# -potenssi-ja-juuret

Potenssit ja juuret

# potenssien-laskusäännöt

Potenssien laskusäännöt

Potenssimerkinnällä a^n tarkoitetaan lukua, joka saadaan kun kerrotaan reaaliluku itsellään kertaa. Lisäksi sovitaan, että

$a^0=1\quad\text{ja}\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

Seuraavat säännöt pätevät, kun ja ovat positiivisia kokonaislukuja.

$\vphantom{\|}\displaystyle a^m\cdot a^n = a^{m+n}$	Samankantaisten tulo.
$\vphantom{\|}\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	Samankantaisten osamäärä.
$\vphantom{\|}\displaystyle \left(a^m\right)^n = a^{mn}$	Potenssin potenssi.
$\vphantom{\|}\displaystyle \left(ab\right)^n = a^nb^n$	Tulon potenssi on potenssien tulo.
$\vphantom{\|}\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	Osamäärän potenssi on potenssien osamäärä.

Mutta miksi?

Samankantaisten tulo

Annetaan todistuksen idea samankantaisten lukujen tulolle tarkastelemalla tapausta n=4 ja m=3 $\begin{aligned}a^4\cdot a^3&=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a}_{4\, \text{kpl}} \cdot\underbrace{a\cdot a\cdot a}_{3\, \text{kpl}}\\ &=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{7\, \text{kpl}}= a^{4+3} =a^7. \end{aligned}$

Jatketaan samoilla luvuilla ja ja perustellaan loput säännöt:

$\begin{align*}\begin{aligned}\frac{a^m}{a^n}&=\frac{a^m}{a^n}=\frac{a^3}{a^4}=\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a} \\&=\frac{1}{a}=a^{-1}=a^{3-4}=a^{m-n}\end{aligned}\end{align*}$

Sääntö 3:

$\begin{align*}(a^m)^n&=(a^3)^4=a^3\cdot a^3\cdot a^3\cdot a^3\\&=a^{3+3+3+3}=a^{3\cdot 4}=a^{nm}\end{align*}$

Sääntö 4: $\begin{align*}(ab)^n&=(ab)^4=(ab)(ab)(ab)(ab)\\&=a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b=a^4b^4=a^nb^n\end{align*}$

Sääntö 5: $\begin{align*}\left(\frac{a}{b}\right)^n&=\left(\frac{a}{b}\right)^4=\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\\&= \frac{a\cdot a\cdot a\cdot a}{b\cdot b\cdot b\cdot b}=\frac{a^4}{b^4}=\frac{a^n}{b^n}\end{align*}$

# juuret

Juuret

Yleinen juuri määritellään potenssiin korottamisen "käänteiseksi operaatioksi":

$b=\sqrt[n]{a}\iff b^{n}=a,$

missä b>0, jos on parillinen. Lisäksi merkitään

$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}$

Potenssi juureksi

josta saadaan myös murtopotenssin määritelmä

$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$

Murtopotenssi

Esimerkkejä potenssien laskusäännöistä

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Eksponenttien sieventäminen:

Sievennä $\quad$ (a) $(2\cdot r^4)^\frac{3}{4}\quad$ $\quad$ (b) $\dfrac{x^3}{(3\cdot x)^2}.$

(a) $\quad$ Sievennetään lauseketta sääntöjä käyttäen:

$(2\cdot r^4)^\frac{3}{4}=2^\frac{3}{4}\cdot r^{4\cdot\frac{3}{4}}=2^\frac{3}{4}\cdot r^3$

(b) $\quad$ Sievennetään lauseketta sääntöjä käyttäen:

$\dfrac{x^3}{(3\cdot x)^2}=\dfrac{x^3}{9\cdot x^2}=\dfrac{x^{3-2}}{9}=\dfrac{x}{9}$

Negatiivisen luvun potenssi: Sievennä lauseke $t\cdot(-t)^4 + (-t)^5$ .

Laskujärjestyksen mukaan on ensin laskettava potenssit. Saadaan (-t)^4 = t^4 , sillä on parillinen luku ja (-t)^5=-t^5 , sillä on pariton luku. Tällöin lauseke sievenee muotoon

$\begin{aligned}t\cdot(-t)^4 + (-t)^5 &= t\cdot t^4 -t^5 \\ &= t^5-t^5 \\ &= 0 \end{aligned}$

Negatiivisen luvun potenssi: Laske (-a)^n , kun a>0 ja on kokonaisluku.

Tarkastellaan erikseen tilanteet n > 0, n = 0 ja n < 0 .

Jos ja kokonaisluku, niin on joko parillinen tai pariton. Jos on parillinen, niin . Jos on pariton niin .
Jos , niin laskusääntöjen nojalla.
Jos ja kokonaisluku, niin $(-a)^n=\frac{1}{(-a)^{-n}}.$ Jos on parillinen, niin $(-a)^{-n}=a^{-n}$ ja siten $(-a)^n=\frac{1}{(-a)^{-n}} = \frac{1}{a^{-n}} = a^n$ .

Jos on pariton, niin $(-a)^{-n}=-a^{-n}$ ja siten $(-a)^n=\frac{1}{(-a)^{-n}} = \frac{1}{-a^{-n}} = -a^n$ .

# eksponenttifunktio

Eksponenttifunktio

Funktiota

$f(x)=a^x,\quad a>0$

kutsutaan eksponenttifunktioksi. Tässä voi olla mikä tahansa reaaliluku.

Seuraavat laskusäännöt ovat voimassa, kun ja ovat reaalilukuja:

$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$	Samankantaisten tulo.
$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$	Samankantaisten osamäärä.
$\left(a^x\right)^y = a^{xy}$	Potenssin potenssi.
$\left(ab\right)^x = a^xb^x$	Tulon potenssi on potenssien tulo.
$\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}$	Osamäärän potenssi on potenssien osamäärä.

Eksponenttifunktion ja logaritmifunktion kuvaajat:

Alla olevassa GeoGebra-appletissa esitellään logaritmi- ja eksponenttifunktioiden kuvaajia.

Voit valita laatikosta, mitkä kuvaajat haluat näkyviin.

Tutki liukusäätimellä, miltä kuvaajat näyttävät eri :n arvoilla.

# geo_log_ja_eksp

# luonnollinen_eksponenttifunktio

Luonnollinen eksponenttifunktio

Luonnolliseksi eksponenttifunktioksi kutsutaan eksponenttifunktiota, jonka kantalukuna on Neperin luku , ja sitä merkitään $\exp(x) = e^x.$ Funktio saa aidosti positiivisia arvoja kaikilla $x\in\mathbb{R}$ ja lisäksi se on aidosti kasvava.

Luonnollisen eksponenttifunktion derivaatan löydät täältä.

Neperin luvusta ja eksponenttifunktion määritelmästä:

Määritelmä: Neperin luvun eräs määritelmä on $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$ Neperin luvun likiarvo on $e\approx2,718282$ .

Neperin luku on nimetty matemaatikko John Napierin mukaan, vaikka hän ei itse tätä määritelmää esittänytkään.

Luonnollisen eksponenttifunktion määritelmä: Eksponenttifunktion $\exp(x)=e^x$ yksi määritelmä on $e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n,$ joka mukailee Neperin luvun määritelmää.

Eksponenttifunktiolla e^x on derivointiin liittyvä tärkeä ominaisuus $\frac{d}{dx} e^x = e^x.$ On mahdollista osoittaa, että luonnollinen eksponenttifunktio on (vakiota vaille) ainoa funktio jolla on kyseinen ominaisuus. Toisin sanoen, jos $\frac{d}{dx} f(x) = f(x)$ niin on oltava f(x) = Ce^x , missä on jokin vakio.

Esimerkkejä eksponenttifunktion laskusäännöistä

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Ratkaise eksponenttiyhtälö: Ratkaise yhtälöstä $2 k c^b=(5 c^a)^\frac{b-1}{a},$ missä k>0 .

Ratkaistaan yhtälöstä käyttäen apuna potenssin tulosääntöä:

$\begin{aligned} 2 k c^b&=(5 c^a)^\frac{b-1}{a} &&\Big| (ab)^x=a^xb^x\\ 2 k c^b&=5^\frac{b-1}{a}c^{a\cdot \frac{b-1}{a}} \\ 2 k c^b&=5^\frac{b-1}{a}c^{b-1} &&\Big|:c^{b-1}\\ 2k\cdot \frac{c^b}{c^{b-1}}&=5^\frac{b-1}{a} &&\Big| \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\\ 2k\cdot c^{b-(b-1)}&=5^\frac{b-1}{a}&&\Big|:2k\\ c&=\frac{5^\frac{b-1}{a}}{2k} \end{aligned}$

Eksponenttien sieventäminen (Harmoninen värähtelijä, fysiikka): Arvioi harmonisen värähtelijän tilojen n=2 ja n=4 todennäköisyyksien suhdetta, kun todennäköisyys tilalle on $p_n=\frac{1}{Z}e^{-E_n/kT},$ missä normitustekijä on vakio. Tilan energia on $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$ . Kumpi tiloista on todennäköisempi?

Harmonisen värähtelijän eri tilojen energiat saadaan kaavalla $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,$ missä $n=0, 1, 2, \ldots$ ja $\omega$ on kulmataajuus. Tämän värähtelijän todennäköisyys sille, että se on tietyssä mikrotilassa saadaan kaavasta

$p_n=\frac{1}{Z}e^{-E_n/kT},$ missä on normitustekijä. Näiden todennäköisyyksien p_n muodostamaa jakaumaa kutsutaan Boltzmann-jakaumaksi.

Lasketaan mikrotilojen n=2 ja n=4 todennäköisyyksien suhde. Todennäköisyys tilalle n=2 on p_2 ja tilalle n=4 vastaavasti p_4 . Huomaa, että E_m>E_n aina kun m>n . Tällöin

$\begin{align*} \frac{p_2}{p_4}&=\frac{\frac{1}{Z}e^{-E_2/kT}}{\frac{1}{Z}e^{-E_4/kT}} =\frac{e^{-E_2/kT}}{e^{-E_4/kT}}=e^{-E_2/kT-(-E_4/kT)}\\ &=e^{(-E_2+E_4)/kT}. \end{align*}$ Huomataan, että $\begin{align*} -E_2+E_4&=-\left(2+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega+\left(4+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\\ &=-\frac{5}{2}\hbar\omega+\frac{9}{2}\hbar\omega\\ &=2\hbar\omega>0, \end{align*}$ joten $e^{(-E_2+E_4)/kT}=e^{2\hbar\omega/kT}>1$

Siispä p_2 > p_4 , eli tila n=2 on todennäköisempi.