Logaritmi

# logaritmin-ja-eksponenttiyhtälön-yhteys

Logaritmin ja eksponenttiyhtälön yhteys

Luvun -kantainen logaritmi $\log_{a}x$ on luku, joka vastaa kysymykseen: "Mihin potenssiin $\color{red}a$ on korotettu, että on saatu $\color{blue}x$ ?"

Toisin sanoen $\log_{\color{red}a}{\color{blue}x} = y \iff {\color{red}a}^y = {\color{blue}x}.$ Huom: Määritelmän nojalla oltava $a > 0, a\ne 1$ ja x > 0 .

Logaritmin derivaatta löytyy täältä.

Logaritmifunktion ja ekponenttifunktion kuvaajat Miltä se siis näyttää?

Alla olevassa GeoGebra-appletissa esitellään logaritmi- ja eksponenttifunktioiden kuvaajia.

Voit valita laatikosta, mitkä kuvaajat haluat näkyviin.

Tutki liukusäätimellä, miltä kuvaajat näyttävät eri :n arvoilla.

# geo2

# geo_log_ja_eksp

Esimerkkejä logaritmeista

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Joitakin laskettuja logaritmeja:

Logaritmimuoto $\log_{\color{red}a}{\color{blue}x} = y$	Potenssimuoto $\color{red}{a}\color{black}^y = \color{blue}x$
$\log_{10} 100 = 2$
$\log_5 1 = 0$
$\log_{2a} 8a^3 = 3$

Logaritmin laskeminen: Laske $\log_{5} 125$ .

$\log_{5} 125 = 3 \quad \text{sillä} \quad 5^3 = 125.$

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen: Ratkaise logaritmiyhtälö $\log_{10}{(x+2)}=1.$

Logaritmin määritelmän nojalla $\log_{10}(x+2) = 1 \iff 10^1 = x+2$ joten yhtälö voidaan ratkaista tavanomaisin menetelmin:

$\begin{align*} \log_{10}(x+2) &= 1 \\ 10^1 &= x+2\\ x+2 &= 10\\ x &= 8 \end{align*}$

$\begin{aligned} \end{aligned}$

# logaritmimerkinnät

Yleisiä logaritmeja

Jotkin kantaluvut ovat käytössä useammin kuin toiset. Näille logaritmeille on otettu käyttöön lyhentäviä merkintöjä.

Merkintä	Tarkoittaa	Nimi
$\lg x$	$\log_{10}x$	Kymmenkantainen logaritmi
$\ln x$	$\log_{e}x$	Luonnollinen logaritmi
$\text{lb} \ x$	$\log_{2}x$	Binäärilogaritmi
$\log x$	$\log_{e}x$	Luonnollinen logaritmi (matematiikassa)

Esimerkiksi $\text{lb} \ 64 = 6$ , sillä 2^6 = 64 .

Huom: Merkintää $\log x$ käytetään joskus myös silloin, kun kantaluvulla ei ole merkitystä.

Logaritmin laskusäännöt

Logaritmin määritelmästä saadaan seuraavat yleisesti käytettävät kaavat:

Sääntö	Perustelu
$\log_a a = 1$
$\log_a 1 = 0$
$\log_{\blue{a}} \red{a^x} = x$	$\blue{a}^x \color{black} = \red{a^x}$
$\red a\color{black}^{\log_a(x)} = \blue{x}$	$\log_{\red{a}} \blue{x} \color{black} = \log_a x$

Mutta miksi?

$\log_{\color{blue}{a}} \color{red}{a^x} \color{black} = x:$

Luku ${\log_{\textcolor{blue}{a}}\textcolor{red}{a^x}}$ on se eksponentti, mihin $\textcolor{blue}{a}$ pitää korottaa, jotta saadaan $\textcolor{red}{a^x}$ . Lisäksi eksponentin on oltava tietenkin .
$\color{red}a\color{black}^{\log_a(x)} =\color{blue}{x}:$

Luku $\log_a(x)$ on se eksponentti, mihin $\color{red}a$ pitää korottaa, jotta saadaan $\color{blue}x$ .

Kun logaritmi on määritelty, pätevät myös seuraavat laskusäännöt:

	Sääntö
Summa	$\log_{a}(x) + \log_{a}(y) = \log_{a}(x\cdot y)$
Erotus	$\log_{a}(x) - \log_{a}(y) = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
Potenssi	$\log_{a}(x^b) = b\cdot \log_{a}(x)$
Kannanvaihto	$\log_a x = \frac{\log_bx}{\log_ba}$

Mutta miksi?

Säännöt voidaan perustella logaritmin määritelmää käyttämällä.

Logaritmien summa:

Merkitään $A=\log_a(x)$ ja $B=\log_a(y)$ . Nyt logaritmin määritelmän perusteella x=a^A ja y=a^B, jolloin eksponenttifunktion laskusääntöjen nojalla $x\cdot y=a^A\cdot a^B=a^{A+B}.$ Hyödynnetään tätä ja käytetään logaritmin sääntöä $\log_a(a^x)=x$ : $\begin{align*} \log_a(x\cdot y)&=\log_a\left(a^{A+B}\right)\\ &=A+B\\ &=\log_a(x)+\log_a(y). \end{align*}$

Logaritmien erotus

Sääntö voidaan johtaa vastaavalla päättelyllä, kuten summa.

Logaritmi potenssifunktiosta

Sääntö voidaan perustella kokonaisluvuille käyttämällä logaritmien summasääntöä:

$\begin{aligned} \log_a(x^b) &= \log_a(x\cdot x \cdot ... \cdot x) \\ &= \log_a (x) + \log_a (x) + \dots + \log_a (x) \\ &= b\cdot \log_a(x) \end{aligned}$

Logaritmin kannanvaihto

Merkitään $A = \log_a (x)$ ja $B = \log_b (x)$ . Logaritmin määritelmän perusteella x = a^A ja x = b^B , joten

$\begin{aligned} \log_b(x) &= \log_b(a^A) &&\Big| \ \log_a(x^b) = b\cdot \log_a(x) \\ &= A\cdot \log_b(a) &&\Big| \ A = \log_a(x)\\ &= \log_a(x)\log_b(a) \end{aligned}$ josta saadaan ratkaistua $\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}.$

Esimerkkejä logaritmin laskusäännöistä

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Logaritmien sieventäminen: Sievennä $\log_a 3x + \log_a 2x - \log_a x$ .

Sievennetään lauseke käyttämällä logaritmin summa- ja erotussääntöjä: $\begin{aligned}\log_a 3x + \log_a 2x - \log_a x &= \log_a (3x\cdot2x) - \log_a x &&\Big| \log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x\cdot y)\\ &= \log_a 6x^2 - \log_a x &&\Big| \log_a (x) - \log_a (y) = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\\ &= \log_a\left(\frac{6x^2}{x}\right) \\ &= \log_a 6x \end{aligned}$

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen:

Ratkaise yhtälöstä $\quad\ln p = \ln \left[\beta \exp\left(-\dfrac{\Delta H}{RT}\right)\right]$ .

Yhtälö voidaan ratkaista tutkimalla ensin, mitä :n ympärillä on, ja riisumalla ympäriltä merkintöjä uloimmasta lähtien.

Ratkaisu:

$\begin{aligned}\ln p &= \ln \left[\beta \exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right)\right] &&\Big| \ln a = \ln b \iff a = b \\ p &= \beta \exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right) \\ \frac{p}{\beta} &= \exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right) &&\Big|a = b \iff \ln a = \ln b \\ \ln\left(\frac{p}{\beta}\right)&=\ln\left(\exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right)\right) &&\Big|\ln\left(\exp(x)\right)=\ln(e^x) = x \\ \ln\left(\frac{p}{\beta}\right)&=-\frac{\Delta H}{RT} &&\Big| \cdot \frac{RT}{\ln\left(\frac{p}{\beta}\right)}\\ RT &=-\frac{\Delta H}{\ln\left(\frac{p}{\beta}\right)} \\ T &= -\frac{\Delta H}{R\ln\left(\frac{p}{\beta}\right)} \\ \end{aligned}$

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen:

Ratkaise yhtälöstä $\Delta G + RT \ln K = 0$ .

Ratkaistaan yhtälöstä käyttäen apuna logaritmin sääntöjä: $\begin{aligned}\Delta G + RT\ln K &= 0 \\ RT\ln K &= - \Delta G \\ \ln K &= - \frac{\Delta G}{RT} && \Big| a = b \iff e^a = e^b\\ \\ e^{\ln K} &= e^{-\frac{\Delta G}{RT}} &&\Big| e^{\ln x} = x\\ K &= e^{-\frac{\Delta G}{RT}} \\ \end{aligned}$

Integrointi, logaritmeilla laskeminen (Ideaalikaasun isoterminen prosessi):

Osoita, että isotermisessä reversiibelissä prosessissa tehty työ on $W=nRT \ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right),$ kun $W=-\dint_{V_i}^{V_f}p \, \text{d}V$ ja pV=nRT , missä nRT =vakio.

Tehty työ on

$W=-\int_{V_i}^{V_f}p\,dV,$

missä V_i on tilavuus alussa ja V_f tilavuus lopussa.

Ideaalikaasulaista pV=nRT ratkaisemalla paine, saadaan työ muotoon (ks. integrointisäännöt)

$\begin{aligned} W&=-\int_{V_i}^{V_f}p\,dV && \Big|\, p = \frac{nRT}{V}, \ nRT = \text{vakio}\\ &=-nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV\\ &=-nRT\intsub{V_i}{V_f}\ln V\\ &=-nRT\left(\ln V_f-\ln V_i\right) && \Big|\log_{a}(x) - \log_{a}(y) = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right) \\ &=-nRT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)&& \Big|\log_{a}(x^b) = b\cdot \log_{a}(x)\\ &=nRT\ln\left(\left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{-1}\right) && \Big|\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a} \\ &=nRT\ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right). \end{aligned}$

(Muokattu Esimerkki 17.2 Knight, second edition)

Logaritmin kannanvaihto: Kirjoita logaritmifunktio $f(x) = \log_{0.5} x$ siten, että kantalukuna on Neperin luku .

Kannanvaihto saadaan kaavalla $\begin{aligned}\log_{\color{red}a} x &= \frac{\log_{\color{blue}b} x}{\log_{\color{blue}b}{\color{red}a}} && \Big| \quad {\color{red}a} = 0.5, {\color{blue}b} = e\\ \log_{0.5} x &= \frac{\log_e x}{\log_e 0.5} \end{aligned}$ Siispä $\begin{aligned}f(x) &= \log_{0.5} x \\ &= \frac{\log_e x}{\log_e 0.5} = \frac{\ln x}{\ln 0.5} \end{aligned}$ Halutessaan likiarvon luvulle $\ln 0.5$ voi laskea laskimella.