Pitkän matematiikan kertauskurssi
Pikalinkit eri kursseihin:
1. Kurssien tavoitteet ja keskeiset sisällöt
Tämä kurssi on rakennettu uuden lukion opetussuunnitelman mukaisesti. Alla olevista pudotusvalikoista löytyy kurssikohtaiset sisällöt ja tavoitteet sekä linkki opetussuunnitelmaan.
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 180.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- kertaa prosenttilaskennan periaatteet
- osaa käyttää verrannollisuutta ongelmanratkaisussa
- syventää murtolukujen laskutoimitusten osaamistaan
- kertaa potenssien laskusäännöt
- vahvistaa ymmärrystään funktion käsitteestä
- ymmärtää yhtälön ja yhtälöparin ratkaisemisen periaatteet
- oppii käyttämään ohjelmistoja funktion kuvaajan piirtämisessä, havainnoinnissa ja yhtälöiden ratkaisemisessa.
Keskeiset sisällöt
- lukujoukot, peruslaskutoimitukset ja prosenttilaskenta
- potenssin laskusäännöt (eksponenttina luonnollinen luku)
- suoraan ja kääntäen verrannollisuus
- funktio, kuvaajan piirto ja tulkinta
- ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen
- yhtälöpari
- neliö- ja kuutiojuuri
- potenssifunktio ja potenssiyhtälö (asteluvut 2 ja 3)
HUOM! Verrattuna entiseen MAY1-kurssiin Luvut ja lukujonot, kurssin sisällöstä on jäänyt pois lukujonot ja summat.
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 181.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali ja juurifunktioiden avulla, tuntee polynomi-, rationaali ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen yhteyden
- osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
- osaa käyttää ohjelmistoja matemaattisessa mallintamisessa, polynomi-, rationaali ja juurifunktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja polynomiepäyhtälöi- den ratkaisemisessa sovellusongelmien yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
- polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
- asteen yhtälön ratkaisukaava
- polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
- polynomien tekijät
- potenssifunktio ja potenssiyhtälö
- rationaalifunktiot ja -yhtälöt
- juurifunktiot ja -yhtälöt
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 181-182.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa ja muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
- osaa ratkaista geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
- harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa sisältäviä lauseita
- osaa käyttää ohjelmistoja tutkiessaan kuvioita ja kappaleita sekä niihin liittyvää geometriaa sekä ratkaistessaan niihin liittyviä sovellusongelmia.
Keskeiset sisällöt
- kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
- sini- ja kosinilause: ympyrän ja sen osien ja siihen liittyvien suorien geometriaa; tasokuvioihin liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen laskeminen; kappaleisiin liittyvien pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 182.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
- ymmärtää käyrän käsitteen ja oppii tutkimaan käyriä tietoteknisesti yhtälöiden avulla
- osaa ratkaista muotoa
tai 
olevia itseisarvoyhtälöitä - ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
- osaa tutkia kaksiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
- osaa ratkaista tasogeometrian ongelmia vektoreiden avulla
- osaa käyttää ohjelmistoja käyrien ja vektoreiden tutkimisessa sekä niihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.
Keskeiset sisällöt
- käyrän yhtälö
- suoran, ympyrän, paraabelin yhtälöt
- lineaarinen yhtälöryhmä
- suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus
- itseisarvoyhtälö
- pisteen etäisyys suorasta
- vektoreiden perusominaisuudet
- tason vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku sekä tason vektorin kertominen luvulla
- tason vektoreiden pistetulo, tason vektoreiden välinen kulma
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 182-183.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla
- tutkii sini- ja kosinifunktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
- osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä
tai 
- osaa soveltaa sini- ja kosinifunktioiden yhteyttä
- tuntee eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yh- tälöitä
- osaa käyttää ohjelmistoja sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden tutkimisessa sekä sini- ja kosiniyhtälöiden sekä eksponentti- ja logaritmiyhtälöiden ratkaise- misessa sovellusongelmien yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
- suunnattu kulma ja radiaani
- yksikköympyrä
- sini- ja kosinifunktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
- sini- ja kosiniyhtälöiden ratkaiseminen
- negatiivinen eksponentti ja murtopotenssi
- eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
- logaritmi ja logaritmin laskusäännöt
- logaritmifunktiot ja -yhtälöt
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 183.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- tutustuu ilmiöiden matemaattisten mallien käyttäytymiseen derivaatan avulla
- omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta ja jatkuvuudesta
- ymmärtää derivaatan funktion muutosnopeutena
- kykenee määrittämään yksinkertaisten funktioiden derivaatat
- osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
- hallitsee funktioiden kulun tutkimisen derivaatan avulla ja osaa määrittää niiden ääriarvot suljetulla välillä
- osaa käyttää ohjelmistoja raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa sovellusongelmien yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
- funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
- polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktion derivaatat
- sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat
- funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
- yhdistetyn funktion derivaatta
- funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 183-184.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden integraalifunktioita
- ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan sekä tutustuu numeeri- seen menetelmään määrätyn integraalin määrittämisessä
- osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
- perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
- osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa, integraalifunktion määrittämisessä, määrätyn integraalin laskemisessa sovellusongelmien yhteydessä sekä numeerisessa integroinnissa.
Keskeiset sisällöt
- integraalifunktio: alkeisfunktioiden integraalifunktiot, suorakaidesääntö
- määrätty integraali
- pinta-alan ja tilavuuden laskeminen
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 184.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- osaa havainnollistaa diskreettiä tilastollista jakaumaa sekä määrittää ja tulkita jakauman tunnuslukuja
- osaa määrittää korrelaatiokertoimen ja lineaarisen regressiokäyrän
- perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
- perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja todennäköisyyksien laskusääntöihin
- ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja soveltamaan sitä
- osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä tilastollisen tiedon esittämisessä
- osaa hyödyntää ohjelmistoja jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä sekä todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla.
Keskeiset sisällöt
- keskiluvut ja keskihajonta
- korrelaatio ja lineaarinen regressio
- klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
- permutaatiot ja kombinaatiot
- todennäköisyyksien laskusäännöt
- binomijakauma
- diskreetti todennäköisyysjakauma
- diskreetin jakauman odotusarvo
Luvut ja yhtälöt kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 185.
Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
- oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden suunnit- teluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
- soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
- oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden rajoitukset
Keskeiset sisällöt
- aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
- korkolaskut: koronkorko, talletukset ja lainat
- taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja ja summia
2. Teoria
Jokaisen kurssin kertaus on omilla sivuillaan, ja niihin pääsee sivun yläosassa olevien linkkien kautta. Jokaisella sivulla on tiivistelmä kurssin keskeisimmistä asioista sekä kahdeksan interaktiivista tehtävää tarkistuksineen. Lisäksi sivuilta löydät vanhoja YO-tehtäviä sekä niiden ratkaisut.
Esimerkit ja todistukset eivät oletuksena näy sivulla, vaan ne saa näkyviin painamalla todistuksen tai esimerkin otsikon edessä olevaa 
-merkkiä. Esimerkit ovat pääosin perinteisiä laskuesimerkkejä. Joissain esimerkeissä on käytetty havainnollistamiseen GeoGebraa.
3. Tehtävät
Jokaisella kurssisivulla on kahdeksan tehtävää, joissa on automaattinen tarkistus. Nämä tehtävät voivat ylittää kurssirajoja, joten tehtävissä voi tulla tarvitsemaan tietoja myös muilta kursseilta. Vanhoissa YO-tehtävissä ei ole automaattista tarkastusta, mutta jokaisen tehtävän alapuolella on mahdollisuus nähdä tehtävän ratkaisu.
3.1 MathCheck-tehtävät
Suurin osa tehtävistä tuottaa vastaukseksi jonkin lukuarvon. Sen tarkistamiseksi tällaisissa tehtävissä on alla olevan esimerkin näköinen MathCheck-laatikko. Jos laatikossa on valmiina =-merkki, kirjoita vastauksesi suoraan sen perään. MathCheck-tehtävät haluavat vastauksen tietyssä muodossa, joten se ei hyväksy väärin pyöristettyä vastausta, vaikka se muuten olisikin oikein. Tehtävänannossa kerrotaan pyöristystarkkuus.
Sievennystehtävissä voit kirjoittaa ensin vastauksesi sieventämättömässä muodossa ja sieventää sitä lisämällä ketjuun =-merkkejä. MathCheck osaa kertoa, jos sieventämisesi menee jossakin kohdassa pieleen. Kopioi alla oleva teksti MathCheck-kenttään =-merkin jälkeen ja katso mitä tapahtuu, kun painat Tarkista. Korjaa virheellinen kohta ja katso, mitä silloin tapahtuu, kun painat Tarkista.
4^2-1^3 = 16-3 = 13
Jos lopullinen muoto ei ole tarpeeksi sievä, MathCheck ilmoittaa myös siitä. Pyyhi edellisestä vastauksestasi = 15 pois ja katso, mitä tapahtuu, kun painat Tarkista.
Yhtälönratkaisutehtävissä vastaus halutaan tallentaa tietyn nimiseksi. Esimerkiksi, jos yhtälön muuttujana on 
vastaus halutaan tallentaa samannimiseen muuttujaan. Joskus vastauskentässä saattaa valmiiksi jo lukea <=> x=. MathCheck osaa tarkastaa myös yhtälön ratkaisun välivaiheet. Ratkaistaessa yhtälöitä pitää rivien väliin kirjoittaa ekvivalenssinuoli <=>. Kokeile tätäkin tapaa alla olevaan vastauskenttään kopioimalla alla olevat rivit siihen ja painamalla Tarkista.
<=> 4x+3=0
<=> 4x=-3
<=> x=-3/4
Jos yhtälöllä on useampia ratkaisuja täytyy kirjoittaa esimerkiksi <=> x=1 or x=-1. or
merkinnän, kuten muutkin tarvittavat komennot, saa myös klikkaamalla vastauskentän alla olevasta palkista.
Huomaa, että MathCheck-laatikoissa tulee käyttää desimaalipistettä eikä -pilkkua! Eli desimaaliluku "nolla pilkku viisi" kirjoitetaan MathCheckiin 0.5
3.2 GeoGebra-tehtävät
Parissa tehtävässä sinun tulee tuottaa vastaus GeoGebralla. Seuraa tarkasti ohjeita. Jos ohjeissa käsketään nimeämään esimerkiksi jokin funktio tietyllä tavalla, se johtuu siitä, että ohjelma osaa tarkistaa tehtävän vain, jos olet nimennyt funktion oikein. Jos tehtävässä käsketään ottamaan funktion määrittelyjoukko huomioon, ohjelma ei anna pisteitä ilman oikeaa määrittelyjoukkoa.
Esimerkiksi, jos funktio 
on määritelty vain positiivisilla reaaliluvuilla, täytyy GeoGebraan syöttää f(x)=2x+1, x>0.
3.3 Monivalintatehtävät
Monivalintatehtävissä on useampia vastauskertoja, mutta jo ensimmäisen vastaamisen jälkeen tehtävä kertoo malliratkaisun. Jos malliratkaisu näyttää koodikieleltä, kokeile päivittää sivu (esimerkiksi Windows-koneissa F5-painikkeella), jolloin tekstin pitäisi muuttua ymmärrettävämmäksi.
3.4 Abitti-editori
Joidenkin tehtävien yhteydessä on Abitti-editori, jonka saat näkyviin -merkistä. Voit halutessasi hahmotella tehtävän ratkaisun ensin editorilla ja samalla harjoitella Abitti-editorin käyttöä. Ohjelma ei kuitenkaan tallenna Abitti-editorilla tehtyjä ratkaisuja.
4. Lisää luettavaa
Lisää YO-tehtäviä löydät seuraavilta sivustoilta. Huomaa, että talousmatematiikan tehtäviä on enemmän matematiikan lyhyen oppimäärän kokeissa.
Opetusvideoita löydät esimerkiksi OpetusTV:stä. Kyseisen sivuston ylälaidassa on pudotusvalikko Lukio, josta löytyy pitkän matematiikan kurssit. Huomaa kuitenkin, että talousmatematiikkaan liittyvät videot löytyvät lyhyen matematiikan kursseista.
These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.