Kompleksiluvut

Kompleksilukujen merkinnöistä

Klikkaa merkintää tai käsitettä , josta haluat lisätietoja.

Imaginaariyksikkö:

Imaginaariyksikkö on luku, jolle i^2 = -1 . Joskus käytetään myös merkintää $i = \sqrt{-1}$ .

Imaginaariyksikön yleisin merkintä on , mutta joskus harvoin käytetään myös kirjaimia ja .

Kompleksiluvut: $x + yi, \ x - yi , \ x + iy, \ re^{i\theta}, \ r(\cos (\theta) + i \sin (\theta))$

Merkinnöillä merkitään kompleksilukuja. Kompleksiluvulla lasketaan samaan tapaan kuin reaaliluvuilla, mutta muistaen että i^2 = -1 .

Jokaisen kompleksiluvun voi esittää

karteesisessa muodossa , missä ja ovat reaalilukuja.
napakoordinaattimuodossa $z = r(\cos (\theta) + i \sin (\theta)) \gray{ \ = \ re^{i\theta}}$ , missä $\theta$ on reaaliluku ja positiivinen reaaliluku.

Tarkemmin esitysmuodoista kohdassa geometrinen tulkinta.

Reaaliosa ja imaginaariosa: $\text{Re}(x+yi), \ \text{Im}(x+yi), \ \text{Re}(z), \ \text{Im}(z)$

Kompleksiluvun x+yi reaaliosa on ja imaginaariosa .

Merkitään $\text{Re}(\green x+yi) = \green x \quad \quad \text{Im}(x+\red yi) = \red y$ Huomaa, että imaginaariyksikko ei kuulu imaginaariosaan.

Kompleksiluvun voi esittää tarvittaessa muodossa $z = \Re(z) + \Im(z)i.$

Kompleksikonjugaatti, liittoluku: $z^*, \quad w^*, \quad \overline{z}$

Merkinnöillä tarkoitetaan kompleksiluvun tai kompleksikonjugaattia.

Kompleksiluvun z = x + yi kompleksikonjugaatti on z^* = x - yi .

Toisin sanoen: kompleksiluvun konjugaatti saadaan vaihtamalla imaginaariyksikön etumerkki.

Luku	Konjugaatti

$w = re^{i\theta}$	$w^*=re^{-i\theta}$
$\upsilon = - 3 - i$	$\upsilon^* = -3 + i$

Kompleksiluvun pituus, normi, itseisarvo, moduli: $|z|, \quad |w|, \quad |x+yi|$

Kompleksiluvun z = x+yi pituus, eli normi on $|z| = \sqrt{x^2+y^2}.$

Pituus on aina positiivinen reaaliluku.

Mikäli kompleksiluvun ajattelee tason pisteenä, seuraa kompleksiluvun pituuden kaava Pythagoraan lauseesta.

Tähän voisi merkata vielä, että mistä tuo √(x^2 +y^2) tulee: |z|=√(zz*)=…

— 03 Sep 20 (edited 03 Sep 20)

Kiitos ehdotuksesta. Tähän liittyen on esimerkkitehtävä alempana :)

— 11 Sep 20 (edited 11 Sep 20)

Merkinnät lyhyesti

Kun $z = x+iy = re^{i\theta}$ , niin

Merkintä	Käyttö	Selitys
		Imaginaariyksikkö
$\Re$	$\Re(z) = x$	Reaaliosa
$\Im$	$\Im(z) = y$	Imaginaariosa
	$\|z\| = \sqrt{x^2+y^2} = r$	Pituus, normi
	$z^* = x-iy = re^{-i\theta}$	Konjugaatti

# laskusäännöt

Kompleksilukujen laskusäännöt

Kompleksiluvuilla voi laskea samaan tapaan, kuin reaaliluvuilla. Erona on, että lopputuloksessa käytetään tietoa i^2=-1 .

Mutta miksi?

Yleiset laskusäännöt: Olkoon z=a+bi ja w=c+di , missä $a,b,c,d\in \R$ .

$0\cdot i=0,$ koska $0^2\cdot i^2=0\cdot (-1)=0.$

$\frac{1}{i}=-i,$ koska $\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\frac{i}{i}=\frac{i}{i\cdot i}=\frac{i}{-1}=-i.$

$\frac{1}{z}=\frac{z^*}{|z|^2},$ kun $z\ne 0,$ koska $\begin{align*} \frac{1}{z}&=\frac{1}{z}\frac{z^*}{z^*} =\frac{z^*}{zz^*}=\frac{z^*}{(a+bi)(a-bi)}\\&=\frac{z^*}{a^2-abi+abi-b^2i^2}=\frac{z^*}{a^2+b^2} =\frac{z^*}{|z|^2}. \end{align*}$

$\frac{z}{w}=\frac{zw^*}{|w|^2},$ kun $w\ne 0,$ koska $\frac{z}{w}=\frac{z}{w}\frac{w^*}{w^*} \frac{zw^*}{ww^*}=\frac{zw^*}{|w|^2}$

$\begin{align*} (z+w)^*&=((a+bi)+(c+di))^*\\&=((a+c)+(b+d)i)^*\\&=(a+c)-(b+d)i\\&=(a-bi)+(c-di)=z^*+w^* \end{align*}$

$\begin{align*} (zw)^*&=((a+bi)(c+di))^*\\&=((ac-bd)+(ad+bc)i)^*\\&=(ac-bd)-(ad+bc)i\\&=ac-bd-adi-bci\\&=(a-bi)(c-di)=z^*w^* \end{align*}$

|zw|=|z||w|, koska |zw|^2=zwz^*w^*=zz^*ww^*=|z|^2|w|^2 .

$\text{Re}(z)=\frac12(z+z^*),$ koska $\begin{align*}\frac12(z+z^*)&=\frac12((a+ib)+(a-ib))\\&=\frac12(2a)=a=\Re(z).\end{align*}$

$\text{Im}(z)=\frac{1}{2i}(z-z^*),$ koska $\begin{align*}\frac{1}{2i}(z-z^*)&=\frac{1}{2i}((a+ib)-(a-ib))\\&=\frac{1}{2i}(2ib)=b=\Im(z).\end{align*}$

Kun $\blue{z_1 = x_1+iy_1}$ ja $\red{z_2 = x_2 + iy_2}$ : $\begin{align*} z_1+z_2&=(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)\\&=x_1+iy_1+x_2+iy_2\\&=x_1+x_2+iy_1+iy_2\\&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i \end{align*}$

$\begin{align*} z_1-z_2&=(x_1+iy_1)-(x_2+iy_2)\\&=x_1+iy_1-x_2-iy_2\\&=x_1-x_2+iy_1-iy_2\\&=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i \end{align*}$

$\begin{align*} z_1z_2&=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)\\&=x_1x_2+ix_1y_2+iy_1x_2+i^2y_1y_2\\&=x_1x_2-y_1y_2+(x_2y_1+x_1y_2)i \end{align*}$

Reaalilukujen distributiivisuudesta seuraa $\lambda z=\lambda(x+yi)=\lambda x+\lambda iy$ .

Kun $\blue{z = re^{i\theta}}$ reaaliluvuilla $\blue{r\ge0}$ ja $\blue\theta$ :

Hyödyntämällä kaavaa $e^z=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ voidaan osoittaa, että $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ .

$i^{0+4n}=,1$ $i^{1+4n}=i,$ $i^{2+4n}=-1$ ja $i^{3+4n}=-i,$ joten $\begin{align*} e^{i\theta}=&\ 1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}\\&\ +\frac{(i\theta)^5}{5!}+ \frac{(i\theta)^6}{6!}+\frac{(i\theta)^7}{7!}+\dots\\ =&\ 1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}\\&\ - \frac{\theta^6}{6!}-i\frac{\theta^7}{7!}\dots \end{align*}$ Järjestellään sarjaa uudelleen ja tunnistetaan funktioiden $\cos\theta$ ja $\sin\theta$ taylorin sarjat: $\begin{align*} e^{i\theta}=&\ \left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\dots\right)\\&\ + i\left(\theta-\frac{i\theta^3}{3!}+\frac{i\theta^5}{5!}-\frac{i\theta^7}{7!}+\dots\right)\\=&\ \cos\theta+i\sin\theta \end{align*}$

(Huom. varsinkin tälle tulokselle löytyy monia todistuksia ja tämä todistus vaatii ymmärrystä Taylorin polynomista.)

$\begin{align*}|e^{i\theta}|&=|\cos\theta+i\sin\theta|\\&=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1\end{align*}$

$|z|=|re^{i\theta}|=|r||e^{i\theta}|=r\cdot 1=r$

Kosini ja sini ovat $2\pi$ -jaksollisia, joten $\cos(\theta+2\pi n)=\cos\theta$ ja $\sin(\theta+2\pi n)=\sin\theta$ kaikilla $\theta \in \R$ . Nyt $\begin{align*} re^{i(\theta+2\pi n)}&=r(\cos(\theta+2\pi n)+i\sin(\theta+2\pi n))\\&=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}. \end{align*}$

Kun $\blue{z_1 = r_1e^{i\theta_1}}$ ja $\red{z_2 = r_2e^{i\theta_2}}$ : $\begin{align*} z_1z_2&=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}\\&=r_1r_2e^{i\theta_1+i\theta_2} =r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} \end{align*}$

$\dfrac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i \theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{\theta_1i-\theta_2i}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{(\theta_1-\theta_2)i}$

Kompleksinen sini ja kosini

$\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ ja $\sin(-\theta)=-\sin(\theta),$ joten $\begin{align*} \dfrac12(e^{i\theta}+e^{-i\theta})&=\dfrac12(\cos\theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta)\\&=\dfrac12(2\cos\theta)=\cos\theta. \end{align*}$ Tämän tuloksen nojalla kompleksinen kosini määritellään: $\cos(z)=\dfrac12(e^{iz}+e^{-iz})\text{ kaikilla }z\in\mathbb{C}.$

$\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ ja $\sin(-\theta)=-\sin(\theta),$ joten $\begin{align*} \dfrac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})&=\dfrac{1}{2i}(\cos\theta+i\sin\theta-\cos\theta+i\sin\theta)\\&=\dfrac{1}{2i}(i\sin\theta)=\sin\theta. \end{align*}$ Tämän tuloksen nojalla kompleksinen sini määritellään: $\sin(z)=\dfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\text{ kaikilla }z\in\mathbb{C}.$

Esimerkkejä kompleksiluvuista

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Reaali- ja imaginaariosa, tulo: Määritä $\Re(zw)$ ja $\Im(zw)$ kun z = 3-5i ja w = 10i.

Lasketaan tulo niin kuin laskettaisiin reaaliluvuilla:

$\begin{aligned} zw &= (3-5i)(10i) \\ &= 3\cdot 10i -5i\cdot 10i\\ &= 30i - 50i^2 \end{aligned}$

Koska i^2 = -1 , niin saadaan

$\begin{aligned} zw &= 30i - 50i^2 \\ &= 30i - 50\cdot(-1) \\ &= 30i + 50 \\ &= 50 + 30i \end{aligned}$

Siispä $\begin{aligned} \Re(zw) &= 50 \\ \Im(zw) &= 30 \end{aligned}$

Kompleksiluvun pituus, summa: Laske |z+w| , kun $z = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ ja $w = 2 + \frac{3}{2}i$ .

Lasketaan ensin summa z+w :

$\begin{aligned} z+w &= \red{-\frac{1}{2}} + \blue{\frac{1}{2}i} + \red{2} +\blue{\frac{3}{2}i} &&\Big|\text{ \red{reaali-} ja \blue{imaginaariosat} yhteen} \\ &= \frac{3}{2} + 2i \end{aligned}$

Tällöin pituus |z+w| on

$\begin{aligned} |z+w| &= \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+2^2} \\ &= \sqrt{\frac{9}{4}+4} \\ &= \sqrt{\frac{25}{4}} \\ &= \frac{5}{2} \end{aligned}$

Kompleksilukujen osamäärä: Laske $\dfrac{5}{3-7i}$ .

Lavennetaan kompleksiluku nimittäjän konjugaatilla: $\begin{aligned} \frac{5}{3-7i} &= \frac{5\cdot(3+7i)}{(3-7i)(3+7i)} \\ &= \frac{15 + 35i}{3^2+7^2} \\ &= \frac{1}{58}(15+35i) \end{aligned}$

Laventaminen on yleinen kikka kompleksilukujen osamäärään kaavan muistamiseen: $\begin{aligned} \frac{z}{w} = \frac{zw^*}{ww^*} = \frac{zw^*}{|w|^2} \end{aligned}$

Kompleksikonjugaatti, normi: Osoita, että |z|^2 = z^*z .

Merkitään z = x+iy . Lasketaan molemmat puolet erikseen.

$\begin{aligned} |z|^2 &= (\sqrt{x^2+y^2})^2 \\ &= x^2+y^2 \\ \\ z^*z &= (x+iy)(x-iy) \\ &= x^2 - xiy + iyx - i^2y^2 \\ &= x^2+y^2 \end{aligned}$

Siispä |z|^2 = x^2 +y^2 = z^*z .

# geometrinen

Kompleksilukujen geometrinen tulkinta

Kompleksiluvun voi esittää koordinaatistossa, kuten kaksiulotteisen vektorin, asettamalla -akselille reaaliosan ja -akselille imaginaariosan. Vaihtoehtoisesti luvun voi esittää pituuden ja kulman avulla napakoordinaattimuodossa.

Kompleksiluku voidaan esittää

karteesisessa muodossa
- on reaaliosa $\Re(z)$
- on imaginaariosa $\Im(z)$
napakoordinaattimuodossa $z = re^{i\theta }$ ,
- on kompleksiluvun etäisyys origosta, eli (amplitudi)
- $\theta$ on -akselin ja pisteeseen piirretyn vektorin välinen kulma (argumentti, faasi)

Kompleksiluvun $z = \sqrt3+i$ voi esittää napakoordinaattimuodossa $z = 2e^{i\pi/6}$ . Kuvissa on esitetty kompleksiluvun ja sen konjugaatin z^* geometrinen tulkinta molemmilla esitystavoilla:

Esimerkkejä geometrisesta tulkinnasta

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Kompleksiluku napakoordinaattimuotoon: Määritä kompleksiluvun z = -1 + i esitys napakoordinaattimuodossa.

Tarkoitus on esittää muodossa $z = re^{i\theta}$ , missä

$\theta$ on -akselin ja kompleksiluvun välinen kulma
on kompleksiluvun pituus

Selvitetään ensin $\theta$ . Piirretään kuva tilanteen hahmottamiseksi:

(ks. geometrinen tulkinta)

Kuvassa $\red\theta$ on

-akselin ja kompleksiluvun välinen kulma.
--------------------------
Tällöin $\tan \red\theta = \frac{1}{-1} = -1.$

Ratkaistaan trigonometrinen yhtälö. Koska $\tan \theta = -1$ ja kompleksiluku sijaitsee yksikköympyrän toisessa neljänneksessä, niin tällöin $\theta = \frac{3\pi}{4}$ .

Selvitetään sitten . Koska r = |z| , niin $\begin{aligned} r = |z| &= \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{2} \end{aligned}$

Kompleksiluku napakoordinaattimuodossa on siis $z = \sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i}$

Kompleksiluku karteesiseen muotoon: Määritä kompleksiluvun $\displaystyle z = 5e^{\frac{7\pi}{4}i}$ esitys muodossa z = x + yi .

Eulerin säännön nojalla $\begin{aligned} 5e^{\frac{7\pi}{4}i} &= 5\left(\cos \left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin \left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) \\ &=5\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &=\frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{5}{\sqrt{2}}i \end{aligned}$

# derivointi

Kompleksifunktioiden derivointi

Kompleksiset funktiot derivoidaan samoin säännöin kuin reaaliset funktiot. Imaginaariyksikköä käsitellään kuten vakiota. Tällöin voidaan käyttää tavallisia derivointisääntöjä laskemaan esimerkiksi $\frac{d^2}{dt^2} e^{-i t} = -e^{-it}.$

Mutta miksi?

$\begin{aligned} \frac{d^2}{dt^2}e^{-it} &= \frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}e^{-it}\right) \\ &= \frac{d}{dt}\left(-ie^{-it}\right) \\ &= -i \cdot (-i)e^{-it} \\ &= -e^{-it} \end{aligned}$

Esimerkkejä kompleksisesta derivoinnista

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Kompleksifunktion derivointi, operaattorit: Osoita, että yksiulotteinen liikemääräoperaattori $\hat p = -\hbar i\frac{d}{d x}$ toteuttaa yhtälön $\hat pf(x,t) = \lambda f(x,t)$ jollakin vakiolla $\lambda$ , kun $f(x,t) = e^{i(kx -\omega t)}$ ja $\hbar$ on Planckin vakio.

Lasketaan vasen puoli sijoittamalla operaattori ja funktio: $\begin{aligned} \hat pf(x,t) &= -\hbar i\frac{d}{d x} \left(e^{i(kx -\omega t)}\right) \\ &= -\hbar i\frac{d}{d x} \left(e^{ikx -i\omega t}\right) \\ &= -\hbar i e^{ikx -i\omega t}\cdot ik &&\Big| \ -i\cdot i = 1\\ &= \hbar k e^{i(kx -\omega t)} &&\Big| \ \lambda = \hbar k \\ &= \lambda f(x,t) \end{aligned}$

Tehtävässä osoitetaan, että funktio on operaattorin $\hat p$ ominaisfunktio, jota vastaava ominaisarvo on $\lambda = hk$ .