4. Ympyrä

Tason pisteet, jotka ovat kiinteällä etäisyydellä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Ympyröihin liittyy paljon mielenkiintoisia ominaisuuksia, laskuja ja lukuja, kuten irrationaaliluku pii $\pi$ . Lue myös luvun $\pi$ historiasta. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.

Alla olevalla videolla on esitelty ympyään liittyviä käsitteitä. Ne käydään myöhemmin läpi yksityiskohtaisemmin.

# ympyran-osat-geo

Käytä yllä olevaa GeoGebra-applettia tutkiaksesi videolla esiintyviä ympyrän osia. Muista kokeilla raahata kehällä olevia pisteitä.

# sade

4.1 Säde, halkaisija, piiri

Ympyrän tärkein ja sen määrittävä ominaisuus on ympyrän säde, jota merkitään usein kirjaimella (englannin kielen sanasta radius). Joskus puhutaan myös ympyrän halkaisijasta, jota merkitään kirjaimella (englannin kielen sanasta diameter).

Ympyrän säde, halkaisija ja piiri

Ympyrän säde on ympyrän keskipisteen etäisyys sen kehältä. Ympyrän halkaisija on jana, joka kulkee ympyrän kehältä kehälle sen keskipisteen kautta. Halkaisijan pituus on d=2r . Ympyrän piiri on sen kehän pituus, ja se lasketaan $p=2 \pi r = \pi d$ .

4.1.1 Esimerkki: ympyrän piiri GeoGebralla

# piiri-geo

Yllä olevalla GeoGebra-appletilla voit tutkia ympyrän halkaisijan ja piirin suhdetta. Muuta ympyrän halkaisijaa raahaamalla vihreää pistettä, joka on ympyrän päällä. Siirrä ympyrää raahaamalla sen sinistä keskipistettä. Tutki ilmestyvää liukusäädintä ja valintaruutua. Huomaa, että ympyrän halkaisija mahtuu piiriin kolme kertaa, ja piiristä jää vielä hieman yli.

4.1.2 Esimerkki: monikulmion ja ympyrän piirit GeoGebralla

# monikulmio-piiri-geo

Yllä olevassa GeoGebra-appletissa on ympyrä, jonka sisään piirretyn säännöllisen monikulmion kulmien määrää voit muuttaa liukusäätimellä. Vasemmalla olevaan CAS-ikkunaan on laskettu monikulmion piirin suhde ympyrän piiriin. Koska ympyrän säde on , on sen piiri $2 \pi$ . Lisäksi CAS-ikkunassa on laskettu monikulmion piirin ero ympyrän piiristä (muuttujan nimi on virhe) sekä suhteellinen virhe piirien välillä (muuttuja suhtvirhe). Tutki virheiden suuruutta, kun muutat monikulmion kulmien määrää.

Monikulmion sivun pituus ja siten sen piiri on helpompi mitata kuin ympyrän piiri. Siksi lukua $\pi$ voidaankin arvioida tällä menetelmällä.

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# pinta-ala

4.2 Pinta-ala

Alla olevassa Opetus-tv:n videossa johdetaan ympyrän pinta-alan tuttu laskukaava. Videon täysi ymmärtäminen ei ole edellytys tehtävien osaamiselle, mutta se voi avata hieman paremmin, mistä ympyrän pinta-alan laskukaava tulee.

Ympyrän pinta-ala

Ympyrän pinta-ala lasketaan sen säteen avulla seuraavasti $A=\pi r^2.$

4.2.1 Esimerkki: uima-altaan pinta-ala

Pihalle halutaan rakentaa ympyrän muotoinen uima-allas. Sille on varattu neliön muotoinen alue, jonka sivun pituus on $2,5 \text{ m}$ . Kuinka suuri on suurimman mahdollisen uima-altaan pinta-ala?

Yllä olevassa kuvassa on piirretty mallikuva tilanteesta. Jotta voitaisi laskea ympyrän pinta-ala, tulee selvittää neliöön mahtuvan ympyrän säde. Koska neliön sivun pituus on $2,5 \text{ m}$ , se on samalla ympyrän halkaisija. Ympyrän säde on puolet sen halkaisijasta, jolloin se on $r=1,25 \text{ m}$ .

Nyt ympyrän pinta-ala lasketaan $\begin{aligned} A&=\pi r^2 \\ A&= \pi \cdot 1,25^2 \\ A&\approx 4,90874 \end{aligned}$ Vastausta annettaessa muistetaan lisätä tarvittava yksikkö. Eli alueelle mahtuvan suurimman mahdollisen uima-altaan pinta-ala on noin $4,9 \text{ m}^2$ .

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# keskuskulma_kaaren_pituus

4.3 Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala

Keskuskulma

Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on keskuskulma.

Ympyrän kaaren pituus

Keskuskulman $\alpha$ kyljet rajaavat ympyrän kehältä kaaren, jonka pituus voidaan laskea seuraavasti $b = \frac{\alpha}{360 ^{\circ}} 2\pi r.$

4.3.1 Todistus

Perustellaan ympyrän kaaren pituuden laskukaava $b=\frac{\alpha}{360^{\circ}} 2 \pi r.$ Laskukaavan jälkimmäinen termi $2 \pi r$ on sama kuin koko ympyrän piiri. Laskukaavan ensimmäinen termi $\frac{\alpha}{360^{\circ}}$ kuvaa sitä, kuinka suuri osa kokonaisen ympyrän piiristä otetaan.

Jos kaarta vastaavan keskuskulman suuruus on esimerkiksi $180^{\circ}$ , on kyseisen kaaren pituus luonnollisesti puolet kokonaisen ympyrän kehän pituudesta, sillä $\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{1}{2}$ .

4.3.2 Esimerkki: kaaren pituuden laskeminen

Tarkastellaan alla olevan kuvan kaltaista sektoria.

Ratkaistaan kaaren $\ell$ pituus. Jos kulma $\alpha$ on ilmaistu radiaaneissa, edellinen kaava muuttuu muotoon

$b=\frac{\alpha}{2 \pi} 2 \pi r = \alpha r.$

Nyt siis kaarelle $\ell=\alpha r$ . Pystysuoran pituuden suuruus voidaan määrittää sinin avulla:

$\sin \alpha= \frac{h}{r} \quad \Leftrightarrow \quad h = r \sin \alpha.$

Kun kulmaa $\alpha$ pienennetään, janan ja kaaren $\ell$ pituudet lähestyvät toisiaan. Voidaan siis merkitä, että kun $\alpha$ on pieni,

$\begin{aligned} h & \approx \ell \\ r \sin \alpha & \approx \alpha r \quad |:r \\ \sin \alpha & \approx \alpha \end{aligned}$

Eli kun kulma $\alpha$ on pieni, sen siniä voidaan approksimoida kulman arvolla (radiaaneina).

Ympyrän sektorin pinta-ala

Keskuskulman $\alpha$ kyljet rajaavat ympyrän sisältä sektorin, jonka pinta-ala $A_{SEK}$ voidaan laskea seuraavasti: $A_{SEK}= \frac{\alpha}{360 ^{\circ}} \pi r^2.$ Jos tiedetään keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus , voidaan sektorin pinta-ala laskea myös kaavalla $A_{SEK}=\frac{br}{2}.$

4.3.3 Todistus

Sektorin pinta-alan ylempi kaava voidaan perustella samalla tavalla kuin ympyrän kaaren pituuden kaava perusteltiin aiemmin. Toinen kaava voidaan perustella sijoittamalla siihen $b=\frac{\alpha}{360^{\circ}} 2 \pi r$ , jolloin saadaan $A_{SEK}=\frac{\alpha}{360^{\circ}} 2 \pi r \cdot \frac{r}{2}=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \pi r^2$ joka on sama kuin sektorin pinta-alan ylempi kaava.

4.3.4 Esimerkki: ympyräsektorin pinta-alan ja keskuskulman laskeminen

Laske alla olevan ympyräsektorin pinta-ala. Kuinka suuri keskuskulma $\alpha$ on?

Nyt kaaren pituus on b=8 ja säde r=4 . Sektorin pinta-ala saadaan laskettua näiden tietojen avulla: $A=\frac{br}{2}=\frac{8 \cdot 4}{2}=16.$

Nyt kysytyn keskuskulman suuruus voidaan ratkaista sektorin pinta-alan toisesta kaavasta tai kaaren pituuden kaavan avulla. Ratkaistaan tässä keskuskulma ensimmäisellä tavalla. Ratkaistaan $\alpha$ sektorin pinta-alan kaavasta ja sijoitetaan arvot kaavaan $\begin{aligned} A&=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \pi r^2 &\quad &|\cdot 360^{\circ} \\ 360 ^{\circ} A&= \alpha \pi r^2 &\quad &|:\pi r^2 \\ \alpha &= \frac{360^{\circ} A}{\pi r^2} \\ \alpha &= \frac{360^{\circ} \cdot 16}{\pi \cdot 4^2} \\ \alpha &\approx 114,591559 ^{\circ} \\ \alpha &\approx 114,6 ^{\circ} \end{aligned}$

Sektorin pinta-ala on siis ja sen keskuskulman suuruus on noin $114,6^{\circ}$ .

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# janne

4.4 Jänne, segmentti

Jänne

Ympyrän kehällä olevan kaaren päätepisteet yhdistää jänne.

Segmentin pinta-ala

Jänne jakaa ympyrän kahdeksi segmentiksi, joiden pinta-ala $A_{SEG}$ saadaan laskettua kaavalla $A_{SEG}=A_{SEK} \pm A_{keskuskolmio}.$ Kaavassa käytetään yhteenlaskua, jos keskuskulma $\alpha$ on suurempi kuin $180^{\circ}$ , ja vähennyslaskua, jos keskuskulma $\alpha$ on pienempi kuin $180^{\circ}$ .

4.4.1 Esimerkki: segmentin pinta-alan laskeminen 1

Laske alla olevaan kuvaan sinisellä merkityn segmentin pinta-ala.

Koska keskuskulma $\alpha$ on pienempi kuin $180^{\circ}$ , käytetään kaavaa $A_{SEG}=A_{SEK}-A_{\text{keskuskolmio}}.$ Lasketaan ensin kuvaan mustalla vinoviivoituksella merkityn sektorin pinta-ala. Sektorin säde r=3 ja keskuskulma $\alpha=60^{\circ}$ , joten sektorin pinta-ala on $\begin{aligned} A_{SEK}&=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \pi r^2 \\ &=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 3^2 \\ &=\frac{3\pi}{2} \end{aligned}$

Lasketaan sitten kuvaan pinkillä merkityn keskuskolmion pinta-ala. Kolmion kahden sivun pituudet ovat säteen mittaiset eli , ja näiden sivujen välinen kulma on $\alpha=60^{\circ}$ . Lasketaan kolmion pinta-ala trigonometrisen laskukaavan avulla, jossa a=b=r=3 . $\begin{aligned} A_{\text{keskuskolmio}}&=\frac{ab}{2} \sin(\alpha) \\ &=\frac{r^2}{2} \sin(\alpha) \\ &=\frac{3^2}{2} \sin(60^{\circ}) \\ &=\frac{9\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$

Lopuksi lasketaan segmentin pinta-ala vähennyslaskulla $\begin{aligned} A_{SEG}&=A_{SEK}-A_{\text{keskuskolmio}} \\ &= \frac{3 \pi}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{6 \pi}{4} - \frac{9 \sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{6 \pi - 9 \sqrt{3}}{4} \\ &\approx 0,81527 \\ &\approx 0,82 \end{aligned}$ Kysytyn segmentin pinta-ala on siis noin 0,82 .

4.4.2 Esimerkki: segmentin pinta-alan laskeminen 2

Ratkaise alla olevaan kuvaan sinisellä rajatun segmentin pinta-ala.

Koska keskuskulma $\alpha=210^{\circ}$ on suurempi kuin $180^{\circ}$ , käytetään laskukaavaa $A_{SEG}=A_{SEK}+A_{\text{keskuskolmio}}.$

Lasketaan ensin kuvaan ruskealla merkityn sektorin pinta-ala. Nyt säde r=3 ja keskuskulma $\alpha=210^{\circ}$ , joten sektorin pinta-ala on $\begin{aligned} A_{SEK} &= \frac{\alpha}{360^{\circ}}\pi r^2 \\ &= \frac{210^{\circ}}{360^{\circ}} \pi \cdot 3^2 \\ &= \frac{21 \pi}{4} \end{aligned}$

Seuraavaksi lasketaan keskuskolmion pinta-ala. Kolmion kahden sivun pituus on a=b=r=3 ja näiden sivujen välisen kulman suuruus on $\beta=360^{\circ}-210^{\circ}=150^{\circ}$ . Lasketaan kolmion pinta-ala trigonometrisen laskukaavan avulla. $\begin{aligned} A_{\text{keskuskolmio}}&= \frac{r^2}{2} \sin(\beta) \\ &= \frac{3^2}{2} \sin(150^{\circ}) \\ &= \frac{9}{4} \end{aligned}$

Lopuksi lasketaan segmentin pinta-ala yhteenlaskulla $\begin{aligned} A_{SEG} &= A_{SEK} + A_{\text{keskuskolmio}} \\ &= \frac{21 \pi}{4} + \frac{9}{4} \\ &= \frac{21\pi +9}{4} \\ & \approx 18,7436 \\ &\approx 18,74 \end{aligned}$

Kuvaan sinisillä ääriviivoilla piirretyn segmentin pinta-ala on noin 18,74 .

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# tangentti

4.5 Tangentti, tangenttikulma

Sanalla tangentti voidaan matematiikassa tarkoittaa kahta asiaa, ja ne molemmat liittyvät geometriaan. Yleensä asiayhteydestä selviää, puhutaanko trigonometrisesta funktiosta nimeltä tangentti vai käyrää tasan yhdessä pisteessä sivuava suora. Tässä luvussa puhutaan tangentista sen jälkimmäisessä merkityksessä.

Tangentti

Tangentti on suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä. Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.

Tangenttikulma

Tangenttikulma on kahden ympyrän tangentin leikkauspisteeseen muodostuva kulma, jonka aukeamassa ympyrä on. Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on aina $180^{\circ}$ .

4.5.1 Todistus

Todistetaan tangenttikulmalause, jonka mukaan tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on aina $180^{\circ}$ . Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.

Ympyrän keskipiste , sen kehän pisteet ja sekä näiden kehän pisteiden kautta piirrettyjen tangenttien leikkauspiste muodostavat nelikulmion ABCD . Nelikulmion kulmien summa on aina $360^{\circ}$ . Ympyrän säteen sekä tangentin välinen kulma on aina suora. Samoin säteen ja tangentin välinen kulma on aina suora. Tästä saadaan, että on oltava $\alpha + \beta = 360^{\circ} - 2 \cdot 90^{\circ} = 180^{\circ}.$ Toisin sanoen, tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summan on oltava $180^{\circ}$ .

4.5.2 Esimerkki: tangenttikulma GeoGebralla

# tangenttikulma-geo

Yllä olevalla GeoGebra-appletilla voit tutkia tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman suuruuksia. Huomaa, että tangenttien ja ympyrän säteiden väliset kulmat ovat koko ajan suoria kulmia, vaikka sinisiä pisteitä siirtäisikin.

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# keskuskulma

4.6 Keskuskulma, kehäkulma

Kehäkulma

Kehäkulma on kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja jonka kylkinä on kaksi jännettä tai jänne ja tangentti. Kehäkulman suuruus on puolet sitä vastaavan keskuskulman suuruudesta. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat aina yhtä suuria.

4.6.1 Todistus

Todistetaan kehäkulmalause eli lause "Kehäkulman suuruus on puolet sitä vastaavan keskuskulman suuruudesta". Tehdään todistus kolmessa vaiheessa:

ympyrän keskipiste on kehäkulman $\beta$ kyljellä,
ympyrän keskipiste on kehäkulman $\beta$ aukeamassa ja
ympyrän keskipiste ei ole kehäkulman $\beta$ aukeamassa.

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa jänne kulkee ympyrän keskisteen kautta. Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.

Huomataan, että pisteet , ja muodostavat tasakylkisen kolmion, jonka kantana on jänne ja kylkinä janat sekä . Kyljet ovat keskenään yhtä pitkiä, koska molemmat ovat ympyrän säteitä. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat keskenään yhtä suuria, joten $\beta = \gamma$ . Koska kolmion kulmien summa on $180^{\circ}$ , saadaan yhtälö $\beta + \gamma + \delta = 180^{\circ}.$ Lisäksi huomataan, että kulmat $\alpha$ ja $\delta$ ovat vieruskulmia, jolloin niiden summa on $180^{\circ}$ eli $\alpha + \delta = 180^{\circ}$ . Ratkaistaan tästä kulma $\delta$ , jolloin saadaan $\delta = 180^{\circ} - \alpha$ . Sijoitetaan tämä sekä $\gamma = \beta$ kolmion kulmien summan lausekkeeseen, jolloin saadaan $\beta + \beta + 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} \Leftrightarrow \beta = \frac{\alpha}{2}.$ Eli kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.

Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa ympyrän keskipiste on kehäkulman $\beta$ aukeamassa. Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.

Jaetaan kulma $\alpha$ kahdeksi kulmaksi $\gamma$ ja $\delta$ janalla , joka kulkee ympyrän keskipisteen kautta. Sama jana jakaa kehäkulman $\beta$ kulmiksi $\epsilon$ ja $\zeta$ . Voimme tarkastella ensin pelkästään janan oikealla puolella olevia kulmia ja sitten sen vasemmalla puolella olevia. Tällöin todistuksen edellisen kohdan perusteella saadaan $\epsilon = \frac{\gamma}{2}$ ja $\zeta=\frac{\delta}{2}$ .

Tiedetään, että $\alpha = \gamma + \delta$ . Lisäksi tiedetään, että $\beta = \epsilon + \zeta$ . Sijoitetaan tähän aiemmat yhtälöt, jolloin saadaan $\beta = \frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2} = \frac{\gamma + \delta}{2} = \frac{\alpha}{2}.$ Eli kehäkulma $\beta$ on puolet vastaavasta keskuskulmasta $\alpha$ .

Tarkastellaan lopuksi tapausta, jossa ympyrän keskipiste ei ole kehäkulman $\beta$ aukeamassa. Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.

Huomataan, että $\alpha = \epsilon - \gamma$ ja että $\beta = \zeta - \delta$ . Todistuksen ensimmäisen kohdan perusteella voidaan kirjoittaa $\beta = \zeta - \delta = \frac{\epsilon}{2} - \frac{\gamma}{2} = \frac{\epsilon - \gamma}{2} = \frac{\alpha}{2}.$ Kehäkulma $\beta$ on siis puolet keskuskulmasta $\alpha$ .

4.6.2 Esimerkki: kehäkulma GeoGebralla

# kehakulma-geo

Yllä olevassa GeoGebra-appletissa on merkitty vihreällä keskuskulma ja pinkillä samoja pisteitä vastaava kehäkulma. Kokeile muuttaa kulmien suuruuksia, ja huomaa, että kehäkulma on aina puolet vastaavan keskuskulman suuruudesta.

4.6.3 Esimerkki: kaksi kehäkulmaa GeoGebralla

# tupla-kehakulma-geo

Yllä olevassa GeoGebra-appletissa on piirretty kaksi samaa ympyrän kaarta vastaavaa kehäkulmaa. Kokeile siirtää kuvion pisteitä ja huomaa, että kehäkulmat pysyvät koko ajan yhtä suurina keskenään.

Kehäkulmalauseen erityistapauksena on Thaleen lause. Sen mukaan puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. Kehäkulmalauseen perusteella tämä on selvä asia, sillä puoliympyrän rajaava keskuskulma on $180^{\circ}$ , jolloin kehäkulman on oltava puolet siitä eli $90^{\circ}$ .

4.6.4 Esimerkki: Thaleen lause GeoGebralla

# thaleen-lause-geo

Yllä olevassa GeoGebra-appletissa voit kokeilla siirtää sinisiä pisteitä, jotka kuitenkin pysyvät koko ajan ympyrän vastakkaisilla reunoilla. Kokeile lisäksi siirtää oranssia pistettä ja huomaa, että $180^{\circ}$ kulmaa vastaava kehäkulma on aina suora kulma.

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.