# kolmioiden_geometriaa

2. Kolmioiden geometriaa

Tässä kappaleessa käsitellään kolmioiden geometriaa, mikä tarkoittaa esimerkiksi kolmion pinta-alan laskemista sekä sen sivujen pituuksien ja kulmien suuruuksien ratkaisua erilaisten lauseiden avulla. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.

# pythagoras

2.1 Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause

Suorakulmainen kolmio on sellainen kolmio, jonka yksi kulma on suorakulma eli . Suoran kulman kylkinä olevia sivuja kutsutaan kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua hypotenuusaksi.

Suorakulmaiseen kolmioon liittyy oleellisesti Pythagoraan lause, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmion hypotenuusan neliö. Jos siis tiedetään kolmion kahden sivun pituudet, voidaan kolmannen sivun pituus ratkaista. Voit lukea lisää Pythagoaan lauseen historiasta.

Pythagoraan lause

Suorakulmaisen kolmion kateettien ja neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen hypotenuusan neliö, eli

 
 

2.1.1 Esimerkki: suorakulmainen kolmio GeoGebralla.

2.1.2 Todistus

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# trig

2.2 Trigonometriset funktiot

Suorakulmaisen kolmion terävien kulmien suuruudet voidaan ratkaista, jos tiedetään kolmion kateettien tai kateetin ja hypotenuusan pituudet. Tämä on mahdollista, sillä kolmion sivujen suhteet ovat tietyillä kulmilla aina vakioita. Näitä suhteita kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi.

Suorakulmaisen kolmion sini, kosini ja tangentti

Suorakulmaisessa kolmiossa kulman sini, kosini ja tangentti tarkoittavat seuraavia suhteita:

 
 

2.2.1 Esimerkki: trigonometrisia funktioita GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# muistikolmiot

2.3 Muistikolmiot

Muistikolmioiden avulla voidaan ratkaista tiettyjen usein esiintyvien kulmien sini, kosini ja tangentti. Tällaisia kulmia ovat , ja . Muistikolmiot täytyy niiden nimen mukaisesti muistaa ulkoa, mutta ne löytyvät myös esimerkiksi MAOL-taulukoista.

Muistikolmiot
Muistikolmiot

2.3.1 Esimerkki: trigonometrisia suhteita

2.3.2 Esimerkki: kolmion sivujen ratkaiseminen

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# tylpat-kulmat

2.4 Tylpän kulman sini ja kosini

Aiemmin tigonometriset suhteet määriteltiin vain suorakulmaisessa kolmiossa eli käytännössä vain teräville kulmille. Myöhemmin kurssilla MAA5 Transkendenttiset funktiot ja yhtälöt (vanhassa opsissa MAA7 Trigonometriset funktiot) opit lisää trigonometrisista funktioista, jotka määritellään ilman suorakulmaista kolmiota.

Määritellään nyt kuitenkin tylpän kulman eli suoran kulman ja oikokulman välillä olevalle kulmalle sini ja kosini laskukaavojen avulla. Alla olevissa esimerkeissä havainnollistetaan sitä, mistä laskukaavat tulevat.

Tylpän kulman sini ja kosini

Tylpän kulman () sini ja kosini voidaan laskea seuraavilla kaavoilla:

2.4.1 Esimerkki: tylpän kulman sini GeoGebralla

2.4.2 Esimerkki: tylpän kulman kosini GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# kolmion-ala

2.5 Kolmion pinta-ala

Kolmion pinta-ala voidaan laskea tutulla tavalla, eli kerrotaan kolmion kanta ja korkeus keskenään ja jaetaan tulos kahdella. Joskus kolmion korkeus on kuitenkin vaikea määrittää. Yleisemmässä tapauksessa kolmion pinta-ala voidaan määrittää vain, kun tiedetään kahden kolmion sivun pituudet ja niiden sivujen välisen kulman suuruus.

Kolmion pinta-ala

Jos kolmion kannan pituus on ja korkeus , kolmion pinta-ala on Jos kolmion kahden sivun pituudet ovat ja ja näiden välisen kulman suuruus , voidaan kolmion pinta-ala ilmaista lausekkeella

 
 

2.5.1 Todistus

2.5.2 Esimerkki: kolmion pinta-alan lauseke GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# kosinilause

2.6 Kosinilause

Kolmiomittaus on yksi tärkeimmistä maanmittausmenetelmistä, ja sen avulla on esimerkiksi piirretty Suomen peruskartat. Kolmiomittaus perustuu tunnettuihin pisteisiin ja niistä määritettävien kolmioiden sivujen ja kulmien mittaamiseen ja laskemiseen. Kolmion tuntemattomia sivuja ja kulmia voidaan määrittää kosinilauseen ja sinilauseen avulla.

Kosinilause

Jos ja ovat kolmion sivuja ja niiden välinen kulma, voidaan kolmion kolmas sivu laskea seruraavasti:

 
 

2.6.1 Todistus