4. Ympyrä

Tason pisteet, jotka ovat kiinteällä etäisyydellä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Ympyröihin liittyy paljon mielenkiintoisia ominaisuuksia, laskuja ja lukuja, kuten irrationaaliluku pii . Lue myös luvun historiasta. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.

Alla olevalla videolla on esitelty ympyään liittyviä käsitteitä. Ne käydään myöhemmin läpi yksityiskohtaisemmin.

# ympyran-osat-geo

Käytä yllä olevaa GeoGebra-applettia tutkiaksesi videolla esiintyviä ympyrän osia. Muista kokeilla raahata kehällä olevia pisteitä.


# sade

4.1 Säde, halkaisija, piiri

Ympyrän tärkein ja sen määrittävä ominaisuus on ympyrän säde, jota merkitään usein kirjaimella (englannin kielen sanasta radius). Joskus puhutaan myös ympyrän halkaisijasta, jota merkitään kirjaimella (englannin kielen sanasta diameter).

Ympyrän säde, halkaisija ja piiri

Ympyrän säde on ympyrän keskipisteen etäisyys sen kehältä. Ympyrän halkaisija on jana, joka kulkee ympyrän kehältä kehälle sen keskipisteen kautta. Halkaisijan pituus on . Ympyrän piiri on sen kehän pituus, ja se lasketaan .

 
 

4.1.1 Esimerkki: ympyrän piiri GeoGebralla

4.1.2 Esimerkki: monikulmion ja ympyrän piirit GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# pinta-ala

4.2 Pinta-ala

Alla olevassa Opetus-tv:n videossa johdetaan ympyrän pinta-alan tuttu laskukaava. Videon täysi ymmärtäminen ei ole edellytys tehtävien osaamiselle, mutta se voi avata hieman paremmin, mistä ympyrän pinta-alan laskukaava tulee.

Ympyrän pinta-ala

Ympyrän pinta-ala lasketaan sen säteen avulla seuraavasti

4.2.1 Esimerkki: uima-altaan pinta-ala

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# keskuskulma_kaaren_pituus

4.3 Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala

Keskuskulma

Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on keskuskulma.

Ympyrän kaaren pituus

Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrän kehältä kaaren, jonka pituus voidaan laskea seuraavasti

4.3.1 Todistus

4.3.2 Esimerkki: kaaren pituuden laskeminen

Ympyrän sektorin pinta-ala

Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrän sisältä sektorin, jonka pinta-ala voidaan laskea seuraavasti: Jos tiedetään keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus , voidaan sektorin pinta-ala laskea myös kaavalla

4.3.3 Todistus

4.3.4 Esimerkki: ympyräsektorin pinta-alan ja keskuskulman laskeminen

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# janne

4.4 Jänne, segmentti

Jänne

Ympyrän kehällä olevan kaaren päätepisteet yhdistää jänne.

Segmentin pinta-ala

Jänne jakaa ympyrän kahdeksi segmentiksi, joiden pinta-ala saadaan laskettua kaavalla Kaavassa käytetään yhteenlaskua, jos keskuskulma on suurempi kuin , ja vähennyslaskua, jos keskuskulma on pienempi kuin .

4.4.1 Esimerkki: segmentin pinta-alan laskeminen 1

4.4.2 Esimerkki: segmentin pinta-alan laskeminen 2

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# tangentti

4.5 Tangentti, tangenttikulma

Sanalla tangentti voidaan matematiikassa tarkoittaa kahta asiaa, ja ne molemmat liittyvät geometriaan. Yleensä asiayhteydestä selviää, puhutaanko trigonometrisesta funktiosta nimeltä tangentti vai käyrää tasan yhdessä pisteessä sivuava suora. Tässä luvussa puhutaan tangentista sen jälkimmäisessä merkityksessä.

Tangentti

Tangentti on suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä. Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.

 
 

Tangenttikulma

Tangenttikulma on kahden ympyrän tangentin leikkauspisteeseen muodostuva kulma, jonka aukeamassa ympyrä on. Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on aina .

4.5.1 Todistus

4.5.2 Esimerkki: tangenttikulma GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# keskuskulma

4.6 Keskuskulma, kehäkulma

Kehäkulma

Kehäkulma on kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja jonka kylkinä on kaksi jännettä tai jänne ja tangentti. Kehäkulman suuruus on puolet sitä vastaavan keskuskulman suuruudesta. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat aina yhtä suuria.

4.6.1 Todistus