4. Ympyrä: tehtäviä
Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät kappaleeseen Ympyrä. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa kappaleessakin.
4.1 Säde, halkaisija, piiri
Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Säde, halkaisija, piiri.
4.1.1 Tehtävä
Oleletaan, että maapallo on täysin pyöreä. Eräs puhelinyhtiö on vetänyt puhelinlinjan päiväntasaajaa pitkin maapallon ympäri. Kuinka paljon linjaa tarvitaan lisää, jos se halutaan nostaa korkeille tolpille. Anna vastaus metreinä ja yhden desimaalin tarkkuudella.
4.1.2 Tehtävä (S2018/8)
Yksikköympyrän kehän pituus on . Arvioi tätä lukua approksimoimalla ympyrää sen sisään piirretyllä säännöllisellä kuusikulmiolla ja laskemalla kuusikulmion piirin pituus. Muodosta toinen arvio säännöllisen 12-kulmion avulla ja määritä kummankin approksimaation suhteellinen virhe vertaamalla tuloksia laskimen antamaan lukun likiarvoon.
Huomautus: Yksikköympyrä tarkoittaa ympyrää, jonka säde on .
4.1.3 Tehtävä
Polkupyörän renkaan koko on eli sen halkaisija on tuumaa. Pyörään halutaan laittaa matkamittari, jota varten tarvitaan yhdellä renkaan pyörähdyksellä kuljettu matka. Laske pyörän yhden renkaan täydellä pyörähdyksellä kulkema matka ja ilmoita vastaus yhden desimaalin tarkkuudella senttimetreinä.
4.1.4 Tehtävä
Halkaisijaltaan pyörä pyörähtää kertaa. Kuinka pitkän matkan pyörä etenee?
Kuinka monta pyörähdystä pyörä etenee matkalla?
4.1.5 Tehtävä
Mari haluaa laittaa kukkia kasvamaan täsmälleen ympyrän muotoon. Hänellä on kukkaa ja hän haluaa, että kukkien välinen etäisyys ympyrän kaarta pitkin mitattuna on tasan . Mikä on tällaisen ympyrän halkaisija?
4.1.6 Tehtävä
Osoita, että kahden leikkaavan ympyrän keskipisteiden välinen jana on ympyröiden leikkauspisteiden välisen janan keskinormaali.
Alla olevan kuvan merkinnöillä, sinun tulee osoittaa, että kuvaan punaisella merkittyjen janojen ja välinen kulma on ja että janat ja ovat keskenään yhtä pitkiä.
Tarkastellaan ensin kolmioita ja . Kolmioiden sivut ja ovat yhteneviä, sillä ne ovat saman ympyrän säteitä. Samoin sivut ja ovat yhteneviä, sillä ne ovat saman ympyrän säteitä. Sivu on molemmissa kolmioissa sama, joten kolmiot ovat yhteneviä (eli niiden kaikki mitat ovat yhtä suuria). Tällöin myös janat ja ovat keskenään yhtä pitkiä.
Kuvassa piste on janojen ja leikkauspiste, jolloin kulmat ja muodostavat oikokulman. Tarkastellaan seuraavaksi kolmioita ja . Sivut ja ovat yhteneviä (kuten aiemmin todettiin). Lisäksi sivu on yhteinen kummallekin kolmiolle. Lisäksi kulmat ja ovat yhteneviä, sillä kolmiot ja ovat yhteneviä (kuten aiemmin todettiin). Näin ollen kolmioiden ja on oltava yhtenevät ja kulmien ja on myös oltava yhtenevät. Tällöin .
4.2.1 Tehtävä
metrin köydellä rajataan alue. Laske alueen pinta-ala, kun se on muodoltaan
- neliön muotoinen.
- ympyrän muotoinen.
4.2.2 Tehtävä
Piirretään A4-arkille () mahdollisimman suuri ympyrä. Mikä on tämän ympyrän pinta-ala?
4.3 Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala
Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala.
4.3.1 Tehtävä
4.3.2 Tehtävä
Ympyräsektorin pinta-ala on ja sen säde on . Kuinka suuri on sektorin keskuskulma?
4.3.3 Tehtävä
Kumpi alla olevista pizzapaloista kannattaa ottaa, jos haluaa rahalleen eniten vastinetta?
4.3.4 Tehtävä
Alla on kuva kuulantyöntöringistä ja -sektorista. Ringin halkaisija on jalkaa eli .
- Kuulantyöntösektori peitetään hiekalla. Kuinka suuri pinta-ala peitetään? Rinkiin ei laiteta hiekkaa.
- Sektori ja rinki ympäröidään ulkoreunoja pitkin merkintänauhalla. Kuinka paljon nauhaa tarvitaan?
4.3.5 Tehtävä
Lammas on kiinnitetty pitkällä hihnalla aidoitetun alueen kulmaan. Laske, kuinka suurelta alueelta lammas voi syödä ruohoa.
4.3.6 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2011, 3)
Sata metriä pitkä köysi katkaistaan kahteen osaan. Toisesta osasta muodostetaan ympyrän ja toisesta neliön piiri. Kuvioiden pinta-alojen halutaan olevan samat. Miten naru on katkaistava?
Tee yhtälöryhmä, jossa tuntemattomat muuttujat ovat neliön sivun pituus a
ja ympyrän säde r
.
4.3.7 Tehtävä (S2018/11)
Alla olevien kuvioiden kaksi tilannetta ovat syntyneet erään abiturientin harjoitellessa dynaamisen matematiikkaohjelman käyttöä. Tehtävänä on auttaa häntä viemään tarkastelu loppuun molemmissa tapauksissa.
Mitä ympyrään liittyvää lausetta abiturientti tutkii kuvassa 1? Kirjoita lause mahdollisimman täsmällisiä termejä käyttämällä.
Abiturientti tarkastelee kuvassa 2 näkyvän kolmion merkillistä pistettä . Mikä tämä piste on? Minkä pisteeseen liittyvän geometrisen ominaisuuden abiturientti voi todentaa, jos hän piirtää ympyrän, jonka keskipisteenä on ja jonka säde on sopivan mittainen?
Perustele joko a-kohdan lause, kun pisteet , ja ovat samalla suoralla, tai b-kohdan ominaisuus.
4.4 Jänne, segmentti
Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Jänne, segmentti.
4.4.1 Tehtävä
Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on . Mikä on pienemmän muodostuvan segmentin pinta-ala?
4.4.2 Tehtävä
Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on . Mikä on suuremman muodostuvan segmentin pinta-ala?
4.4.3 Tehtävä
Ympyrän halkaisija on . Ympyrään on piirretty segmentti, jota vastaavan kaaren pituus on . Kuinka suuri on pienemmän segmentin pinta-ala?
4.4.4 Tehtävä
Kuinka monta prosenttia ympyräneljännekseen piirretyn segmentin pinta-ala on koko ympyrän pinta-alasta? Ympyrän säde on .
4.4.5 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2015/4)
Kaksi majakkaa sijaitsee kilometrin etäisyydellä toisistaan. Veneen etäisyys merellä (tasopinta) on korkeintaan kilometriä kummastakin majakasta. Laske sen alueen pinta-ala neliökilometreissä, jolla vene voi olla.
4.5 Tangentti, tangenttikulma
Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Tangentti, tangenttikulma.
4.5.1 Tehtävä
Ratkaise alla olevasta kuvasta ja .
4.5.2 Tehtävä
Kuinka pitkälle korkeasta vesitornista voi nähdä? Maapallon säde on . Oletetaan, että katsojan silmät ovat myös korkeudella maan pinnasta. Piirrä ensin mallikuva tilanteesta.
Huom! Mallikuva ei ole mittakaavassa!
Tehtävässä tulee ratkaista kuvaan merkitty pituus .
4.5.3 Tehtävä
Ympyrälle piirretään tangentit kehän ulkopuolisesta pisteestä . Tangenttien sivuamispisteet ja ovat etäisyydellä pisteestä . Piirretään ympyrälle vielä yksi tangentti pisteen kautta. Olkoon tämän tangentin ja aiempien tangenttien leikkauspisteet ja . Laske kolmion piiri. [H]
Pisteet A, B ja C ovat tangenttikulmien kärkiä, eli ne ovat yhtä etäällä molemmista tangenttipisteistään.
4.6 Keskuskulma, kehäkulma
Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kehäkulma.
4.6.1 Tehtävä
Määritä kulman suuruus.
4.6.2 Tehtävä
Määritä kulman suuruus.
4.6.3 Tehtävä
Ratkaise alla olevasta kuvasta kulmat ja .
4.6.4 Tehtävä
Jos nelikulmion kaikki kulmat ovat saman ympyrän kaarella, nelikulmiota kutsutaan jännenelikulmioksi. Osoita, että jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on aina .
Kokeile käyttää kehäkulmalausetta.
Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.
Kulmat ja ovat yhtä suuria, sillä ne ovat samaa kaarta vastaavia kehäkulmia.
Vastaavasti kulmat ja ovat yhtä suuria, sillä ne ovat samaa kaarta vastaavia kehäkulmia.
Kolmiosta huomataan, että . Aiemmista kohdista tiedetään, että . Sijoitetaan tämä aiempaan yhtälöön, jolloin saadaan . Eli jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on .
4.7 Sekalaisia tehtäviä
Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun aiheisiin liittyviä tehtäviä.
4.7.1 Tehtävä
Laske tukkikasan korkeus, kun tukin säde on . Oletetaan tukkien poikkileikkaukset ympyröiksi. Ympyrät sivuavat toisiaan.
4.7.2 Tehtävä
Ratkaise alla olevan kuvan pienemmän ympyrän halkaisija isomman ympyrän säteen avulla.
Verranto:
4.7.3 Tehtävä
Valitaan mielivaltaisesti piste positiiviselta -akselilta väliltä ja piste positiiviselta -akselilta väliltä . Valitaan piste origokeskeisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion piiri on enemmän kuin 2. [H]
Voit käyttää hahmottamisessa apuna alla olevaa GeoGebra-applettia. Huomaa kuitenkin, että appletissa voit raahata pisteet janojen päätepisteisiin asti, mikä ei tehtävänannossa ole sallittua.
Tehtävän voi ratkaista monella eri tavalla, joista tässä on vain yksi. Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.
Peilataan piste -akselin suhteen, jolloin saadaan piste . Tehdään samoin -akselin suhteen, jolloin saadaan piste . Symmetrian vuoksi ja samoin . Kolmion piiri on siis sama kuin murtoviivan pituus.
Huomataan, että janan pituus on , sillä se on ympyrän halkaisija. Murtoviiva pisteiden ja välillä on välttämättä pidempi kuin pisteiden välinen suora etäisyys eli . Kolmion piirin on siis pakko olla suurempi kuin .
4.7.4 Tehtävä
Alla olevassa kuvassa piste on ympyrän keskipiste ja pisteet , ja ovat ympyrän kehän pisteitä. Piste on suorien ja leikkauspiste ja janat ja ovat yhtä pitkät. Kulman suuruus on . Kuinka suuri on kulma ? [H]
4.7.5 Tehtävä
Neliön sisään piirretään neljännesympyrä siten, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat ja . Kuinka pitkä on neliön sivu?
4.7.6 Tehtävä
Ympyränkaaret, joiden säteet ovat ja , leikkaavat alla olevan GeoGebra-appletin mukaisesti. Mikä on kaarien rajaaman alueen pinta-ala? [T]
Alue voidaan laskea kahden segmentin pinta-alojen summana.
4.7.7 Tehtävä
Neliön kaksi kärkeä ja näiden vastaisen sivun keskipiste ovat ympyrän kehällä.
Kummalla on suurempi piiri, neliöllä vai ympyrällä? [H]
4.7.8 Tehtävä (K2016/7)
Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat , ja ja niiden säteet samassa järjestyksessä , ja . Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen?
4.7.9 Tehtävä (S2014/14)
Tarkastellaan ympyrää ja sen ulkopuolella olevaa pistettä .
- Pisteestä piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän neljässä eri pisteessä , , ja kuvion mukaisesti. Osoita, että kolmiot ja ovat yhdenmuotoiset.
Osoita, että .
Erikoistapauksessa toinen suorista sivuaa ympyrää. Osoita, että tällöin pätee .
- Todista edellisten kohtien avulla Pythagoraan lause tutkimalla alla olevan kuvion kolmiota, jonka kärki on ympyän keskipisteessä ja kärki on ympyrän kehällä.
- Piirretään janat ja . Tällöin samaa kaarta vastaavina kehäkulmina. Lisäksi kolmioilla on yhteinen kulma . Täten yhdenmuotoisuuslauseen KK mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoisia.
- Yhdenmuotoisuuden nojalla , josta saadaan ristiin kertomalla .
- Olkoon ympyrän keskipiste. Piirretään janat ja ja merkitään . Tällöin , koska se on samaa ympyrän kaarta vastaava keskuskulma. Tasakylkisen kolmion kulmille pätee . Koska , niin . Kolmioissa ja