MAA2 Algebralliset funktiot ja yhtälöt

Keskeiset sisällöt ja tavoitteet

1. Polynomifunktiot

Funktiota voidaan ajatella sääntöjä, joka liittää tiettyyn muuttujan arvoon täsmälleen yhden luvun. Tätä lukua kutsutaan funktion arvoksi.

Olkoon funktio \(f(x)=x+2\). Funktio käskee liittämään jokaiseen \(x\):n arvoon luvun, joka on “luku itse + 2”.

Lasketaan eri funktion arvot muuttujan \(x\) saadessa arvot \(-2,0\) ja \(5\). \[\begin{align*} f(-2)&=(-2)+2=0\\ f(0)&=0+2=2\\ f(5)&=5+2=7\\ \end{align*}\]

Tässä tilanteessa funktion \(f\) lähtöjoukko on \([-2,0,5]\) ja maalijoukko \([0,2,7]\). Funktio \(f(x)=x+2\) on määritelty koko reaalilukujen joukossa \(\R\), eli se voi teoriassa saada mitä tahansa arvoja väliltä \([-\infty,\infty]\).

Funktion määrittely- ja arvojoukko

Funktion määrittelyjoukko sisältää kaikki ne arvot, joissa funktiolle on asetettu jokin arvo.

Funktion arvojoukko sisältää kaikki ne funktion arvot, jotka funktion on mahdollista saada.

Esimerkki 1.1: Määrittely- ja arvojoukko

1.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Funktiota \(f\) kutsutaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi, jos se voidaan esittää muodossa \(f=ax+b\), missä \(a\neq0\).

Tutki eri termien vaikutusta suoran sijaintiin

Ensimmäisen polynomifunktion nollakohta saadaan ratkaisemalla ensimmäisen asteen yhtälö \(ax+b=0\).

Esimerkki 1.1.1: Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen

1.2 Toiseen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktio

Funktiota \(f\) kutsutaan toisen asteen polynomifunktioksi, jos se voidaan esittää muodossa \(f(x)=ax^2 +bx+c\), jossa \(a\neq0\).

Tutki eri termien vaikutusta paraabelin sijaintiin

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jos \(a>0\). Jos \(a<0\), kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Funktion \(f(x)=x^2+bx+c\) nollakohdat saadaan ratkaisemalla toisen asteen yhtälö \(ax^2+bx+c=0\). Nollakohtien ratkaisemisessa voidaan hyödyntää nollasääntöä, muistikaavoja ja/tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Olkoon funktio \(f(x)=ax^{2}+bx+c\). Muuttuja \(x\) voidaan nyt ratkaista kaavalla \[\begin{align*} x=\displaystyle\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \end{align*}\] jossa \(a\neq0\).

Osoittajasta löytyvä \(b^2-4ac\) on nimeltään diskriminantti \(D\). Se kertoo, montako ratkaisua toisen asteen yhtälöllä on.

Reaalijuurien määrä


  • Jos \(D>0,\) yhtälöllä on kaksi eri juurta.
  • Jos \(D=0,\) yhtälöllä on yksi juuri (kaksoisjuuri).
  • Jos \(D<0,\) yhtälöllä ei ole juuria.

Tutki diskriminanttia GeoGebralla!

Esimerkki 1.2.1: Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan käyttäminen

Tulon nollasääntö

Tulo on nolla vain ja ainoastaan silloin, kun ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla.

Esimerkki 1.2.2: Tulon nollasääntö

2. Epäyhtälöt

Epäyhtälöissä kyseessä ei ole ainoastaan yhtäsuuruudet, vaan myös “pienempi kuin”- tai “suurempi kuin”-ominaisuudet. Yhtälöiden ratkaisu tapahtuu suurimmaksi osaksi samalla tavalla kuin yhtäsuuruustilanteessa, mutta epäyhtälön muokkausvaiheessa tulee muistaa kiinnittää huomiota yhtälön totuusarvoon.

2.1 Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

on muotoa \(ax+b>0\), jossa \(a\neq0\).
Epäyhtälömerkin tilalla voi olla myös \(\leq,\geq,<\) tai \(\neq\).

Esimerkki 2.1.1: Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen

2.2 Toisen asteen epäyhtälö

Toisen asteen epäyhtälö

on muotoa \(ax^2+bx+c<0\), jossa \(a≠0\).

Epäyhtälömerkin tilalla voi olla myös \(\leq,\geq,>\) tai \(≠\).

Toisen asteen epäyhtälö \(ax^2+bx+c<0\) ratkaistaan kirjoittamalla se ensin muotoon, jossa yhtälöä verrataan nollaan. Välit, joissa yhtälö on tosi, voidaan tulkita nollakohtien sekä paraabelin aukeamissuunnan perusteella.

Esimerkki 2.2.1: Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen

Yleisesti toisen asteen epäyhtälön ratkaisu ilman ohjelmistoja etenee seuraavasti:


  1. Saatetaan epäyhtälö normaalimuotoon.

  2. Ratkaistaan vastaavan toisen asteen polynomin nollakohdat.

  3. Hahmotellaan polynomia vastaavan paraabelin kuvaaja. Riittää, että kuvaajasta näkyy paraabelin aukeamissuunta ja nollakohdat.

  4. Ilmoitetaan tulos kuvaajan perusteella.

3. Polynomin jakaminen tekijöihin

Polynomin jakamisella tekijöihin tarkoitetaan sitä kyseisen polynomin esittämistä kahden pienempi asteisen polynomin tulona. Polynomi voidaan jakaa tekijöihin etsimällä yhteinen tekijä, muistikaavojen avulla, ryhmittelyn avulla tai nollakohtien avulla.

Toisen asteen polynomifunktio voidaan jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin, vain jos sillä on nollakohtia. Korkeamman asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin, vaikka sillä ei olisikaan nollakohtia.

3.1 Yhteinen tekijä

Lausekeesta voi ottaa yhteisen tekijän erottamalla sen kertoimeksi: \[\begin{align*} 3x^2+9x=\color{green}3\cdot x\color{black}\cdot x+3\cdot\color{green}3\cdot x\color{black}=\color{green}3x\color{black}(x+3) \end{align*}\]

3.2 Muistikaavat

Muistikaavat

\((a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2}\\ (a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^2\\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Jaetaan polynomi \(16-x^{4}\) toisen asteen tekijöihin:

\[\begin{align*} 16-x^{4}=4^{2}-(x^{2})^{2}=(4+x^2)(4-x^2) \end{align*}\]

Esimerkki 3.2.1: Summan ja erotuksen tulo

3.3 Ryhmittely

Ratkaistaan funktion \(f(x)=3x^{3}+2x^{2}-6x-4\) nollakohdat. \[\begin{align*} 3x^{3}+2x^{2}-6x-4&=0\;\;\;\;\;\;\;\;|\text{yhteinen tekijä}\\ \color{blue}x^{2}\color{black}(3x+2)\color{blue}-2\color{black}(3x+2)&=0\;\;\;\;\;\;\;\;|\text{ryhmittely}\\ (3x+2)(\color{blue}x^{2}-2\color{black})&=0\;\;\;\;\;\;\;\;|\text{tulon nollasääntö}\\ 3x+2=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{tai}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}-2=0\\ 3x=-2\;\;\;\;\;\;\;&\text{tai}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}=2\\ x=-\frac{2}{3}\;\;\;\;\;\;&\text{tai}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\pm\sqrt{2} \end{align*}\] Funktion \(f\) nollakohdat ovat siis \(x=-\frac{2}{3}\), \(x=-\sqrt{2}\) tai \(x=\sqrt{2}\).

3.4 Nollakohdat


Toisen asteen polynomin tekijöihin jako tarkoittaa, että polynomi kirjoitetaan kahden ensimmäisen asteen polynomin tuloksi. Kun toisen asteen polynomin nollakohdat ovat tiedossa, tekijöihin jako onnistuu seuraavan teoreeman avulla.

Polynomin jakaminen tekijöihin


Jos \(x_1\) ja \(x_2\) ovat polynomin \(ax^2+bx+c\) nollakohdat, niin

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\]


Jos toisen asteen yhtälöllä \(ax^2+bx+c=0\) on vain yksi ratkaisu \(x_1,\) niin

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2.\]


Jos yhtälöllä taas ei ole yhtään ratkaisua, niin polynomia ei voi jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin.

Esimerkki 3.4.1: Polynomin jakaminen tekijöihin nollakohtien avulla

4. Potenssi-, rationaali- ja juurifunktiot

4.1 Potenssifunktiot ja -yhtälöt

Potenssiyhtälön \(x^n=a\) ratkaisut


Kun \(n\) on parillinen positiivinen kokonaisluku ja \(a\geq 0\), niin yhtälön \(x^n=a\) ratkaisu on luvun \(a\) \(n\):s juuri tai sen vastaluku.

\[\begin{align*} x^n&=a && |\sqrt[n]{} \\ x&=\sqrt[n]{a} \text{ }\text{ tai } x=-\sqrt[n]{a} \end{align*}\]


Kun \(n\) on pariton positiivinen kokonaisluku ja \(a \in \mathbb{R}\), niin yhtälön \(x^n=a\) ratkaisu on luvun \(a\) \(n\):s juuri.

\[\begin{align*} x^n&=a && |\sqrt[n]{} \\ x&=\sqrt[n]{a} \end{align*}\]

Esimerkki 4.1.1: Potenssiyhtälön ratkaiseminen algebrallisesti

4.2 Rationaalifunktiot ja -yhtälöt

Rationaalifunktioksi kutsutaan sellaista funktiota joka on kahden funktion \(P(x)\) ja \(Q(x)\) osamäärä.

Rationaalifunktio

Funktio \(f(x)\) on kahden polynomifunktion \(P(x)\) ja \(Q(x)\) osamäärä \[\begin{align*} f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}, \end{align*}\] jossa \(Q(x)\) voi olla vakiofunktio, kunhan se ei ole nollafunktio, eli \(Q(x)≠0\).

Esimerkki 4.2.1: Rationaalifunktion sieventäminen

4.3 Juurifunktiot ja -yhtälöt

Juuriyhtälön \(\sqrt[n]{x}=a\) ratkaisut


Kun \(n\) on parillinen positiivinen kokonaisluku ja \(a\geq 0\), niin yhtälön \(\sqrt[n]{x}=a\) ratkaisu on luvun \(a\) \(n\):s potenssi.

\[\begin{align*} \sqrt[n]{x}&=a && |()^n \\ (\sqrt[n]{x})^n&=a^n && \\ x&=a^n \end{align*}\]


Kun \(n\) on pariton positiivinen kokonaisluku ja \(a \in \mathbb{R}\), niin yhtälön \(\sqrt[n]{x}=a\) ratkaisu on luvun \(a\) \(n\):s potenssi.

\[\begin{align*} \sqrt[n]{x}&=a && |()^n \\ (\sqrt[n]{x})^n&=a^n && \\ x&=a^n \end{align*}\]

Yhtälö \[\sqrt[n]{x}=a\]

on ratkeamaton, jos \(n\) on parillinen ja \(a<0\). Muussa tapauksessa yhtälöllä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu \(x\). Yksikäsitteisyys on tärkeä huomata, sillä potenssiyhtälöistä poiketen, parillisella juuri yhtälöllä ei ole ratkaisun lisäksi ratkaisun vastaluku ratkaisua.

Esimerkki 4.3.1: Mikä luku?

Esimerkki 4.3.2: Murtopotenssi \(a^{\frac{m}{n}}\)

Tehtäviä

Tehtävä 1

#

Tehtävä 2

#

Tehtävä 3

#

Tehtävä 4

a.

#
Tehtävä 3: funktio
Tehtävä 3: funktio

b.

#
Tehtävä 2: Kuvaajat
Tehtävä 2: Kuvaajat

Tehtävä 5

#

ylärajana 6

04 Dec 19

Tehtävä 6

Suorakulmion muotoisessa puistossa on yhteensä 190 ruusupensasta. Pituussuunnassa pensaita on 9 kappaletta enemmän kuin leveyssuunnassa. Montako ruusupensasta on leveyssuunnassa?

#

Tehtävä 7

a.

Piirrä GeoGebralla funktioiden \(f(x)=\frac{1}{3}x-2\) ja \(g(x)=|\frac{1}{3}x-2|\) kuvaajat.

Avaa GeoGebra tästä!

b.

Yhtälön \(|x-2|=|x^{2}+2|\) toinen ratkaisu on \(0\). Mikä on toinen ratkaisu?

Avaa Abitti-editori tästä!

#

Tehtävä 8

Tehtävä 8: tasasivuinen kolmio
Tehtävä 8: tasasivuinen kolmio

Tasasivuisen kolmion kanta on 5. Kolmion kannan suhde kyljen pituuteen on yhtä suuri kuin kyljen pituuden suhde kyljen ja kannan pituuden summaan. Määritä tasasivuisen kolmion kyljen pituus.

#

Vanhoja YO-tehtäviä

1.
  1. Ratkaise yhtälö \(7x^7 + 6x^6 =0\) [K10/1a]
  2. Millä \(x\):n arvoilla pätee \(\frac{3}{3-2x}<0\) [K10/1c]

Vastaus

2.

Määritä toisen asteen yhtälön \(x^2+px+q=0\) kertoimet \(p\) ja \(q\), kun yhtälön juuret ovat \(-2-\sqrt{6}\) ja \(-2+\sqrt{6}\). [K10/3b]

Vastaus

3.
  1. Sievennä lauseke \((a+b)^2-(a-b)^2\) [S10/1a]
  2. Ratkaise epäyhtälö \(x\sqrt{7}-3 \leq4x\) [S10/2a]
  3. Ratkaise yhtälö \(x^4 -3x^2 -4=0\) [S10/2c]

Vastaus

4.

Ratkaise

  1. yhtälö \(\frac{2}{x}=\frac{3}{x-2}\)

  2. epäyhtälö \(x^2 -2\leq x\).

  3. yhtälö \(\mid\frac{3}{2}x-6\mid=6\) [K11/1]

Ratkaisu

5.

Ratkaise yhtälöt

  1. \(\frac{x}{6}-\frac{x-3}{2}-\frac{7}{9}=0\) [K12/1b]

  2. \(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}=0\) [K12/1c]

Ratkaisu

6.

Ratkaise yhtälöt

  1. \(\mid x \mid=1+x\) [S12/1b]

  2. \(1-x=\frac{1}{1-x}\) [s12/1c]

Ratkaisu

7.

Määritä suorien \(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\) ja \(3x-2y+3=0\) leikkauspiste. [k09/1c]

Ratkaisu

8.

Toisen asteen polynomifunktiolle voidaan käyttää kahta erilaista esitystapaa. Summamuoto: \(ax^2+bx+c\) ja tulomuoto: \(a(x-x_{1})(x-x_{2})\).

  1. Muokkaa polynomi \(2(x-6)(x-9)\) summamuotoon

  2. Muokkaa polynomi \(x^2+x-12\) tulomuotoon

  3. Osoita, että \(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\), jos \(x_{1}\) ja \(x_{2}\) ovat polynomin \(ax^2+bx+c\) nollakohdat. [K18/2]

Ratkaisu

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.