahdollisimman suuri ympyrä. Mikä on tämän ympyrän pinta-ala?

# a4

Anna vastaus neliödesimetreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# keskuskulma

4.3 Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala.

# teht_sektorin_ala

4.3.1 Tehtävä

# sektori1

Jos ympyrän säde on ja keskuskulma on , mikä on muodostuvan sektorin pinta-alan tarkka arvo?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_sektorin_keskuskulma

4.3.2 Tehtävä

Ympyräsektorin pinta-ala on ja sen säde on . Kuinka suuri on sektorin keskuskulma?

# sektori2

Anna vastaus asteen tarkkuudella (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_pizzapalat

4.3.3 Tehtävä

Kumpi alla olevista pizzapaloista kannattaa ottaa, jos haluaa rahalleen eniten vastinetta?

 
 
# pizzapalat
# teht_kuulantyonto

4.3.4 Tehtävä

Alla on kuva kuulantyöntöringistä ja -sektorista. Ringin halkaisija on jalkaa eli .

 
 
  1. Kuulantyöntösektori peitetään hiekalla. Kuinka suuri pinta-ala peitetään? Rinkiin ei laiteta hiekkaa.
# kuulantyonto_a

Peitettävä pinta-ala kahden desimaalin tarkkuudella neliömetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Sektori ja rinki ympäröidään ulkoreunoja pitkin merkintänauhalla. Kuinka paljon nauhaa tarvitaan?
# kuulantyonto_b

Nauhan pituus kahden desimaalin tarkkuudella metreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_lammas

4.3.5 Tehtävä

Lammas on kiinnitetty pitkällä hihnalla aidoitetun alueen kulmaan. Laske, kuinka suurelta alueelta lammas voi syödä ruohoa.

 
 
# lammas

Lampaan ruokailualue kymmenien tarkkuudella neliömetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ark11T3

4.3.6 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2011, 3)

Sata metriä pitkä köysi katkaistaan kahteen osaan. Toisesta osasta muodostetaan ympyrän ja toisesta neliön piiri. Kuvioiden pinta-alojen halutaan olevan samat. Miten naru on katkaistava?

Vihje

# sadan_metrin_koysi

Neliöön tarvittavan köyden pituus (tarkkana arvona)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S18T11

4.3.7 Tehtävä (S2018/11)

Alla olevien kuvioiden kaksi tilannetta ovat syntyneet erään abiturientin harjoitellessa dynaamisen matematiikkaohjelman käyttöä. Tehtävänä on auttaa häntä viemään tarkastelu loppuun molemmissa tapauksissa.

  1. Mitä ympyrään liittyvää lausetta abiturientti tutkii kuvassa 1? Kirjoita lause mahdollisimman täsmällisiä termejä käyttämällä.

  2. Abiturientti tarkastelee kuvassa 2 näkyvän kolmion merkillistä pistettä . Mikä tämä piste on? Minkä pisteeseen liittyvän geometrisen ominaisuuden abiturientti voi todentaa, jos hän piirtää ympyrän, jonka keskipisteenä on ja jonka säde on sopivan mittainen?

  3. Perustele joko a-kohdan lause, kun pisteet , ja ovat samalla suoralla, tai b-kohdan ominaisuus.

 
 

Ratkaisu

# janne-teht

4.4 Jänne, segmentti

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Jänne, segmentti.

# teht_segmentin_ala

4.4.1 Tehtävä

Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on . Mikä on pienemmän muodostuvan segmentin pinta-ala?

# segmentti1

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suuremman_segmentin_ala

4.4.2 Tehtävä

Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on . Mikä on suuremman muodostuvan segmentin pinta-ala?

# segmentti2

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_segmentin_ala2

4.4.3 Tehtävä

Ympyrän halkaisija on . Ympyrään on piirretty segmentti, jota vastaavan kaaren pituus on . Kuinka suuri on pienemmän segmentin pinta-ala?

# segmentti3

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyraneljannes

4.4.4 Tehtävä

Kuinka monta prosenttia ympyräneljännekseen piirretyn segmentin pinta-ala on koko ympyrän pinta-alasta? Ympyrän säde on .

 
 
# ympyraneljannes

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella (ilman prosenttimerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ark15T4

4.4.5 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2015/4)

Kaksi majakkaa sijaitsee kilometrin etäisyydellä toisistaan. Veneen etäisyys merellä (tasopinta) on korkeintaan kilometriä kummastakin majakasta. Laske sen alueen pinta-ala neliökilometreissä, jolla vene voi olla.

Vihje

# majakat

Vastaus neliökilometreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# tangentti-teht

4.5 Tangentti, tangenttikulma

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Tangentti, tangenttikulma.

# teht_tangenttikulma1

4.5.1 Tehtävä

Ratkaise alla olevasta kuvasta ja .

 
 
# tangenttikulmat1

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# tangenttikulmat2

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_vesitorni

4.5.2 Tehtävä

Kuinka pitkälle korkeasta vesitornista voi nähdä? Maapallon säde on . Oletetaan, että katsojan silmät ovat myös korkeudella maan pinnasta. Piirrä ensin mallikuva tilanteesta.

Mallikuva

# vesitorni

Anna vastaus kilometrien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tangenttikulma2

4.5.3 Tehtävä

Ympyrälle piirretään tangentit kehän ulkopuolisesta pisteestä . Tangenttien sivuamispisteet ja ovat etäisyydellä pisteestä . Piirretään ympyrälle vielä yksi tangentti pisteen kautta. Olkoon tämän tangentin ja aiempien tangenttien leikkauspisteet ja . Laske kolmion piiri. [H]

 
 

Vihje

# tangenttikolmio

Kolmion piiri

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# keskuskulma-teht

4.6 Keskuskulma, kehäkulma

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kehäkulma.

# teht_kehakulma1

4.6.1 Tehtävä

Määritä kulman suuruus.

 
 
# kehakulma

Kulman suuruus yhden desimaalin tarkkuudella (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kehakulma2

4.6.2 Tehtävä

Määritä kulman suuruus.

 
 
# kehakulma_2

Kulman suuruus (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kehakulma3

4.6.3 Tehtävä

Ratkaise alla olevasta kuvasta kulmat ja .

 
 
# kehakulma_3a

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kehakulma_3b

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_jannenelikulmio

4.6.4 Tehtävä

Jos nelikulmion kaikki kulmat ovat saman ympyrän kaarella, nelikulmiota kutsutaan jännenelikulmioksi. Osoita, että jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on aina .

 
 

Vihje

Ratkaisu

4.7 Sekalaisia tehtäviä

Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun aiheisiin liittyviä tehtäviä.

# teht_tukkikasa

4.7.1 Tehtävä

Laske tukkikasan korkeus, kun tukin säde on . Oletetaan tukkien poikkileikkaukset ympyröiksi. Ympyrät sivuavat toisiaan.

 
 
# tukkikasa

Korkeus senttimetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyrat_neliossa

4.7.2 Tehtävä

Ratkaise alla olevan kuvan pienemmän ympyrän halkaisija isomman ympyrän säteen avulla.

Vihje

# iso_pieni_ympyra

Anna vastaus tarkkana arvona kun

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_venalainen_kolmio

4.7.3 Tehtävä

Valitaan mielivaltaisesti piste positiiviselta -akselilta väliltä ja piste positiiviselta -akselilta väliltä . Valitaan piste origokeskeisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion piiri on enemmän kuin 2. [H]

Voit käyttää hahmottamisessa apuna alla olevaa GeoGebra-applettia. Huomaa kuitenkin, että appletissa voit raahata pisteet janojen päätepisteisiin asti, mikä ei tehtävänannossa ole sallittua.

# venalainen-kolmio-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Ratkaisu

# teht_kulma

4.7.4 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa piste on ympyrän keskipiste ja pisteet , ja ovat ympyrän kehän pisteitä. Piste on suorien ja leikkauspiste ja janat ja ovat yhtä pitkät. Kulman suuruus on . Kuinka suuri on kulma ? [H]

 
 
# vieruskulmat

Kulman suuruus (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suorakulmio_neljannesympyra

4.7.5 Tehtävä

Neliön sisään piirretään neljännesympyrä siten, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat ja . Kuinka pitkä on neliön sivu?

# suorakaide-neljannesympyralla-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# suorakaide_neljannesympyralla

Neliön sivun pituus

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kaarien_rajaama_alue

4.7.6 Tehtävä

Ympyränkaaret, joiden säteet ovat ja , leikkaavat alla olevan GeoGebra-appletin mukaisesti. Mikä on kaarien rajaaman alueen pinta-ala? [T]

# kaarien-rajaama-ala-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Vihje 2

# kaarien_rajaama_alue

Kaarien rajaama alue kolmen desimaalin tarkkuudella (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suurempi_piiri

4.7.7 Tehtävä

Neliön kaksi kärkeä ja näiden vastaisen sivun keskipiste ovat ympyrän kehällä.
Kummalla on suurempi piiri, neliöllä vai ympyrällä? [H]

 
 

Vihje

# nelion-ja-ympyran-piirit
# teht_K16T7

4.7.8 Tehtävä (K2016/7)

Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat , ja ja niiden säteet samassa järjestyksessä , ja . Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen?

 
 
# K16T7

Ympyrän säde desimaalilukuna

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S14T14

4.7.9 Tehtävä (S2014/14)

Tarkastellaan ympyrää ja sen ulkopuolella olevaa pistettä .

  1. Pisteestä piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän neljässä eri pisteessä , , ja kuvion mukaisesti. Osoita, että kolmiot ja ovat yhdenmuotoiset.
 
 
  1. Osoita, että .

  2. Erikoistapauksessa toinen suorista sivuaa ympyrää. Osoita, että tällöin pätee .

 
 
  1. Todista edellisten kohtien avulla Pythagoraan lause tutkimalla alla olevan kuvion kolmiota, jonka kärki on ympyän keskipisteessä ja kärki on ympyrän kehällä.
 
 

Ratkaisu