Differentiaaliyhtälöt

# sisallysluettelo

Hakemisto

Etusivu

Aiheet

○ Sisällysluettelo
○ Differentiaaliyhtälöiden merkitys
○ Sanastoa
○ Yhtälötyyppejä
○ Testaa osaamisesi

DY:n ratkaiseminen

Aiheet

Osa 1
○ Ratkaisemisesta
○ Separoituva DY
○ Vakion variointi
○ VLHDY eli vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen DY
○ VLDY eli vakiokertoiminen lineaarinen DY, erikoisratkaisu

Osa 2
○ Yhtälöryhmät
○ Numeeriset menetelmät
○ Reuna-arvotehtävät
○ Ominaisarvotehtävät
○ Sarjaratkaisut

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Aiheet |Katso myös | =======================================================================================+==================================================+ Osittaisdifferentiaaliyhtälöt| | ○ Merkityksestä |○ Moniulotteinen derivointi
--- Aaltoyhtälö | ○ Separointi |○ Kompleksiluvut | --- Schrödingerin yhtälö | | ○ Reuna-arvotehtävät ja sarjat | | --- Laplacen yhtälö | | --- Lämpö- eli diffuusioyhtälö | | | |

# merkitys

Differentiaaliyhtälöiden merkitys

Luonnosta tehdyt havainnot kuvaavat usein muutoksia. Muutosten vuoksi on vaikeaa mitata suoraan esimerkiksi ainemääriä kemiallisessa reaktiossa tai hiukkasen sijaintia kiihdyttimessä.

Differentiaaliyhtälö ilmaisee muutosnopeuksien avulla, millainen ilmiötä kuvaavan funktion on oltava. Yhtälön ratkaisut ovat funktioita.

Tavallinen differentiaaliyhtälö, lyhyesti vain differentiaaliyhtälö tai DY, sisältää tuntemattoman yhden muuttujan funktion ja sen derivaattoja. Derivaatasta haluttuun funktioon pääseminen vaatii antiderivointia, siis integrointia.

Yleisiä luonnon prosesseja kuvaavia funktioita ovat esimerkiksi eksponentti- ja logaritmifunktio, sekä trigonometriset sini- ja kosinifunktio.

Esimerkki: Eksponentiaalinen kasvu

Mitä enemmän bakteereja, sitä nopeammin bakteerikanta kasvaa. Voidaan sanoa, että bakteerien lukumäärän muutos, eli kannan kasvunopeus, on suoraan verrannollinen bakteerien senhetkiseen lukumäärään.

Olkoon meillä nyt tuntematon funktio $\red y(\green t),$ joka antaa bakteerien lukumäärän ajanhetkellä $\green t.$ Tällöin kannan kasvunopeuden kertoo funktion derivaatta $\red y'(\green t).$ Näin saamme differentiaaliyhtälön: $\red y'(\green t)=A\red y(\green t) ,$ missä on vakio.

Differentiaaliyhtälö sanallisesti: kannan kasvunopeus hetkellä $\green t$ on kannan koko kerrottuna vakiollaMerkityksestä alempana.

Muistellaan eksponenttifunktion derivointisääntöä ja kokeillaan sijoittaa yhtälöön funktio $\red y(\green t)=e^{A\green t}.$ Huomataan, että $\red y'(\green t)=D(e^{A\green t})=A e^{A\green t} = A \red y(\green t),$ joten funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön! ( merkitsee tässä derivointioperaatiota.)

Voit myös kokeilemalla todeta, että edellinen funktio kerrottuna vakiolla eli $\red y(\green t)=Be^{A\green t},$ toteuttaa differentiaaliyhtälön.

Mitä hyötyä tästä oli? Ratkaisujen $\red y(\green t)$ avulla voimme selvittää helposti bakteerien lukumäärän millä tahansa ajanhetkellä, kunhan vakiot tunnetaan:

Vakio kuvaa kannan kasvunopeutta. Esimerkiksi jos kannan koko kaksinkertaistuu tunnin välein $A = \dfrac{\log2}{\text h}.$
Vakio kuvaa bakteerien lukumäärää alkuhetkellä $\green t=0$ .

Voit tutkia tätä ja muita differentiaaliyhtälöitä visuaalisesti alempana.

Muita tähän malliin sopivia esimerkkejä ovat vaikkapa radioaktiivinen hajoaminen tai tartuntatautien leviäminen.

Sovellus: Tasaisesti kiihtyvä liike

Differentiaaliyhtälössä esiintyvät derivaatat kuvaavat funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä. Tässä esiemrkissä nopeus kuvaa paikan muutosnopeutta ajan suhteen.

Johdetaan taulukkokirjastakin tuttu tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaava. Oletetaan, että kappaleeseen vaikuttaa vakiovoima $\blue F.$ Voima aiheuttaa kiihtyvyyden, joka on nopeuden $\red v(\green t)$ muutos ajan suhteen eli nopeuden aikaderivaatta $\red v'(\green t).$ Nopeus edelleen on paikan $\red x(\green t)$ muutosta. Tästä saamme DY:n $\blue F = m\red x''(\green t),$ koska $\blue F=ma=m\red v'(\green t)=m\red x''(\green t),$ jossa on kappaleen massa.

Tämä differentiaaliyhtälö tunnetaan Newtonin toisena lakina. Lyhyesti: kappaleen kiihtyvyys on vakio.

Yhtälön ratkaisu eli funktio $\red x(\green t)$ saadaan kahdesti integroimalla ja on

$\red x(\green t)=\frac{\blue F}{2m}\green t^2+C_1\green t+C_2=\frac{1}{2}a\green t^2+C_1\green t+C_2.$

Koska kyseessä on toisen kertaluvun DY, saamme kaksi tuntematonta integrointivakiota C_1 ja C_2.

Jos tiedämme vain kappaleeseen vaikuttavan vakiovoiman, emme voi tietää kappaleen sijaintia. Meidän tulisi tietää myös kappaleen paikka ja nopeus jollakin ajanhetkellä. Näitä sanotaan alkuarvoehdoiksi. Oletetaan, että kappale on ajanhetkellä $\green t=0$ pisteessä $\blue x_0$ ja kulkee nopeudella $\blue v_0.$ Tästä saamme alkuarvotehtävän $\begin{cases} \blue F=m\red x''(\green t)\\ \red v(\green 0)=\red x'(\green 0)=\blue v_0\\ \red x(\green 0)=\blue x_0. \end{cases}$

Näillä tiedoilla voimme ratkaista vakiot $C_1 =\blue v_0$ ja $C_2=\blue x_0$ ja saamme $\red x(\green t)=\frac{1}{2}a\green t^2+\blue v_0\green t+\blue x_0.$

Tällöin voimme helposti selvittää kappaleen sijainnin millä tahansa ajanhetkellä. Saimme tehtävään vain yhden mahdollisen ratkaisun, eli ratkaisu on yksikäsitteinen. Tämä tulee tulkita seuraavasti: Kun kappaleeseen vaikuttaa vakiovoima ja tiedämme kappaleen nopeuden ja sijainnin jollakin ajanhetkellä, määräävät nämä tiedot kappaleen sijainnin kaikkina mahdollisina ajanhetkinä.

Entä jos voima ei olekaan vakio vaan muuttuu ajan mukaan? Ei ongelmaa, korvataan vain $\blue F$ funktiolla $\blue F(\green t)$ ja ratkaistaan saatu DY. Vastaavasti jos voima riippuukin paikasta eikä ajasta korvataan $\blue F$ funktiolla $\blue F(\red x(\green t)).$

Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kuvaaja

Tällä GeoGebralla voit tutkia kappaleen piirtämää rataa $(\green t, \red x)$ -koordinaatistossa, eli funktioiden $\red x(\green t)$ kuvaajia. Vaaka-akseli kuvaa siis aikaa ja pystyakseli sijaintia.

Ensimmäisellä liukusäätimellä voit muuttaa alkusijaintia $\red x(\green 0)$ (punainen piste), toisella alkunopeutta $\blue x'(\green 0)$ (sininen nuoli) ja kolmannella voimaa $\violet F$ (violetti nuoli). Kappaleen massa on 1.

$\violet F$ määrittää differentiaaliyhtälön eli liikeyhtälön $\violet F = m\red x''(\green t).$ Jokainen arvojen $\red x_0$ ja $\blue v_0$ yhdistelmä määrittää yhden ratkaisun $\red x(\green t).$

# geoKiihtyvyys

Differentiaaliyhtälöt visuaalisesti

Tämän GeoGebran avulla voit tutkia miten ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä ja niiden ratkaisuja voidaan kuvailla graafisesti.

Koordinaatistoon piirtyy DY:tä $\red y'(\green x) = 1$ kuvaava suuntakenttä ja DY:n ratkaisu, joka kulkee pisteen $\blue A = (0,0)$ läpi. Pienen viivan kulmakerroin on $\red y'\text{:n}$ arvo sillä kohdalla. Huomaa, että DY:lle ei aina ole ratkaisua! Ratkaisun kuvaaja piirtyy vain, kun mahdollista.
Voit kirjoittaa syöttökenttään normaalimuotoisen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön. Esim. DY:lle $\red y'= \green x$ kirjoita vain $\green x.$ Tällöin pienten viivojen kulmakerroin on kunkin viivan $\green x$ -koordinaatti.
Voit liikuttaa pistettä $\blue A,$ ja tutkia DY:n ratkaisujen kuvaajia. Valitsemalla "näytä jälki" kuvaajat jäävät näkyviin, jolloin voit tarkastella DY:n ratkaisujen joukkoa eli käyräparvea.
Voit palata alkutilanteeseen koordinaatistoa zoomaamalla tai liikuttamalla.

# geoDY

Merkintätapoja

Differentiaaliyhtälöissä voidaan käyttää erilaisia derivaatan merkintöjä. Tässä on joitain tapoja kirjoittaa differentiaaliyhtälöitä.

Vaimennetun värähtelijän liikeyhtälö on tavallinen differentiaaliyhtälö, joka voidaan kirjoittaa esimerkiksi näin:

$\red y''(\green t)+2\beta \red y'(\green t)+w_0^2\red y(\green t)=0$
$\dfrac{\text d^2}{\text d\green t^2}\red y(\green t)+2\beta\dfrac{\text d}{\text d\green t}\red y(\green t)+w_0^2\red y(\green t)=0.$

Funktion muuttuja voidaan myös jättää merkitsemättä:

$\red y''+2\beta \red y'+w_0^2\red y=0$
$\dfrac{\text d^2\red y}{\text d\green t^2}+2\beta\dfrac{\text d\red y}{\text d\green t}+w_0^2\red y=0.$

Mekaniikassa aikaderivaatoille käytetään pistemerkintää, joka näyttää tältä:

$\ddot {\red y}+ 2\beta\dot {\red y} + w_0^2\red y =0.$

Differentiaaleja $\text d\red y$ ja $\text d \green x$ näkee myös toisistaan erillään. Esimerkiksi separoinnissa differentiaaliyhtälö $\red y'=\frac{\text d\red y}{\text d\green x} = g- k \red y$ kirjoitetaan muotoon $\frac{\text d \red y}{g-k\red y}=\text d \green x.$

Yksiulotteinen aaltoyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka voidaan kirjoittaa esimerkiksi näin:

$\dfrac{\partial^2}{\partial \blue t^2}\red y(\green x, \blue t)=v^2\dfrac{\partial^2}{\partial \green x^2}\red y(\green x, \blue t)$
$\dfrac{\partial^2}{\partial \blue t^2}\red y=v^2\dfrac{\partial^2}{\partial \green x^2}\red y.$

Osittaisderivaattaa voidaan merkitä myös alaindeksillä:

$\red y_{\blue{tt}}=v^2\red y_{\green {xx}}.$

ODY:issä näkee myös differentiaalioperaattoreita, kuten nabla( $\nabla$ )-merkintää: $\nabla\red y(\blue t,\green x)= C.$ Tämä on sama kuin $\frac{\partial }{\partial \blue t}\red y +\frac{\partial }{\partial \green x}\red y = C.$ Aaltoyhtälö useammassa ulottuvuudessa voidaan kirjoittaa lyhyesti laplacen operaattorin $\nabla^2$ avulla: $\red y_{\blue{tt}}=v^2\nabla^2\red y.$

# sanastoa

Sanastoa

Differentiaaliyhtälöitä käsitellessä tulee vastaan paljon termejä. Tässä on listattuna joitain yleisimpiä muistin virkistykseksi.

Tavallinen/Osittais-DY

Tavallinen DY eli "DY" (ordinary differential equation, ODE) on yhtälö, jossa esiintyy yksi tuntematon yhden muuttujan funktio sekä sen derivaattoja.

$\red y'(\green x)=\red y(\green x)+\green x,$ tuntematon funktio $\red y(\green x),$ muuttuja $\green x$
harmoninen värähtelijä, tuntematon funktio $\red x(\green t),$ muuttuja $\green t:$

$\frac{\text{d}^2\red x(\green t)}{\text d\green t^2}=-\frac{k}{m}\red x(\green t).$

Osittais-DY eli "ODY" (partial differential equation, PDE) on yhtälö, jossa esiintyy tuntematon useamman muuttujan funktio sekä tämän osittaisderivaattoja.

Näiden ratkaiseminen on huomattavasti haastavampaa kuin tavallisten DY:iden. Helpoista tapauksista katso moniulotteinen derivointi -sivu.

Lyhennetään suomeksi ODY. Huomaa, että tavallinen (ordinary) DY lyhennetään englanniksi ODE.
Esim. $\dfrac{\partial f}{\partial \red x}+\dfrac{\partial f}{\partial \green y}=0,$ eli $\nabla f(\red x,\green y)=0,$ tuntematon funktio $f(\red x, \green y).$
Esim. Schrödingerin yhtälö, tuntematon funktio aaltofunktio, kuten $\Psi(\red x,\green t)$ tai $\psi(\red x,\green y,\blue z).$

Kertaluku

DY:n kertaluku tarkoittaa korkeimman siinä esiintyvän derivaatan astetta.

$\red y''(\green x)=\red y(\green x)+\green x$ on toisen kertaluvun DY.
$\dfrac{\partial}{\partial \red x}f(\red x,\green y) + \dfrac{\partial}{\partial \green y}f(\red x,\green y) =0$ on ensimmäisen kertaluvun osittais-DY.

Lineaarinen DY

Tarkastellaan neljää DY:tä, joissa tuntematon funktio on $\red y = \red y (\green x).$ Epälineaarisuuden aiheuttava osa on merkitty sinisellä. $\begin{align} \red y''+\green x^2\red y'+2\green x\red y&=0\\ \red y''+\green x^2\blue y'^{\blue 2}+2\green x\red y&=0\\ \red y''+\blue \sin(\red y')&=2\green x\red y\\ \red y''&=\blue y'\blue y+4\green x. \end{align}$ DY (1) on esimerkki lineaarisesta DY:stä, koska funktio $\red y$ ja sen derivaatat esiintyvät erillään ilman ulkoisia funktioita niiden ympärillä. DY:t (2-4) ovat esimerkkejä epälineaarisista DY:stä.

Yleisesti

Lineaarinen DY on esitettävissä muodossa $a_0(\green x)\red y(\green x)+a_1(\green x)\red y'(\green x)+...+a_n(\green x)\red y^{(n)}(\green x)=b(\green x).$ Tässä kaikki $a_k(\green x)$ ja $b(\green x)$ ovat tunnettuja funktioita, eivätkä siis riipu mitenkään ratkaistavasta funktiosta $\red y(\green x)$ . Huomaa myös, ettei funktioiden $a_k(\green x)$ ja $b(\green x)$ tarvitse olla lineaarisia. Yhtälön lineaarisuus vaaditaan vain funktion $\red y(\green x)$ ja sen derivaattojen suhteen.

$3\red y''(\green x)+5\red y'(\green x)=\green x$ on lineaarinen (ja vakiokertoiminen)
$\green x\red y'(\green x)+e^{\green x}\red y(\green x)=0$ on lineaarinen (ja homogeeninen)
$\red y'(\green x)\red y(\green x) = \green x$ on epälineaarinen
$\red y'(\green x)^2=\green x$ on epälineaarinen, mutta $\red y'(\green x)=\sqrt{\green x}$ on lineaarinen

Jos funktiot $a_k(\green x)$ ovat vakiofunktioita, sanotaan DY:tä vakiokertoimiseksi. Lisäksi jos $b(\green x)=0$ on yhtälö homogeeninen.

Homogeeninen lineaarinen DY

Tarkastellaan seuraavia kahta lineaarista differentiaaliyhtälöä: $\begin{align} \red y''(\green x)+2\green x\red y(\green x)&=0\\ \red y''(\green x)+2\green x\red y(\green x)+\blue {4 x}&=0 \end{align}$ DY (1) on esimerkki homogeenisestä lineaarisesta DY:stä. DY (2) ei ole homogeeninen, koska siinä esiintyy termi $\blue{4x},$ jossa ei ole mukana funktiota $\red y(\green x)$ tai sen derivaattaa.

Yleisesti

Lineaarinen DY $a_0(\green x)\red y(\green x)+a_1(\green x)\red y'(\green x)+...+a_n(\green x)\red y^{(n)}(\green x)=\blue b(\green x)$ on homogeeninen, jos $\blue b(\green x)= 0$ kaikilla $\green x.$

$\green x\red y'(\green x)+\green x^2\red y(\green x)+\green x^3=0$ on epähomogeeninen, koska $\blue b(\green x) = -\green x^3.$
$\red y''(\green x)-\dfrac{\red y'(\green x)}{\green x}+2\green x\red y(\green x)=0$ on homogeeninen, $\blue b(\green x) = 0.$
Yhtälölle $\red y''(\green x)-\dfrac{\green x}{\red y'(\green x)}+2\green x\red y(\green x)=0$ homogeenisuutta ei ole määritelty, koska yhtälö ei ole lineaarinen.

Varo: Homogeenisuutta käytetään joissain lähteissä hieman eri tarkoitukseen, josta käytämme termiä tasa-asteinen.

Separoituva

Ensimmäisen kertaluvun separoituvassa DY:ssä derivaatta $\red y'(\green x)$ voidaan kirjoittaa kahden funktion $g(\green x)$ ja $h(\red y)$ tulona. Esimerkiksi $\red y'(\green x) = 3\red y\green x^2$ on separoituva, koska $\red y'(\green x) = g(\green x)h(\red y),$ kun $g(\green x) = \green x^2$ ja $h(\red y)= 3\red y.$

Separoitaessa ODY:ä ratkaistava funktio $f(\red x,\green y)$ oletetaan yhden muuttujan funktioiden tuloksi $f(\red x,\green y) = \red X(x)\green Y(y).$

Separoituvuus tarkoittaa, että yhtälö voidaan kirjoittaa $\green x$ ja $\red y$ eroteltuna, eli separoituna yhtälön eri puolille.

Tasa-asteinen

Ensimmäisen kertaluvun DY on tasa-asteinen, jos se voidaan kirjoittaa muodossa $\red y'(\green x)=h\Big(\frac{\red y(\green x)}{\green x}\Big).$ Tämä voidaan muokata separoituvaksi sijoittamalla $\blue u(\green x)=\dfrac{\red y(\green x)}{\green x}.$

Normaalimuotoinen ja implisiittinen

Normaalimuotoisessa DY:ssä korkein derivaatta esitetään muiden derivaattojen $\red y(\green x)$ on "nollas" derivaatta ja muuttujan $\green x$ funktiona. Esimerkiksi 1. kertaluvun DY $\red y'(\green x)=\red y(\green x)+\green x$ on normaalimuotoinen.

Ensimmäisen kertaluvun DY voidaan aina kirjoittaa muodossa $F(\green x,\red y(\green x),\red y'(\green x))=0.$ Tätä muotoa kutsutaan implisiittimuodoksi. Joskus yhtälö voidaan ratkaista derivaatan $\red y'(\green x)$ suhteen, eli kirjoittaa normaalimuodossa $\red y'(\green x)=f(\green x,\red y(\green x)).$ Esimerkiksi yhtälöä $\blue \sin(\red y'(\green x))+\red y'(\green x)=0$ ei voi esittää normaalimuodossa.

Myös DY:n ratkaisu on joskus järkevää jättää implisiittiseen muotoon, kuten yhtälön $\red y'(\green x)(3\red y(\green x)^2+1)=1$ ratkaisu $\red y(\green x)^3+\red y(\green x)=\green x+C.$

Testaa ymmärryksesi

# DYlleonnormaalimuoto

DY:n ratkaiseminen

DY:n ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen toteuttavien funktioiden löytämistä. Ratkaisujen tulee toteuttaa myös mahdolliset reunaehdot.

Verrataan tätä toisen asteen polynomiin ${\green x}^2-4=0.$ Polynomin ratkaisemiseksi ei riitä löytää lukua ${\green x}=2,$ sillä myös ${\green x}=-2$ toteuttaa yhtälön. Koska muita yhtälön toteuttavia arvoja ei ole, on ratkaisu siis ${\green x}=\pm2.$

Jos olisi annettu alkuehto ${\green x}>0,$ olisi ratkaisu yksikäsitteinen ${\green x}=2.$

DY:n $\red y'({\green x})=\red y$ ratkaisu on $\red y({\green x})=Ce^{\green x},\;C\in\mathbb{R}.$ Tästä saadaan alkuehdolla $\red y(\green 0)=2$ yksikäsitteinen ratkaisu $\red y({\green x})=2e^{\green x}.$

Usein hyväksyttäviä ratkaisuja rajoittavat reunaehdot päätellään tilannetta kuvaavasta fysiikasta.

Lineaarisesti riippumaton

Funktiot $\red y_1$ ja $\red y_2$ ovat lineaarisesti riippumattomia (LI, linearly independent), jos ei löydy lukua jolla kertomalla funktiot saataisiin yhtäsuuriksi. Eli $\red y_1(\green x) \ne C\red y_2(\green x)$ kaikilla $\green x.$ Hieman täsmällisemmin lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä, että yhtälö $a_1\red y_1(\green x) + a_2 \red y_2(\green x) = 0 \quad \text{kaikilla } \green x$ toteutuu vain, kun a_1=a_2=0.

$\red f(\green x)=\green x$ ja $\red g(\green x)=3\green x$ eivät ole LI, koska $3\red f(\green x)-\red g(\green x)=0.$
$\red f(\green x)=\green x$ ja $\red g(\green x)=\green x^2$ ovat LI
$3\green x^2+4\green x,$ $\green x^2$ ja $8\green x$ eivät ole LI, koska $3\green x^2+4\green x-3(\green x^2)-\frac{1}{2}(8\green x)=0$

Jos funktiot eivät ole LI, sanotaan niiden olevan lineaarisesti riippuvat (LD, linearly dependent).

Yleisesti

Funktiot $\red y_1,\red y_2,...,\red y_k$ ovat LI jos $\sum_{n=1}^{k}c_n\red y_n(\green x)= 0$ kaikilla $\green x$ toteutuu vain kun kaikki kertoimet c_n ovat nollia.

Kertaluvun lineaarisen homogeenisen DY:n kaikki ratkaisut ovat esitettävissä $k\text{:n}$ lineaarisesti riippumattoman funktion lineaarikombinaationa. Näiden funktioiden joukkoa sanotaan ratkaisukannaksi.

Erikoisratkaisu

Erikoisratkaisulla tarkoitetaan epähomogeenisen lineaarisen DY:n toteuttavaa yksittäistä ratkaisua. Jos tiedetään ratkaisu DY:n homogeeniselle vastineelle, saadaan kaikki ratkaisut yhdistämällä homogeeniosan ratkaisu ja erikoisratkaisu.

Tarkastellaan DY:tä $\red y''(\green x)-5\red y'(\green x)+6\red y(\green x)=\green x.$ Erikoisratkaisu $\red y_e(\green x)=\green x+5$ löydetään sijoittamalla polynomi $\red y_e(\green x)=A\green x+B$ ja selvittämällä kertoimet ja

DY:n homogeeninen osa on $\red y''(\green x)-5\red y'(\green x)+6\red y(\green x)=0.$ Tämän ratkaisu on (katso DY:n ratkaiseminen osa 1) $\red y_h(\green x)=C_1e^{3\green x}+C_2e^{2\green x}.$ DY:n kaikki ratkaisut ovat muotoa "erikoisratkaisu + homog. ratkaisu" $\red y_e(\green x)+\red y_h(\green x)=\green x+5+C_1e^{3\green x}+C_2e^{2\green x}.$

Ratkaisujen olemassaolo

Polynomilla $\green x^2=-1$ ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Tällaista nähdään myös differentiaaliyhtälöissä. Kaikille differentiaaliyhtälöille ei ole olemassa ratkaisua. Myöskään kaikille alku- tai reuna-arvotehtäville ei ole ratkaisua.

Tietenkin ratkaisun löytäminen todistaa myös sen olemassaolon, mutta tämä voi olla paljon vaikeampaa.

Alku- ja reuna-arvotehtävät

Alkuarvotehtävässä kiinnitetään funktion ja sen derivaattojen arvo yhdessä pisteessä. $\begin{align*} &\text{Alkuarvotehtävä}\\ &\begin{cases} \red y''(\green x)-\red y'(\green x)+2\red y(\green x)=0\\ \red y(\green 0)=\blue 2\\ \red y'(\green 0)=\blue 0. \end{cases} \end{align*}$ Reuna-arvotehtävässä puolestaan kiinnitetään funktion tai sen derivaatan arvo useammassa eri pisteessä, esimerkiksi tarkasteluvälin päätepisteissä.

$\begin{align*} &\text{Reuna-}\text{arvotehtävä}\\ &\begin{cases} \red y''(\green x)-\red y'(\green x)+2\red y(\green x)=0\\ \red y(\green 0)=\blue 0\\ \red y(\green 5)=\blue {7}. \end{cases} \end{align*}$

Ominaisarvotehtävä

Esimerkki ominaisarvotehtävästä:

Millä muuttujan $\blue k$ arvoilla reuna-arvotehtävällä $\begin{cases} \red y''(\green x)=\blue k\red y(\green x)\\ \red y(\green 0)=0\\ \red y(\green l)=0 \end{cases}$ on nollasta eroavia ratkaisuja? Näitä $\blue k$ :n arvoja sanomme ominaisarvoiksi.

Ominaisarvotehtävistä voit lukea enemmän täältä.

# tyypit

Yhtälötyyppejä

Ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä

Mobiililaitteelle

Toisen kertaluvun yhtälöitä

Mobiililaitteelle

# testi

Testaa osaamisesi

# Mrittelediffyhtltyypit