Vektorit

Mikä on vektori?

Vektori on suure, jolla on suuruus (vektorin pituus) ja suunta. Skalaarisuureen kuvailuun sen sijaan riittää vain yksi luku.

Että mitä?

Vektori on luonnontieteissä mitattava suure. Vektorilla voidaan mallintaa ilmiöitä ja suureita, joiden tarkkaan kuvailuun ei riitä yksi reaaliluku. Esimerkiksi kappaleen nopeuden mallintamisessa kiinnostaa nopeuden suuruuden lisäksi myös se, mihin suuntaan nopeus on. Toisaalta taas kappaleen massan mallintamiseen riittää yksi luku.

Vektorisuureita ovat siis esimerkiksi

nopeus $\ve v$ , mitataan nopeuden suuruutta ja suuntaa,
voima $\ve F$ , mitataan voiman suuruutta ja suuntaa,
pyörimismäärä $\ve L$ , kun mitataan pyörimisnopeutta ja pyörimissuuntaa.

Niin kutsuttuja skalaarisuureitaSuure, jonka kuvailuun riittää vain yksi luku. Esimerkiksi massa tai korkeus merenpinnasta. ovat

aika , mitataan aikaa,
tilavuus , mitataan kappaleen viemää tilaa avaruudesta,
massa , mitataan massaa.

Vektori koostuu niin sanotuista komponenteista. Kuvitellaan, että saat kaveriltasi reittiohjeet hänen uuteen asuntoonsa:

Kävele:
- Kolme korttelia itään
- Yksi kortteli pohjoiseen
- Kaksi kerrosta ylös

Reittiohje koostuu pienemmistä osista, komponenteista. Komponenteissa on tieto siitä, montako korttelia tai kerrosta kuljetaan, sekä siitä, mihin suuntaan kuljetaan.

On järkevää sopia yhteiset kantavektorit, joiden avulla kaikki vektorit voidaan rakentaa. Sovitaan, että 3D-avaruudessa meillä on xyz -koordinaatisto (kuva alla), missä

akselien väliset kulmat ovat suoria kulmia
$\i$ on -akselin suuntainen yksikkövektori
$\j$ on -akselin suuntainen yksikkövektori ja
$\k$ on -akselin suuntainen yksikkövektori.

Tällöin jokaisen vektorin voi esittää kantavektoreiden $\i, \j$ ja $\k$ avulla.

Esimerkiksi jos halutaan mallintaa reittiohjetta kaverisi luokse, sovitaan että

-akseli on lännestä itään,
-akseli on etelästä pohjoiseen ja
akseli maanpinnasta ylöspäin.

Tällöin reittiohjeen voi kirjoittaa vektorina $\ve v$ muodossa $\ve v = 3\i + \j + 2\k.$

Vektorin pituus voidaan tarvittaessa laskea Pythagoraan lauseella: $v = \sqrt{3^2+1^2+2^2} = \sqrt{14}$

Kolmiulotteinen vektori . — Kolmiulotteinen vektori $\ve{a}$ .

Vektorien peruslaskutoimitukset tulkitaan graafisesti seuraavalla tavalla:

Huomaa, että $\lambda$ on reaaliluku, eikä vektori.

Vektorit ja yksiköt: Mitä tarkoittaa $\ve v = (3 \i + 4\i )\text{ km/h}$ ?

Vektori on luonnontieteissä mitattava suure, jolla on mukana myös yksiköt. Tavallisin vektorin yksikkö on pituus (esimerkiksi metreinä), jota ei usein merkitä vektoreille.

Suureita, joita mitataan vektoreilla, ovat esimerkiksi

Huomaa, että yksiköt voidaan merkitä sekä kantavektoria ennen tai jälkeen.

Usein fysiikassa vektorit piirretään paikkakoordinaatistoon, jolloin kantavektoreilla ei ole yksikköä. Tällöin ainoastaan vektorin suunnalla ja suhteellisella suuruudella on merkitystä. Esimerkkinä tästä olkoot seuraavan kuvan voimavektorit $\ve F_1, \ve F_2, \ve F_3$ :

Voimavektorien pituuksista ei voida päätellä voimien suuruutta, sillä ne on piirretty paikkakoordinaatistoon. Kuitenkin vektorien välisistä pituuksista voidaan sanoa esimerkiksi että F_1 > F_2 .

Mikäli vektorit piirretään koordinaatistoon, jossa kantavektoreille annetaan yksiköt, on piirretyillä pituuksilla väliä.

# merkinnöistä

Vektorien merkinnöistä

Klikkaa merkintää tai käsitettä , josta haluat lisätietoja.

# kantavekt

Kantavektori: $\quad \i, \j, \k, \quad \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}, \quad \hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3$

Kantavektoreilla tarkoitetaan koordinaattiakselien suuntaisia vektoreita, joiden pituus on yksi.

Yleisimmin fysiikassa käytetään kantavektorimerkintöjä $\i, \j, \k$ , jotka kuvastavat vastaavassa järjestyksessä -, - ja - akselien suuntaisia yksikkövektoreita.

Yksikkövektori: $\quad \hat{e},\quad \hat{a}, \quad \hat{x}$

Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Toisin sanoen, jos $|\ve{e}|=1$ , on $\ve{e}$ yksikkövektori.

Yksikkövektoria merkitään usein hattumerkillä ^.

Vektori $\hat{a}=\dfrac{\ve{a}}{|\ve{a}|}$ on vektorin $\ve{a}$ suuntainen yksikkövektori.

Vektorin merkintöjä: $\quad \ve{a},\quad \overline{a},\quad \boldsymbol{a}, \quad \hat{a}, \quad \ve{AB}$

Kaikilla merkinnöillä kuvastetaan jotakin avaruuden vektoria. Merkinnät eivät ota kantaa siihen, minkä ulotteinen vektori on kyseessä, mutta yleensä käsitellyt vektorit fysiikassa ja kemiassa ovat 2- tai 3-ulotteisia.

Merkinnällä $\ve{AB}$ tarkoitetaan pisteiden ja välistä vektoria.

Vektori voidaan esittää kantavektoreiden avulla komponenttiesityksellä.

Vektoreilla lasketaan vektoreiden laskusääntöjen mukaisesti.

Vektorin komponenttiesitys: $\ve{a}=a_x\i+a_y\j+a_z\k,\quad \ve{a}=a_x\hat{x}+a_y\hat{y}+a_z\hat{z}, \quad \ve{a}=(a_x,a_y,a_z), \quad \ve{a}=(a_1,a_2,a_3)$

Vektorit esitetään tavallisimmin komponenttiesityksellä, eli komponenttien avulla.

Vektorin komponentiksi kutsutaan kantavektorin ja komponentin kertoimen muodostamaa vektoria.

Komponenttiesitys	$\red{x}$ -komponentti	$\blue{y}$ -komponentti	$\green{z}$ -komponentti
$\ve{a}=\red{a_x\i}+\blue{a_y\j}+\green{a_z\k}$	$\red{a_x\i}$	$\blue{a_y\j}$	$\green{a_z\k}$

$\ve{b} = 3\i - 2\j + \k$	$3\i$	$-2\j$	$\k$
$\ve{c} =-10\k$			$-10\k$
$\ve{d} = (-2, 3, 0)$

Vektorin pituus, normi, suuruus: $\quad |\ve{a}|,\quad ||\ve{a}||,\quad a$

Merkinnöillä tarkoitetaan vektorin pituutta tai suuruutta.

Vektorin $\ve{a}$ pituus merkitään joskus suoraan , toisin sanoen $|\ve{a}| = a$ .

Vektorin pituus lasketaan Pythagoraan lauseella komponenttiesityksestä:

# vektorien-laskusäännöt

Vektorien laskusäännöt

Merkitään sääntöjä varten

$\ve{a}=a_x\i+a_y\j+a_z\k$ ja $\ve{b}=b_x\i+b_y\j+b_z\k$ ,
$\theta = \measuredangle (\ve{a}, \ve{b})$ , eli $\theta$ on vektorien $\ve a$ ja $\ve b$ välinen pienin kulma $(0^{\circ} \le \theta \le 180^\circ).$

Mutta miksi?

Osio työn alla. Vektorien laskusäännöt voi halutessaan perustella pienenä harjoitustehtävänä.

# esimerkkejä

Esimerkkejä vektoreista

Katso myös esimerkkejä pistetulosta ja ristitulosta.

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Vektorien summa ja erotus: Laske $\ve a + \ve b$ ja $\ve a - \ve b$ kun $\ve a = 3\i +5\k$ ja $\ve b = 5\i - 2\j + 2 \k.$

Lasketaan summa komponenteittain: $\begin{aligned} \ve a + \ve b &= \red3\i + \green5\k + \red5\i - \blue2\j + \green2\k \\ &= 8\i - 2\j + 7 \k \end{aligned}$

Lasketaan erotus komponenteittain: $\begin{aligned} \ve a - \ve b &= 3\i + 5\k - (5\i - 2\j + 2\k) \\ &= \red3\i + \green5\k - \red5\i + \blue2\j - \green2\k \\ &= -2\i + 2\j + 3 \k \end{aligned}$

Vektorin pituus: Avaruusraketti lentää nopeudella $\ve{v}=(5\i-2\j+2\k)\frac{\text{km}}{\text{s}}$ . Laske raketin vauhti , eli vektorin $\ve{v}$ pituus.

Lasketaan vektorin $\ve{v}=(\red{5}\i\blue{-2}\j+\green{2}\k)\frac{\text {km}}{\text s}$ pituus:

$v=\sqrt{\red{5}^2+(\blue{-2})^2+\green{2}^2} \, \frac{\text {km}}{\text s}=\sqrt{25+4+4}=\sqrt{33} \, \frac{\text {km}}{\text s}.$

Raketin vauhti on siis $v = \sqrt{33} \, \frac{\text {km}}{\text s} \approx 5{,}74 \frac{\text {km}}{\text s}$

Vektori yksikkövektoriksi: Anna vektorin $\ve{a}=\i+\j+\k$ kanssa samansuuntainen yksikkövektori ja vektorin $\ve{b}=-2\i-3\j+6\k$ kanssa vastakkaissuuntainen yksikkövektori.

Lasketaan vektorien $\ve{a}$ ja $\ve{b}$ pituudet:

$|\ve{a}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$ $|\ve{b}|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{49}=7.$

Muodostetaan vektorin $\ve{a}$ kanssa samansuuntainen yksikkövektori jakamalla vektori $\ve{a}$ pituudellaan

$\hat{a}=\frac{\ve{a}}{|\ve{a}|}=\frac{\i+\j+\k}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\i+\frac{1}{\sqrt{3}}\j+\frac{1}{\sqrt{3}}\k.$

Tehdään sama vektorille $\ve{b}$

$\hat{b}=\frac{\ve{b}}{|\ve{b}|}=\frac{-2\i-3\j+6\k}{7}=\frac{-2}{7}\i-\frac{3}{7}\j+\frac{6}{7}\k.$

Jotta saataisiin vektorille $\ve{b}$ vastakkaissuuntainen vektori, täytyy tulosta kertoa vielä luvulla -1, jolloin saadaan $-\hat{b}=\frac{2}{7}\i+\frac{3}{7}\j-\frac{6}{7}\k.$

Voimien summa: Laske kuvan voimien summa $\ve{F} = \ve{F}_1 + \ve{F}_2 + \ve{F}_3$ , kun $F_1 = 50 \text{ N}$ , $F_2 = 20\text{ N}$ ja $F_3 = 57\text{ N}$ .

Summavektorin $\ve{F}$ selvittämiseksi täytyy selvittää sen -komponentti ja -komponentti. Kun merkitään F_x vektorin -komponentin kerrointa ja F_y vektorin -komponentin kerrointa niin $\begin{aligned} F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} \\ F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} \\ \end{aligned}$

Selvitetään jokaisen annetun vektorin - ja -komponentit.

: Kuvasta saadaan, että $\begin{aligned} \cos(45^\circ) &= \frac{F_1}{F_{1x}}\\ F_{1x} &= F_1\cos(45^\circ) \\ &= (50\text{ N}) \cdot \cos(45^\circ) &&\approx 35 \text{ N} \\ \\ \sin(45^\circ) &= \frac{F_1}{F_{1x}} \\ F_{1y} &= F_1\sin(45^\circ) \\ &= (50 \text{ N}) \cdot \sin(45^\circ) &&\approx 35 \text{ N} \end{aligned}$

: Vektori on -akselin suuntainen, joten sen -komponentti on nolla. Siispä vektorin -komponentin on oltava vektorin pituus.

$\begin{aligned} F_{2x} &= 0\\ F_{2y} &= 20 \text{ N} \end{aligned}$

: Vektorin ja -akselin välinen kulma mitataan aina alkaen -akselista myötäpäivään. Kuvasta voidaan tällöin lukea vektorin ja -akselin väliseksi kulmaksi $-75^\circ$ , sillä kulmaa mitataan vastapäivään. Tällöin

$\begin{aligned} \cos(-75^\circ) &= \frac{F_{3x}}{F_3}\\ F_{3x} &= F_3 \cos(-75^\circ)\\ &= (57 \text{ N}) \cdot \cos(-75^\circ) &&\approx 15 \text{ N} \\ \\ \sin(-75^\circ) &= \frac{-F_{3y}}{F_3}\\ F_{3y} &= F_3 \sin(-75^\circ) \\ &= (57 \text{ N})\cdot \sin(-75^\circ) &&\approx -55 \text{ N} \end{aligned}$

Huomaa: Kulman voisi myös lukea suoraan positiivisena $75^\circ$ , mutta tällöin $F_{3y}$ olisi ollut positiivinen. Merkki pitää tällöin korjata negatiiviseksi toteamalla, että vektorin suunta on koordinaatistossa alaspäin.

Sijoitetaan annettujen vektorien - ja -komponenttien suuruudet yhtälöihin:
$\begin{aligned} F_x &= F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} \\ &= 35 \text{ N} + 0 + 15 \text{ N} &= 50 \text{ N} \\ \\ F_y &= F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} \\ &= 35 \text{ N} + 20 \text{ N} - 55 \text{ N} \\ &= 0 \text{ N} \end{aligned}$

Siispä summavektori on $\ve{F} = 50 \i \text{ N}.$

Miksi pyöristetyt arvot? Vaikka vastauksen laskemiseen käytettiin pyöristettyjä arvoja, olisi vastaus tarkoilla arvoilla sama yhden Newtonin tarkkuudella. Pyöristetyillä arvoilla havainnollistetaan erityisesti sitä, minkä merkkinen vektorin $\ve F_3$ - komponentti on (negatiivinen).

# derivointi

Vektorifunktioiden derivointi

Jos vektori $\ve a$ riippuu yhdestä muuttujasta (esimerkiksi ajasta) ja on muotoa $\ve a (t) = a_x(t)\i + a_y(t)\j + a_z(t)\k,$ niin vektorifunktion derivaatta $\ve a'(t)=\frac{d\ve a}{dt}$ määritellään derivoimalla komponentteja $\ve a'(t)=\frac{d}{dt}\ve a (t) = \frac{d}{dt}a_x(t)\i + \frac{d}{dt}a_y(t)\j + \frac{d}{dt}a_z(t)\k.$ Kantavektoreita $\i, \j, \k$ käsitellään derivoinnin suhteen vakioina.

Jos käsiteltävä vektorifunktio on useamman muuttujan funktioFunktio, jolla on useita argumentteja. Esim: $f(x,y) = x^2 \, \i + y^2 \, \j$ ., täytyy käyttää sivulta derivointi useammassa ulottuvuudessa löytyviä työkaluja.

Jos $\ve s(t)$ on kappaleen paikka tietyllä ajanhetkellä, niin $\ve s'(t)=\frac{d\ve s}{dt}$ on kappaleen nopeus ajanhetkellä ja $\ve s''(t)=\frac{d^2\ve s}{dt^2}$ on kappaleen kiihtyvyys ajanhetkellä .

Esimerkkejä vektorifunktioista

Vektorifunktion derivointi: Kappaleen paikka $\ve s$ ajanhetkellä on $\ve s(t) = 3\cos(2t)\i + 2\sin(t)\j.$ Määritä kappaleen nopeus $\ve v = \frac{d \ve s}{dt}$ .

Vektorifunktio derivoidaan komponenteittain ja käsitellen kantavektoreita vakioina. Nopeus on tällöin

$\begin{aligned} \ve v = \frac{d\ve s}{dt}(t) &= \frac{d}{dt}\left(3\cos(2t)\i + 2\sin(t)\j\right) \\ &= \frac{d}{dt}\left(3\cos(2t)\right)\i + \frac{d}{dt}\left(2\sin(t)\right) \j \\ &= -3\cdot 2\sin(2t)\i + 2\cos(t)\j \\ &= -6\sin(2t)\i + 2\cos(t)\j. \end{aligned}$