MAA5 Transkendenttiset funktiot ja yhtälöt

Keskeiset sisällöt ja tavoitteet

1. Trigonometriset funktiot

1.1 Suunnattu kulma ja radiaani

Kulma on samasta pisteestä lähtevän puolisuoran rajaama alue. Kulma voidaan myös ajatella puolisuorana, joka kiertyy tasossa oman alkupisteensä ympäri. On sovittu, että jos kierto on myötäpäivään, se on silloin negatiivista ja vastaavasti vastapäivään kierto on positiivista. Näin syntyy suunnattu kulma, joka on joko positiivinen tai negatiivinen.

Radiaanin määritelmä

Kulman suuruus on 1 radiaani (1 rad), jos sitä vastaava kaari on säteen pituinen.

Edelleen määritelmästä voidaan johtaa kulman suuruudelle \(\alpha=\displaystyle\frac{b}{r}\), jossa \(\alpha\) on mitattu kulma, \(b\) on vastaavan kaaren pituus ja \(r\) on säde. Image

Radiaanin ja asteen vastaavuus

Koko ympyrän kehän pituus on \(2\pi r\), jota vastaava keskuskulma on \(360°\). Radiaaniluvuksi saadaan tällöin \(\displaystyle\frac{2\pi r}{r}=2\pi\).

Tällöin siis \[\begin{align*} 360°=2\pi. \end{align*}\]

1.2 Yksikköympyrä

Tutki yksikköympyrää radiaaneilla ja asteilla.

Yksikköympyrän määritelmä

Yksikköympyrää käyttäen trigonometriset funktiot määritellään kulman \(\alpha\) kehäpisteen \(P(x,y)\) koordinaattien avulla: \[\begin{align*} \sin\alpha=y\\ \cos\alpha=x\\ \tan\alpha=\frac{y}{x} \end{align*}\]

Yksikköympyrän kehäpisteen koordinaatit toteuttavat yhtälön \(x^{2}+y^{2}=1\).

Trigonometristen funktioiden merkit eri neljänneksissä.

Peruskaavat

\[\begin{align*} \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\\ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \end{align*}\]

Trigonometristen funktioiden arvot voidaan aina lausua terävän kulman avulla, koska yksikköympyrä on symmetrinen.

Palautuskaavat

Vastakulmat \(\alpha\) ja \(-\alpha\) \[\begin{align*} \cos(-\alpha)&=\cos\alpha\\ \sin(-\alpha)&=-\sin\alpha\\ \end{align*}\]

Suplementtikulmat \(\alpha\) ja \(\pi-\alpha\) \[\begin{align*} \cos(\pi-\alpha)&=-\cos(\alpha)\\ \sin(\pi-\alpha)&=\sin\alpha\\ \end{align*}\]

Koska kulman ja sen vastakulman sinit ovat toistensa vastalukuja, sinifunktion sanotaan olevan pariton. Vastaavasti koska kosinifunktion kulma ja vastakulma ovat yhtä suuret, kosinifunktio on parillinen.

1.3 Sinin ja kosinin ominaisuuksia

Tutki sini- ja kosinifunktion käyttäytymistä!

Kun kulman suuruus kasvaa arvosta \(0\) arvoon \(2\pi\), sen sini, eli y-koordinaatti, kasvaa arvosta \(0\) arvoon \(1\). Edelleen sini pienenee arvoon nolla ja edelleen arvoon \(-1\), josta se kasvaa uudelleen arvoon \(0\).

Samanaikaisesti saman kulman kosini, eli x-koordinaatti, vähenee arvosta \(1\) arvoon \(0\). Edelleen kosini vähenee arvoon \(-1\), josta se kasvaa arvoon nolla ja edelleen arvoon \(1\).

Trigonometristen funktioiden saamat arvot toistuvat aina tietyin arvovälein. Tätä ominaisuutta kutsutaan jaksollisuudeksi.

Sinin ja kosinin jaksollisuudesta

\[\begin{align*} \sin(\alpha+n\cdot2\pi)=\sin\alpha\text{, kun }n\in\Z,\\ \cos(\alpha+n\cdot2\pi)=\cos\alpha\text{, kun }n\in\Z. \end{align*}\]

Funktiot \(\sin x\) ja \(\cos x\) ovat jaksollisia ja jatkuvia funktioita. Niiden määrittelyjoukko on \(\R\) ja ne saavat arvoja väliltä \([-1,1]\).

1.4 Sini- ja kosiniyhtälöiden ratkaiseminen

1.4.1 Esimerkki: Kosinin määritys

1.5 Kulman tangentti

\(\tan\alpha\) on kulman \(\alpha\) tangenttipisteen \(T\) y-koordinaatti, kun \(\alpha≠\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi\), kun \(n\in\Z\).

Tangentin arvot toistuvat puolen kierroksen \(\pi\) välein, eli \(\tan(\alpha+n\cdot\pi)=\tan\alpha\), kun \(n\in\Z\). Image

Tangentin ominaisuuksia

Vastakulmat \(\alpha\) ja \(-\alpha\) \[\begin{align*} \tan(\alpha)=-\tan\alpha \end{align*}\] Suplementtikulmat \(\alpha\) ja \(\pi-\alpha\) \[\begin{align*} \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha \end{align*}\]

Funktio \(\tan x\) on jatkuva ja jaksollinen funktio. Sen määrittelyjoukko on \(x≠\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi\), \(n\in\Z\) ja funktio saa arvoja koko reaalilukujen joukossa \(\R\).

2. Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Tutki logaritmi- ja eksponenttifunktion käyttäytymistä!

2.1 Eksponenttifunktio

Eksponenttifunktio

Funktio, joka on muotoa \(f(x)=a^{x}\) jossa \(a>0, a≠1\), kutsutaan eksponenttifunktioksi.

  • Eksponenttifunktio on jatkuva ja monotoninen, ja se on määritelty koko reaalilukujen joukossa \(\R\).
  • Jos \(a>1\), eksponenttifunktio \(a^{x}\) on kasvava
  • Jos \(0<a<1\), eksponenttifunktio \(a^{x}\) on vähenevä

2.2 Negatiivinen eksponentti

Luvun \(a\) negatiivinen eksponentti tarkoittaa luvun \(a\) käänteisluvun vastaavaa positiivista potenssia.

Negatiivinen eksponentti

\[\begin{align*} a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^{n}=\frac{1^{n}}{a^{n}}=\frac{1}{a^{n}} \end{align*}\]

2.2.1 Esimerkki: Eksponenttien sievennys

2.3 Murtopotenssi

Neliöjuuri luvusta \(a\): \(\sqrt{a}\) voidaan kirjoittaa myös muodossa \(a^{\frac{1}{2}}\). Tällaista eksponenttia kutsutaan murtopotenssiksi.

Murtopotenssi

Jos luvulla \(a\) on eksponenttina rationaalimuotoinen eksponentti, voidaan se tulkita seuraavasti: \[\begin{align*} \sqrt[n]{a^{m}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}},\\ \end{align*}\] kun \(a\in\R_{+}\) ja \(m,n\in\Z_{+}\)

2.3.1 Esimerkki: Negatiivinen eksponentti

2.4 Logaritmifunktio

Logaritmifunktio

Funktiota, joka on muotoa \(f(x)=\log_a(x)\) jossa \(a>0,a≠1\) sanotaan logaritmifunktioksi.

  • Logaritmifunktio on jatkuva ja monotoninen, ja se on määritelty kun \(x>0\).
  • Jos \(a>1\), logaritmifunktio \(f(x)=\log_a(x)\) on kasvava
  • Jos \(0<a<1\), logaritmifunktio \(f(x)=\log_a(x)\) on vähenevä

\(e\)-kantaista logaritmifunktiota \(\ln(x)=\log_e(x)\), kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi. Tässä luku \(e\) on nimeltään Neperin luku, joka on irrationaalinen: \(e=2,71828182845...\)

10-kantainen logaritmi on \(\lg(x)=\log_{10}(x)\).

3. Eksponentti- ja logaritmiyhtälöiden ratkaiseminen

Logaritmi \(\log_a(b)\) on se luku, johon kantaluku \(a\) täytyy korottaa, jotta potenssin arvo on luku \(b\).

3.1 Logaritmi- ja eksponenttiyhtälön ratkaiseminen

logaritmi- ja eksponenttiyhtälön ratkaisu

Luvun \(b\) \(a\)-kantainen logaritmi \(\log_{a}(b)\) on eksponenttiyhtälön \(a^{x}=b\) ratkaisu täsmälleen silloin kun \(x=\log_a(b)\).

Tässä \(a>0, a≠1\) ja \(b>0\).

3.2 Logaritmin laskusääntöjä

Logaritmin laskusääntöjä

\[\begin{align*} \log_a(xy)&=\log_a(x)+\log_a(y)\\ \log_a(\frac{x}{y})&=\log_a(x)-\log_a(y)\\ \log_a(x^{r})&=r\cdot\log_a(x)\\ \log_a(1)&=0\\ \log_a(a)&=1\\ \end{align*}\]

\[\begin{align*} \text{Logaritmin kannan vaihto: } \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\\ \end{align*}\]

3.2.1 Esimerkki: logaritmin arvon määrittäminen

3.2.2 Esimerkki: logartmiyhtälön ratkaiseminen

Tehtäviä

Tehtävä 1.

Avaa tästä yksikköympyrä avuksi kulmien havainnollistamiseen

a.
#

Täydennä teksti.

Siirrä täydennykset oikeille paikoilleen. Älä käytä laskinta.

b.
#

Yhdistä oikeat astemäärät oikeisiin radiaaneihin.

Tehtävä 2.


Olkoon eksponenttifunktio \(f(x)=a^{x}+1\), jossa \(a>0,a≠0\). Tämä eksponenttifunktio kulkee pisteen \((4,3)\) kautta. Määritä funktion kantaluku \(a\) ja \(f(8)\).

Avaa GeoGebra tästä

#

Kirjoita tähän kantaluvun \(a\) tarkka arvo.

=

 

#

Kirjoita tähän \(f(8)\) arvo.

=

 

Tehtävä 3.


Lääketieteessä käytetään jodi-131:stä, jonka puoliintumisaika on noin 8 päivää. Puoliintumisaika tarkoittaa sitä aikaa, joka kuluu atomimäärän vähenemiseen puoleen.

a.

Kuinka monta prosenttia alkuperäisestä määrästä jodia on yhä ihmisen elimistössä yhden päivän jälkeen?

#

Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella (ilman yksikköä).

=

 

Vihje


b.

Yhdessä joditabletissa on vaikuttavaa ainetta 130 mg. Jos tabletteja ottaa kaksi, kuinka monen päivän kuluttua elimistössä on alle puolikkaan tabletin verran vaikuttavaa ainetta?

#

Anna vastaus kokonaisina päivinä.

=

 

Vihje

Tehtävä 4.


Vaihtovirta on sähkövirtaa, joka suunta vaihtuu ajan \(t\) funktiona. Vaihtovirta on sinimuotoista, ja sille käytetään merkintä \(AC\) tai symbolia \(\sim\).

Vaihtovirtapiirissä yhtälö \(i=0,48\cdot\sin(100\pi t)\) esittää sähkövirran voimakkuutta ampeereina, ja yhtälö \(u=50\cdot\sin(100\pi t-0,52)\) esittää sähköpiirin jännitettä voltteina. Yhtälöissä käytetty \(t\) tarkoittaa aikaa sekunteina.

a.

Mikä on sähkövirran sinifunktion amplitudi?

#

Anna vastaus ilman yksikköä.

=

 

Vihje


b.

Mikä on jännitteen ja virran sinifunktioiden vaihe-ero?

#

Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

Vihje


c.

Mikä on virran \(i\) suuruus silloin, kun jännite \(u\) on nolla?

#

Anna vastaus ilman yksikköä.

=

 

Vihje


Voit katsoa lisätietoja sinifunktion kulusta tältä Opetustv:n videolta.

Tehtävä 5.


Ranskassa Normandian rannikolla sijaitsee Unescon perintökohde Mont-St-Michelin luostarisaari. Saarelle on mahdollista kävellä meren pohjaa pitkin laskuveden aikaan.

Merenpinnan korkeus muuttuu ajan funktiona \(h(t)=4.0\text{ m}+3.0\text{ m}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi(t-2)}{6}\right)\) vuorovesi-ilmiön takia.

a.

Kuinka matalalla merenpinta voi alimmillaan olla?

#

Anna vastaus metrin kymmenesosan tarkkuudella (ilman yksikköä).

=

 

Vihje


b.

Mihin kellonaikaan iltapäivästä meren pinta on korkeimmillaan?

#

Anna vastaus muodossa \(hh.mm\) .

=

 

vihje

Tehtävä 6.

#

Kallen ratkaisu

Siirrä virhemerkintä sen välivaiheen päälle, joka on virheellinen.

Tehtävä 7.

Image
Suomen kaupungit Tornio, Kuusamo, Kuhmo ja Kalajoki sijaitsevat (melkein) suorakaiteen muotoisen alueen reunoilla.

  1. Jos olisi mahdollista tehdä tieverkosto yllä olevan kuvan mukaisesti, kuinka suuri kulman \(a\) pitäisi olla, jotta tiereitti olisi kaikista lyhin?
#

Anna vastaus asteen tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

  1. Jos etäisyys Kalajoelta Tornioon on linnuntietä 100 km, kuinka pitkä tie olisi?
#

Anna vastaus kilometrin tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

Tehtävä 8.

Olkoon funktio \(f(x)=\ln(9-4x^{2})\).

a.

Milloin funktio \(f\) on määritelty?

#

Vihje


b.

Mikä on funktion \(f\) suurin arvo?

#

Kirjoita vastauksesi tähän.

=

 

#

 

Vihje

Vanhoja YO-tehtäviä

1.

Määritä \(\sin(x-y)\), kun \(\sin x=\frac{1}{4}, -\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2},\) ja \(\cos y=-\frac{1}{3}, \pi\leq y\leq2\pi\). Tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. [S03/6]

Ratkaisu

2.

Ratkaise yhtälöryhmä \[\begin{align*} \begin{cases} x+2y=4\\ 2^{x}=8^{y}. \end{cases} \end{align*}\] [K03/5a]

Ratkaisu

3.

Määritä funktion \(f(x)=\dfrac{5}{4+3\cos2x}\) suurin ja pienin arvo reaalilukujen joukossa. Millä argumentin arvoilla nämä saadaan? [K01/6]

Ratkaisu

4.

Olkoot \[\begin{align*} \overline{a}&=(\cos\varphi-2\sin\varphi)\overline{i}+\overline{j}+(\sin\varphi+2\cos\varphi)\overline{k},\\ \overline{b}&=(\cos\varphi+\sin\varphi)\overline{i}+\overline{j}+(\sin\varphi-\cos\varphi)\overline{k}. \end{align*}\]

  1. Osoita, että vektorit \(\overline{a}\) ja \(\overline{b}\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla \(\varphi\in\R\).

  2. Olkoon \(\varphi=0\). Onko olemassa sellaisia kertoimia \(s,t\in\R\), että \(\overline{i}-\overline{j}=s\overline{a}+t\overline{b}\)? [S12/9]

Ratkaisu

5.

Olkoon annettuna trigonometrian kaavat \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\), \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\) ja \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Osoita pelkästään näiden perusteella oikeiksi seuraavat kaavat: \[\begin{align*} \sin x=\dfrac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}},\;\;\;\;\;\;\cos x=\dfrac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}} \end{align*}\] Ilmoita, mitä kaavaa olet missäkin laskun vaiheessa käyttänyt. [S04/8]

Ratkaisu

6.

Ratkaise seuraavat yhtälöt välillä \([0,2\pi]\).

  1. \(\sin x=1\)

  2. \(f'(t)=0\), kun \(f(t)=\cos t\)

  3. \(\sin z=(1+\cos z)(1-\cos z)\). [S18/4]

Ratkaisu

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.