4. Ympyrä
Tason pisteet, jotka ovat kiinteällä etäisyydellä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Ympyröihin liittyy paljon mielenkiintoisia ominaisuuksia, laskuja ja lukuja, kuten irrationaaliluku pii . Lue myös luvun historiasta. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.
Alla olevalla videolla on esitelty ympyään liittyviä käsitteitä. Ne käydään myöhemmin läpi yksityiskohtaisemmin.
Käytä yllä olevaa GeoGebra-applettia tutkiaksesi videolla esiintyviä ympyrän osia. Muista kokeilla raahata kehällä olevia pisteitä.
4.1 Säde, halkaisija, piiri
Ympyrän tärkein ja sen määrittävä ominaisuus on ympyrän säde, jota merkitään usein kirjaimella (englannin kielen sanasta radius). Joskus puhutaan myös ympyrän halkaisijasta, jota merkitään kirjaimella (englannin kielen sanasta diameter).
Ympyrän säde, halkaisija ja piiri
Ympyrän säde on ympyrän keskipisteen etäisyys sen kehältä. Ympyrän halkaisija on jana, joka kulkee ympyrän kehältä kehälle sen keskipisteen kautta. Halkaisijan pituus on . Ympyrän piiri on sen kehän pituus, ja se lasketaan .
Yllä olevalla GeoGebra-appletilla voit tutkia ympyrän halkaisijan ja piirin suhdetta. Muuta ympyrän halkaisijaa raahaamalla vihreää pistettä, joka on ympyrän päällä. Siirrä ympyrää raahaamalla sen sinistä keskipistettä. Tutki ilmestyvää liukusäädintä ja valintaruutua. Huomaa, että ympyrän halkaisija mahtuu piiriin kolme kertaa, ja piiristä jää vielä hieman yli.
Yllä olevassa GeoGebra-appletissa on ympyrä, jonka sisään piirretyn säännöllisen monikulmion kulmien määrää voit muuttaa liukusäätimellä. Vasemmalla olevaan CAS-ikkunaan on laskettu monikulmion piirin suhde ympyrän piiriin. Koska ympyrän säde on , on sen piiri . Lisäksi CAS-ikkunassa on laskettu monikulmion piirin ero ympyrän piiristä (muuttujan nimi on virhe
) sekä suhteellinen virhe piirien välillä (muuttuja suhtvirhe
). Tutki virheiden suuruutta, kun muutat monikulmion kulmien määrää.
Monikulmion sivun pituus ja siten sen piiri on helpompi mitata kuin ympyrän piiri. Siksi lukua voidaankin arvioida tällä menetelmällä.
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
4.2 Pinta-ala
Alla olevassa Opetus-tv:n videossa johdetaan ympyrän pinta-alan tuttu laskukaava. Videon täysi ymmärtäminen ei ole edellytys tehtävien osaamiselle, mutta se voi avata hieman paremmin, mistä ympyrän pinta-alan laskukaava tulee.
Ympyrän pinta-ala
Ympyrän pinta-ala lasketaan sen säteen avulla seuraavasti
Pihalle halutaan rakentaa ympyrän muotoinen uima-allas. Sille on varattu neliön muotoinen alue, jonka sivun pituus on . Kuinka suuri on suurimman mahdollisen uima-altaan pinta-ala?
Yllä olevassa kuvassa on piirretty mallikuva tilanteesta. Jotta voitaisi laskea ympyrän pinta-ala, tulee selvittää neliöön mahtuvan ympyrän säde. Koska neliön sivun pituus on , se on samalla ympyrän halkaisija. Ympyrän säde on puolet sen halkaisijasta, jolloin se on .
Nyt ympyrän pinta-ala lasketaan Vastausta annettaessa muistetaan lisätä tarvittava yksikkö. Eli alueelle mahtuvan suurimman mahdollisen uima-altaan pinta-ala on noin .
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
4.3 Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala
Keskuskulma
Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on keskuskulma.
Ympyrän kaaren pituus
Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrän kehältä kaaren, jonka pituus voidaan laskea seuraavasti
Perustellaan ympyrän kaaren pituuden laskukaava Laskukaavan jälkimmäinen termi on sama kuin koko ympyrän piiri. Laskukaavan ensimmäinen termi kuvaa sitä, kuinka suuri osa kokonaisen ympyrän piiristä otetaan.
Jos kaarta vastaavan keskuskulman suuruus on esimerkiksi , on kyseisen kaaren pituus luonnollisesti puolet kokonaisen ympyrän kehän pituudesta, sillä .
Tarkastellaan alla olevan kuvan kaltaista sektoria.
Ratkaistaan kaaren pituus. Jos kulma on ilmaistu radiaaneissa, edellinen kaava muuttuu muotoon
Nyt siis kaarelle . Pystysuoran pituuden suuruus voidaan määrittää sinin avulla:
Kun kulmaa pienennetään, janan ja kaaren pituudet lähestyvät toisiaan. Voidaan siis merkitä, että kun on pieni,
Eli kun kulma on pieni, sen siniä voidaan approksimoida kulman arvolla (radiaaneina).
Ympyrän sektorin pinta-ala
Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrän sisältä sektorin, jonka pinta-ala voidaan laskea seuraavasti: Jos tiedetään keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus , voidaan sektorin pinta-ala laskea myös kaavalla
Sektorin pinta-alan ylempi kaava voidaan perustella samalla tavalla kuin ympyrän kaaren pituuden kaava perusteltiin aiemmin. Toinen kaava voidaan perustella sijoittamalla siihen , jolloin saadaan joka on sama kuin sektorin pinta-alan ylempi kaava.
Laske alla olevan ympyräsektorin pinta-ala. Kuinka suuri keskuskulma on?
Nyt kaaren pituus on ja säde . Sektorin pinta-ala saadaan laskettua näiden tietojen avulla:
Nyt kysytyn keskuskulman suuruus voidaan ratkaista sektorin pinta-alan toisesta kaavasta tai kaaren pituuden kaavan avulla. Ratkaistaan tässä keskuskulma ensimmäisellä tavalla. Ratkaistaan sektorin pinta-alan kaavasta ja sijoitetaan arvot kaavaan
Sektorin pinta-ala on siis ja sen keskuskulman suuruus on noin .
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
4.4 Jänne, segmentti
Jänne
Ympyrän kehällä olevan kaaren päätepisteet yhdistää jänne.
Segmentin pinta-ala
Jänne jakaa ympyrän kahdeksi segmentiksi, joiden pinta-ala saadaan laskettua kaavalla Kaavassa käytetään yhteenlaskua, jos keskuskulma on suurempi kuin , ja vähennyslaskua, jos keskuskulma on pienempi kuin .
Laske alla olevaan kuvaan sinisellä merkityn segmentin pinta-ala.
Koska keskuskulma on pienempi kuin , käytetään kaavaa Lasketaan ensin kuvaan mustalla vinoviivoituksella merkityn sektorin pinta-ala. Sektorin säde ja keskuskulma , joten sektorin pinta-ala on
Lasketaan sitten kuvaan pinkillä merkityn keskuskolmion pinta-ala. Kolmion kahden sivun pituudet ovat säteen mittaiset eli , ja näiden sivujen välinen kulma on . Lasketaan kolmion pinta-ala trigonometrisen laskukaavan avulla, jossa .
Lopuksi lasketaan segmentin pinta-ala vähennyslaskulla Kysytyn segmentin pinta-ala on siis noin .
Ratkaise alla olevaan kuvaan sinisellä rajatun segmentin pinta-ala.
Koska keskuskulma on suurempi kuin , käytetään laskukaavaa
Lasketaan ensin kuvaan ruskealla merkityn sektorin pinta-ala. Nyt säde ja keskuskulma , joten sektorin pinta-ala on
Seuraavaksi lasketaan keskuskolmion pinta-ala. Kolmion kahden sivun pituus on ja näiden sivujen välisen kulman suuruus on . Lasketaan kolmion pinta-ala trigonometrisen laskukaavan avulla.
Lopuksi lasketaan segmentin pinta-ala yhteenlaskulla
Kuvaan sinisillä ääriviivoilla piirretyn segmentin pinta-ala on noin .
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
4.5 Tangentti, tangenttikulma
Sanalla tangentti voidaan matematiikassa tarkoittaa kahta asiaa, ja ne molemmat liittyvät geometriaan. Yleensä asiayhteydestä selviää, puhutaanko trigonometrisesta funktiosta nimeltä tangentti vai käyrää tasan yhdessä pisteessä sivuava suora. Tässä luvussa puhutaan tangentista sen jälkimmäisessä merkityksessä.
Tangentti
Tangentti on suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä. Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.
Tangenttikulma
Tangenttikulma on kahden ympyrän tangentin leikkauspisteeseen muodostuva kulma, jonka aukeamassa ympyrä on. Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on aina .
Todistetaan tangenttikulmalause, jonka mukaan tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on aina . Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.
Ympyrän keskipiste , sen kehän pisteet ja sekä näiden kehän pisteiden kautta piirrettyjen tangenttien leikkauspiste muodostavat nelikulmion . Nelikulmion kulmien summa on aina . Ympyrän säteen sekä tangentin välinen kulma on aina suora. Samoin säteen ja tangentin välinen kulma on aina suora. Tästä saadaan, että on oltava Toisin sanoen, tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summan on oltava .
Yllä olevalla GeoGebra-appletilla voit tutkia tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman suuruuksia. Huomaa, että tangenttien ja ympyrän säteiden väliset kulmat ovat koko ajan suoria kulmia, vaikka sinisiä pisteitä siirtäisikin.
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
4.6 Keskuskulma, kehäkulma
Kehäkulma
Kehäkulma on kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja jonka kylkinä on kaksi jännettä tai jänne ja tangentti. Kehäkulman suuruus on puolet sitä vastaavan keskuskulman suuruudesta. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat aina yhtä suuria.
Todistetaan kehäkulmalause eli lause "Kehäkulman suuruus on puolet sitä vastaavan keskuskulman suuruudesta". Tehdään todistus kolmessa vaiheessa:
- ympyrän keskipiste on kehäkulman kyljellä,
- ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeamassa ja
- ympyrän keskipiste ei ole kehäkulman aukeamassa.
Tarkastellaan ensin tapausta, jossa jänne kulkee ympyrän keskisteen kautta. Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.
Huomataan, että pisteet , ja muodostavat tasakylkisen kolmion, jonka kantana on jänne ja kylkinä janat sekä . Kyljet ovat keskenään yhtä pitkiä, koska molemmat ovat ympyrän säteitä. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat keskenään yhtä suuria, joten . Koska kolmion kulmien summa on , saadaan yhtälö Lisäksi huomataan, että kulmat ja ovat vieruskulmia, jolloin niiden summa on eli . Ratkaistaan tästä kulma , jolloin saadaan . Sijoitetaan tämä sekä kolmion kulmien summan lausekkeeseen, jolloin saadaan