2. Kolmioiden geometriaa: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät lukuun Kolmioiden geometriaa Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa luvussakin.

# pythagoras-teht

2.1 Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause.

# teht_suorakulmaisen_hypotenuusa

2.1.1 Tehtävä

# pythagoras1

# teht_S11T1b

2.1.2 Tehtävä (S2011/1b)

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on ja toisen kateetin pituus . Laske toisen kateetin pituus.

# pythagoras2

# teht_S15T10

2.1.3 Tehtävä (S2015/10)

Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet muodostavat geometrisen jonon. Määritä suhdeluku .

# s15t10a

Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. Määritä suhde .

# s15t10b_a

# s15t10b_b

# s15t10b_c

# teht_geogebra_puu

2.1.4 Tehtävä

Seitsemän metriä korkea puu kasvaa kohtisuoraan maan pintaa vastaan. Puu taittuu kahden metrin korkeudelta niin, että puun latvaosa osuu maahan. Latva ja tyviosa eivät irtoa toisistaan. Piirrä tilanteesta mallikuva oikeanpuoleiselle piirtoalueelle (ei vaikuta tehtävän pisteytykseen) ja laske vasemmanpuoleiselle CAS-alueelle, kuinka suuri kulma on maanpinnan ja taittuneen latvan välillä.

Anna vastaus vasemmanpuoleisella CAS-alueella tallentamalla se muuttujaan nimeltä v. Pyöristä vastaus kokonaislukujen tarkkuudelle käyttämällä komentoa round.

# puu-kaatuu

Vinkkejä GeoGebran käyttöön

Tekstin lisääminen

Monesti on hyödyllistä lisätä tehtävän ratkaisuun tekstiä, jossa selität, miten teit tehtävän. Valitse CAS-alueen oikeassa yläkulmassa oleva valikko ja valitse sieltä teksti . Nyt voit kirjoittaa tavallista tekstiä niin pitkään, kunnes painat enteriä ja teksti tallentuu.

Muuttujan tallentaminen

Joskus on hyödyllistä tallentaa lukuarvo tai vastaus muuttujaan. Tällöin lukuarvon käyttäminen myöhemmin on kätevää. Jos haluat sijoittaa muuttujaan a arvon 4, kirjoita komento a := 4. Jos myöhemmin haluat laskea laskun , kirjoita komento 5*a, jolloin saat vastaukseksi 20.

Yhtälön ratkaiseminen

Jos haluat ratkaista muuttujan yhtälöstä a^2+3a-4=0 , syötä CAS-laskimeen komento Ratkaisut(a^2+3a-4,a). Vastaukseksi saat listan {-4,1}. Helpoiten ratkaisuihin pääsee käsiksi, kun tallentaa ne muuttujaan: vastaukset := Ratkaisut(a^2+3a-4,a). Tällöin komento vastaukset(1) tuottaa luvun -4, ja komento vastaukset(2) tuottaa luvun 1.

Lukuarvon näyttäminen

Joskus GeoGebra näyttää vastauksen hyvinkin monimutkaisessa muodossa. Käytä tällöin komentoa Lukuarvona(). Jos kirjoitat esimerkiksi komennon a:=sin^(-1)(1/2), GeoGebra tulostaa vastaukseksi saman eli a:=sin^(-1)(1/2). Jos haluat vastauksen lukuarvona, kirjoita komento Lukuarvona(a), jolloin GeoGebra tulostaa 60°.

# trig-teht

2.2 Trigonometriset funktiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Trigonometriset funktiot.

# teht_trig1

2.2.1 Tehtävä

Tehtävien 3.2.1-3.2.6 merkinnät vastaavat alla olevan kolmion merkintöjä.

# trig1

# teht_trig2

2.2.2 Tehtävä

# trig2

# teht_trig3

2.2.3 Tehtävä

# trig3

# teht_trig4

2.2.4 Tehtävä

# trig4

# teht_trig5

2.2.5 Tehtävä

# trig5

# teht_trig6

2.2.6 Tehtävä

# trig6

# teht_s96T3b

2.2.7 Tehtävä (s1996/3b)

Katuvalaisimen kannatinvaijeri on kiinnitetty $34,50 \text{ m}$ leveän kadun vastakkaisilla puolilla olevien talojen seiniin $6,50 \text{ m}$ korkeudelle maasta. Lamppu riippuu vaijerista sen keskikohdalta, joka on $1,10 \text{ m}$ vaijerin päitä alempana, ja vetää vaijerin puolikkaat likimain janoiksi. Kuinka pitkä vaijeri on, ja kuinka suuren kulman vaijerin puoliskot muodostavat keskenään?

# lamppua

# lamppualfa

# teht_K17T6

2.2.8 Tehtävä (K2017/6)

Suorakulmaisen kolmion muotoisesta suklaalevystä lohkotaan alla olevan kuvion mukaisesti kappaletta yhdenmuotoisia paloja, joiden pinta-alat ovat $A_1,A_2,A_3,\ldots,A_n$ . Kuinka monta palaa suklaasta täyty lohkaista, jotta palojen yhteenlasketut pinta-alat muodostavat vähintään $97 \%$ suklaalevyn alkuperäisestä pinta-alasta?

# suklaalevy

# teht_sin18

2.2.9 Tehtävä

Määritä lausekkeen $\sin(18^{\circ})$ tarkka arvo käyttämällä alla olevaa tasakylkistä kolmiota.

# geo_sin18

Vihje 1

Ratkaise alkuperäisen kolmion kolmannen sivun pituus.

Vihje 2

Lisää valinta kohtaan "vihje 1". Millainen kolmio muodostuu mustan janan oikealle puolelle? Voiko sitä verrata alkuperäiseen kolmioon? Saatko ratkaistua mustan janan pituuden?

Vihje 3

Pidä edelleen valinta kohdassa "Vihje 1". Mustan janan oikealle puolelle muodostuu kolmio, joka on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion kanssa (perustele tämä kulmien suuruuksien avulla). Käytä verrantoa ratkaistaksesi kolmion kolmannen sivun (ja samalla mustan janan) pituus.

Vihje 4

Lisää valinta kohtaan "Vihje 2" ja huomaa, että $\frac{36^{\circ}}{2}=18^{\circ}$ .

# sin18

# muistikolmiot-teht

2.3 Muistikolmiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Muistikolmiot.

# teht_muistikolmio1

2.3.1 Tehtävä

Laske muistikolmion avulla alla olevan kolmion kateetin pituus sekä hypotenuusan pituus.

# muistikolmio1x

# muistikolmio1y

# teht_muistikolmio2

2.3.2 Tehtävä

Määritä kulman $\alpha$ suuruus muistikolmioiden avulla ilman laskinta, kun $\alpha \in [0,90^{\circ}]$ .

# muistikolmio2a

# muistikolmio2b

# muistikolmio2c

# teht_K18T6

2.3.3 Tehtävä (K2018/6)

Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on astetta. Kolmion hypotenuusan keskipisteeseen piirretään kuvion mukaisesti kohtisuora jana, jonka toinen päätepiste sijaitsee kolmion kateetilla. Laske niiden kahden osan pituuksien suhde, joihin kohtisuora jakaa kateetin.

Anna vastaus murtolukuna ja ilmoita suhde suorasta kulmasta lähtien.

# K2018T10

# tylpat-kulmat-teht

2.4 Tylpän kulman sini ja kosini

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Tylpän kulman sini ja kosini.

# teht_tylppa_sini

2.4.1 Tehtävä

Laske ilman laskinta.

# tylppa1

# teht_tylppa_cos

2.4.2 Tehtävä

Laske ilman laskinta.

# tylppa2

# teht_tylpat_selitys

2.4.3 Tehtävä

Käytä alla olevaa GeoGebra-applettia ja määritä, mitä tehtävissä 2.4.4-2.4.7 tulee vastaukseksi.

# puoliympyra2

# sanallinen1a

# teht_tylpat1

2.4.4 Tehtävä

# tylppa3

# teht_tylpat2

2.4.5 Tehtävä

# tylppa4

# teht_tylpat3

2.4.6 Tehtävä

# tylppa5

# teht_tylpat4

2.4.7 Tehtävä

# tylppa6

# kolmion-ala-teht

2.5 Kolmion pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kolmion pinta-ala.

# teht_kolmion_ala

2.5.1 Tehtävä

# kolmion_ala1

# teht_kolmion_korkeus

2.5.2 Tehtävä

# kolmion_ala2

# teht_kolmion_kanta

2.5.3 Tehtävä

# kolmion_ala3

# teht_kolmion_ala2

2.5.4 Tehtävä

MathCheck laskee kulmia aina radiaaneina. Jos haluat kirjoittaa sin(60°), sinun on kirjoitettava sen sijaan sin(60 * pi/180).

# kolmion_ala4

# teht_kolmion_ala3

2.5.5 Tehtävä

Kolmion kantasivun pituus on $2 \sqrt{2}$ ja kolmion korkeus on $\sqrt{2}$ . Laske kolmion pinta-ala.

# kolmion_ala

# teht_tasasivuinen_ala

2.5.6 Tehtävä

Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 3. Mikä on kolmion pinta-ala?

# tasasivuisen_kolmion_ala

# teht_K13T4

2.5.7 Tehtävä (K2013/4)

Laske alla olevan kuvan suorakulmaisen kolmion ABC pinta-alan tarkka arvo.

# K2013T4

# kosinilause-teht

2.6 Kosinilause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kosinilause.

# teht_maanmittari

2.6.1 Tehtävä

Maanmittarin tehtävänä on määrittää pisteiden ja välimatka. Pisteiden välissä on vaara, joka kierretään pisteen kautta, josta on näköyhteys pisteisiin ja . Kuvassa olevat etäisyydet ovat metreinä.

# kosinilause1