1. Kuvioiden yhdenmuotoisuus: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät lukuun Kuvioiden yhdenmuotoisuus. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa luvussakin.

# yhdenmuotoisuus-teht

1.1 Yhdenmuotoisuus

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Yhdenmuotoisuus.

# teht_onko_yhdenmutoinen

1.1.1 Tehtävä

# onko_yhdenmuotoinen
# mittakaava-teht

1.2 Mittakaava eli yhdenmuotoisuussuhde

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Mittakaava eli yhdenmuotoisuussuhde.

# teht_mittakaava1

1.2.1 Tehtävä

Määritä alla olevan kuvan kolmioiden mittakaava, kun oikeanpuoleinen kolmio on saatu pienentämällä vasemmanpuoleinen kolmio.

 
 
# mittakaava1a

Mittakaava jakolaskuna (esim. kirjoitetaan 3/4)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S15T3a

1.2.2 Tehtävä (S2015/3a)

Kuntopolun pituus kartalla on . Mikä on polun pituus maastossa, kun kartan mittakaava on ? Anna vastaus metrin tarkkuudella.

# mittakaava1

Kuntopolun pituus metreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tyopaikan_etaisyys

1.2.3 Tehtävä

Kartan mittakaava on . Kallen työpaikan ja keskustan välimatka kartalla on . Kuinka paljon välimatka on luonnossa?

# mittakaava2

Välimatka kilometreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suomineito

1.2.4 Tehtävä

Mikä on kartan mittakaava, kun pitkä Suomineito on kartalla mittainen?

# mittakaava3

Mittakaava jakolaskuna (esim. kirjoitetaan 1/10000)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kukan_suurennos

1.2.5 Tehtävä

Biologian kirjassa on suurennos kukasta mittakaavassa . Jos kirjassa olevan kukan leveys on , kuinka leveä on alkuperäinen kukka?

# mittakaava4

Kukan leveys millimetreinä yhden millimetrin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_muurahaisen_suurennos

1.2.6 Tehtävä

Seuraavalla sivulla biologian kirjassa on suurennos muurahaisesta. Suurennoksen pituus on . Tekstissä kerrotaan muurahaisen pituuden luonnossa olevan . Mikä on suurennoksen mittakaava?

# mittakaava5

Suurennoksen mittakaava jakolaskuna ( syötetään 3, sillä , mutta syötetään 4/3)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kolmiot-teht

1.3 Kolmiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kolmiot.

# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot

1.3.1 Tehtävä

# kolmio_yhdenmuotoisuus
# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot1

1.3.2 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Päättele sivun pituus ja kulman suuruus.

 
 
# yhdenmuotoisuus1a

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# yhdenmuotoisuus1b

(ilmoita vastaus asteina ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot2

1.3.3 Tehtävä

 
 

Yllä olevat kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Päättele puuttuvat sivujen pituudet ja kulmien suuruudet. Huom! Käytä desimaalipistettä! Älä laita kulmien suuruuksiin astemerkkiä.

# yhdenmuotoisuus2a

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# yhdenmuotoisuus2b

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# yhdenmuotoisuus2alfa

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# yhdenmuotoisuus2beta

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# yhdenmuotoisuus2gamma

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_lipputanko

1.3.4 Tehtävä

Talon pihalla on lipputanko ja mittainen pystysuora keppi. Eräänä päivänä kepin varjon pituudeksi mitattiin ja lipputangon varjon pituudeksi . Kuinka korkea lipputanko on?

# lipputanko

Lipputangon korkeus pyöristettynä metrin tarkkuudelle ilman yksikköä

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_geogebra_taydennys

1.3.5 Tehtävä

Täydennä alla olevaa GeoGebra-appletti niin, että siinä on kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Käytä hyväksesi valmiina appletissa olevaa kolmion sivua.

Tarkista lopuksi, että piirtämäsi kolmion kulmien nimet ovat D, E ja F.

# geo-kolmioiden-piirto1
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Vinkkejä GeoGebran käyttöön

Merkitään jonon erotuslukua, eli peräkkäisten jäsenten erotusta kirjaimella , jolloin jonon jäseniä voidaan merkitä , ja .

2. Kolmioiden geometriaa: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät lukuun Kolmioiden geometriaa Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa luvussakin.

# pythagoras-teht

2.1 Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Suorakulmainen kolmio, Pythagoraan lause.

# teht_suorakulmaisen_hypotenuusa

2.1.1 Tehtävä

# pythagoras1

Jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat ja , kuinka pitkä on kolmion hypotenuusa?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S11T1b

2.1.2 Tehtävä (S2011/1b)

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on ja toisen kateetin pituus . Laske toisen kateetin pituus.

# pythagoras2
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S15T10

2.1.3 Tehtävä (S2015/10)

  1. Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet muodostavat geometrisen jonon. Määritä suhdeluku .
# s15t10a
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. Määritä suhde .
# s15t10b_a
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# s15t10b_b
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# s15t10b_c
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_geogebra_puu

2.1.4 Tehtävä

Seitsemän metriä korkea puu kasvaa kohtisuoraan maan pintaa vastaan. Puu taittuu kahden metrin korkeudelta niin, että puun latvaosa osuu maahan. Latva ja tyviosa eivät irtoa toisistaan. Piirrä tilanteesta mallikuva oikeanpuoleiselle piirtoalueelle (ei vaikuta tehtävän pisteytykseen) ja laske vasemmanpuoleiselle CAS-alueelle, kuinka suuri kulma on maanpinnan ja taittuneen latvan välillä.

Anna vastaus vasemmanpuoleisella CAS-alueella tallentamalla se muuttujaan nimeltä v. Pyöristä vastaus kokonaislukujen tarkkuudelle käyttämällä komentoa round.

# puu-kaatuu
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Vinkkejä GeoGebran käyttöön

# trig-teht

2.2 Trigonometriset funktiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Trigonometriset funktiot.

# teht_trig1

2.2.1 Tehtävä

Tehtävien 3.2.1-3.2.6 merkinnät vastaavat alla olevan kolmion merkintöjä.

 
 
# trig1

Jos , ja , mitä on ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_trig2

2.2.2 Tehtävä

# trig2

Jos , ja , mitä on ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_trig3

2.2.3 Tehtävä

# trig3

Jos , ja , mitä on ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_trig4

2.2.4 Tehtävä

# trig4

Jos , ja , mitä on ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_trig5

2.2.5 Tehtävä

# trig5

Jos , ja , mitä on ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_trig6

2.2.6 Tehtävä

# trig6

Jos , ja , mitä on ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_s96T3b

2.2.7 Tehtävä (s1996/3b)

Katuvalaisimen kannatinvaijeri on kiinnitetty leveän kadun vastakkaisilla puolilla olevien talojen seiniin korkeudelle maasta. Lamppu riippuu vaijerista sen keskikohdalta, joka on vaijerin päitä alempana, ja vetää vaijerin puolikkaat likimain janoiksi. Kuinka pitkä vaijeri on, ja kuinka suuren kulman vaijerin puoliskot muodostavat keskenään?

# lamppua

Vaijerin pituus metreinä (kahden desimaalin tarkkuudella, ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# lamppualfa

Vaijerien välinen kulma (asteen tarkkuudella, ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K17T6

2.2.8 Tehtävä (K2017/6)

Suorakulmaisen kolmion muotoisesta suklaalevystä lohkotaan alla olevan kuvion mukaisesti kappaletta yhdenmuotoisia paloja, joiden pinta-alat ovat . Kuinka monta palaa suklaasta täyty lohkaista, jotta palojen yhteenlasketut pinta-alat muodostavat vähintään suklaalevyn alkuperäisestä pinta-alasta?

 
 
# suklaalevy

Lohkaistujen palojen lukumäärä

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_sin18

2.2.9 Tehtävä

Määritä lausekkeen tarkka arvo käyttämällä alla olevaa tasakylkistä kolmiota.

# geo_sin18
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Vihje 1

Vihje 2

Vihje 3

Vihje 4

# sin18

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# muistikolmiot-teht

2.3 Muistikolmiot

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Muistikolmiot.

# teht_muistikolmio1

2.3.1 Tehtävä

Laske muistikolmion avulla alla olevan kolmion kateetin pituus sekä hypotenuusan pituus.

 
 
# muistikolmio1x

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# muistikolmio1y

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_muistikolmio2

2.3.2 Tehtävä

Määritä kulman suuruus muistikolmioiden avulla ilman laskinta, kun .

# muistikolmio2a

(anna vastaus ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# muistikolmio2b

(anna vastaus ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# muistikolmio2c

(anna vastaus ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K18T6

2.3.3 Tehtävä (K2018/6)

Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on astetta. Kolmion hypotenuusan keskipisteeseen piirretään kuvion mukaisesti kohtisuora jana, jonka toinen päätepiste sijaitsee kolmion kateetilla. Laske niiden kahden osan pituuksien suhde, joihin kohtisuora jakaa kateetin.

 
 

Anna vastaus murtolukuna ja ilmoita suhde suorasta kulmasta lähtien.

# K2018T10
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# tylpat-kulmat-teht

2.4 Tylpän kulman sini ja kosini

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Tylpän kulman sini ja kosini.

# teht_tylppa_sini

2.4.1 Tehtävä

Laske ilman laskinta.

# tylppa1

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tylppa_cos

2.4.2 Tehtävä

Laske ilman laskinta.

# tylppa2

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tylpat_selitys

2.4.3 Tehtävä

Käytä alla olevaa GeoGebra-applettia ja määritä, mitä tehtävissä 2.4.4-2.4.7 tulee vastaukseksi.

# puoliympyra2
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# sanallinen1a

Mitä arvoja ja voivat saada, kun ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tylpat1

2.4.4 Tehtävä

# tylppa3

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tylpat2

2.4.5 Tehtävä

# tylppa4

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tylpat3

2.4.6 Tehtävä

# tylppa5

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tylpat4

2.4.7 Tehtävä

# tylppa6

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kolmion-ala-teht

2.5 Kolmion pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kolmion pinta-ala.

# teht_kolmion_ala

2.5.1 Tehtävä

# kolmion_ala1

Kolmion kannan pituus on ja korkeus on . Mikä on kolmion pinta-ala ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolmion_korkeus

2.5.2 Tehtävä

# kolmion_ala2

Kolmion kannan pituus on ja pinta-ala on . Mikä on kolmion korkeus ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolmion_kanta

2.5.3 Tehtävä

# kolmion_ala3

Kolmion korkeus on ja pinta-ala on . Mikä on kolmion kannan pituus ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolmion_ala2

2.5.4 Tehtävä

MathCheck laskee kulmia aina radiaaneina. Jos haluat kirjoittaa sin(60°), sinun on kirjoitettava sen sijaan sin(60 * pi/180).

# kolmion_ala4

Kolmion kahden sivun pituudet ovat ja , ja niiden välinen kulma on . Mikä on kolmion pinta-ala ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolmion_ala3

2.5.5 Tehtävä

Kolmion kantasivun pituus on ja kolmion korkeus on . Laske kolmion pinta-ala.

# kolmion_ala

Pinta-alan tarkka avo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tasasivuinen_ala

2.5.6 Tehtävä

Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 3. Mikä on kolmion pinta-ala?

# tasasivuisen_kolmion_ala

Pinta-alan tarkka avo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K13T4

2.5.7 Tehtävä (K2013/4)

Laske alla olevan kuvan suorakulmaisen kolmion pinta-alan tarkka arvo.

 
 
# K2013T4

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kosinilause-teht

2.6 Kosinilause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kosinilause.

# teht_maanmittari

2.6.1 Tehtävä

Maanmittarin tehtävänä on määrittää pisteiden ja välimatka. Pisteiden välissä on vaara, joka kierretään pisteen kautta, josta on näköyhteys pisteisiin ja . Kuvassa olevat etäisyydet ovat metreinä.

 
 
# kosinilause1

Etäisyys metrien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

Kokeile myös luoda kuvan mukainen konstruktio (ilman mäen käyriä) GeoGebralla. Saatko selvitettyä pisteiden ja välisen etäisyyden ilman laskemista?

# teht_pelto

2.6.2 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on kolmion muotoinen pelto. Laske pellon pinta-ala hehtaareina. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkudella ilman yksikköä ja muista käyttää desimaalipistettä.

 
 
# kosinilause2

Pellon pinta-ala hehtaareina yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S12T4b

2.6.3 Tehtävä (S2012/4b)

Laske oheisessa kuvassa olevan kolmion sivun pituuden tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.

 
 
# kosinilause3a

Sivun tarkka pituus

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kosinilause3b

Sivun pituuden kaksidesimaalinen likiarvo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kalle_suunnistaa

2.6.4 Tehtävä

Kalle kulkee kompassin kanssa ensin etelään ja sitten kaakkoon. Kuinka kaukana lähtöpaikastaan Kalle on? Piirrä ensin mallikuvio.

# kosinilause5

Kallen etäisyys lähtöpaikasta kymmenien metrien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# sinilause-teht

2.7 Sinilause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Sinilause.

# teht_sinilause1

2.7.1 Tehtävä

Kolmion sivun pituus on ja sen vastaisen kulman suuruus on . Merkitään kolmion toista sivua kirjaimella ja sen vastaista kulmaa . Ratkaise sivun pituus.

# sinilause2a

(yhden desimaalin tarkkuudella)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_sinilause2

2.7.2 Tehtävä

Ratkaise alla olevaan kuvaan merkitty tylppä kulma .

 
 
# sinilause2

(asteen tarkkuudella, ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_sinilause_kosinilause

2.7.3 Tehtävä

Ratkaise alla olevan kuvion sivun pituus. Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella.

 
 

Vihje

# sinilause3

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kulmanpuolittajalause

2.7.4 Tehtävä

Ratkaise alla olevaan kuvaan merkityn janan pituus.

 
 
# kulmanpuolittajalause

(anna vastaus tarkkana arvona)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S13T6

2.7.5 Tehtävä (S2013/6)

Kolmion kulman puolittaja leikkaa sivun pisteessä . Pisteiden välisille etäisyyksille on voimassa , ja . Määritä kolmion sivujen ja pituuksien tarkat arvot.

 
 

Vihje

# kosinilause4ac

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kosinilause4bc

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolmion_sivun_pituus

2.7.6 Tehtävä

Kolmiosta tiedetään seuraavaa. Sivun pituus on , kulman suuruus on ja kulman suuruus . Piirrä tilanteesta mallikuvio ja laske sivun pituus. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

# sinilause4

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kaant-pythagoras-teht

2.8 Käänteinen Pythagoraan lause

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Käänteinen Pythagoraan lause.

# teht_onko_suorakulmainen1

2.8.1 Tehtävä

Kolmion sivujen pituudet ovat , ja . Onko kolmio suorakulmainen?

# kaantpyhtagoras2
# teht_onko_suorakulmainen2

2.8.2 Tehtävä

Kolmion sivujen pituudet ovat , ja . Onko kolmio suorakulmainen?

# kaantpythagoras3
# teht_K17T12

2.8.3 Tehtävä (K2017/12)

Neliöiden , ja pinta-alojen suhde on . Kolmion yhtenä sivuna on neliön sivu, toisena sivuna neliön sivu ja kolmantena sivuna neliön sivu. Laske kolmion ja neliön pinta-alojen suhteen tarkka arvo.

Vihje

# kaantpythagoras1

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# merkilliset-pisteet-teht

2.9 Kolmion merkilliset pisteet

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kolmion merkilliset pisteet.

# teht_suorakulmainen_puolittaja

2.9.1 Tehtävä

Kuinka suuressa kulmassa suorakulmaisen kolmion terävien kulmien puolittajat leikkaavat? Kokeile tehdä tehtävänannosta dynaaminen kuva GeoGebralla.

# merkilliset1

Suurempi leikkauskulma ilman astemerkkiä

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

Voidaanko tulos yleistää myös muihin kolmioihin?

[H]

# teht_denny

2.9.2 Tehtävä

Seattlessa on alue, jota kutsutaan 'Denny triangle'ksi sen kolmiomaisen muodon vuoksi. Määritä piste, joka on yhtä kaukana jokaisesta Dennyn kolmion kärkipisteestä.

Kun olet määrittänyt pisteen, joka on yhtä kaukana kärkipisteitä, käytä Mittaa etäisyys -toimintoa ja mittaa pisteen etäisyys kaikista kärkipisteistä. Tehtävän pisteytys perustuu tähän etäisyyteen. Varmista siis, ettet siirrä valmiiksi annettuja punaisia pisteitä ja nimeät määrittämäsi pisteen F:ksi.

Vihje

# denny
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# teht_poyta

2.9.3 Tehtävä

Alla on kuva kolmion muotoisesta pöydästä. Pöytä halutaan seisomaan vain yhden jalan varassa, jolloin jalka pitäisi sijoittaa pöytälevyn painopisteeseen. Määritä pöytälevyn painopiste alla olevalla GeoGebra-appletilla. Varmista, että nimeät painopisteen kirjaimella G.

# kolmio_poyta
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

2.10 Sekalaisia tehtäviä

Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun kappaleisiin liittyviä tehtäviä.

# teht_suunnistaja

2.10.1 Tehtävä

Lähtiessään rastilta suunnistaja tietää, että seuraavalle rastille on matkaa , mutta ottaa kompassilla suunnan huolimattomasti ja lähtee kulkemaan väärään suuntaan. Kuinka kaukana suunnistaja on oikeasta rastista, kun hän on kulkenut matkan?

# suunnistus

Etäisyys rastille metreinä kahden desimaalin takkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_geogebra_kolmio

2.10.2 Tehtävä

Piirrä teräväkulmainen kolmio, jonka kahden sivun pituudet ovat ja ja näiden sivujen välinen kulma on . Määritä kolmion kolmannen sivun pituus. Tallenna sivun pituus muuttujaan nimeltä a.

# kolmion_sivu
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S16T5

2.10.3 Tehtävä (S2016/5)

  1. Kolmion kulmat muodostavat aritmeettisen jonon, ja yhden kulman suuruus on . Määritä kulmien suuruudet asteina.
# kulmajono1

Pienin kulmista (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Kolmion kulmat muodostavat geometrisen jonon, ja yhden kulman suuruus on radiaania. Määritä kulmien suuruudet radiaaneina.
# kulmajono2

Kulmaa jonossa seuraava kulma (vastaa tähän jos laskuissasi on pienin kulma)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kulmajono3

Kulmaa jonossa seuraava kulma (vastaa jos laskuissasi on keskimmäinen kulma)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolmioilla_sama_ala

2.10.4 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa ja ovat neliöitä. Osoita, että kolmioilla ja on sama pinta-ala. [H]

 
 

Ratkaisu

# teht_hoikka_kolmio

2.10.5 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on neljä neliötä, ja vasemmassa alakulmassa olevan neliön pinta-ala on . Mikä on tummanvihreän kolmion pinta-ala? [H]

# hoikkakolmio_geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Vihje

# hoikkakolmio_ratk

Tummanvihreän kolmion pinta-ala

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S15T15

2.10.6 Tehtävä (S2015/15)

Kolmion kahden sivun pituudet ovat ja . Näiden sivujen välisen kulman puolittajasta kolmion sisälle jäävän osan pituus on . Puolittaja jakaa kolmannen sivun kahteen osaan, joiden pituudet ovat ja . Osoita, että ,

  1. kun .

  2. kun .

Ratkaisu

# teht_napoleon

2.10.7 Tehtävä

Piirrä GeoGebralla Napoleonin lausetta vastaava konstruktio alla olevia ohjeita seuraamalla.

  1. Valitse GeoGebran Monikulmio-työkalu (klikkaa LISÄÄ, jos ei ole näkyvissä työkaluissa) ja piirrä jonkin muotoinen kolmio k1.
  2. Valitse GeoGebran Säännöllinen monikulmio -työkalu, ja piirrä tasasivuiset kolmiot kolmion k1 jokaiselle sivulle (kuvio1, kuvio2 ja kuvio3). Tämä tapahtuu valitsemalla kolmion k1 kaksi kärkipistettä ja syöttämällä kulmien lukumääräksi 3.
    • Huomaa, että tasasivuisten kolmioiden tulee olla kolmion k1 ulkopuolella. Jos kolmiot syntyvät alkuperäisen kolmion k1 päälle, kokeile valita kärkipisteet eri järjestyksessä.
  3. Valitse Keskipiste-työkalu ja luo jokaiselle kolmiolle kuvio1, kuvio2 ja kuvio3 keskipiste napsauttamalla kyseistä kolmiota.
  4. Yhdistä äsken luodut keskipisteet käyttämällä Monikulmio-työkalua, jolloin syntyy kolmio k2.
  5. Mittaa kolmion k2 kulmien suuruudet. Helpoiten tämä käy, kun valitset Kulma-työkalun ja napsautat kolmiota k2, jolloin GeoGebra mittaa kolmion k2 kaikkien sisäkulmien (α, β ja γ) suuruudet samalla kertaa.
  6. Kokeile siirtää alkuperäisen kolmion k1 kärkipisteitä. Mitä huomaat?
  7. Halutessasi voit muokata kolmioiden ja pisteiden värejä ja nimien näkyvyyttä.
# napoleon3
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

3. Monikulmioiden pinta-aloja: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät kappaleeseen Monikulmioiden pinta-aloja. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa kappaleessakin.

# puolisuunnikas-teht

3.1 Puolisuunnikas

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Puolisuunnikas.

# teht_puolisuunnikkaan_ala

3.1.1 Tehtävä

# puolisuunnikas1

Jos puolisuunnikkaan kannat ovat ja ja korkeus , mikä on puolisuunnikkaan pinta-ala?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_puolisuunnikkaan_kanta

3.1.2 Tehtävä

# puolisuunnikas2

Puolisuunnikkaan kanta on , korkeus ja pinta-ala . Mikä on puolisuunnikkaan toisen kannan pituus?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_puolisuunnikkaan_korkeus

3.1.3 Tehtävä

# puolisuunnikas3

Puolisuunnikkaan kantojen pituudet ovat ja ja pinta-ala . Mikä on puolisuunnikkaan korkeus?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# suunnikas-teht

3.2 Suunnikas

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Suunnikas.

# teht_suunnikkaan_ala1

3.2.1 Tehtävä

# suunnikas1

Suunnikkaan sivun pituus on ja korkeus on . Mikä on suunnikkaan pinta-ala?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suunnikkaan_ala2

3.2.2 Tehtävä

# suunnikas2

Suunnikkaan sivujen pituudet ovat ja ja sivujen välinen kulma . Mikä on suunnikkaan pinta-ala?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suunnikkaan_kulma

3.2.3 Tehtävä

Suunnikkaan sivujen pituudet ovat ja , ja sen pinta-ala on . Kuinka suuri kulma sivujen välissä on?

# suunnikas3

Sivujen välinen kulma asteen tarkkuudella (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suunnikkaan_ala3

3.2.4 Tehtävä

Suunnikkaan sivujen välinen kulma on . Lyhyempi sivuista on pituudeltaan ja pidempi . Määritä suunnikkaan ala.

# s98T8a

Pinta-alan tarkka arvo (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# aakkostehtava

3.2.5 Tehtävä

Aakkoskarkkien sivujen pituudet ovat ja sen lyhyempi halkaisija on . Laske yhden karkin pinta-ala.

 
 
# aakkonen

Yhden aakkoskarkin pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella (neliösenttimetreinä, ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S11T15

3.2.6 Tehtävä (S2011/15)

Merkitään kolmion keskijanojen ja leikkauspistettä kirjaimella .

  1. Jos on janan keskipiste ja janan keskipiste, niin osoita, että janan pituus on puolet janan pituudesta.

  2. Osoita, että nelikulmio on suunnikas

  3. Osoita, että janan pituus on kolmasosa janan pituudesta.

  4. Todista edellisten kohtien perusteella seuraava lause: Kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa jokaisen keskijanan siten, että sivun puoleisen osan pituus on kolmasosa koko keskijanan pituudesta.

 
 

Ratkaisu

4. Ympyrä: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä, jotka liittyvät kappaleeseen Ympyrä. Tehtävät on ryhmitelty samojen otsikoiden alle kuin aiemmin mainitussa kappaleessakin.

# sade-teht

4.1 Säde, halkaisija, piiri

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Säde, halkaisija, piiri.

# teht_puhelinlinja

4.1.1 Tehtävä

Oleletaan, että maapallo on täysin pyöreä. Eräs puhelinyhtiö on vetänyt puhelinlinjan päiväntasaajaa pitkin maapallon ympäri. Kuinka paljon linjaa tarvitaan lisää, jos se halutaan nostaa korkeille tolpille. Anna vastaus metreinä ja yhden desimaalin tarkkuudella.

# puhelinlinja

Puhelinlinja pitenee näin paljon

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S18T8

4.1.2 Tehtävä (S2018/8)

Yksikköympyrän kehän pituus on . Arvioi tätä lukua approksimoimalla ympyrää sen sisään piirretyllä säännöllisellä kuusikulmiolla ja laskemalla kuusikulmion piirin pituus. Muodosta toinen arvio säännöllisen 12-kulmion avulla ja määritä kummankin approksimaation suhteellinen virhe vertaamalla tuloksia laskimen antamaan lukun likiarvoon.

 
 

Huomautus: Yksikköympyrä tarkoittaa ympyrää, jonka säde on .

# S18T8a

Suhteellinen virhe kuusikulmion tapauksessa (kolmen desimaalin tarkkuudella)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# S18T8b

Suhteellinen virhe 12-kulmion tapauksessa (kolmen desimaalin tarkkuudella)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_polkupyora

4.1.3 Tehtävä

Polkupyörän renkaan koko on eli sen halkaisija on tuumaa. Pyörään halutaan laittaa matkamittari, jota varten tarvitaan yhdellä renkaan pyörähdyksellä kuljettu matka. Laske pyörän yhden renkaan täydellä pyörähdyksellä kulkema matka ja ilmoita vastaus yhden desimaalin tarkkuudella senttimetreinä.

# polkupyörä
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_pyora

4.1.4 Tehtävä

Halkaisijaltaan pyörä pyörähtää kertaa. Kuinka pitkän matkan pyörä etenee?

# pyoriva_pyora_1

Anna vastaus kymmenen senttimetrin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

Kuinka monta pyörähdystä pyörä etenee matkalla?

# pyoriva_pyora_2

Anna vastaus ykkösten tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kukkaympyra

4.1.5 Tehtävä

Mari haluaa laittaa kukkia kasvamaan täsmälleen ympyrän muotoon. Hänellä on kukkaa ja hän haluaa, että kukkien välinen etäisyys ympyrän kaarta pitkin mitattuna on tasan . Mikä on tällaisen ympyrän halkaisija?

# kukkaympyra

Anna vastaus senttimetrien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_keskinormaali

4.1.6 Tehtävä

Osoita, että kahden leikkaavan ympyrän keskipisteiden välinen jana on ympyröiden leikkauspisteiden välisen janan keskinormaali.

Alla olevan kuvan merkinnöillä, sinun tulee osoittaa, että kuvaan punaisella merkittyjen janojen ja välinen kulma on ja että janat ja ovat keskenään yhtä pitkiä.

 
 

Ratkaisu

# pinta-ala-teht

4.2 Pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Pinta-ala.

# teht_koydella_rajataan_alue

4.2.1 Tehtävä

metrin köydellä rajataan alue. Laske alueen pinta-ala, kun se on muodoltaan

  1. neliön muotoinen.
# koysi_nelio

Anna vastaus neliömetrien tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. ympyrän muotoinen.
# koysi_ympyra

Anna vastaus neliömetrien tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyra_arkilla

4.2.2 Tehtävä

Piirretään A4-arkille () mahdollisimman suuri ympyrä. Mikä on tämän ympyrän pinta-ala?

# a4

Anna vastaus neliödesimetreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# keskuskulma

4.3 Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kaaren pituus, sektorin pinta-ala.

# teht_sektorin_ala

4.3.1 Tehtävä

# sektori1

Jos ympyrän säde on ja keskuskulma on , mikä on muodostuvan sektorin pinta-alan tarkka arvo?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_sektorin_keskuskulma

4.3.2 Tehtävä

Ympyräsektorin pinta-ala on ja sen säde on . Kuinka suuri on sektorin keskuskulma?

# sektori2

Anna vastaus asteen tarkkuudella (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_pizzapalat

4.3.3 Tehtävä

Kumpi alla olevista pizzapaloista kannattaa ottaa, jos haluaa rahalleen eniten vastinetta?

 
 
# pizzapalat
# teht_kuulantyonto

4.3.4 Tehtävä

Alla on kuva kuulantyöntöringistä ja -sektorista. Ringin halkaisija on jalkaa eli .

 
 
  1. Kuulantyöntösektori peitetään hiekalla. Kuinka suuri pinta-ala peitetään? Rinkiin ei laiteta hiekkaa.
# kuulantyonto_a

Peitettävä pinta-ala kahden desimaalin tarkkuudella neliömetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Sektori ja rinki ympäröidään ulkoreunoja pitkin merkintänauhalla. Kuinka paljon nauhaa tarvitaan?
# kuulantyonto_b

Nauhan pituus kahden desimaalin tarkkuudella metreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_lammas

4.3.5 Tehtävä

Lammas on kiinnitetty pitkällä hihnalla aidoitetun alueen kulmaan. Laske, kuinka suurelta alueelta lammas voi syödä ruohoa.

 
 
# lammas

Lampaan ruokailualue kymmenien tarkkuudella neliömetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ark11T3

4.3.6 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2011, 3)

Sata metriä pitkä köysi katkaistaan kahteen osaan. Toisesta osasta muodostetaan ympyrän ja toisesta neliön piiri. Kuvioiden pinta-alojen halutaan olevan samat. Miten naru on katkaistava?

Vihje

# sadan_metrin_koysi

Neliöön tarvittavan köyden pituus (tarkkana arvona)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S18T11

4.3.7 Tehtävä (S2018/11)

Alla olevien kuvioiden kaksi tilannetta ovat syntyneet erään abiturientin harjoitellessa dynaamisen matematiikkaohjelman käyttöä. Tehtävänä on auttaa häntä viemään tarkastelu loppuun molemmissa tapauksissa.

  1. Mitä ympyrään liittyvää lausetta abiturientti tutkii kuvassa 1? Kirjoita lause mahdollisimman täsmällisiä termejä käyttämällä.

  2. Abiturientti tarkastelee kuvassa 2 näkyvän kolmion merkillistä pistettä . Mikä tämä piste on? Minkä pisteeseen liittyvän geometrisen ominaisuuden abiturientti voi todentaa, jos hän piirtää ympyrän, jonka keskipisteenä on ja jonka säde on sopivan mittainen?

  3. Perustele joko a-kohdan lause, kun pisteet , ja ovat samalla suoralla, tai b-kohdan ominaisuus.

 
 

Ratkaisu

# janne-teht

4.4 Jänne, segmentti

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Jänne, segmentti.

# teht_segmentin_ala

4.4.1 Tehtävä

Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on . Mikä on pienemmän muodostuvan segmentin pinta-ala?

# segmentti1

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suuremman_segmentin_ala

4.4.2 Tehtävä

Ympyrän säde on ja segmentin keskuskulman suuruus on . Mikä on suuremman muodostuvan segmentin pinta-ala?

# segmentti2

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_segmentin_ala2

4.4.3 Tehtävä

Ympyrän halkaisija on . Ympyrään on piirretty segmentti, jota vastaavan kaaren pituus on . Kuinka suuri on pienemmän segmentin pinta-ala?

# segmentti3

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyraneljannes

4.4.4 Tehtävä

Kuinka monta prosenttia ympyräneljännekseen piirretyn segmentin pinta-ala on koko ympyrän pinta-alasta? Ympyrän säde on .

 
 
# ympyraneljannes

Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella (ilman prosenttimerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ark15T4

4.4.5 Tehtävä (Arkkitehtivalinnan koe 2015/4)

Kaksi majakkaa sijaitsee kilometrin etäisyydellä toisistaan. Veneen etäisyys merellä (tasopinta) on korkeintaan kilometriä kummastakin majakasta. Laske sen alueen pinta-ala neliökilometreissä, jolla vene voi olla.

Vihje

# majakat

Vastaus neliökilometreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# tangentti-teht

4.5 Tangentti, tangenttikulma

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Tangentti, tangenttikulma.

# teht_tangenttikulma1

4.5.1 Tehtävä

Ratkaise alla olevasta kuvasta ja .

 
 
# tangenttikulmat1

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# tangenttikulmat2

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_vesitorni

4.5.2 Tehtävä

Kuinka pitkälle korkeasta vesitornista voi nähdä? Maapallon säde on . Oletetaan, että katsojan silmät ovat myös korkeudella maan pinnasta. Piirrä ensin mallikuva tilanteesta.

Mallikuva

# vesitorni

Anna vastaus kilometrien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_tangenttikulma2

4.5.3 Tehtävä

Ympyrälle piirretään tangentit kehän ulkopuolisesta pisteestä . Tangenttien sivuamispisteet ja ovat etäisyydellä pisteestä . Piirretään ympyrälle vielä yksi tangentti pisteen kautta. Olkoon tämän tangentin ja aiempien tangenttien leikkauspisteet ja . Laske kolmion piiri. [H]

 
 

Vihje

# tangenttikolmio

Kolmion piiri

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# keskuskulma-teht

4.6 Keskuskulma, kehäkulma

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Keskuskulma, kehäkulma.

# teht_kehakulma1

4.6.1 Tehtävä

Määritä kulman suuruus.

 
 
# kehakulma

Kulman suuruus yhden desimaalin tarkkuudella (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kehakulma2

4.6.2 Tehtävä

Määritä kulman suuruus.

 
 
# kehakulma_2

Kulman suuruus (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kehakulma3

4.6.3 Tehtävä

Ratkaise alla olevasta kuvasta kulmat ja .

 
 
# kehakulma_3a

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kehakulma_3b

(ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_jannenelikulmio

4.6.4 Tehtävä

Jos nelikulmion kaikki kulmat ovat saman ympyrän kaarella, nelikulmiota kutsutaan jännenelikulmioksi. Osoita, että jännenelikulmiossa vastakkaisten kulmien summa on aina .

 
 

Vihje

Ratkaisu

4.7 Sekalaisia tehtäviä

Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun aiheisiin liittyviä tehtäviä.

# teht_tukkikasa

4.7.1 Tehtävä

Laske tukkikasan korkeus, kun tukin säde on . Oletetaan tukkien poikkileikkaukset ympyröiksi. Ympyrät sivuavat toisiaan.

 
 
# tukkikasa

Korkeus senttimetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyrat_neliossa

4.7.2 Tehtävä

Ratkaise alla olevan kuvan pienemmän ympyrän halkaisija isomman ympyrän säteen avulla.

Vihje

# iso_pieni_ympyra

Anna vastaus tarkkana arvona kun

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_venalainen_kolmio

4.7.3 Tehtävä

Valitaan mielivaltaisesti piste positiiviselta -akselilta väliltä ja piste positiiviselta -akselilta väliltä . Valitaan piste origokeskeisen yksikköympyrän kehältä koordinaatiston ensimmäisestä neljänneksestä. Osoita, että kolmion piiri on enemmän kuin 2. [H]

Voit käyttää hahmottamisessa apuna alla olevaa GeoGebra-applettia. Huomaa kuitenkin, että appletissa voit raahata pisteet janojen päätepisteisiin asti, mikä ei tehtävänannossa ole sallittua.

# venalainen-kolmio-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Ratkaisu

# teht_kulma

4.7.4 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa piste on ympyrän keskipiste ja pisteet , ja ovat ympyrän kehän pisteitä. Piste on suorien ja leikkauspiste ja janat ja ovat yhtä pitkät. Kulman suuruus on . Kuinka suuri on kulma ? [H]

 
 
# vieruskulmat

Kulman suuruus (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suorakulmio_neljannesympyra

4.7.5 Tehtävä

Neliön sisään piirretään neljännesympyrä siten, että neliön ylänurkasta voidaan erottaa neljännesympyrää koskettava suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat ja . Kuinka pitkä on neliön sivu?

# suorakaide-neljannesympyralla-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# suorakaide_neljannesympyralla

Neliön sivun pituus

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kaarien_rajaama_alue

4.7.6 Tehtävä

Ympyränkaaret, joiden säteet ovat ja , leikkaavat alla olevan GeoGebra-appletin mukaisesti. Mikä on kaarien rajaaman alueen pinta-ala? [T]

# kaarien-rajaama-ala-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

Vihje 2

# kaarien_rajaama_alue

Kaarien rajaama alue kolmen desimaalin tarkkuudella (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suurempi_piiri

4.7.7 Tehtävä

Neliön kaksi kärkeä ja näiden vastaisen sivun keskipiste ovat ympyrän kehällä.
Kummalla on suurempi piiri, neliöllä vai ympyrällä? [H]

 
 

Vihje

# nelion-ja-ympyran-piirit
# teht_K16T7

4.7.8 Tehtävä (K2016/7)

Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat , ja ja niiden säteet samassa järjestyksessä , ja . Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen?

 
 
# K16T7

Ympyrän säde desimaalilukuna

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S14T14

4.7.9 Tehtävä (S2014/14)

Tarkastellaan ympyrää ja sen ulkopuolella olevaa pistettä .

  1. Pisteestä piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat ympyrän neljässä eri pisteessä , , ja kuvion mukaisesti. Osoita, että kolmiot ja ovat yhdenmuotoiset.
 
 
  1. Osoita, että .

  2. Erikoistapauksessa toinen suorista sivuaa ympyrää. Osoita, että tällöin pätee .

 
 
  1. Todista edellisten kohtien avulla Pythagoraan lause tutkimalla alla olevan kuvion kolmiota, jonka kärki on ympyän keskipisteessä ja kärki on ympyrän kehällä.
 
 

Ratkaisu

# teht_K14T14

4.7.10 Tehtävä (K2014/14)

Erään tarinan mukaan ihmiskunta kokeili liikkumista säännöllisten monikulmioiden avulla, ennen kuin pyörä keksittiin.

  1. Tasasivuinen kolmio kiertyy oikealle kuvion mukaisesti, kunnes kärki osuu uudelleen alustaan. Kärki piirtää kuvion mukaisen käyrän. Laske käyrän pituus, kun kolmion piiri on .
 
 
# K14T14a

Käyrän pituuden tarkka arvo (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Hahmottele vastaavat käyrät neliön ja kuusikulmion tapauksessa. Kummassakin tapauksessa monikulmio kiertyy niin monta kertaa, että vasemmalla alhaalla oleva kärki osuu uudelleen alustaan.

Ratkaisu

  1. Laske b-kohdan käyrän pituus neliölle, jonka piiri on .
# K14T14c

Käyrän pituuden tarkka arvo neliölle (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Laske b-kohdan käyrän pituus kuusikulmiolle, jonka piiri on .
# K14T14d

Käyrän pituuden tarkka arvo kuusikulmiolle (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_monikulmio_ympyrassa

4.7.11 Tehtävä

Mikä on suurimman mahdollisen -säteisen ympyrän sisään mahtuvan säännöllisen -kulmion pinta-ala?

 
 

Ratkaisu

# teht_ympyrat_ympyrassa

4.7.12 Tehtävä

Alla olevassa GeoGebra-appletissa on isompi -säteinen ympyrä, jonka sisällä on kolme pienempää -säteistä ympyrää. Määritä pienempi säde isomman säteen avulla.

# kolme-ympyraa-ympyrassa-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# kolme-ympyraa-ympyrassa

Pienen ympyrän säteen tarkka arvo (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K12T11

4.7.13 Tehtävä (K2012/11)

Tasasivuisen kolmion sivun pituus on . Sen sisään asetetaan ympyrä , joka sivuaa kolmion kylkiä. Tämän ympyrän sisään asetetaan tasasivuinen kolmio , jonka kärjet ovat ympyrällä . Jatkamalla näin saadaan oheisen kuvan mukainen päättymätön jono ympyröitä Laske ympyröiden pinta-alojen summa.

 
 
# ympyra_kolmiossa

Ympyröiden pinta-alojen summan tarkka arvo kun

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

Ratkaisu

# teht_K12T15

4.7.14 Tehtävä (K2012/15)

  1. Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ja -akselia alla olevan kuvan mukaisesti. Määritä ympyröiden keskipisteiden vaakaruoda etäisyys d niiden säteiden avulla lausuttuna.
 
 
  1. Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ja -akselia alla olevan kuvan mukaisesti. Määritä keskimmäisen ympyrän säde kahden reunimmalisen ympyrän säteiden avulla lausuttuna.
 
 
  1. Todista René Descartesin (1596-1650) keksimä b-kohdan ympyröihin liittyvä kaava jossa

Ratkaisu

# teht_viisikulmio_ympyrassa

4.7.15 Tehtävä

Ympyrän, jonka halkaisija on sisälle piirretään mahdollisimman suuri viisikulmio. Määritä viisikulmion pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella.

# viisikulmio_ympyrassa

Viisikulmion pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella neliösenttimetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_lehma

4.7.16 Tehtävä

Kuinka suurella alueella lehmä voi laiduntaa, kun sen kaulassa oleva köysi on kytketty kuvan mukaisesti ladon seinustalle pisteeseen ja köyden pituus on ?

 
 
# lehmalato

Pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella neliömetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_reuleaux

4.7.17 Tehtävä

Piirrä GeoGebralla Reuleaux'n kolmio alla olevilla ohjeilla.

  1. Piirrä GeoGebralla tasasivuinen kolmio. Valitse aluksi työkalun alta lisää ja uudelleen lisää, jolloin saat kaikki työkalut näkyviin.
  2. Valitse Ympyrät-otsikon alta Ympyränkaari-työkalu ja valitse kolmion kärkipisteet vastapäivään kiertäen.
  3. Toista sama vielä kaksi kertaa niin, että aloitat joka kerta eri kärjestä.
  4. Piilota alkuperäinen kolmio. Valitse Muokkaus-otsikon alta Näytä/piilota objekti. Tämän jälkeen valitse piilotettavat kohteet piirtoalueelta.
  5. Lopuksi kokeile siirtää kolmion kärkipisteitä. Pysyykö konstruktiosi kasassa?
# releaux_piirto
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# teht_reuleaux_ala

4.7.18 Tehtävä

Jos tasasivuisen kolmion sivun pituus on , mikä on sen ympärille piirretyn Reuleaux'n kolmion pinta-ala?

# reuleaux
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# releaux_pinta-ala

Pinta-alan tarkka arvo (ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

Lisätietoa

# teht_reuleaux_kukka

4.7.19 Tehtävä

Laske varjostetun alueen pinta-ala. Ympyröiden keskipisteet ovat toistensa kehillä, eli jokaisen ympyrän säde on .

# geo_reuleaux_kukka
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# releaux_kukka

Varjostetun alueen pinta-alan tarkka arvo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolme_ympyraa

4.7.20 Tehtävä

Samasta keskipisteestä piirretään kolme ympyrää joiden säteet ovat , ja . Tasasivuisen kolmion kärjet ovat näillä ympyröillä. Määritä kolmion sivun pituus.

 
 

Vihje 1

Vihje 2

# kolmoisympyrat

Kolmion sivun pituuden tarkka arvo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

5. Avaruusgeometria: tehtäviä

Tällä sivulla on tehtäviä kappaleeseen Avaruusgeometria liittyen.

# kulmia-avaruudessa

5.1 Kulmia avaruudessa

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kulmia avaruudessa.

# teht_avaruuslavistaja

5.1.1 Tehtävä

# avaruuslavistaja

Mikä on suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituus, jos sen sivujen pituudet ovat , ja ?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_avaruuskulma

5.1.2 Tehtävä

Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon sivujen pituudet ovat , ja . Laatikon sisään asetetaan lauta kuvan mukaisesti. Kuinka suuri on laatikon pohjan ja laudan välinen kulma?

# avaruuslavistaja_kulma

Kulman suuruus asteen tarkkuudella (ilman astemerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_pahvikuutio

5.1.3 Tehtävä

Matti valmistaa pahvista kuution, jonka sivun pituus on .

  1. Kuinka paljon pahvia tarvitaan kuution tekoon?
# pahvikuutio_1

Vastaus neliödesimetreinä ykkösten tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Matti haluaa asettaa kuution sisään mahdollisimman pitkän ohuen riman. Kuinka pitkä rima kuutioon mahtuu?
# pahvikuutio_2

Riman pituus senttimetreinä ykkösten tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# pallo-teht

5.2 Pallo

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Pallo.

# teht_auringonpimennys

5.2.1 Tehtävä

Täydellisessä auringonpimennyksessä kuu peittää maasta katsottuna auringon kokonaan. Jos auringon etäisyys maasta on -kertainen kuun etäisyyteen maasta, kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna?

# auringonpimennys

Kuinka moninkertainen auringon tilavuus on kuun tilavuuteen verrattuna

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K16T6

5.2.2 Tehtävä (K2016/6)

Maapallon säde on , ja sen pohjoisen napapiirin leveysaste on . Pohjoiselta napapiiriltä valitaan pisteet ja , joiden pituusasteiden erotus on astetta.

  1. Määritä pisteiden ja välisen viivasuoran tunnelin pituus.
# K16T6a

Tunnelin pituus kilometrin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Määritä pisteiden ja välisen lyhimmän napapiirin kaaren pituus.
# K16T6b

Kaaren pituus kilometrin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_puolipallon_tilavuus

5.2.3 Tehtävä

Pallon pinta-ala on . Pallo jaetaan kahteen yhtä suureen osaan. Laske muodostuvan puolipallon tilavuus.

# puolipallon_tilavuus

Tilavuus kuutiometreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_maapallon_vesi

5.2.4 Tehtävä

Vesi peittää noin maapallon pinnasta. Jos maapallon säde on noin , kuinka suuren pinta-alan vesi peittää?

# veden_pinta_ala

Pinta-ala neliökilometreinä kymmenien miljoonien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_maapallon_vedet2

5.2.5 Tehtävä

Maapallon vesien yhteenlaskettu määrä on noin . Oletetaan, että maapallon säde on noin ja että maapallo on täydellinen pallo. Jos kaikki vesi levittäytyisi maapallon pinnalle tasaisesti, kuinka syvä vesikerros olisi?

# maapallon_vedet2

Veden syvyys kilometreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# lierio-teht

5.3 Lieriö

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Lieriö.

# teht_aakkoskarkki

5.3.1 Tehtävä

Palaa tehtävään, jossa laskettiin aakkoskarkin pinta-alaa. Jos aakkoskarkin paksuus on , mikä on yhden karkin tilavuus?

# aakkostilavuus

Karkin tilavuus kuutiosenttimetreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

Jos karkin tiheys on ja yksi pussi painaa , kuinka monta karkkia yhdessä pussissa on?

# aakkostilavuus2

Karkkien lukumäärä pussissa (pyöristettynä lähimpään kokonaislukuun)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_vesitorni

5.3.2 Tehtävä

Vesitornin sylinterin muotoiseen säiliöön mahtuu vettä ja säiliön korkeus on metriä. Mikä on säiliön halkaisija?

# vesitorni

Säiliön halkaisija metreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_maitotolkki

5.3.3 Tehtävä

Alla olevassa kuvassa on havainnekuva maitotölkistä sekä tölkin mitat (senttimetreinä). Laske koko tölkin tilavuus.

 
 
# maitotolkki

Koko maitotölkin tilavuus kuutiosenttimetreinä ykkösten tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_muurahainen

5.3.4 Tehtävä

Muurahainen aloittaa kulkunsa kuution kulmasta. Kuution särmän pituus on . Mikä on lyhin matka, jonka kulkemalla muurahainen pääsee kuution vastakkaiseen kulmaan?

# muurahainen-geo
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# muurahaisen_matka

Muurahaisen kulkeman matkan tarkka arvo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kuutio_pallossa

5.3.5 Tehtävä

Jos pallon tilavuus on , mikä suurimman sen sisään mahtuvan kuution tilavuus?

# kuutio_pallossa

Kuution tilavuus kolmen desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_pallo_lieriossa

5.3.6 Tehtävä

Mahdollisimman pienen ympyräpohjaisen lieriön sisälle laitetaan mahdollisimman suuri pallo. Määritä pallon tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen.

# pallo_lieriossa

Pallon tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen prosentteina yhden desimaalin tarkkuudella (ilman prosenttimerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_preliK17T5

5.3.7 Tehtävä (Pitkän matematiikan preli K2017/5)

Yritys lähettää tuotteitaan asiakkaille suorakulmaisen särmiön muotoisessa laatikossa, jossa sivujen suhteet ovat laatikon sisällä .

  1. Erääseen lähetykseen pakataan kolme suoraa ympyräpohjaista metallilieriötä, joiden korkeus on sama kuin laatikon pisimmän sivun pituus ja pohjan halkaisija on yhtä pitkä kuin laatikon lyhin sivu. Tyhjä tila täytetään styroksilla. Mikä on lieriöiden täyttämän tilan ja laatikon tilavuuksien suhde?
# sarmio_1

Lieriöiden tilavuuden ja laatikon tilavuuden suhteen tarkka arvo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Kuinka monta prosenttia laatikon tilavuudesta on styroksia?
# sarmio_2

Styroksin osuus laatikon tilavuudesta ykkösten tarkkuudella (ilman prosenttimerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Jos laatikon tilavuus on litraa, niin mahtuuko laatikkoon metallipallo, jonka säde on ?
# sarmio_3
# teht_S15T3b

5.3.8 Tehtävä (S2015/3b)

Laske kuution yhden sivutahkon pinta-ala neliösenttimetrin tarkkuudella, kun kuution tilavuus on litraa.

# S15T3b

Sivutahkon pinta-ala neliösenttimetrin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_S15T9

5.3.9 Tehtävä (S2015/9)

Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on . Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on . Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus posenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.

 
 

Vihje

# S15T9

Omenan tilavuudesta häviävä osa prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella (ilman prosenttimerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K15T8

5.3.10 Tehtävä (K2015/8)

Öljysäiliö on suoran ympyrälieriön muotoinen, ja sen akseli on vaakasuorassa. Akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen halkaisija on metriä.

  1. Määritä säiliön pituus, kun sen tilavuus on litraa.
# S15T8

Säiliön pituus metreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Öljyn korkeudeksi syvimmässä kohdassa mitataan senttimetriä. Kuinka monta litraa öljyä on jäljellä säiliössä?

Vihje

# K15T8b

Öljyn määrä säiliössä litroina ykkösten tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K13T10

5.3.11 Tehtävä (K2013/10)

Oheisen kuution särmän pituus on . Sen sisällä on punainen pallo, joka sivuaa jokaista kuution tahkoa. Kuution yhdessä kulmassa on pienempi sininen pallo, joka sivuaa suurta palloa ja kolmea kuution tahkoa kuvion mukaisesti. Laske sinisen pallon säteen tarkka arvo.

 
 

Vihje

# sininen_pallo

Sinisen pallon säteen tarkka arvo

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# kartio-teht

5.4 Kartio

Tämän kappaleen teoria on kappaleessa Kartio.

# teht_kartion_tilavuus

5.4.1 Tehtävä

# kartio1

Kartion pohjan pinta-ala on ja sen korkeus . Mikä on kartion tilavuuden tarkka arvo?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suoran_ympyrakartion_tilavuus

5.4.2 Tehtävä

# kartio2

Suoran ympyräkartion pohjan säde on ja sen korkeus . Mikä on kartion tilavuuden tarkka arvo?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_katkaistu_kartio1

5.4.3 Tehtävä

Suoran ympyräkartion pohjan säde on ja sen korkeus on . Kartion huipusta katkaistaan pienempi suora ympyräkartio. Tämän pienemmän kartion pohjan säde on . Kuinka korkea pienempi kartio on?

# katkaistu_kartio
Avaa GeoGebra tuomalla osoitin tähän

 

# kartio_yhdenmuotoisuus

Pienemmän kartion korkeus

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_katkaistu_kartio2

5.4.4 Tehtävä

Olkoon edelleen kartion pohjan säde ja korkeus . Sen huipusta leikataan pois pienempi kartio, jonka pohjan säde on . Mikä on jäljelle jäävän osan tilavuus?

# katkaistu_kartio_tilavuus

Jäljelle jäävän osan tilavuus ykkösten tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suoran_ympyrakartion_tilavuus2

5.4.5 Tehtävä

Suoran ympyräkartion korkeus on ja pohjan säde . Kartion huipulta katkaistaan pienempi kartio, jonka korkeus on . Kuinka moninkertainen ison kartion tilavuus on verrattuna pienempään kartioon?

# katkaistu_kartio_tilavuus2

Jos merkitään pienemmän kartion tilavuutta ja ison kartion tilavuutta , laske suhde .

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_suoran_ympyrakartion_vaippa

5.4.6 Tehtävä

# kartio_sivutahko

Suoran ympyräkartion pohjan säde on ja sen sivujana on . Mikä on kartion vaipan pinta-alan tarkka arvo?

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kheopsi

5.4.7 Tehtävä

Kheopsin pyramidin muoto on lähellä neliöpohjaista kartiota. Matti mittaa pyramidin pohjan sivun pituudeksi ja kuulee oppaalta pyramidin korkeuden olevan . Laske annettujen tietojen avulla arvio pyramidin tilavuudelle.

# kheopsi

Pyramidin tilavuus kuutiometreinä satojen tuhansien tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kartion_pohja

5.4.8 Tehtävä

korkean kartion pohja muodostuu tasasivuisesta kolmiosta. Kartion tilavuus on . Määritä pohjakolmion sivun pituus.

# kartion_pohjan_sivun_pituus

Tasasivuisen kolmion sivun pituus desimetreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_jaatelotottero

5.4.9 Tehtävä

Kartion muotoisen jäätelötötterön sivun pituus on ja sen suuaukon halkaisija on . Jäätelötötteröön asestetaan täsmälleen pallon muotoinen jäätelöpallo, jonka halkaisija on . Jos pallon annetaan sulaa kokonaan, mahtuuko se jäätelötötterön sisään?

# jaatelo
# teht_K12T9

5.4.10 Tehtävä (K2012/9)

Suoran ympyräkartion korkeus on , ja sen pohjan säde on . Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on . Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritellään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.

 
 

Vihje

# K12T9

Sinisen rengasalueen pinta-ala neliösenttimetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_K16T13

5.4.11 Tehtävä (K2016/13)

Olkoon , ja positiivisia reaalilukuja. Tetraedrin kolme kärkeä ovat koordinaattiakseleiden pisteissä , ja , ja neljäs kärki on origossa . Kärkien vastaisten tetraedrin tahkojen pinta-aloja merkitään samassa järjestyksessä kirjaimilla , , ja , jossa tarkoittaa origon vastaisen tahkon pinta-alaa. Osoita, että

Vinkki: Luo GeoGebralla liukusäätimet , ja ja luo tarvittavat pisteet niiden avulla. Tarkastele syntyvää kappaletta ja lue ohjeet tarkasti.

Ratkaisu

5.5 Sekalaisia tehtäviä

Tässä kappaleessa on kaikkiin tämän luvun aiheisiin liittyviä tehtäviä.

# teht_S16T6

5.5.1 Tehtävä (S2016/6)

Vesikaukalon päädyt ovat tasasivuisen kolmion muotoiset, ja kolmion sivujen pituus on . Kaukalon pohja muodostuu kahdesta suorakulmion muotoisesta levystä, joiden pituus on .

  1. Vaakasuorassa oleva kaukalo on aluksi täynnä vettä. Sitä kallistetaan pituussuunnassa niin, että vedenpinta ulottuu vasemmanpuoleisen päätykolmion alakulmaan alla olevan kuvion mukaisesti. Kuinka monta prosenttia vedestä valuu pois kallistuksen aikana?
 
 
# S16T6a

Poisvaluvan veden osuus prosentteina ykkösten tarkkuudella (ilman prosenttimerkkiä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

  1. Tämän jälkeen kaukalo palautetaan takaisin vaakasuoraan asentoon. Kuinka korkealla vedenpinta on kaukalon syvimmästä kohdasta mitattuna?

Vihje

# S16T6b

Korkeuden tarkka arvo ilman kerrointa

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

6. Harjoituskoe MAA3

Tällä sivulla on harjoituskoe MAA3-kurssille. Jokaisesta tehtävästä saa tässä kokeessa vain yhden pisteen oikeasta vastauksesta, mutta oikeassa kurssikokeessa ja ylioppilaskirjoituksissa tehtävän välivaiheet huomioidaan myös pisteytyksessä.

# teht_pythagoras

6.1 Tehtävä

Joni vetää pulkkaa pitkällä narulla ja Jonin käsi on korkeudella maasta. Kuinka kaukana Jonin takana on pulkan etureuna?

# pythagoras

Jonin ja pulkan etureunan välinen etäisyys metreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kosinilause

6.2 Tehtävä

Määritä alla olevan kolmion sivun pituus kertoimen avulla lausuttuna.

 
 
# kosinilause

(yhden desimaalin tarkkuudella ilman kerrointa )

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_kolmion_ala

6.3 Tehtävä

Laske edellisen tehtävän kolmion pinta-ala, kun .

# kolmion_ala

Kolmion ala neliömetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_yhdenmuotoiset_kolmiot

6.4 Tehtävä

Tasaisella maalla pituinen keppi astetaan päähän puusta, jolloin kepin kärki yhtyy puun latvaan, kun niitä katsotaan maan pinnasta kulmassa. Kuinka korkea puu on?

# yhdenmuotoiset_kolmiot

Anna puun korkeus metreinä yhden desimaalin tarkkuudella (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_sektori

6.5 Tehtävä

Ympyrän säde on ja sektoria vastaava keskuskulma on . Tasakylkisen kolmion huippukulma on myös ja sen kylkien pituudet ovat . Sektorin ja tasakylkisen kolmion pinta-alat ovat samat. Määritä .

# sektori

(yhden desimaalin tarkkuudella)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyra_kolmio

6.6 Tehtävä

Ratkaise alla olevaan kuvaan oranssilla merkityn kolmion pinta-ala.

 
 
# ympyra_kolmio

Kolmion pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_vino_lierio

6.7 Tehtävä

Vinon ympyrälieriön sivun pituus on ja pohjaympyrän halkaisija . Lieriön sivun ja pohjan välinen kulma on . Mikä on lieriön tilavuus?

 
 
# vino_lierio

Lieriön tilavuus kuutiosenttimetreinä (ilman yksikköä)

Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

# teht_ympyra_kolmiossa

6.8 Tehtävä

Kolmion kärjet ovat pisteissä , ja . Kuinka suuri on suurimman mahdollisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde? Määritä se alla olevan GeoGebra-appletin avulla. Tallenna säde muuttujaan nimeltä r.

# geo_ympyra_kolmiossa
Avaa MathCheck-laatikko tuomalla osoitin tähän

 

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.