Vektorien pistetulo

# pistetulo

Pistetulo (sisätulo, skalaaritulo)

Olkoon vektorit $\ve{a} = a_x\i + a_y\j + a_z\k$ ja $\ve{b} = b_x\i + b_y\j + b_z\k$ .

Vektorien pistetulo $\ve a \cdot \ve b$ (dot product, inner product) sovitaan laskettavaksi

komponenttien kertoimilla

$\ve{a}\cdot\ve{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z,$

vektorien välisen kulman $\theta$ avulla

$\ve{a}\cdot\ve{b}=|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta},$

--------missä $\theta$ on vektorien $\ve a$ ja $\ve b$ välinen pienin kulma $(0^{\circ}\leq\theta\leq180^{\circ}).$

Pistetulo on aina reaaliluku (skalaariSuure, jonka kuvailuun riittää vain yksi luku. Esimerkiksi massa tai korkeus merenpinnasta.).

Huom. Pistetulo toimii myös tason vektoreilla $\ve a=a_x\i+a_y\j,$ $\ve b=b_x\i+b_y\j$ sekä yleisesti :ssä ulottuvuudessa.

Pistetulo visuaalisesti Mitä se siis tarkoittaa?

Pistetulo kertoo vektorien suuntautumisesta toisiinsa. Samansuuntaisille vektoreille pistetulo on vektorien pituuksien tulo. Kohtisuorille vektoreille pistetulo on aina 0.

Pistetulo on siis vektorien pituuksien tulo painotettuna niiden välisellä kulmalla.

Tutki, mitä arvoja pistetulo saa liikuttelemalla pisteitä ja .

# geo5

Pistetulon arvosta voidaan tehdä päätelmiä vektorien suhteesta toisiinsa:

$\vphantom{\Big\|}\quad\ve{a}\cdot\ve{b}=0,\quad \iff \quad \theta=90^{\circ}$	Vektorit kohtisuorassa
$\vphantom{\Big\|}\quad\ve{a}\cdot\ve{b}=\|\ve{a}\|\|\ve{b}\|,\quad \iff \quad \theta=0^{\circ}$	Vektorit samansuuntaisia
$\vphantom{\Big\|}\quad\ve{a}\cdot\ve{b}=-\|\ve{a}\|\|\ve{b}\|,\quad \iff \quad \theta=180^{\circ}$	Vektorit vastakkaisuuntaisia

# laskusaannot

Pistetulon laskusäännöt

Pistetulolla on samoja ominaisuuksia kuin reaalilukujen kertolaskulla.

# esimerkkejä

Esimerkkejä pistetulosta

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Vektorien pistetulo, vektorien välinen kulma: Laske vektorien $\ve a =2\i+2\j-4\k$ ja $\ve b =-\i+2\j-\k$ pistetulo sekä niiden välisen kulman $\theta$ suuruus.

Vektorien pistetulo

$\begin{aligned} \ve{a}\cdot\ve{b}&=(\red{2}\i+\blue{2}\j\green{-4}\k)\cdot(\red{-1}\i+\blue{2}\j\green{-1}\k)\\ &=\red{2\cdot(-1)}+\blue{2\cdot2}+\green{(-4)\cdot(-1)}\\ &=6. \end{aligned}$

Vektorien välinen kulma saadaan pistetulon geometrisesta tulkinnasta. Lasketaan sitä varten vektorien pituudet.

$|\ve{a}|=\sqrt{2^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

$|\ve{b}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6}$

Tällöin kulmaksi saadaan

$\begin{aligned} \ve{a}\cdot\ve{b}&=\cos\theta|\ve{a}|\cdot|\ve{b}|&&\Big|:|\ve{a}|\cdot|\ve{b}|\\ \cos\theta&=\frac{\ve{a}\cdot\ve{b}}{|\ve{a}|\cdot|\ve{b}|}=\frac{6}{\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}} =\frac{1}{2}&&\Big|\cos^{-1}\\ \theta&=60^{\circ}. \end{aligned}$

Vektorin pituus ja pistetulo: Osoita, että $|\ve a|^2 = \ve a\cdot \ve a.$

Lasketaan yhtälön $|\ve a|^2 = \ve a\cdot \ve a$ molemmat puolet erikseen.

$|\ve a|^2=\left(\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\right)^2=\red{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$

$\ve a\cdot \ve a=a_xa_x+a_ya_y+a_za_z=\red{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$

Siispä $|\ve a|^2 = \ve a\cdot \ve a$ !

# projektio

Vektorin projektio

Vektorin $\ve{a}$ projektio vektorille $\ve{b}$ on vektorin $\ve{a}$ se osa, joka on yhdensuuntainen vektorin $\ve{b}$ kanssa.

Vektorin $\ve{a}$ projektio vektorille $\ve{b}$ on $P_{\ve{b}}\ve{a}=(\ve{a}\cdot\hat{b})\hat{b}=\frac{\ve{a}\cdot \ve{b}}{|\ve{b}|}\hat{b}.$

Mutta miksi?

Projektiovektori voidaan selvittää määrittämällä sen suuruus ja suunta vektoreiden $\ve{a}$ ja $\ve{b}$ avulla. Selvitetään ensin projektiovektorin pituus. Merkitään $\theta$ vektorien välistä kulmaa. Tällöin $\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{|P_{\ve{b}} \ve a|}{|\ve a|} \\ |P_{\ve{b}} \ve a| &= |\ve a| \cos \theta \end{aligned}$

Projektiovektori on määritelmänsä nojalla vektorin $\ve{b}$ suuntainen, joten $\begin{aligned} P_{\ve{b}} \ve a = |\ve a| \cos \theta \ \hat b \end{aligned}$

Pistetulon määritelmän nojalla $\ve{a}\cdot\ve{b} = \cos \theta |\ve{a}||\ve{b}|$ , joten $\cos \theta = \frac{\ve{a}\cdot\ve{b}}{|\ve{a}||\ve{b}|}$ . Sijoitetaan tämä tieto saatuun projektiovektoriin: $\begin{aligned} P_{\ve{b}} \ve a &= |\ve a| \cos \theta \ \hat b \\ &= \cancel{|\ve a|} \frac{\ve{a}\cdot\ve{b}}{\cancel{|\ve{a}|}|\ve{b}|} \ \hat b \\ &= \frac{\ve{a}\cdot\ve{b}}{|\ve{b}|} \ \hat b \\ &= \ve{a}\cdot\frac{\ve{b}}{|\ve{b}|} \ \hat b \\ &= (\ve{a}\cdot\hat b) \ \hat b \end{aligned}$

Projektio visuaalisesti Mitä se siis tarkoittaa?

Tutki projektiota liikuttelemalla pisteitä ja

# geo_projektio

Esimerkkejä projektiosta

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Vektorin projektio: Laatikko $(m=20\, \text{kg})$ voi liikkua vain suoraa y=2x pitkin. Henkilö työntää laatikkoa voimalla $\ve{F}=(\i+\j-2\k)100\,\text{N}.$ Laske kappaleen saaman kokonaiskiihtyvyyden suuruus eli kiihtyvyysvektorin pituus. Kitkan voi olettaa merkityksettömäksi.

Kaksiulotteinen kuva tilanteesta. Vektori voidaan ajatella tulevaksi suoraan kohti ruutua. — Kaksiulotteinen kuva tilanteesta. Vektori $\k$ voidaan ajatella tulevaksi suoraan kohti ruutua.

Kaksiulotteinen kuva tilanteesta. Vektori $\k$ voidaan ajatella tulevaksi suoraan kohti ruutua.

Laatikko voi liikkua vain suoran y = 2x suuntaisesti. Tällöin kaikki laatikkoon kohdistuva voima, joka ei ole kyseisen suoran suuntaista, ei vaikuta laatikkoon. Määritetään siis suoran y=2x suuntainen yksikkövektori ja vektorin $\ve{F}$ projektio tälle vektorille.

Eräs suoran y=2x suuntainen vektori on $\ve{b}=\i+2\j$ . Tehdään tästä yksikkövektori:

$\hat{b}=\frac{\ve{b}}{|\ve{b}|}=\frac{\ve{b}}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\i+\frac{2}{\sqrt{5}}\j.$

Muodostetaan nyt vektorin $\ve{F}$ projektio:

$\begin{aligned} P_{\ve{b}}\ve{F}&=(\ve{F}\cdot\hat{b})\hat{b}\\ &=100\,\text{N}\left((\i+\j-2\k)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\i+\frac{2}{\sqrt{5}}\j\right)\right)\hat{b}\\ &=100\,\text{N}\left(1\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+1\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+(-2)\cdot0\right)\hat{b}\\ &=100\,\text{N}\cdot\frac{3}{\sqrt{5}}\hat{b}. \end{aligned}$

Lasketaan kiihtyvyysvektorin $\ve{a}$ pituus kaavan $\ve{F}=m\ve{a}$ avulla.

$\begin{aligned} |\ve{a}|&=\frac{|P_{\ve{b}}\ve{F}|}{m}\\ &=\frac{\left|100\,\text{N}\cdot\frac{3}{\sqrt{5}}\hat{b}\right|}{20\, \text{kg}}\\ &=\frac{\frac{300}{\sqrt{5}}\,\text{N}\,|\hat{b}|}{20\, \text{kg}}&&\Big|\hat{b}\,\,\text{ yksikkövektori}\\ &=\frac{15}{\sqrt{5}}\,\text{m/s}^2\left(\approx6,71\,\text{m/s}^2\right) \end{aligned}$

# derivointi

Pistetulon derivointi

Jos $\ve{a}(t)=a_x(t)\i+a_y(t)\j+a_z(t)\k,$ $\ve{b}(t)=b_x(t)\i+b_y(t)\j+b_z(t)\k,$ eli vektorit riippuvat muuttujasta , niin pistetuloa voidaan derivoida muuttujan suhteen kaavalla

$\frac{d}{dt}\left(\ve{a}(t)\cdot\ve{b}(t)\right)=\frac{d\ve{a}(t)}{dt}\cdot\ve{b}(t)+\ve{a}(t)\cdot\frac{d\ve{b}(t)}{dt}.$

Tämä muistuttaa tuttua tulon derivointisääntöä.

# pistetulo-ja-ristitulo

Pistetulon ja ristitulon välisiä yhteyksiä

Pistetulon ja ristitulon välille saadaan erilaisia kaavoja, joista alla olevassa taulukossa muutama.