# kuvioiden_yhdenmuotoisuus

1. Kuvioiden yhdenmuotoisuus

Tässä kappaleessa käsitellään kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuutta. Lisäksi puhutaan mittakaavasta eli yhdenmuotoisuussuhteesta. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.

# yhdenmuotoisuus

1.1 Yhdenmuotoisuus

Kaksi kuviota on yhdenmuotoisia, kun toinen kuvio saadaan siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla, suurentamalla tai pienentämällä kuvio.

Yhdenmuotoisuus

Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinsivujen suhteet ovat samat riippumatta siitä, mitä sivuja tarkastellaan. Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinkulmat ovat aina yhtä suuret.

1.1.1 Esimerkki: yhdenmuotoiset kuviot GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# mittakaava

1.2 Mittakaava eli yhdenmuotoisuussuhde

Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinsivujen suhteet ovat siis vakioita. Vastinsivut määritellään vastinpisteiden avulla. Alla olevassa kuvassa vastinpisteitä ovat ja , ja sekä ja . Näiden avulla voidaan määrittää vastisivut: ja , ja sekä ja . Lasketaan jokaisen vastisivuparin suhde, ja huomataan, että se on jokaisen vastinsivuparin tapauksessa .

Yhdenmuotoiset kolmiot
Yhdenmuotoiset kolmiot

Tätä suhdetta kutsutaan yhdenmuotoisuussuhteeksi ja se määritellään alla.

Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset, yhdenmuotoisuussuhde tarkoittaa suhdetta missä on sivun pituus ensimmäisessä kuviossa ja sitä vastaavan sivun pituus toisessa kuviossa.

1.2.1 Esimerkki: yhdenmuotoisuussuhde GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# kolmiot

1.3 Kolmiot

Kolmioiden yhdenmuotoisuudesta voit lukea myös M niinkuin matematiikka -teoksesta, joka on lukiotason matematiikan tietosanakirja.

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, jos niillä on kaksi yhtä suurta kulmaa. Kahdesta yhtä suuresta kulmastahan seuraa myös, että kolmioiden kolmas kulma on yhtä suuri.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslause KK

Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuria kuin vastinkulmat toisessa kolmiossa, kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

1.3.1 Esimerkki: yhdenmuotoiset kolmiot GeoGebralla

1.3.2 Esimerkki: kolmion sivu KK-lauseella

Jos kolmion kulmien suuruuksia ei tiedetä, voidaan kolmioiden yhdenmuotoisuus päätellä myös niiden sivujen pituuksien avulla. Kuten aiemmin olet opiskellut, yhdenmuotoisissa kuvioissa niiden vastinsivujen suhteet ovat vakioita. Tätä ominaisuutta käytetään hyväksi yhdenmuotoisuuslauseessa SSS.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslause SSS

Jos kolmion kaikki sivut ovat verrannolliset vastinsivuihin toisessa kolmiossa, kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

1.3.3 Esimerkki: kulman suuruus SSS-lauseella

Jos kahdesta kolmiosta tiedetään, että vain kaksi vastinsivua on verrannollisia keskenään, ei vielä voida päätellä, ovatko kolmiot yhdenmuotoisia. Jos lisäksi tiedetään vielä, että kahden verrannollisen vastinsivun välissä olevat kulmat ovat molemmissa kolmioissa yhtä suuret, voidaan sanoa, että kolmiot ovat yhdenmuotoisia.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslause SKS

Jos kolmion kaksi sivua ovat verrannolliset vastinsivuihin toisessa kolmiossa ja niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin vastinkulma toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

1.3.4 Esimerkki: kolmion sivu SKS-lauseella

1.3.5 Esimerkki: yhdenmuotoisten kolmioiden piirtäminen GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# pinta-ala

1.4 Pinta-ala

Aiemmin tarkastelit vain kuvioiden vastinkulmien suuruuksia (jotka olivat samoja) sekä vastisivujen pituuksien suhteita (jotka pysyivät vakioina riippumatta siitä mitä sivupareja tarkasteltiin). Yhdenmuotoisuuden avulla voidaan päätellä lisäksi myös kuvioiden pinta-aloihin liittyviä suhteita.

Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alalause

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset yhdenmuotoisuussuhteessa , niiden pinta-alojen suhde on

1.4.1 Esimerkki: pinta-alojen suhde GeoGebralla

1.4.2 Esimerkki: pinta-alan laskeminen

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

# tilavuus

1.5 Tilavuus

Samoin kuin aiemmin pinta-alan suhteen, yhdenmuotoisuus auttaa päättelemään jotakin myös kappaleiden tilavuuksista. Pinta-alan kohdalla yhdenmuotoisuussuhde korotettiin toiseen potenssiin, mutta tilavuuden kohdalla yhdenmuotoisuussuhde koroteteaankin kolmanteen potenssiin.

Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuslause

Jos kappaleet ovat yhdenmuotoiset yhdenmuotoisuussuhteessa , niiden tilavuuksien suhde on

1.5.1 Esimerkki: tilavuuksien suhde GeoGebralla

Tähän kappaleeseen liittyvät tehtävät.

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.