1. Kuvioiden yhdenmuotoisuus: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät lukuun Kuvioiden yhdenmuotoisuus. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa luvussakin.

# yhdenmuotoisuus-teht

1.1 Yhdenmuotoisuus

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Yhdenmuotoisuus.

# teht_onko_yhdenmutoinen

1.1.1 Tehtävä

# onko_yhdenmuotoinen

# mittakaava-teht

1.2 Mittakaava eli yhdenmuotoisuussuhde

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Mittakaava eli yhdenmuotoisuussuhde.

# teht_mittakaava1

1.2.1 Tehtävä

Määritä alla olevan kuvan kolmioiden mittakaava, kun oikeanpuoleinen kolmio on saatu pienentämällä vasemmanpuoleinen kolmio.

# mittakaava1a

# teht_S15T3a

1.2.2 Tehtävä (S2015/3a)

Kuntopolun pituus kartalla on $17,5 \text{ cm}$ . Mikä on polun pituus maastossa, kun kartan mittakaava on $1:20 \, 000$ ? Anna vastaus 100 metrin tarkkuudella.

# mittakaava1

# teht_tyopaikan_etaisyys

1.2.3 Tehtävä

Kartan mittakaava on $1:80 \, 000$ . Kallen työpaikan ja keskustan välimatka kartalla on $24,5 \text{ cm}$ . Kuinka paljon välimatka on luonnossa?

# mittakaava2

# teht_suomineito

1.2.4 Tehtävä

Mikä on kartan mittakaava, kun $1 \, 200 \text{ km}$ pitkä Suomineito on kartalla $25 \text{ cm}$ mittainen?

# mittakaava3

# teht_kukan_suurennos

1.2.5 Tehtävä

Biologian kirjassa on suurennos kukasta mittakaavassa 3:1 . Jos kirjassa olevan kukan leveys on $45 \text{ mm}$ , kuinka leveä on alkuperäinen kukka?

# mittakaava4

# teht_muurahaisen_suurennos

1.2.6 Tehtävä

Seuraavalla sivulla biologian kirjassa on suurennos muurahaisesta. Suurennoksen pituus on $12 \text{ mm}$ . Tekstissä kerrotaan muurahaisen pituuden luonnossa olevan $3 \text{ mm}$ . Mikä on suurennoksen mittakaava?

# mittakaava5

# kolmiot-teht

1.3 Kolmiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kolmiot.

# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot

1.3.1 Tehtävä

# kolmio_yhdenmuotoisuus

# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot1

1.3.2 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Päättele sivun pituus ja kulman $\alpha$ suuruus.

# yhdenmuotoisuus1a

# yhdenmuotoisuus1b

# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot2

1.3.3 Tehtävä

Yllä olevat kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Päättele puuttuvat sivujen pituudet ja kulmien suuruudet. Huom! Käytä desimaalipistettä! Älä laita kulmien suuruuksiin astemerkkiä.

# yhdenmuotoisuus2a

# yhdenmuotoisuus2b

# yhdenmuotoisuus2alfa

# yhdenmuotoisuus2beta

# yhdenmuotoisuus2gamma

# teht_lipputanko

1.3.4 Tehtävä

Talon pihalla on lipputanko ja $0,9 \text{ m}$ mittainen pystysuora keppi. Eräänä päivänä kepin varjon pituudeksi mitattiin $1,3 \text{ m}$ ja lipputangon varjon pituudeksi $11,6 \text{ m}$ . Kuinka korkea lipputanko on?

# lipputanko

# teht_geogebra_taydennys

1.3.5 Tehtävä

Täydennä alla olevaa GeoGebra-appletti niin, että siinä on kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Käytä hyväksesi valmiina appletissa olevaa kolmion sivua.

Tarkista lopuksi, että piirtämäsi kolmion kulmien nimet ovat D, E ja F.

# geo-kolmioiden-piirto1

Vinkkejä GeoGebran käyttöön

Jana ED voi vastata mitä tahansa sivua kolmiossa ABC.
Syöttökentän avulla voit lisätä uuden pisteen esimerkiksi kohtaan (0,0) yksinkertaisesti kirjoittamalla syöttökenttään (0,0).
Kokeile kirjoittaa syöttökenttään D+(2;90°) (astemerkin saat painamalla ALT + o). Huomaa, että sulkeissa on pilkun sijaan puolipiste. Pohdi, miten voisit tätä tietoa käyttää yllä olevassa tehtävässä.

Merkitään jonon erotuslukua, eli peräkkäisten jäsenten erotusta kirjaimella , jolloin jonon jäseniä voidaan merkitä a=b-d , ja c=b+d .

2. Kolmioiden geometriaa: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät lukuun Kolmioiden geometriaa Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa luvussakin.

# pythagoras-teht

2.1 Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause.

# teht_suorakulmaisen_hypotenuusa

2.1.1 Tehtävä

# pythagoras1

# teht_S11T1b

2.1.2 Tehtävä (S2011/1b)

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on ja toisen kateetin pituus . Laske toisen kateetin pituus.

# pythagoras2

# teht_S15T10

2.1.3 Tehtävä (S2015/10)

Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet muodostavat geometrisen jonon. Määritä suhdeluku .

# s15t10a

Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. Määritä suhde .

# s15t10b_a

# s15t10b_b

# s15t10b_c

# teht_geogebra_puu

2.1.4 Tehtävä

Seitsemän metriä korkea puu kasvaa kohtisuoraan maan pintaa vastaan. Puu taittuu kahden metrin korkeudelta niin, että puun latvaosa osuu maahan. Latva ja tyviosa eivät irtoa toisistaan. Piirrä tilanteesta mallikuva oikeanpuoleiselle piirtoalueelle (ei vaikuta tehtävän pisteytykseen) ja laske vasemmanpuoleiselle CAS-alueelle, kuinka suuri kulma on maanpinnan ja taittuneen latvan välillä.

Anna vastaus vasemmanpuoleisella CAS-alueella tallentamalla se muuttujaan nimeltä v. Pyöristä vastaus kokonaislukujen tarkkuudelle käyttämällä komentoa round.

# puu-kaatuu

Vinkkejä GeoGebran käyttöön

Tekstin lisääminen

Monesti on hyödyllistä lisätä tehtävän ratkaisuun tekstiä, jossa selität, miten teit tehtävän. Valitse CAS-alueen oikeassa yläkulmassa oleva valikko ja valitse sieltä teksti . Nyt voit kirjoittaa tavallista tekstiä niin pitkään, kunnes painat enteriä ja teksti tallentuu.

Muuttujan tallentaminen

Joskus on hyödyllistä tallentaa lukuarvo tai vastaus muuttujaan. Tällöin lukuarvon käyttäminen myöhemmin on kätevää. Jos haluat sijoittaa muuttujaan a arvon 4, kirjoita komento a := 4. Jos myöhemmin haluat laskea laskun , kirjoita komento 5*a, jolloin saat vastaukseksi 20.

Yhtälön ratkaiseminen

Jos haluat ratkaista muuttujan yhtälöstä a^2+3a-4=0 , syötä CAS-laskimeen komento Ratkaisut(a^2+3a-4,a). Vastaukseksi saat listan {-4,1}. Helpoiten ratkaisuihin pääsee käsiksi, kun tallentaa ne muuttujaan: vastaukset := Ratkaisut(a^2+3a-4,a). Tällöin komento vastaukset(1) tuottaa luvun -4, ja komento vastaukset(2) tuottaa luvun 1.

Lukuarvon näyttäminen

Joskus GeoGebra näyttää vastauksen hyvinkin monimutkaisessa muodossa. Käytä tällöin komentoa Lukuarvona(). Jos kirjoitat esimerkiksi komennon a:=sin^(-1)(1/2), GeoGebra tulostaa vastaukseksi saman eli a:=sin^(-1)(1/2). Jos haluat vastauksen lukuarvona, kirjoita komento Lukuarvona(a), jolloin GeoGebra tulostaa 60°.

# trig-teht

2.2 Trigonometriset funktiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Trigonometriset funktiot.

# teht_trig1

2.2.1 Tehtävä

Tehtävien 3.2.1-3.2.6 merkinnät vastaavat alla olevan kolmion merkintöjä.

# trig1

# teht_trig2

2.2.2 Tehtävä

# trig2

# teht_trig3

2.2.3 Tehtävä

# trig3

# teht_trig4

2.2.4 Tehtävä

# trig4

# teht_trig5

2.2.5 Tehtävä

# trig5

# teht_trig6

2.2.6 Tehtävä

# trig6

# teht_s96T3b

2.2.7 Tehtävä (s1996/3b)

Katuvalaisimen kannatinvaijeri on kiinnitetty $34,50 \text{ m}$ leveän kadun vastakkaisilla puolilla olevien talojen seiniin $6,50 \text{ m}$ korkeudelle maasta. Lamppu riippuu vaijerista sen keskikohdalta, joka on $1,10 \text{ m}$ vaijerin päitä alempana, ja vetää vaijerin puolikkaat likimain janoiksi. Kuinka pitkä vaijeri on, ja kuinka suuren kulman vaijerin puoliskot muodostavat keskenään?

# lamppua

# lamppualfa

# teht_K17T6

2.2.8 Tehtävä (K2017/6)

Suorakulmaisen kolmion muotoisesta suklaalevystä lohkotaan alla olevan kuvion mukaisesti kappaletta yhdenmuotoisia paloja, joiden pinta-alat ovat $A_1,A_2,A_3,\ldots,A_n$ . Kuinka monta palaa suklaasta täyty lohkaista, jotta palojen yhteenlasketut pinta-alat muodostavat vähintään $97 \%$ suklaalevyn alkuperäisestä pinta-alasta?

# suklaalevy

# teht_sin18

2.2.9 Tehtävä

Määritä lausekkeen $\sin(18^{\circ})$ tarkka arvo käyttämällä alla olevaa tasakylkistä kolmiota.

# geo_sin18

Vihje 1

Ratkaise alkuperäisen kolmion kolmannen sivun pituus.

Vihje 2

Lisää valinta kohtaan "vihje 1". Millainen kolmio muodostuu mustan janan oikealle puolelle? Voiko sitä verrata alkuperäiseen kolmioon? Saatko ratkaistua mustan janan pituuden?

Vihje 3

Pidä edelleen valinta kohdassa "Vihje 1". Mustan janan oikealle puolelle muodostuu kolmio, joka on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion kanssa (perustele tämä kulmien suuruuksien avulla). Käytä verrantoa ratkaistaksesi kolmion kolmannen sivun (ja samalla mustan janan) pituus.

Vihje 4

Lisää valinta kohtaan "Vihje 2" ja huomaa, että $\frac{36^{\circ}}{2}=18^{\circ}$ .

# sin18

# muistikolmiot-teht

2.3 Muistikolmiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Muistikolmiot.

# teht_muistikolmio1

2.3.1 Tehtävä

Laske muistikolmion avulla alla olevan kolmion kateetin pituus sekä hypotenuusan pituus.

# muistikolmio1x

# muistikolmio1y

# teht_muistikolmio2

2.3.2 Tehtävä

Määritä kulman $\alpha$ suuruus muistikolmioiden avulla ilman laskinta, kun $\alpha \in [0,90^{\circ}]$ .

# muistikolmio2a

# muistikolmio2b

# muistikolmio2c

# teht_K18T6

2.3.3 Tehtävä (K2018/6)

Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on astetta. Kolmion hypotenuusan keskipisteeseen piirretään kuvion mukaisesti kohtisuora jana, jonka toinen päätepiste sijaitsee kolmion kateetilla. Laske niiden kahden osan pituuksien suhde, joihin kohtisuora jakaa kateetin.

Anna vastaus murtolukuna ja ilmoita suhde suorasta kulmasta lähtien.

# K2018T10

# tylpat-kulmat-teht

2.4 Tylpän kulman sini ja kosini

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Tylpän kulman sini ja kosini.

# teht_tylppa_sini

2.4.1 Tehtävä

Laske ilman laskinta.

# tylppa1

# teht_tylppa_cos

2.4.2 Tehtävä

Laske ilman laskinta.

# tylppa2

# teht_tylpat_selitys

2.4.3 Tehtävä

Käytä alla olevaa GeoGebra-applettia ja määritä, mitä tehtävissä 2.4.4-2.4.7 tulee vastaukseksi.

# puoliympyra2

# sanallinen1a

# teht_tylpat1

2.4.4 Tehtävä

# tylppa3

# teht_tylpat2

2.4.5 Tehtävä

# tylppa4

# teht_tylpat3

2.4.6 Tehtävä

# tylppa5

# teht_tylpat4

2.4.7 Tehtävä

# tylppa6

# kolmion-ala-teht

2.5 Kolmion pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kolmion pinta-ala.

# teht_kolmion_ala

2.5.1 Tehtävä

# kolmion_ala1

# teht_kolmion_korkeus

2.5.2 Tehtävä

# kolmion_ala2

# teht_kolmion_kanta

2.5.3 Tehtävä

# kolmion_ala3

# teht_kolmion_ala2

2.5.4 Tehtävä

MathCheck laskee kulmia aina radiaaneina. Jos haluat kirjoittaa sin(60°), sinun on kirjoitettava sen sijaan sin(60 * pi/180).

# kolmion_ala4

# teht_kolmion_ala3

2.5.5 Tehtävä

Kolmion kantasivun pituus on $2 \sqrt{2}$ ja kolmion korkeus on $\sqrt{2}$ . Laske kolmion pinta-ala.

# kolmion_ala

# teht_tasasivuinen_ala

2.5.6 Tehtävä

Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 3. Mikä on kolmion pinta-ala?

# tasasivuisen_kolmion_ala

# teht_K13T4

2.5.7 Tehtävä (K2013/4)

Laske alla olevan kuvan suorakulmaisen kolmion ABC pinta-alan tarkka arvo.

# K2013T4

# kosinilause-teht

2.6 Kosinilause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kosinilause.

# teht_maanmittari

2.6.1 Tehtävä

Maanmittarin tehtävänä on määrittää pisteiden ja välimatka. Pisteiden välissä on vaara, joka kierretään pisteen kautta, josta on näköyhteys pisteisiin ja . Kuvassa olevat etäisyydet ovat metreinä.

# kosinilause1

Kokeile myös luoda kuvan mukainen konstruktio (ilman mäen käyriä) GeoGebralla. Saatko selvitettyä pisteiden ja välisen etäisyyden ilman laskemista?

# teht_pelto

2.6.2 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on kolmion muotoinen pelto. Laske pellon pinta-ala hehtaareina. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkudella ilman yksikköä ja muista käyttää desimaalipistettä.

# kosinilause2

# teht_S12T4b

2.6.3 Tehtävä (S2012/4b)

Laske oheisessa kuvassa olevan kolmion sivun pituuden tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.

# kosinilause3a

# kosinilause3b

# teht_kalle_suunnistaa

2.6.4 Tehtävä

Kalle kulkee kompassin kanssa ensin $1 \, 500 \text{ m}$ etelään ja sitten $1 \, 100 \text{ m}$ kaakkoon. Kuinka kaukana lähtöpaikastaan Kalle on? Piirrä ensin mallikuvio.

# kosinilause5

# sinilause-teht

2.7 Sinilause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Sinilause.

# teht_sinilause1

2.7.1 Tehtävä

Kolmion sivun pituus on a=4 ja sen vastaisen kulman suuruus on $\alpha=62^{\circ}$ . Merkitään kolmion toista sivua kirjaimella ja sen vastaista kulmaa $\beta = 112^{\circ}$ . Ratkaise sivun pituus.

# sinilause2a

# teht_sinilause2

2.7.2 Tehtävä

Ratkaise alla olevaan kuvaan merkitty tylppä kulma $\gamma$ .

# sinilause2

# teht_sinilause_kosinilause

2.7.3 Tehtävä

Ratkaise alla olevan kuvion sivun pituus. Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella.

Vihje

Päättele ensin pisteen E ympärillä olevat kulmat ja laske sinilauseen avulla sivujen , , ja pituudet. Sovella lopuksi kosinilausetta pituuden ratkaisemiseksi.

# sinilause3

# teht_kulmanpuolittajalause

2.7.4 Tehtävä

Ratkaise alla olevaan kuvaan merkityn janan pituus.

# kulmanpuolittajalause

# teht_S13T6

2.7.5 Tehtävä (S2013/6)

Kolmion ABC kulman puolittaja leikkaa sivun pisteessä . Pisteiden välisille etäisyyksille on voimassa CD=6 , AD=4 ja DB=3 . Määritä kolmion sivujen ja pituuksien tarkat arvot.

Vihje

Käytä ensin kulmanpuolittajalausetta ja sen jälkeen kosinilausetta.

# kosinilause4ac

# kosinilause4bc

# teht_kolmion_sivun_pituus

2.7.6 Tehtävä

Kolmiosta ABC tiedetään seuraavaa. Sivun pituus on 4,8 , kulman suuruus on $70^{\circ}$ ja kulman suuruus $77 ^{\circ}$ . Piirrä tilanteesta mallikuvio ja laske sivun pituus. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

# sinilause4

# kaant-pythagoras-teht

2.8 Käänteinen Pythagoraan lause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Käänteinen Pythagoraan lause.

# teht_onko_suorakulmainen1

2.8.1 Tehtävä

Kolmion sivujen pituudet ovat , ja . Onko kolmio suorakulmainen?

# kaantpyhtagoras2

# teht_onko_suorakulmainen2

2.8.2 Tehtävä

Kolmion sivujen pituudet ovat $3 \sqrt{2}$ , $4 \sqrt{2}$ ja $5 \sqrt{2}$ . Onko kolmio suorakulmainen?

# kaantpythagoras3

# teht_K17T12

2.8.3 Tehtävä (K2017/12)

Neliöiden N_1 , N_2 ja N_3 pinta-alojen suhde on 9:2:11 . Kolmion yhtenä sivuna on neliön N_1 sivu, toisena sivuna neliön N_2 sivu ja kolmantena sivuna neliön N_3 sivu. Laske kolmion ja neliön N_2 pinta-alojen suhteen tarkka arvo.

Vihje

Onko kolmio suorakulmainen?

# kaantpythagoras1

# merkilliset-pisteet-teht

2.9 Kolmion merkilliset pisteet

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kolmion merkilliset pisteet.

# teht_suorakulmainen_puolittaja

2.9.1 Tehtävä

Kuinka suuressa kulmassa suorakulmaisen kolmion terävien kulmien puolittajat leikkaavat? Kokeile tehdä tehtävänannosta dynaaminen kuva GeoGebralla.

# merkilliset1

Voidaanko tulos yleistää myös muihin kolmioihin?

[H]

# teht_denny

2.9.2 Tehtävä

Seattlessa on alue, jota kutsutaan 'Denny triangle'ksi sen kolmiomaisen muodon vuoksi. Määritä piste, joka on yhtä kaukana jokaisesta Dennyn kolmion kärkipisteestä.

Kun olet määrittänyt pisteen, joka on yhtä kaukana kärkipisteitä, käytä Mittaa etäisyys -toimintoa ja mittaa pisteen etäisyys kaikista kärkipisteistä. Tehtävän pisteytys perustuu tähän etäisyyteen. Varmista siis, ettet siirrä valmiiksi annettuja punaisia pisteitä ja nimeät määrittämäsi pisteen F:ksi.

Vihje

Käytä keskinormaalilausetta.

# denny

# teht_poyta

2.9.3 Tehtävä

Alla on kuva kolmion muotoisesta pöydästä. Pöytä halutaan seisomaan vain yhden jalan varassa, jolloin jalka pitäisi sijoittaa pöytälevyn painopisteeseen. Määritä pöytälevyn painopiste alla olevalla GeoGebra-appletilla. Varmista, että nimeät painopisteen kirjaimella G.

# kolmio_poyta

2.10 Sekalaisia tehtäviä

Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun kappaleisiin liittyviä tehtäviä.

# teht_suunnistaja

2.10.1 Tehtävä

Lähtiessään rastilta suunnistaja tietää, että seuraavalle rastille on matkaa $600 \text{ m}$ , mutta ottaa kompassilla suunnan huolimattomasti ja lähtee kulkemaan $9 ^{\circ}$ väärään suuntaan. Kuinka kaukana suunnistaja on oikeasta rastista, kun hän on kulkenut $600 \text{ m}$ matkan?

# suunnistus

# teht_geogebra_kolmio

2.10.2 Tehtävä

Piirrä teräväkulmainen kolmio, jonka kahden sivun pituudet ovat ja ja näiden sivujen välinen kulma on $72^{\circ}$ . Määritä kolmion kolmannen sivun pituus. Tallenna sivun pituus muuttujaan nimeltä a.

# kolmion_sivu

# teht_S16T5

2.10.3 Tehtävä (S2016/5)

Kolmion kulmat muodostavat aritmeettisen jonon, ja yhden kulman suuruus on $103^{\circ}$ . Määritä kulmien suuruudet asteina.

# kulmajono1

Kolmion kulmat muodostavat geometrisen jonon, ja yhden kulman suuruus on $\frac{\pi}{7}$ radiaania. Määritä kulmien suuruudet radiaaneina.

# kulmajono2

# kulmajono3

# teht_kolmioilla_sama_ala

2.10.4 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa ABCD ja AEFG ovat neliöitä. Osoita, että kolmioilla ABG ja ADE on sama pinta-ala. [H]

Ratkaisu

Merkitään |AB|=a ja |AG|=b . Lisäksi merkitään $\angle GAB=\alpha$ . Nyt alemman kolmion pinta-ala on $A_1=\frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$ . Merkitään $\angle DAE=\beta$ . Tiedetään, että $\beta=180^{\circ}-\alpha$ . Nyt toisen kolmion pinta-ala on $A_2=\frac{1}{2}ab \sin(\beta) = \frac{1}{2}ab \sin(180^{\circ}-\alpha)$ . Tylpän kulman sinistä tiedetään $\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin(\alpha)$ . Joten $A_2=\frac{1}{2}ab \sin(\alpha)=A_1$ eli kolmioiden pinta-alat ovat samat.

# teht_hoikka_kolmio

2.10.5 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on neljä neliötä, ja vasemmassa alakulmassa olevan neliön pinta-ala on . Mikä on tummanvihreän kolmion pinta-ala? [H]

# hoikkakolmio_geo

Vihje

Kahden kolmion pinta-alat ovat samoja, jos niiden kannat ovat yhtä pitkät ja niiden korkeudet ovat yhtä pitkät. Paina "Näytä korkeusjanaa" -nappia, jolloin voit siirtää tummanvihreän kolmion kärkipistettä.

# hoikkakolmio_ratk

# teht_S15T15

2.10.6 Tehtävä (S2015/15)

Kolmion kahden sivun pituudet ovat CA=a ja CB=b . Näiden sivujen välisen kulman puolittajasta kolmion sisälle jäävän osan pituus on . Puolittaja jakaa kolmannen sivun kahteen osaan, joiden pituudet ovat AD=x ja DB=y . Osoita, että $k=\sqrt{ab-xy}$ ,

kun .
kun $a \neq b$ .

Ratkaisu

Jos , niin kolmio on tasakylkinen ja tällöin myös . Pythagoraan mukaan . Kun tässä toinen korvataan :llä ja toinen korvataan :llä, saadaan , josta väite seuraa.

Olkoon kulman puolikas $\varphi$ . Kosinilauseesta ja kulmanpuolittajalauseesta saadaan ehdot $\left\{ \begin{array}{rcl} x^2 &=& a^2+k^2-2ak \cos \varphi \\ y^2 &=& b^2+k^2-2bk \cos \varphi \\ \frac{x}{y} &=& \frac{a}{b} \end{array} \right.$

Ratkaistaan kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä $2 k \cos \varphi$ ja merkitään tulokset samoiksi: $2k \cos \varphi=\frac{a^2+k^2-x^2}{a}=\frac{b^2+k^2-y^2}{b}.$ Kerrotaan puolittain :lla: $\frac{a}{b}(b^2+k^2-y^2)=a^2+k^2-x^2.$

Korvataan $\frac{a}{b} \rightarrow \frac{x}{y}$ ja kerrotaan puolittain :llä xb^2+xk^2-xy^2=ya^2+yk^2-yx^2. Ratkaistaan k^2 : $k^2=\frac{ya^2-yx^2+y^2x-xb^2}{x-y}.$

Sijoitetaan ya=bx : $k^2=\frac{abx-x^2y-aby+xy^2}{x-y}$ ja ryhmitellään $k^2=\frac{abx-aby-x^2y+xy^2}{x-y}=\frac{ab(x-y)-xy(x-y)}{x-y}=ab-xy,$ josta väite seuraa. Ratkaisu edellyttää, että $x-y \neq 0$ , mutta ehto on voimassa, koska oletettiin, että $a \neq b$ , jolloin myös $x \neq y$ .

# teht_napoleon

2.10.7 Tehtävä

Piirrä GeoGebralla Napoleonin lausetta vastaava konstruktio alla olevia ohjeita seuraamalla.

Valitse GeoGebran Monikulmio-työkalu (klikkaa LISÄÄ, jos ei ole näkyvissä työkaluissa) ja piirrä jonkin muotoinen kolmio k1.
Valitse GeoGebran Säännöllinen monikulmio -työkalu, ja piirrä tasasivuiset kolmiot kolmion k1 jokaiselle sivulle (kuvio1, kuvio2 ja kuvio3). Tämä tapahtuu valitsemalla kolmion k1 kaksi kärkipistettä ja syöttämällä kulmien lukumääräksi 3.
- Huomaa, että tasasivuisten kolmioiden tulee olla kolmion k1 ulkopuolella. Jos kolmiot syntyvät alkuperäisen kolmion k1 päälle, kokeile valita kärkipisteet eri järjestyksessä.
Valitse Keskipiste-työkalu ja luo jokaiselle kolmiolle kuvio1, kuvio2 ja kuvio3 keskipiste napsauttamalla kyseistä kolmiota.
Yhdistä äsken luodut keskipisteet käyttämällä Monikulmio-työkalua, jolloin syntyy kolmio k2.
Mittaa kolmion k2 kulmien suuruudet. Helpoiten tämä käy, kun valitset Kulma-työkalun ja napsautat kolmiota k2, jolloin GeoGebra mittaa kolmion k2 kaikkien sisäkulmien (α, β ja γ) suuruudet samalla kertaa.
Kokeile siirtää alkuperäisen kolmion k1 kärkipisteitä. Mitä huomaat?
Halutessasi voit muokata kolmioiden ja pisteiden värejä ja nimien näkyvyyttä.

# napoleon3

3. Monikulmioiden pinta-aloja: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät kappaleeseen Monikulmioiden pinta-aloja. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa kappaleessakin.

# puolisuunnikas-teht

3.1 Puolisuunnikas

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Puolisuunnikas.

# teht_puolisuunnikkaan_ala

3.1.1 Tehtävä

# puolisuunnikas1

# teht_puolisuunnikkaan_kanta

3.1.2 Tehtävä

# puolisuunnikas2

# teht_puolisuunnikkaan_korkeus

3.1.3 Tehtävä

# puolisuunnikas3

# suunnikas-teht

3.2 Suunnikas

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Suunnikas.

# teht_suunnikkaan_ala1

3.2.1 Tehtävä

# suunnikas1

# teht_suunnikkaan_ala2

3.2.2 Tehtävä

# suunnikas2

# teht_suunnikkaan_kulma

3.2.3 Tehtävä

Suunnikkaan sivujen pituudet ovat ja , ja sen pinta-ala on . Kuinka suuri kulma sivujen välissä on?

# suunnikas3

# teht_suunnikkaan_ala3

3.2.4 Tehtävä

Suunnikkaan sivujen välinen kulma on $45^{\circ}$ . Lyhyempi sivuista on pituudeltaan ja pidempi . Määritä suunnikkaan ala.

# s98T8a

# aakkostehtava

3.2.5 Tehtävä

Aakkoskarkkien sivujen pituudet ovat $2 \text{ cm}$ ja sen lyhyempi halkaisija on $2,3 \text{ cm}$ . Laske yhden karkin pinta-ala.

# aakkonen

# teht_S11T15

3.2.6 Tehtävä (S2011/15)

Merkitään kolmion ABC keskijanojen ja leikkauspistettä kirjaimella .

Jos on janan keskipiste ja janan keskipiste, niin osoita, että janan pituus on puolet janan pituudesta.
Osoita, että nelikulmio on suunnikas
Osoita, että janan pituus on kolmasosa janan pituudesta.
Todista edellisten kohtien perusteella seuraava lause: Kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa jokaisen keskijanan siten, että sivun puoleisen osan pituus on kolmasosa koko keskijanan pituudesta.

Ratkaisu

Kolmiot ja ovat yhdenmuotoiset (SKS) yhdenmuotoisuussuhteen ollessa . Näin ollen vastinsivuina $FG=\frac{1}{2} AB$ .

Pisteestä piirretty janan suuntainen suora puolittaa janan eli kulkee pisteen kautta. Tämä johtuu siitä, että kolmiot ja ovat yhdenmuotoisia (SKS). Näin ollen sivut ja ovat yhdensuuntaiset. Vastaavasti nähdään, että sivut ja ovat yhdensuuntaiset, eli sivut ja ovat yhdensuuntaiset. Edelleen, kolmiot ja ovat yhdenmuotoiset (SKS) yhdenmuotoisuussuhteen ollessa . Näin ollen $ED=\frac{1}{2} AB$ eli . Koska sivut ja ovat yhtä pitkiät ja yhdensuuntaiset, nelikulmio on suunnikas.

Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa, joten eli $DP=\frac{1}{3} AD$ .

Edellisen mukaan pisteestä piirretty keskijana leikkaa pisteestä piirretyn keskijanan pisteessä, jonka etäisyys pisteestä on $\frac{1}{3}AD$ . Vastaavasti nähdään, että sama pätee pisteestä piirretylle keskijanalle: sekin leikkaa pisteestä piirretyn keskijanan pisteessä, jonka etäisyys pisteestä on $\frac{1}{3} AD$ . Näin ollen myös pisteestä piirretty keskijana kulkee pisteen kautta. Edellisen mukaan nähdään, että piste jakaa kaikki keskijanat suhteessa .

4. Ympyrä: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät kappaleeseen Ympyrä. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa kappaleessakin.

# sade-teht

4.1 Säde, halkaisija, piiri

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Säde, halkaisija, piiri.

# teht_puhelinlinja

4.1.1 Tehtävä

Oleletaan, että maapallo on täysin pyöreä. Eräs puhelinyhtiö on vetänyt puhelinlinjan päiväntasaajaa pitkin maapallon ympäri. Kuinka paljon linjaa tarvitaan lisää, jos se halutaan nostaa $10 \text{ m}$ korkeille tolpille. Anna vastaus metreinä ja yhden desimaalin tarkkuudella.

# puhelinlinja

# teht_S18T8

4.1.2 Tehtävä (S2018/8)

Yksikköympyrän kehän pituus on $2 \pi$ . Arvioi tätä lukua approksimoimalla ympyrää sen sisään piirretyllä säännöllisellä kuusikulmiolla ja laskemalla kuusikulmion piirin pituus. Muodosta toinen arvio säännöllisen 12-kulmion avulla ja määritä kummankin approksimaation suhteellinen virhe vertaamalla tuloksia laskimen antamaan lukun $2 \pi$ likiarvoon.

Huomautus: Yksikköympyrä tarkoittaa ympyrää, jonka säde on .

# S18T8a

# S18T8b

# teht_polkupyora

4.1.3 Tehtävä

Polkupyörän renkaan koko on 28" eli sen halkaisija on tuumaa. Pyörään halutaan laittaa matkamittari, jota varten tarvitaan yhdellä renkaan pyörähdyksellä kuljettu matka. Laske pyörän yhden renkaan täydellä pyörähdyksellä kulkema matka ja ilmoita vastaus yhden desimaalin tarkkuudella senttimetreinä.

# polkupyörä

# teht_pyora

4.1.4 Tehtävä

Halkaisijaltaan $60 \text{ cm}$ pyörä pyörähtää kertaa. Kuinka pitkän matkan pyörä etenee?

# pyoriva_pyora_1

Kuinka monta pyörähdystä pyörä etenee $200 \text{ m}$ matkalla?

# pyoriva_pyora_2

# teht_kukkaympyra

4.1.5 Tehtävä

Mari haluaa laittaa kukkia kasvamaan täsmälleen ympyrän muotoon. Hänellä on kukkaa ja hän haluaa, että kukkien välinen etäisyys ympyrän kaarta pitkin mitattuna on tasan $20 \text{ cm}$ . Mikä on tällaisen ympyrän halkaisija?

# kukkaympyra

# teht_keskinormaali

4.1.6 Tehtävä

Osoita, että kahden leikkaavan ympyrän keskipisteiden välinen jana on ympyröiden leikkauspisteiden välisen janan keskinormaali.

Alla olevan kuvan merkinnöillä, sinun tulee osoittaa, että kuvaan punaisella merkittyjen janojen ja OO' välinen kulma on $90^{\circ}$ ja että janat ja ovat keskenään yhtä pitkiä.

Ratkaisu

Tarkastellaan ensin kolmioita OO'B ja OO'A . Kolmioiden sivut ja ovat yhteneviä, sillä ne ovat saman ympyrän säteitä. Samoin sivut O'B ja O'A ovat yhteneviä, sillä ne ovat saman ympyrän säteitä. Sivu OO' on molemmissa kolmioissa sama, joten kolmiot ovat yhteneviä (eli niiden kaikki mitat ovat yhtä suuria). Tällöin myös janat ja ovat keskenään yhtä pitkiä.

Kuvassa piste on janojen ja OO' leikkauspiste, jolloin kulmat BCO ja OCA muodostavat oikokulman. Tarkastellaan seuraavaksi kolmioita BCO ja ACO . Sivut ja ovat yhteneviä (kuten aiemmin todettiin). Lisäksi sivu on yhteinen kummallekin kolmiolle. Lisäksi kulmat COB ja AOC ovat yhteneviä, sillä kolmiot OO'B ja OO'A ovat yhteneviä (kuten aiemmin todettiin). Näin ollen kolmioiden BCO ja ACO on oltava yhtenevät ja kulmien BCO ja OCA on myös oltava yhtenevät. Tällöin $BCO=OCA = \frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$ .

# pinta-ala-teht

4.2 Pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Pinta-ala.

# teht_koydella_rajataan_alue

4.2.1 Tehtävä

150 metrin köydellä rajataan alue. Laske alueen pinta-ala, kun se on muodoltaan

neliön muotoinen.

# koysi_nelio

ympyrän muotoinen.

# koysi_ympyra

# teht_ympyra_arkilla

4.2.2 Tehtävä

Piirretään A4-arkille ( $210 \text{ mm} \times 297 \text{ mm}$ ) mahdollisimman suuri ympyrä. Mikä on tämän ympyrän pinta-ala?

# a4

# keskuskulma

4.3 Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala.

# teht_sektorin_ala

4.3.1 Tehtävä

# sektori1

# teht_sektorin_keskuskulma

4.3.2 Tehtävä

Ympyräsektorin pinta-ala on 52,9 ja sen säde on 5,4 . Kuinka suuri on sektorin keskuskulma?

# sektori2

# teht_pizzapalat

4.3.3 Tehtävä

Kumpi alla olevista pizzapaloista kannattaa ottaa, jos haluaa rahalleen eniten vastinetta?

# pizzapalat

# teht_kuulantyonto

4.3.4 Tehtävä

Alla on kuva kuulantyöntöringistä ja -sektorista. Ringin halkaisija on jalkaa eli $2,135 \text{ m}$ .

Kuulantyöntösektori peitetään hiekalla. Kuinka suuri pinta-ala peitetään? Rinkiin ei laiteta hiekkaa.

# kuulantyonto_a

Sektori ja rinki ympäröidään ulkoreunoja pitkin merkintänauhalla. Kuinka paljon nauhaa tarvitaan?

# kuulantyonto_b

# teht_lammas

4.3.5 Tehtävä

Lammas on kiinnitetty $10 \text{ m}$ pitkällä hihnalla aidoitetun alueen kulmaan. Laske, kuinka suurelta alueelta lammas voi syödä ruohoa.

# lammas

# teht_ark11T3

4.3.6 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2011, 3)

Sata metriä pitkä köysi katkaistaan kahteen osaan. Toisesta osasta muodostetaan ympyrän ja toisesta neliön piiri. Kuvioiden pinta-alojen halutaan olevan samat. Miten naru on katkaistava?

Vihje

Tee yhtälöryhmä, jossa tuntemattomat muuttujat ovat neliön sivun pituus a ja ympyrän säde r.

# sadan_metrin_koysi

# teht_S18T11

4.3.7 Tehtävä (S2018/11)

Alla olevien kuvioiden kaksi tilannetta ovat syntyneet erään abiturientin harjoitellessa dynaamisen matematiikkaohjelman käyttöä. Tehtävänä on auttaa häntä viemään tarkastelu loppuun molemmissa tapauksissa.

Mitä ympyrään liittyvää lausetta abiturientti tutkii kuvassa 1? Kirjoita lause mahdollisimman täsmällisiä termejä käyttämällä.
Abiturientti tarkastelee kuvassa 2 näkyvän kolmion merkillistä pistettä . Mikä tämä piste on? Minkä pisteeseen liittyvän geometrisen ominaisuuden abiturientti voi todentaa, jos hän piirtää ympyrän, jonka keskipisteenä on ja jonka säde on sopivan mittainen?
Perustele joko a-kohdan lause, kun pisteet , ja ovat samalla suoralla, tai b-kohdan ominaisuus.

Ratkaisu

# janne-teht

4.4 Jänne, segmentti

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Jänne, segmentti.

# teht_segmentin_ala

4.4.1 Tehtävä

Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on $138^{\circ}$ . Mikä on pienemmän muodostuvan segmentin pinta-ala?

# segmentti1

# teht_suuremman_segmentin_ala

4.4.2 Tehtävä

Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on $300^{\circ}$ . Mikä on suuremman muodostuvan segmentin pinta-ala?

# segmentti2

# teht_segmentin_ala2

4.4.3 Tehtävä

Ympyrän halkaisija on . Ympyrään on piirretty segmentti, jota vastaavan kaaren pituus on . Kuinka suuri on pienemmän segmentin pinta-ala?

# segmentti3

# teht_ympyraneljannes

4.4.4 Tehtävä

Kuinka monta prosenttia ympyräneljännekseen piirretyn segmentin pinta-ala on koko ympyrän pinta-alasta? Ympyrän säde on .

# ympyraneljannes

# teht_ark15T4

4.4.5 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2015/4)

Kaksi majakkaa sijaitsee kilometrin etäisyydellä toisistaan. Veneen etäisyys merellä (tasopinta) on korkeintaan kilometriä kummastakin majakasta. Laske sen alueen pinta-ala neliökilometreissä, jolla vene voi olla.

Vihje

# majakat

# tangentti-teht

4.5 Tangentti, tangenttikulma

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Tangentti, tangenttikulma.

# teht_tangenttikulma1

4.5.1 Tehtävä

Ratkaise alla olevasta kuvasta $\alpha$ ja $\beta$ .

# tangenttikulmat1

# tangenttikulmat2

# teht_vesitorni

4.5.2 Tehtävä

Kuinka pitkälle $53 \text{ m}$ korkeasta vesitornista voi nähdä? Maapallon säde on $6370 \text{ km}$ . Oletetaan, että katsojan silmät ovat myös $53 \text{ m}$ korkeudella maan pinnasta. Piirrä ensin mallikuva tilanteesta.

Mallikuva

Huom! Mallikuva ei ole mittakaavassa!

Tehtävässä tulee ratkaista kuvaan merkitty pituus .

# vesitorni

# teht_tangenttikulma2

4.5.3 Tehtävä

Ympyrälle piirretään tangentit kehän ulkopuolisesta pisteestä . Tangenttien sivuamispisteet ja ovat etäisyydellä pisteestä . Piirretään ympyrälle vielä yksi tangentti pisteen kautta. Olkoon tämän tangentin ja aiempien tangenttien leikkauspisteet ja . Laske kolmion ABC piiri. [H]

Vihje

Pisteet A, B ja C ovat tangenttikulmien kärkiä, eli ne ovat yhtä etäällä molemmista tangenttipisteistään.

# tangenttikolmio

# keskuskulma-teht

4.6 Keskuskulma, kehäkulma

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kehäkulma.

# teht_kehakulma1

4.6.1 Tehtävä

Määritä kulman $\alpha$ suuruus.

# kehakulma

# teht_kehakulma2

4.6.2 Tehtävä

Määritä kulman $\alpha$ suuruus.

# kehakulma_2

# teht_kehakulma3

4.6.3 Tehtävä

Ratkaise alla olevasta kuvasta kulmat $\alpha$ ja $\beta$ .

# kehakulma_3a

# kehakulma_3b

# teht_jannenelikulmio

4.6.4 Tehtävä

Jos nelikulmion kaikki kulmat ovat saman ympyrän kaarella, nelikulmiota kutsutaan jännenelikulmioksi. Osoita, että jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on aina $180 ^{\circ}$ .

Vihje

Kokeile käyttää kehäkulmalausetta.

Ratkaisu

Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.

Kulmat ABD ja ACD ovat yhtä suuria, sillä ne ovat samaa kaarta vastaavia kehäkulmia.

Vastaavasti kulmat BDA ja BCA ovat yhtä suuria, sillä ne ovat samaa kaarta vastaavia kehäkulmia.

Kolmiosta ABD huomataan, että $DAB=180^{\circ}-(BDA+ABD)$ . Aiemmista kohdista tiedetään, että BCD=ACD+BCA=ABD+BDA . Sijoitetaan tämä aiempaan yhtälöön, jolloin saadaan $DAB = 180^{\circ} - BCD$ $\Leftrightarrow DAB + BCD = 180^{\circ}$ . Eli jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on $180^{\circ}$ .

4.7 Sekalaisia tehtäviä

Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun aiheisiin liittyviä tehtäviä.

# teht_tukkikasa

4.7.1 Tehtävä

Laske tukkikasan korkeus, kun tukin säde on $40,0 \text{ cm}$ . Oletetaan tukkien poikkileikkaukset ympyröiksi. Ympyrät sivuavat toisiaan.

# tukkikasa

# teht_ympyrat_neliossa

4.7.2 Tehtävä

Ratkaise alla olevan kuvan pienemmän ympyrän halkaisija isomman ympyrän säteen avulla.

Vihje

Verranto: $\dfrac{d}{k}=\dfrac{2a}{2a+k}$

# iso_pieni_ympyra

# teht_venalainen_kolmio

4.7.3 Tehtävä

Valitaan mielivaltaisesti piste positiiviselta -akselilta väliltä ]0,1[ ja piste positiiviselta -akselilta väliltä ]0,1[ . Valitaan piste origokeskeisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion ABC piiri on enemmän kuin 2. [H]

Voit käyttää hahmottamisessa apuna alla olevaa GeoGebra-applettia. Huomaa kuitenkin, että appletissa voit raahata pisteet janojen päätepisteisiin asti, mikä ei tehtävänannossa ole sallittua.

# venalainen-kolmio-geo

Ratkaisu

Tehtävän voi ratkaista monella eri tavalla, joista tässä on vain yksi. Käytetään alla olevan kuvan merkintöjä.

Peilataan piste -akselin suhteen, jolloin saadaan piste . Tehdään samoin -akselin suhteen, jolloin saadaan piste C'' . Symmetrian vuoksi BC=BC' ja samoin AC=AC'' . Kolmion ABC piiri on siis sama kuin murtoviivan C'BAC'' pituus.

Huomataan, että janan C'C'' pituus on , sillä se on ympyrän halkaisija. Murtoviiva pisteiden ja C'' välillä on välttämättä pidempi kuin pisteiden välinen suora etäisyys eli . Kolmion ABC piirin on siis pakko olla suurempi kuin .

# teht_kulma

4.7.4 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa piste on ympyrän keskipiste ja pisteet , ja ovat ympyrän kehän pisteitä. Piste on suorien ja leikkauspiste ja janat ja ovat yhtä pitkät. Kulman $\angle BPA$ suuruus on $69^{\circ}$ . Kuinka suuri on kulma $\alpha$ ? [H]

# vieruskulmat

# teht_suorakulmio_neljannesympyra

4.7.5 Tehtävä

Neliön sisään piirretään neljännesympyrä siten, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat ja . Kuinka pitkä on neliön sivu?

# suorakaide-neljannesympyralla-geo

# suorakaide_neljannesympyralla

# teht_kaarien_rajaama_alue

4.7.6 Tehtävä

Ympyränkaaret, joiden säteet ovat ja , leikkaavat alla olevan GeoGebra-appletin mukaisesti. Mikä on kaarien rajaaman alueen pinta-ala? [T]

# kaarien-rajaama-ala-geo

Vihje 2

Alue voidaan laskea kahden segmentin pinta-alojen summana.

# kaarien_rajaama_alue

# teht_suurempi_piiri

4.7.7 Tehtävä

Neliön kaksi kärkeä ja näiden vastaisen sivun keskipiste ovat ympyrän kehällä.
Kummalla on suurempi piiri, neliöllä vai ympyrällä? [H]

Vihje

# nelion-ja-ympyran-piirit

# teht_K16T7

4.7.8 Tehtävä (K2016/7)

Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat , ja ja niiden säteet samassa järjestyksessä , ja . Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen?

# K16T7

# teht_S14T14

4.7.9 Tehtävä (S2014/14)

Tarkastellaan ympyrää ja sen ulkopuolella olevaa pistettä .

Pisteestä piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän neljässä eri pisteessä , , ja kuvion mukaisesti. Osoita, että kolmiot ja ovat yhdenmuotoiset.

Osoita, että $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .
Erikoistapauksessa toinen suorista sivuaa ympyrää. Osoita, että tällöin pätee $(PA)^2=PC \cdot PD$ .

Todista edellisten kohtien avulla Pythagoraan lause tutkimalla alla olevan kuvion kolmiota, jonka kärki on ympyän keskipisteessä ja kärki on ympyrän kehällä.

Ratkaisu

Piirretään janat ja . Tällöin $\angle CBA = \angle CDA$ samaa kaarta vastaavina kehäkulmina. Lisäksi kolmioilla on yhteinen kulma $\angle APC$ . Täten yhdenmuotoisuuslauseen KK mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoisia.

Yhdenmuotoisuuden nojalla $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$ , josta saadaan ristiin kertomalla $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

Olkoon ympyrän keskipiste. Piirretään janat ja ja merkitään $\angle CDA = \alpha$ . Tällöin $\angle CKA = 2 \alpha$ , koska se on samaa ympyrän kaarta vastaava keskuskulma. Tasakylkisen kolmion kulmille pätee $\angle KCA = \angle CAK=90^{\circ}-\alpha$ . Koska $\angle KAP = 90^{\circ}$ , niin $\angle CAP = 90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha$ . Kolmioissa ja on kaksi yhtä suurta kulmaa, joten ne ovat yhdenmuotoiset, mistä seuraa $(PA)^2=PC \cdot PD$ .

Merkitään kolmion kärkiä , ja . Hypotenuusa leikkaa ympyrää pisteessä . Jatketaan hypotenuusaa säteellä , jolloin jatke kohtaa ympyrän pisteessä . B-kohdan nojalla pätee $PA^2=PE \cdot PD$ . Merkitään ja , jolloin , josta Pythagoraan lause seuraa.

# teht_K14T14

4.7.10 Tehtävä (K2014/14)

Erään tarinan mukaan ihmiskunta kokeili liikkumista säännöllisten monikulmioiden avulla, ennen kuin pyörä keksittiin.

Tasasivuinen kolmio kiertyy oikealle kuvion mukaisesti, kunnes kärki osuu uudelleen alustaan. Kärki piirtää kuvion mukaisen käyrän. Laske käyrän pituus, kun kolmion piiri on .

# K14T14a

Hahmottele vastaavat käyrät neliön ja kuusikulmion tapauksessa. Kummassakin tapauksessa monikulmio kiertyy niin monta kertaa, että vasemmalla alhaalla oleva kärki osuu uudelleen alustaan.

Ratkaisu

Laske b-kohdan käyrän pituus neliölle, jonka piiri on .

# K14T14c

Laske b-kohdan käyrän pituus kuusikulmiolle, jonka piiri on .

# K14T14d

# teht_monikulmio_ympyrassa

4.7.11 Tehtävä

Mikä on suurimman mahdollisen -säteisen ympyrän sisään mahtuvan säännöllisen -kulmion pinta-ala?

Ratkaisu

Tehtävän voi ratkaista monilla eri tavoilla, joista tässä esitetään vain yksi. Käytetään hyväksi alla olevaa kuvaa.

Jos monikulmiossa on kulmaa, jaetaan monikulmio kolmioon. Kolmiot muodostetaan piirtämällä janat ympyrän keskipisteestä monikulmion jokaiseen kulmaan. Kolmion kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on $\frac{360^{\circ}}{n}$ . Tämän kulman viereiset sivut ovat ympyrän säteen mittaisia. Kolmion pinta-alan trigonometrisella kaavalla saadaan yhden kolmion alaksi $A_k = \frac{r^2}{2} \cos \left( \frac{360^{\circ}}{n} \right).$ Koska kolmioita muodostuu monikulmion sisään kappaletta, on koko monikulmion pinta-ala $A=n \cdot A_k = \frac{r^2n}{2} \cos \left( \frac{360^{\circ}}{n} \right).$

# teht_ympyrat_ympyrassa

4.7.12 Tehtävä

Alla olevassa GeoGebra-appletissa on isompi -säteinen ympyrä, jonka sisällä on kolme pienempää -säteistä ympyrää. Määritä pienempi säde isomman säteen avulla.

# kolme-ympyraa-ympyrassa-geo

# kolme-ympyraa-ympyrassa

# teht_K12T11

4.7.13 Tehtävä (K2012/11)

Tasasivuisen kolmion K_1 sivun pituus on . Sen sisään asetetaan ympyrä Y_1 , joka sivuaa kolmion kylkiä. Tämän ympyrän Y_1 sisään asetetaan tasasivuinen kolmio K_2 , jonka kärjet ovat ympyrällä Y_1 . Jatkamalla näin saadaan oheisen kuvan mukainen päättymätön jono ympyröitä $Y_1,Y_2,\ldots$ Laske ympyröiden pinta-alojen summa.

# ympyra_kolmiossa

Ratkaisu

# teht_K12T15

4.7.14 Tehtävä (K2012/15)

Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ja -akselia alla olevan kuvan mukaisesti. Määritä ympyröiden keskipisteiden vaakaruoda etäisyys d niiden säteiden avulla lausuttuna.

Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ja -akselia alla olevan kuvan mukaisesti. Määritä keskimmäisen ympyrän säde kahden reunimmalisen ympyrän säteiden avulla lausuttuna.

Todista René Descartesin (1596-1650) keksimä b-kohdan ympyröihin liittyvä kaava jossa $k_i=\frac{1}{r_i}, \, i=1,2,3.$

Ratkaisu

Yhdistetään ympyröiden keskipisteet janalla, jonka pituus on ja lisäksi piirretään -säteisen ympyrän keskipisteestä -akselin suuntainen jana -säteisen ympyrän säteelle.

Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat ja r_2-r_1 ja hypotenuusan pituus on r_1+r_2 . Pythagoraan lauseen avulla saadaan $\begin{aligned} d^2+(r_2-r_1)^2 &= (r_1+r_2)^2 \\ d^2+r_2^2-2r_1r_2+r_1^2 &= r_1^2+2r_1r_2+r_2^2 \\ d^2 &= 4r_1r_2 \\ d &= 2 \sqrt{r_1r_2} \end{aligned}$

Piirretään -säteisen ympyrän keskipisteestä -akselin suuntainen jana -säteisen ympyrän säteelle ja yhdistetään - ja -säteisten ympyröiden keskipisteet. Saadaan alla olevan kuvan mukainen suorakulmainen kolmio.

Ratkaistaan Pythagoraan lauseella d_1 $\begin{aligned} d_1^2+(r_1-r_3)^2 &= (r_1+r_3)^2 \\ d_1^2 + r_1^2-2r_1r_3+r_3^2 &= r_1^2+2r_1r_3+r_3^2 \\ d_1 &= 2 \sqrt{r_1r_3} \end{aligned}$

Vastaavasti saadaan toiselle puolelle suorakulmainen kolmio, josta r_3 - ja r_2 -säteisten ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys $d_2=2 \sqrt{r_2r_3}$ . Edellisen kohdan mukaan d=d_1+d_2 eli $2 \sqrt{r_1r_2} = 2 \sqrt{r_1r_3}+2 \sqrt{r_2r_3}$ josta saadaan $r_3=\frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2}.$

Avataan annetun lausekkeen sulkeita $\begin{aligned} (k_1+k_2+k_3)^2 &= 2(k_1^2+k_2^2+k_3^2) \\ k_1^2+k_2^2+k_3^2+2k_1k_2+2k_1k_3+2k_2k_3 &= 2k_1^2+2k_2^2+2k_3^2 \\ k_1^2+k_2^2+k_3^2 &= 2k_1k_2+2k_1k_3+2k_2k_3 \end{aligned}$ Nyt $k_1=\frac{1}{r_1}$ , $k_2=\frac{1}{r_2}$ ja $k_3=\frac{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2}{r_1r_2}$ . Sijoitetaan nämä aiempaan yhtälöön ja sievennetään, jolloin vasen puoli on $k_1^2+k_2^2+k_3^2 = \frac{2}{r_1^2}+\frac{2}{r_2^2}+\frac{6}{r_1r_2}+\frac{4}{r_1 \sqrt{r_1r_2}}+\frac{4}{r_2 \sqrt{r_1r_2}}$ ja oikea puoli $2k_1k_2+2k_1k_3+2k_2k_3 = \frac{2}{r_1^2}+\frac{2}{r_2^2}+\frac{6}{r_1r_2}+\frac{4}{r_1 \sqrt{r_1r_2}}+\frac{4}{r_2 \sqrt{r_1r_2}}.$ Koska lausekkeet ovat yhtä suuret, on kaava oikea.

# teht_viisikulmio_ympyrassa

4.7.15 Tehtävä

Ympyrän, jonka halkaisija on $5,0 \text{ cm}$ sisälle piirretään mahdollisimman suuri viisikulmio. Määritä viisikulmion pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella.

# viisikulmio_ympyrassa

# teht_lehma

4.7.16 Tehtävä

Kuinka suurella alueella lehmä voi laiduntaa, kun sen kaulassa oleva köysi on kytketty kuvan mukaisesti ladon seinustalle pisteeseen ja köyden pituus on $4 \text{ m}$ ?

# lehmalato

# teht_reuleaux

4.7.17 Tehtävä

Piirrä GeoGebralla Reuleaux'n kolmio alla olevilla ohjeilla.

Piirrä GeoGebralla tasasivuinen kolmio. Valitse aluksi työkalun alta lisää ja uudelleen lisää, jolloin saat kaikki työkalut näkyviin.
Valitse Ympyrät-otsikon alta Ympyränkaari-työkalu ja valitse kolmion kärkipisteet vastapäivään kiertäen.
Toista sama vielä kaksi kertaa niin, että aloitat joka kerta eri kärjestä.
Piilota alkuperäinen kolmio. Valitse Muokkaus-otsikon alta Näytä/piilota objekti. Tämän jälkeen valitse piilotettavat kohteet piirtoalueelta.
Lopuksi kokeile siirtää kolmion kärkipisteitä. Pysyykö konstruktiosi kasassa?

# releaux_piirto

# teht_reuleaux_ala

4.7.18 Tehtävä

Jos tasasivuisen kolmion sivun pituus on , mikä on sen ympärille piirretyn Reuleaux'n kolmion pinta-ala?

# reuleaux

# releaux_pinta-ala

Lisätietoa

Mielenkiinnosta voit tutkia myös alla olevaa GeoGebra-applettia. Kokeile muuttaa

ympyrän säde
kolmion "sisäsäde"
kiertosuunta

liukusäätimiä ja katso, miten Reuleaux'n kolmion kärkipisteiden muodostama punaisella merkitty ura muuttuu. Paina Aloita animaatio, jolloin saat kolmion pyörimään.

# pyoriva_reuleaux

# teht_reuleaux_kukka

4.7.19 Tehtävä

Laske varjostetun alueen pinta-ala. Ympyröiden keskipisteet ovat toistensa kehillä, eli jokaisen ympyrän säde on .

# geo_reuleaux_kukka

# releaux_kukka

# teht_kolme_ympyraa

4.7.20 Tehtävä

Samasta keskipisteestä piirretään kolme ympyrää joiden säteet ovat , ja . Tasasivuisen kolmion kärjet ovat näillä ympyröillä. Määritä kolmion sivun pituus.

Vihje 1

Osoita, että ABOC on jännenelikulmio. Jännenelikulmiossa lävistäjien tulo on yhtä suuri kuin vastakkaisten sivujen tulojen summa.

Vihje 2

Jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on $180^{\circ}$ .

# kolmoisympyrat

5. Avaruusgeometria: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä kappaleeseen Avaruusgeometria liittyen.

# kulmia-avaruudessa

5.1 Kulmia avaruudessa

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kulmia avaruudessa.

# teht_avaruuslavistaja

5.1.1 Tehtävä

# avaruuslavistaja

# teht_avaruuskulma

5.1.2 Tehtävä

Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon sivujen pituudet ovat x=10 , y=3 ja z=8 . Laatikon sisään asetetaan lauta kuvan mukaisesti. Kuinka suuri on laatikon pohjan ja laudan välinen kulma?

# avaruuslavistaja_kulma

# teht_pahvikuutio

5.1.3 Tehtävä

Matti valmistaa pahvista kuution, jonka sivun pituus on $20 \text{ cm}$ .

Kuinka paljon pahvia tarvitaan kuution tekoon?

# pahvikuutio_1

Matti haluaa asettaa kuution sisään mahdollisimman pitkän ohuen riman. Kuinka pitkä rima kuutioon mahtuu?

# pahvikuutio_2

# pallo-teht

5.2 Pallo

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Pallo.

# teht_auringonpimennys

5.2.1 Tehtävä

Täydellisessä auringonpimennyksessä kuu peittää maasta katsottuna auringon kokonaan. Jos auringon etäisyys maasta on 387 -kertainen kuun etäisyyteen maasta, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna?

# auringonpimennys

# teht_K16T6

5.2.2 Tehtävä (K2016/6)

Maapallon säde on $6371 \text{ km}$ , ja sen pohjoisen napapiirin leveysaste on 66,5 . Pohjoiselta napapiiriltä valitaan pisteet ja , joiden pituusasteiden erotus on astetta.

Määritä pisteiden ja välisen viivasuoran tunnelin pituus.

# K16T6a

Määritä pisteiden ja välisen lyhimmän napapiirin kaaren pituus.

# K16T6b

# teht_puolipallon_tilavuus

5.2.3 Tehtävä

Pallon pinta-ala on $2,5 \text{ m}^2$ . Pallo jaetaan kahteen yhtä suureen osaan. Laske muodostuvan puolipallon tilavuus.

# puolipallon_tilavuus

# teht_maapallon_vesi

5.2.4 Tehtävä

Vesi peittää noin $70 \%$ maapallon pinnasta. Jos maapallon säde on noin $6 370 \text{ km}$ , kuinka suuren pinta-alan vesi peittää?

# veden_pinta_ala

# teht_maapallon_vedet2

5.2.5 Tehtävä

Maapallon vesien yhteenlaskettu määrä on noin $1,386 \cdot 10^9 \text{ km}^3$ . Oletetaan, että maapallon säde on noin $6370 \text{ km}$ ja että maapallo on täydellinen pallo. Jos kaikki vesi levittäytyisi maapallon pinnalle tasaisesti, kuinka syvä vesikerros olisi?

# maapallon_vedet2

# lierio-teht

5.3 Lieriö

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Lieriö.

# teht_aakkoskarkki

5.3.1 Tehtävä

Palaa tehtävään, jossa laskettiin aakkoskarkin pinta-alaa. Jos aakkoskarkin paksuus on $0,7 \text{ cm}$ , mikä on yhden karkin tilavuus?

# aakkostilavuus

Jos karkin tiheys on $1,5 \text{ g/cm}^3$ ja yksi pussi painaa $315 \text{ g}$ , kuinka monta karkkia yhdessä pussissa on?

# aakkostilavuus2

# teht_vesitorni

5.3.2 Tehtävä

Vesitornin sylinterin muotoiseen säiliöön mahtuu vettä $4000 \text{ m}^3$ ja säiliön korkeus on metriä. Mikä on säiliön halkaisija?

# vesitorni

# teht_maitotolkki

5.3.3 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on havainnekuva maitotölkistä sekä tölkin mitat (senttimetreinä). Laske koko tölkin tilavuus.

# maitotolkki

# teht_muurahainen

5.3.4 Tehtävä

Muurahainen aloittaa kulkunsa kuution kulmasta. Kuution särmän pituus on . Mikä on lyhin matka, jonka kulkemalla muurahainen pääsee kuution vastakkaiseen kulmaan?

# muurahainen-geo

# muurahaisen_matka

# teht_kuutio_pallossa

5.3.5 Tehtävä

Jos pallon tilavuus on , mikä suurimman sen sisään mahtuvan kuution tilavuus?

# kuutio_pallossa

# teht_pallo_lieriossa

5.3.6 Tehtävä

Mahdollisimman pienen ympyräpohjaisen lieriön sisälle laitetaan mahdollisimman suuri pallo. Määritä pallon tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen.

# pallo_lieriossa

# teht_preliK17T5

5.3.7 Tehtävä (Pitkän matematiikan preli K2017/5)

Yritys lähettää tuotteitaan asiakkaille suorakulmaisen särmiön muotoisessa laatikossa, jossa sivujen suhteet ovat laatikon sisällä 1 : 3 : 6 .

Erääseen lähetykseen pakataan kolme suoraa ympyräpohjaista metallilieriötä, joiden korkeus on sama kuin laatikon pisimmän sivun pituus ja pohjan halkaisija on yhtä pitkä kuin laatikon lyhin sivu. Tyhjä tila täytetään styroksilla. Mikä on lieriöiden täyttämän tilan ja laatikon tilavuuksien suhde?

# sarmio_1

Kuinka monta prosenttia laatikon tilavuudesta on styroksia?

# sarmio_2

Jos laatikon tilavuus on litraa, niin mahtuuko laatikkoon metallipallo, jonka säde on $5,0 \text{ cm}$ ?

# sarmio_3

# teht_S15T3b

5.3.8 Tehtävä (S2015/3b)

Laske kuution yhden sivutahkon pinta-ala neliösenttimetrin tarkkuudella, kun kuution tilavuus on 7,0 litraa.

# S15T3b

# teht_S15T9

5.3.9 Tehtävä (S2015/9)

Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on $5,0 \text{ cm}$ . Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on $1,0 \text{ cm}$ . Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus posenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.

Vihje

# S15T9

# teht_K15T8

5.3.10 Tehtävä (K2015/8)

Öljysäiliö on suoran ympyrälieriön muotoinen, ja sen akseli on vaakasuorassa. Akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen halkaisija on 1,3 metriä.

Määritä säiliön pituus, kun sen tilavuus on $3 \, 000$ litraa.

# S15T8

Öljyn korkeudeksi syvimmässä kohdassa mitataan senttimetriä. Kuinka monta litraa öljyä on jäljellä säiliössä?

Vihje

# K15T8b

# teht_K13T10

5.3.11 Tehtävä (K2013/10)

Oheisen kuution särmän pituus on . Sen sisällä on punainen pallo, joka sivuaa jokaista kuution tahkoa. Kuution yhdessä kulmassa on pienempi sininen pallo, joka sivuaa suurta palloa ja kolmea kuution tahkoa kuvion mukaisesti. Laske sinisen pallon säteen tarkka arvo.

Vihje

Kuution poikkileikkaus pohjan lävistäjän mukaisesti, eli l on kuution avaruuslävistäjä.

# sininen_pallo

# kartio-teht

5.4 Kartio

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kartio.

# teht_kartion_tilavuus

5.4.1 Tehtävä

# kartio1

# teht_suoran_ympyrakartion_tilavuus

5.4.2 Tehtävä

# kartio2

# teht_katkaistu_kartio1

5.4.3 Tehtävä

Suoran ympyräkartion pohjan säde on ja sen korkeus on . Kartion huipusta katkaistaan pienempi suora ympyräkartio. Tämän pienemmän kartion pohjan säde on . Kuinka korkea pienempi kartio on?

# katkaistu_kartio

# kartio_yhdenmuotoisuus

# teht_katkaistu_kartio2

5.4.4 Tehtävä

Olkoon edelleen kartion pohjan säde ja korkeus . Sen huipusta leikataan pois pienempi kartio, jonka pohjan säde on . Mikä on jäljelle jäävän osan tilavuus?

# katkaistu_kartio_tilavuus

# teht_suoran_ympyrakartion_tilavuus2

5.4.5 Tehtävä

Suoran ympyräkartion korkeus on ja pohjan säde . Kartion huipulta katkaistaan pienempi kartio, jonka korkeus on $\frac{1}{4}h$ . Kuinka moninkertainen ison kartion tilavuus on verrattuna pienempään kartioon?

# katkaistu_kartio_tilavuus2

# teht_suoran_ympyrakartion_vaippa

5.4.6 Tehtävä

# kartio_sivutahko

# teht_kheopsi

5.4.7 Tehtävä

Kheopsin pyramidin muoto on lähellä neliöpohjaista kartiota. Matti mittaa pyramidin pohjan sivun pituudeksi $230 \text{ m}$ ja kuulee oppaalta pyramidin korkeuden olevan $137 \text{ m}$ . Laske annettujen tietojen avulla arvio pyramidin tilavuudelle.

# kheopsi

# teht_kartion_pohja

5.4.8 Tehtävä

$3,0 \text{ m}$ korkean kartion pohja muodostuu tasasivuisesta kolmiosta. Kartion tilavuus on $150 \, \ell$ . Määritä pohjakolmion sivun pituus.

# kartion_pohjan_sivun_pituus

# teht_jaatelotottero

5.4.9 Tehtävä

Kartion muotoisen jäätelötötterön sivun pituus on $15 \text{ cm}$ ja sen suuaukon halkaisija on $8 \text{ cm}$ . Jäätelötötteröön asestetaan täsmälleen pallon muotoinen jäätelöpallo, jonka halkaisija on $8 \text{ cm}$ . Jos pallon annetaan sulaa kokonaan, mahtuuko se jäätelötötterön sisään?

# jaatelo

# teht_K12T9

5.4.10 Tehtävä (K2012/9)

Suoran ympyräkartion korkeus on $5,0 \text{ cm}$ , ja sen pohjan säde on $2,0 \text{ cm}$ . Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on $1,0 \text{ cm}$ . Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritellään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.

Vihje

# K12T9

# teht_K16T13

5.4.11 Tehtävä (K2016/13)

Olkoon , ja positiivisia reaalilukuja. Tetraedrin kolme kärkeä ovat koordinaattiakseleiden pisteissä (a,0,0) , (0,b,0) ja (0,0,c) , ja neljäs kärki on origossa (0,0,0) . Kärkien vastaisten tetraedrin tahkojen pinta-aloja merkitään samassa järjestyksessä kirjaimilla , , ja , jossa tarkoittaa origon vastaisen tahkon pinta-alaa. Osoita, että A^2+B^2+C^2=D^2.

Vinkki: Luo GeoGebralla liukusäätimet , ja ja luo tarvittavat pisteet niiden avulla. Tarkastele syntyvää kappaletta ja lue ohjeet tarkasti.

Ratkaisu

Tetraedrin pohjakolmion sivut ovat $\sqrt{a^2+b^2}$ , $\sqrt{b^2+c^2}$ ja $\sqrt{a^2+c^2}$ . Alla olevan kuvan merkinnöin saadaan $\left\{ \begin{aligned} x^2+h^2 &= b^2+c^2 \\ (\sqrt{a^2+b^2}-x)^2 + h^2 &= a^2+c^2 \end{aligned} \right.$

Vähennetään yhtälöt puolittain, jolloin saadaan $x^2-a^2-b^2+2x \sqrt{a^2+b^2}-x^2 = b^2-a^2$ josta saadaan $x=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ Tällöin $\begin{aligned} h &= \sqrt{b^2+c^2-x^2} \\ &= \sqrt{b^2+c^2-\frac{b^4}{a^2+b^2}} \\ &= \sqrt{\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)-b^4}{a^2+b^2}} \\ &= \sqrt{\frac{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}{a^2+b^2}}. \end{aligned}$ Saadaan siis $D=\frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2}h$ $=\frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$ . Koska akselitasossa olevien kolmioiden alat ovat $A=\frac{1}{2}bc$ , $B=\frac{1}{2}ac$ ja $C=\frac{1}{2}ab$ , niin $A^2+B^2+C^2=\frac{1}{4}(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)=D^2$ .

5.5 Sekalaisia tehtäviä

Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun aiheisiin liittyviä tehtäviä.

# teht_S16T6

5.5.1 Tehtävä (S2016/6)

Vesikaukalon päädyt ovat tasasivuisen kolmion muotoiset, ja kolmion sivujen pituus on . Kaukalon pohja muodostuu kahdesta suorakulmion muotoisesta levystä, joiden pituus on .

Vaakasuorassa oleva kaukalo on aluksi täynnä vettä. Sitä kallistetaan pituussuunnassa niin, että vedenpinta ulottuu vasemmanpuoleisen päätykolmion alakulmaan alla olevan kuvion mukaisesti. Kuinka monta prosenttia vedestä valuu pois kallistuksen aikana?

# S16T6a

Tämän jälkeen kaukalo palautetaan takaisin vaakasuoraan asentoon. Kuinka korkealla vedenpinta on kaukalon syvimmästä kohdasta mitattuna?

Vihje

Vesi muodostaa nyt särmiön, jonka pohjana on tasakylkinen kolmio. Muodosta lauseke vesisärmiön tilavuudelle ja vertaa sitä a-kohtaan.

# S16T6b

6. Harjoituskoe MAA3

Tällä sivulla on harjoituskoe MAA3-kurssille. Jokaisesta tehtävästä saa tässä kokeessa vain yhden pisteen oikeasta vastauksesta, mutta oikeassa kurssikokeessa ja ylioppilaskirjoituksissa tehtävän välivaiheet huomioidaan myös pisteytyksessä.

# teht_pythagoras

6.1 Tehtävä

Joni vetää pulkkaa $1,6 \text{ m}$ pitkällä narulla ja Jonin käsi on $0,75 \text{ m}$ korkeudella maasta. Kuinka kaukana Jonin takana on pulkan etureuna?

# pythagoras

# teht_kosinilause

6.2 Tehtävä

Määritä alla olevan kolmion sivun pituus kertoimen avulla lausuttuna.

# kosinilause

# teht_kolmion_ala

6.3 Tehtävä

Laske edellisen tehtävän kolmion pinta-ala, kun $a=3,2 \text{ m}$ .

# kolmion_ala

# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot

6.4 Tehtävä

Tasaisella maalla $1,5 \text{ m}$ pituinen keppi astetaan $18 \text{ m}$ päähän puusta, jolloin kepin kärki yhtyy puun latvaan, kun niitä katsotaan maan pinnasta $38^{\circ}$ kulmassa. Kuinka korkea puu on?

# yhdenmuotoiset_kolmiot

# teht_sektori

6.5 Tehtävä

Ympyrän säde on ja sektoria vastaava keskuskulma on $77^{\circ}$ . Tasakylkisen kolmion huippukulma on myös $77^{\circ}$ ja sen kylkien pituudet ovat . Sektorin ja tasakylkisen kolmion pinta-alat ovat samat. Määritä .

# sektori

# teht_ympyra_kolmio

6.6 Tehtävä

Ratkaise alla olevaan kuvaan oranssilla merkityn kolmion ABD pinta-ala.

# ympyra_kolmio

# teht_vino_lierio

6.7 Tehtävä

Vinon ympyrälieriön sivun pituus on $20 \text{ cm}$ ja pohjaympyrän halkaisija $8 \text{ cm}$ . Lieriön sivun ja pohjan välinen kulma on $70^{\circ}$ . Mikä on lieriön tilavuus?

# vino_lierio

# teht_ympyra_kolmiossa

6.8 Tehtävä

Kolmion kärjet ovat pisteissä (1,1) , (3,5) ja (9.5,4) . Kuinka suuri on suurimman mahdollisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde? Määritä se alla olevan GeoGebra-appletin avulla. Tallenna säde muuttujaan nimeltä r.

# geo_ympyra_kolmiossa