# kolmioiden_geometriaa

2. Kolmioiden geometriaa

Tässä kappaleessa käsitellään kolmioiden geometriaa, mikä tarkoittaa esimerkiksi kolmion pinta-alan laskemista sekä sen sivujen pituuksien ja kulmien suuruuksien ratkaisua erilaisten lauseiden avulla. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.

# pythagoras

2.1 Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause

Suorakulmainen kolmio on sellainen kolmio, jonka yksi kulma on suorakulma eli $90^{\circ}$ . Suoran kulman kylkinä olevia sivuja kutsutaan kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua hypotenuusaksi.

Suorakulmaiseen kolmioon liittyy oleellisesti Pythagoraan lause, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmion hypotenuusan neliö. Jos siis tiedetään kolmion kahden sivun pituudet, voidaan kolmannen sivun pituus ratkaista. Voit lukea lisää Pythagoaan lauseen historiasta.

Pythagoraan lause

Suorakulmaisen kolmion kateettien ja neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen hypotenuusan neliö, eli a^2+b^2=c^2.

2.1.1 Esimerkki: suorakulmainen kolmio GeoGebralla.

# suorakulmainen-kolmio-geo

Siirrä kolmion kärkipisteitä ja huomaa, että kolmio säilyy koko ajan suorakulmaisena. Välillä kateettien neliöiden summa voi GeoGebran mukaan olla hieman eri kuin hypotenuusan neliö. Tämä johtuu siitä, että GeoGebra toteuttaa kaikki laskelmansa numeerisesti ja pyöristäen, joten pieniä virheitä saattaa esiintyä.

2.1.2 Todistus

# pythagoras-todistus-geo

Kaikki kuviossa esiintyvät oranssit kolmiot ovat suorakulmaisia, sillä ne ovat neliön sisällä, ja neliön kaikki kulmat ovat $90^{\circ}$ . Kolmiot ovat samanlaisia, sillä jokaisen kolmion kateetit ovat pituuksiltaan ja , ja jokaisen kolmion hypotenuusan pituus on .

Entä onko alkutilanteessa kolmioiden keskelle jäävä valkoinen alue neliö? Olkoon suorakulmaisen kolmion kulmat $\alpha$ ja $\beta$ kuten alla olevassa kuvassa. Kolmion kulmien summa on $180^{\circ}$ , joten saadaan seuraavat yhtälöt: $\begin{aligned} \alpha + \beta + 90^{\circ} &= 180^{\circ} \quad |-90^{\circ} \\ \alpha + \beta &= 90^{\circ}. \end{aligned}$ Kuvion alareunassa kulmat $\alpha$ , $\beta$ ja keskellä olevan valkoisen alueen muodostama kulma muodostavat oikokulman eli ovat yhteensä $180^{\circ}$ . Koska tiedetään, että $\alpha + \beta = 90^{\circ}$ , on valkoisen alueen muodostaman kulman oltava $90^{\circ}$ eli suora kulma. Koska kolmiot ovat samanlaisia, ovat myös valkoisen alueen muodostamat kulmat yhtä suuria, joten valkoinen alue on neliö.

Alkutilanteessa valkoisen neliön pinta-ala on c^2 . Kun liukusäädin vedetään aivan oikeaan laitaan, kolmiot siirtyvät eri paikoille. Koska ne eivät mene päällekkäin, on valkoisen alueen pinta-ala nyt yhtä suuri kuin alussa. Nyt valkoinen alue muodostuu kahdesta pienestä neliöstä, joiden yhteenlaskettu pinta-ala on a^2+b^2 . Voidaan siis sanoa, että a^2+b^2=c^2 .

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# trig

2.2 Trigonometriset funktiot

Suorakulmaisen kolmion terävien kulmien suuruudet voidaan ratkaista, jos tiedetään kolmion kateettien tai kateetin ja hypotenuusan pituudet. Tämä on mahdollista, sillä kolmion sivujen suhteet ovat tietyillä kulmilla aina vakioita. Näitä suhteita kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi.

Suorakulmaisen kolmion sini, kosini ja tangentti

Suorakulmaisessa kolmiossa kulman $\alpha$ sini, kosini ja tangentti tarkoittavat seuraavia suhteita: $\sin(\alpha)=\frac{\text{kulman vastainen kateetti}}{\text{hypotenuusa}}=\frac{a}{c}$ $\cos(\alpha)=\frac{\text{kulman viereinen kateetti}}{\text{hypotenuusa}}=\frac{b}{c}$ $\tan(\alpha)=\frac{\text{kulman vastainen kateetti}}{\text{kulman viereinen kateetti}}=\frac{a}{b}$

2.2.1 Esimerkki: trigonometrisia funktioita GeoGebralla

# trig-geo

Kokeile laskea eri kulmien sini, kosini ja tangentti sekä sivujen suhteet vasemmalla olevassa cas-ikkunassa. Voit syöttää uuden komennon napauttamalla hiirellä rivinumeron 3 vieressä. Voit käyttää kuvassa näkyviä muuttujien nimiä. Kokeile myös raahata kolmion kärkipisteitä ja tutki, miten lukuarvot muuttuvat.

Muutama ohje cas-laskimen käyttöön:

Jos haluat laskea kuvan $\gamma$ -kulman sinin, kirjoita riville suoraan $\sin(\gamma)$ .
Kreikkalaiset kirjaimet saat näppäimistöltä:
- Alt + a = $\alpha$
- Alt + b = $\beta$
- Alt + g = $\gamma$
Jos laskin antaa vastauksen, kirjoita komento Lukuarvona(()$).
Kokeile ensin laskea jonkin kulman sini ja sen jälkeen muuttaa pisteiden paikkaa kuvaajassa. Mitä sinin arvolle tapahtuu?

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# muistikolmiot

2.3 Muistikolmiot

Muistikolmioiden avulla voidaan ratkaista tiettyjen usein esiintyvien kulmien sini, kosini ja tangentti. Tällaisia kulmia ovat $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ ja $60^{\circ}$ . Muistikolmiot täytyy niiden nimen mukaisesti muistaa ulkoa, mutta ne löytyvät myös esimerkiksi MAOL-taulukoista.

2.3.1 Esimerkki: trigonometrisia suhteita

Esimerkkejä muistikolmioiden avulla ratkaistavista trigonometrisista suhteista.

$\sin(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ $\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}$ $\tan(45^{\circ})=\frac{1}{1}=1$

2.3.2 Esimerkki: kolmion sivujen ratkaiseminen

Ratkaistaan alla olevasta kuvasta sivujen ja pituudet.

Oikeanpuoleisesta muistikolmiosta tiedetään, että $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}.$ Annetusta kuvasta taas saadaan, että $\cos 60^{\circ} = \frac{x}{3}.$ Merkitään nämä yhtä suuriksi, jolloin saadaan $\frac{1}{2} = \frac{x}{3}.$ Kerrotaan ristiin ja ratkaistaan , jolloin saadaan $x=\frac{3}{2}.$

Sivun pituus saadaan vastaavasti sinin avulla, sillä $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{y}{3}$ josta saadaan $y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}.$

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# tylpat-kulmat

2.4 Tylpän kulman sini ja kosini

Aiemmin tigonometriset suhteet määriteltiin vain suorakulmaisessa kolmiossa eli käytännössä vain teräville kulmille. Myöhemmin kurssilla MAA5 Transkendenttiset funktiot ja yhtälöt (vanhassa opsissa MAA7 Trigonometriset funktiot) opit lisää trigonometrisista funktioista, jotka määritellään ilman suorakulmaista kolmiota.

Määritellään nyt kuitenkin tylpän kulman eli suoran kulman ja oikokulman välillä olevalle kulmalle sini ja kosini laskukaavojen avulla. Alla olevissa esimerkeissä havainnollistetaan sitä, mistä laskukaavat tulevat.

Tylpän kulman sini ja kosini

Tylpän kulman ( $90^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$ ) sini ja kosini voidaan laskea seuraavilla kaavoilla: $\sin (180^{\circ} -\alpha) = \sin (\alpha)$ $\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos (\alpha).$

2.4.1 Esimerkki: tylpän kulman sini GeoGebralla

# tylppa-sini-geo

Otetaan esimerkiksi GeoGebra-appletissa näkyvä alkutilanne, jossa halutaan selvittää kulman $\alpha=140^{\circ}$ sini. Äsken esitellyn kaavan mukaisesti $\begin{aligned} \sin(140^{\circ}) &= \sin(180^{\circ}-140^{\circ}) \\ &= \sin(40^{\circ}) \\ &= 0,64. \end{aligned}$ GeoGebra-appletissa sekä kulman $140^{\circ}$ että $40^{\circ}$ oikea kylki on x-akselilla, ja vasen kylki on yhden mittainen jana. Huomataan, että kummankin kulman tapauksessa tämän janan päätepisteen y-koordinaatti on 0,64 .

2.4.2 Esimerkki: tylpän kulman kosini GeoGebralla

# tylppa-kosini-geo

Otetaan esimerkiksi GeoGebra-appletissa näkyvä alkutilanne, jossa halutaan selvittää kulman $\alpha=140^{\circ}$ kosini. Äsken esitellyn kaavan mukaisesti $\begin{aligned} \cos(140^{\circ}) &= -\cos(180^{\circ}-140^{\circ}) \\ &= -\cos(40^{\circ}) \\ &= -0,77. \end{aligned}$ GeoGebra-appletissa sekä kulman $140^{\circ}$ että $40^{\circ}$ oikea kylki on x-akselilla, ja vasen kylki on yhden mittainen jana. Huomataan, että kummankin kulman tapauksessa tämän janan päätepisteen x-koordinaatti on 0,77 . Tylpän kulman kosinin arvo on negatiivinen, kun taas vastaavan terävän kulman kosini on positiivinen.

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# kolmion-ala

2.5 Kolmion pinta-ala

Kolmion pinta-ala voidaan laskea tutulla tavalla, eli kerrotaan kolmion kanta ja korkeus keskenään ja jaetaan tulos kahdella. Joskus kolmion korkeus on kuitenkin vaikea määrittää. Yleisemmässä tapauksessa kolmion pinta-ala voidaan määrittää vain, kun tiedetään kahden kolmion sivun pituudet ja niiden sivujen välisen kulman suuruus.

Kolmion pinta-ala

Jos kolmion kannan pituus on ja korkeus , kolmion pinta-ala on $A=\frac{1}{2} ah.$ Jos kolmion kahden sivun pituudet ovat ja ja näiden välisen kulman suuruus $\alpha$ , voidaan kolmion pinta-ala ilmaista lausekkeella $A=\frac{1}{2} ab \sin \alpha.$

2.5.1 Todistus

Todistetaan kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava kolmessa tapauksessa:

kulma $\alpha$ on suora,
kulma $\alpha$ on terävä ja
kulma $\alpha$ on tylppä.

Jos kulma $\alpha$ on suora, muodostuu alla olevan kuvion mukainen kolmio.

Tämän kolmion pinta-ala saadaan laskettua suoraan perinteisellä pinta-alan kaavalla, sillä kolmion pinta-ala on puolet sellaisen suorakulmion, jonka sivujen pituudet ovat ja , pinta-alasta. Koska $\sin 90^{\circ}=1$ , voidaan kyseinen termi lisätä pinta-alan arvoa muuttamatta. Kolmion pinta-ala on siis

$A=\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}ab \sin \alpha.$

Jos kulma $\alpha$ on terävä, muodostuu alla olevan kuvan mukainen kuvio. Siihen on merkitty kolmion korkeusjana , joka on kohtisuorassa kolmion kantaa vasten.

Kolmion pinta-ala saadaan perinteisen kaavan mukaisesti kertomalla kanta ja korkeus keskenään sekä jakamalla saatu tulo kahdella. Nyt kolmion korkeus on , joka voidaan ilmaista sivun sekä kulman $\alpha$ avulla $\sin \alpha = \frac{h}{b} \quad \Leftrightarrow \quad h = b \sin \alpha.$ Sijoitetaan tämä kolmion pinta-alan lausekkeeseen, jolloin saadaan $A=\frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} a b \sin \alpha$ mikä on haluttu tulos.

Jos kulma $\alpha$ on tylppä, saadaan alla olevan kuvan kaltainen kolmio.

Nyt kolmion korkeusjana on kolmion ulkopuolella. Se voidaan ilmaista sivun ja kulman $\beta$ avulla seuraavasti: $\sin \beta = \frac{h}{b} \quad \Leftrightarrow \quad h = b \sin \beta.$ Haluaisimme ilmaista pinta-alan lausekkeen sivujen ja sekä kulman $\alpha$ avulla. Siksi meidän pitäisi löytää keino kuvata $\sin \beta$ kulman $\alpha$ avulla.

Huomataan, että $\alpha + \beta = 180^{\circ} \quad \Leftrightarrow \quad \beta = 180 ^{\circ} - \alpha$ jolloin $\sin \beta = \sin (180^{\circ}-\alpha)=\sin \alpha.$ Viimeinen yhtäsuuruus saadaan tylpän kulman sinin lausekkeesta. Nyt siis $h = b \sin \alpha$ . Sijoitetaan korkeuden lauseke kolmion pinta-alan lausekkeeseen: $A= \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} a b \sin \alpha$ joka on siinä muodossa kuin sen halusimme.

2.5.2 Esimerkki: kolmion pinta-alan lauseke GeoGebralla

# kolmio-ala-geo

Yllä olevassa GeoGebra-appletissa käydään läpi kolmion pinta-alan trigonometrisen laskukaavan johtaminen. Alussa johdetaan suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskukaava lähtien suorakulmion pinta-alan laskukaavasta. Suorakulmion, jonka sivujen pituudet ovat ja , pinta-ala on A_s=ah . Kun suorakulmio puolitetaan lävistäjän kohdalta, saadaan kaksi yhtä suurta kolmiota, jolloin yhden kolmion pinta-ala on puolet suorakulmion pinta-alasta, eli $A_k=\frac{1}{2}A_s=\frac{1}{2}ah$ .

Tarkastellaan yleisesti kolmiota, jonka kanta on sama kuin suorakulmiossa eli , toinen sivu on ja korkeus on . Kolmio ei nyt kuitenkaan ole suorakulmainen. Lisäksi tiedetään, että sivujen ja välinen kulma on $\alpha$ . Kuvioon muodostuu suorakulmainen kolmio, koska korkeusjana on aina kohtisuorassa kolmion kantaan . Näillä merkinnöillä voidaan siis laskea $\sin(\alpha)=\frac{h}{b}$ . Ratkaistaan tästä yhtälöstä $h=b \sin(\alpha)$ . Sijoitetaan tämä :n lauseke nyt tunnettuun kolmion pinta-alan laskukaavaan $A=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab \sin(\alpha).$ Näin saatiin johdettua kolmion pinta-alan trigonometrinen laskukaava.

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# kosinilause

2.6 Kosinilause

Kolmiomittaus on yksi tärkeimmistä maanmittausmenetelmistä, ja sen avulla on esimerkiksi piirretty Suomen peruskartat. Kolmiomittaus perustuu tunnettuihin pisteisiin ja niistä määritettävien kolmioiden sivujen ja kulmien mittaamiseen ja laskemiseen. Kolmion tuntemattomia sivuja ja kulmia voidaan määrittää kosinilauseen ja sinilauseen avulla.

Kosinilause

Jos ja ovat kolmion sivuja ja $\gamma$ niiden välinen kulma, voidaan kolmion kolmas sivu laskea seruraavasti: $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma.$

2.6.1 Todistus

Todistetaan kosinilause kolmessa eri tapauksessa:

kulma $\gamma$ on terävä,
kulma $\gamma$ on suora ja
kulma $\gamma$ on tylppä.

Jos kulma $\gamma$ on terävä, muodostuu alla olevan kuvan kaltainen kolmio.

Kolmiossa sivu on jaettu kahteen osaan, joiden pituudet ovat ja a-x . Kolmion korkeusjana on kohtisuorassa kolmion kantaa vastaan.

Jos tarkastellaan vasemmanpuoleista suorakulmaista kolmiota, saadaan Pythagoraan lauseen avulla yhtälö h^2=b^2-x^2 . Toisaalta, jos tarkastellaan oikeanpuoleista suorakulmaista kolmiota, saadaan h^2=c^2-(a-x)^2 . Yhdistetään nämä kaksi lauseketta ja avataan jälkimmäisen lausekkeen sulut, jolloin saadaan b^2-x^2=c^2-a^2+2ax-x^2 . Sievennetään lauseketta, jolloin se saa muodon c^2=a^2+b^2-2ax .

Nyt pitäisi vielä ilmaista kolmion sivujen ja kulman $\gamma$ avulla. Huomataan, että $\cos \gamma = \frac{x}{b}$ eli $x=b \cos \gamma$ . Sijoitetaan tämä aiemmin saatuun yhtälöön, jolloin saadaan tuttu kosinilauseen lauseke $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma.$

Jos kulma $\gamma$ on suora, saadaan alla olevan kuvan kaltainen kolmio.

Tutkitaan, päteekö kosinilauseen kaava $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma$ suorakulmaisen kolmion tapauksessa. Tiedetään, että