2. Kolmioiden geometriaa
Tässä kappaleessa käsitellään kolmioiden geometriaa, mikä tarkoittaa esimerkiksi kolmion pinta-alan laskemista sekä sen sivujen pituuksien ja kulmien suuruuksien ratkaisua erilaisten lauseiden avulla. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.
2.1 Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause
Suorakulmainen kolmio on sellainen kolmio, jonka yksi kulma on suorakulma eli . Suoran kulman kylkinä olevia sivuja kutsutaan kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua hypotenuusaksi.
Suorakulmaiseen kolmioon liittyy oleellisesti Pythagoraan lause, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmion hypotenuusan neliö. Jos siis tiedetään kolmion kahden sivun pituudet, voidaan kolmannen sivun pituus ratkaista. Voit lukea lisää Pythagoaan lauseen historiasta.
Pythagoraan lause
Suorakulmaisen kolmion kateettien ja neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen hypotenuusan neliö, eli
Siirrä kolmion kärkipisteitä ja huomaa, että kolmio säilyy koko ajan suorakulmaisena. Välillä kateettien neliöiden summa voi GeoGebran mukaan olla hieman eri kuin hypotenuusan neliö. Tämä johtuu siitä, että GeoGebra toteuttaa kaikki laskelmansa numeerisesti ja pyöristäen, joten pieniä virheitä saattaa esiintyä.
Kaikki kuviossa esiintyvät oranssit kolmiot ovat suorakulmaisia, sillä ne ovat neliön sisällä, ja neliön kaikki kulmat ovat . Kolmiot ovat samanlaisia, sillä jokaisen kolmion kateetit ovat pituuksiltaan ja , ja jokaisen kolmion hypotenuusan pituus on .
Entä onko alkutilanteessa kolmioiden keskelle jäävä valkoinen alue neliö? Olkoon suorakulmaisen kolmion kulmat ja kuten alla olevassa kuvassa. Kolmion kulmien summa on , joten saadaan seuraavat yhtälöt: Kuvion alareunassa kulmat , ja keskellä olevan valkoisen alueen muodostama kulma muodostavat oikokulman eli ovat yhteensä . Koska tiedetään, että , on valkoisen alueen muodostaman kulman oltava eli suora kulma. Koska kolmiot ovat samanlaisia, ovat myös valkoisen alueen muodostamat kulmat yhtä suuria, joten valkoinen alue on neliö.
Alkutilanteessa valkoisen neliön pinta-ala on . Kun liukusäädin vedetään aivan oikeaan laitaan, kolmiot siirtyvät eri paikoille. Koska ne eivät mene päällekkäin, on valkoisen alueen pinta-ala nyt yhtä suuri kuin alussa. Nyt valkoinen alue muodostuu kahdesta pienestä neliöstä, joiden yhteenlaskettu pinta-ala on . Voidaan siis sanoa, että .
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
2.2 Trigonometriset funktiot
Suorakulmaisen kolmion terävien kulmien suuruudet voidaan ratkaista, jos tiedetään kolmion kateettien tai kateetin ja hypotenuusan pituudet. Tämä on mahdollista, sillä kolmion sivujen suhteet ovat tietyillä kulmilla aina vakioita. Näitä suhteita kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi.
Suorakulmaisen kolmion sini, kosini ja tangentti
Suorakulmaisessa kolmiossa kulman sini, kosini ja tangentti tarkoittavat seuraavia suhteita:
Kokeile laskea eri kulmien sini, kosini ja tangentti sekä sivujen suhteet vasemmalla olevassa cas-ikkunassa. Voit syöttää uuden komennon napauttamalla hiirellä rivinumeron 3 vieressä. Voit käyttää kuvassa näkyviä muuttujien nimiä. Kokeile myös raahata kolmion kärkipisteitä ja tutki, miten lukuarvot muuttuvat.
Muutama ohje cas-laskimen käyttöön:
- Jos haluat laskea kuvan -kulman sinin, kirjoita riville suoraan .
- Kreikkalaiset kirjaimet saat näppäimistöltä:
- Alt + a =
- Alt + b =
- Alt + g =
- Jos laskin antaa vastauksen, kirjoita komento Lukuarvona(()$).
- Kokeile ensin laskea jonkin kulman sini ja sen jälkeen muuttaa pisteiden paikkaa kuvaajassa. Mitä sinin arvolle tapahtuu?
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
2.3 Muistikolmiot
Muistikolmioiden avulla voidaan ratkaista tiettyjen usein esiintyvien kulmien sini, kosini ja tangentti. Tällaisia kulmia ovat , ja . Muistikolmiot täytyy niiden nimen mukaisesti muistaa ulkoa, mutta ne löytyvät myös esimerkiksi MAOL-taulukoista.
Esimerkkejä muistikolmioiden avulla ratkaistavista trigonometrisista suhteista.
Ratkaistaan alla olevasta kuvasta sivujen ja pituudet.
Oikeanpuoleisesta muistikolmiosta tiedetään, että Annetusta kuvasta taas saadaan, että Merkitään nämä yhtä suuriksi, jolloin saadaan Kerrotaan ristiin ja ratkaistaan , jolloin saadaan
Sivun pituus saadaan vastaavasti sinin avulla, sillä josta saadaan
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
2.4 Tylpän kulman sini ja kosini
Aiemmin tigonometriset suhteet määriteltiin vain suorakulmaisessa kolmiossa eli käytännössä vain teräville kulmille. Myöhemmin kurssilla MAA5 Transkendenttiset funktiot ja yhtälöt (vanhassa opsissa MAA7 Trigonometriset funktiot) opit lisää trigonometrisista funktioista, jotka määritellään ilman suorakulmaista kolmiota.
Määritellään nyt kuitenkin tylpän kulman eli suoran kulman ja oikokulman välillä olevalle kulmalle sini ja kosini laskukaavojen avulla. Alla olevissa esimerkeissä havainnollistetaan sitä, mistä laskukaavat tulevat.
Tylpän kulman sini ja kosini
Tylpän kulman () sini ja kosini voidaan laskea seuraavilla kaavoilla:
Otetaan esimerkiksi GeoGebra-appletissa näkyvä alkutilanne, jossa halutaan selvittää kulman sini. Äsken esitellyn kaavan mukaisesti GeoGebra-appletissa sekä kulman että oikea kylki on x-akselilla, ja vasen kylki on yhden mittainen jana. Huomataan, että kummankin kulman tapauksessa tämän janan päätepisteen y-koordinaatti on .
Otetaan esimerkiksi GeoGebra-appletissa näkyvä alkutilanne, jossa halutaan selvittää kulman kosini. Äsken esitellyn kaavan mukaisesti GeoGebra-appletissa sekä kulman että oikea kylki on x-akselilla, ja vasen kylki on yhden mittainen jana. Huomataan, että kummankin kulman tapauksessa tämän janan päätepisteen x-koordinaatti on . Tylpän kulman kosinin arvo on negatiivinen, kun taas vastaavan terävän kulman kosini on positiivinen.
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
2.5 Kolmion pinta-ala
Kolmion pinta-ala voidaan laskea tutulla tavalla, eli kerrotaan kolmion kanta ja korkeus keskenään ja jaetaan tulos kahdella. Joskus kolmion korkeus on kuitenkin vaikea määrittää. Yleisemmässä tapauksessa kolmion pinta-ala voidaan määrittää vain, kun tiedetään kahden kolmion sivun pituudet ja niiden sivujen välisen kulman suuruus.
Kolmion pinta-ala
Jos kolmion kannan pituus on ja korkeus , kolmion pinta-ala on Jos kolmion kahden sivun pituudet ovat ja ja näiden välisen kulman suuruus , voidaan kolmion pinta-ala ilmaista lausekkeella
Todistetaan kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava kolmessa tapauksessa:
- kulma on suora,
- kulma on terävä ja
- kulma on tylppä.
Jos kulma on suora, muodostuu alla olevan kuvion mukainen kolmio.
Tämän kolmion pinta-ala saadaan laskettua suoraan perinteisellä pinta-alan kaavalla, sillä kolmion pinta-ala on puolet sellaisen suorakulmion, jonka sivujen pituudet ovat ja , pinta-alasta. Koska , voidaan kyseinen termi lisätä pinta-alan arvoa muuttamatta. Kolmion pinta-ala on siis
Jos kulma on terävä, muodostuu alla olevan kuvan mukainen kuvio. Siihen on merkitty kolmion korkeusjana , joka on kohtisuorassa kolmion kantaa vasten.
Kolmion pinta-ala saadaan perinteisen kaavan mukaisesti kertomalla kanta ja korkeus keskenään sekä jakamalla saatu tulo kahdella. Nyt kolmion korkeus on , joka voidaan ilmaista sivun sekä kulman avulla Sijoitetaan tämä kolmion pinta-alan lausekkeeseen, jolloin saadaan mikä on haluttu tulos.
Jos kulma on tylppä, saadaan alla olevan kuvan kaltainen kolmio.
Nyt kolmion korkeusjana on kolmion ulkopuolella. Se voidaan ilmaista sivun ja kulman avulla seuraavasti: Haluaisimme ilmaista pinta-alan lausekkeen sivujen ja sekä kulman avulla. Siksi meidän pitäisi löytää keino kuvata kulman avulla.
Huomataan, että jolloin Viimeinen yhtäsuuruus saadaan tylpän kulman sinin lausekkeesta. Nyt siis . Sijoitetaan korkeuden lauseke kolmion pinta-alan lausekkeeseen: joka on siinä muodossa kuin sen halusimme.
Yllä olevassa GeoGebra-appletissa käydään läpi kolmion pinta-alan trigonometrisen laskukaavan johtaminen. Alussa johdetaan suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskukaava lähtien suorakulmion pinta-alan laskukaavasta. Suorakulmion, jonka sivujen pituudet ovat ja , pinta-ala on . Kun suorakulmio puolitetaan lävistäjän kohdalta, saadaan kaksi yhtä suurta kolmiota, jolloin yhden kolmion pinta-ala on puolet suorakulmion pinta-alasta, eli .
Tarkastellaan yleisesti kolmiota, jonka kanta on sama kuin suorakulmiossa eli , toinen sivu on ja korkeus on . Kolmio ei nyt kuitenkaan ole suorakulmainen. Lisäksi tiedetään, että sivujen ja välinen kulma on . Kuvioon muodostuu suorakulmainen kolmio, koska korkeusjana on aina kohtisuorassa kolmion kantaan . Näillä merkinnöillä voidaan siis laskea . Ratkaistaan tästä yhtälöstä . Sijoitetaan tämä :n lauseke nyt tunnettuun kolmion pinta-alan laskukaavaan Näin saatiin johdettua kolmion pinta-alan trigonometrinen laskukaava.
Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.
2.6 Kosinilause
Kolmiomittaus on yksi tärkeimmistä maanmittausmenetelmistä, ja sen avulla on esimerkiksi piirretty Suomen peruskartat. Kolmiomittaus perustuu tunnettuihin pisteisiin ja niistä määritettävien kolmioiden sivujen ja kulmien mittaamiseen ja laskemiseen. Kolmion tuntemattomia sivuja ja kulmia voidaan määrittää kosinilauseen ja sinilauseen avulla.
Kosinilause
Jos ja ovat kolmion sivuja ja niiden välinen kulma, voidaan kolmion kolmas sivu laskea seruraavasti:
Todistetaan kosinilause kolmessa eri tapauksessa:
- kulma on terävä,
- kulma on suora ja
- kulma on tylppä.
Jos kulma on terävä, muodostuu alla olevan kuvan kaltainen kolmio.
Kolmiossa sivu on jaettu kahteen osaan, joiden pituudet ovat ja . Kolmion korkeusjana on kohtisuorassa kolmion kantaa vastaan.
Jos tarkastellaan vasemmanpuoleista suorakulmaista kolmiota, saadaan Pythagoraan lauseen avulla yhtälö . Toisaalta, jos tarkastellaan oikeanpuoleista suorakulmaista kolmiota, saadaan . Yhdistetään nämä kaksi lauseketta ja avataan jälkimmäisen lausekkeen sulut, jolloin saadaan . Sievennetään lauseketta, jolloin se saa muodon .
Nyt pitäisi vielä ilmaista kolmion sivujen ja kulman avulla. Huomataan, että eli . Sijoitetaan tämä aiemmin saatuun yhtälöön, jolloin saadaan tuttu kosinilauseen lauseke
Jos kulma on suora, saadaan alla olevan kuvan kaltainen kolmio.
Tutkitaan, päteekö kosinilauseen kaava suorakulmaisen kolmion tapauksessa. Tiedetään, että