MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit

Keskeiset sisällöt ja tavoitteet

1. Itseisarvoyhtälöt

1.1 Itseisarvo

Määritelmä

Reaaliluvun \(a\) itseisarvo on \[\begin{align*} |a|=\begin{cases} a,\text{ kun }a\geq0 \\ -a,\text{ kun }a<0. \end{cases} \end{align*}\]

Itseisarvo kertoo luvun etäisyyden nollasta. Esimerkiksi luvut \(2\) ja \(-2\) ovat yhtä etäällä nollasta: \(|2|=|-2|\).

Itseisarvon ominaisuuksia
  1. \(|a|=|b|\text{, jos ja vain jos }a=b\text{ tai }a=-b\)

  2. \(|a|^{2}=a^{2}\)

  3. \(|ab|=|a||b|\)

  4. \(\sqrt{a^{2}}=|a|\)

  5. \(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\text{, kun }b≠0.\)

Kahden luvun \(a\) ja \(b\) välinen etäisyys on \(|a-b|\). Image

1.1.1 Esimerkki: Itseisarvoyhtälön ratkaiseminen

1.2 Itseisarvoepäyhtälö

Itseisarvoepäytälön ratkaisemisessa käytetään hyödyksi tietoa, että itseisarvo tarkoittaa luvun etäisyyttä nollasta.

Epäyhtälön \(|x|<a\) ratkaisu
  • väli \(-a<x<a\), jos \(a>0\)
  • ei ratkaisuja, jos \(a\leq0\)

Yhtäsuuruuden sisältävän epäyhtälön \(|x|\leq a\) ratkaisu on

  • \(-a\leq x \leq a\), jos \(a>0\)
  • ei ratkaisuja, jos \(a< 0\)
  • \(x=0\), jos \(a=0\).
Epäyhtälön \(|x|>a\) ratkaisu
  • \(x<-a\) tai \(x>a\), jos \(a\geq0\)
  • kaikki luvut \(x\), jos \(a<0\)

Yhtäsuuruuden sisältävän epäyhtälön \(|x|\geq a\) ratkaisu on

  • \(x\leq -a\) tai \(x\geq a\), jos \(a>0\)
  • kaikki luvut \(x\), jos \(a\leq 0\).

Huomioita itseisarvoepäyhtälön ratkaisemiseen:

  • Jos yhtälön molemmat puolet jaetaan negatiivisella luvulla, yhtälömerkin suunta muuttuu
  • Yhtälö voidaan myös ratkaista korottamalla yhtälön molemmat puolet neliöön. Näin voi tehdä, jos yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia.
Neliöönkorotuslause

Jos luvut \(a\) ja \(b\) ovat ei-negatiiviisia, niin pätee

  • \(a=b\), jos ja vain jos \(a^{2}=b^{2}\)
  • \(a<b\), jos ja vain jos \(a^{2}<b^{2}\)

Jos toinen luvuista on ei-negatiivinen, niin neliöönkorotuslause ei päde.

Esim. \((-2)^{2}>1^{2}\), vaikka \(-2<1\).

1.2.1 Esimerkki: Itseisarvoepäyhtälön ratkaiseminen

2. Pisteitä ja käyriä

Käyrän yhtälöllä tarkoitetaan sellaista yhtälöä, jonka toteuttavat ainoastaan kyseisen käyrän pisteet. Tason käyrä on siis pistejoukko, joka voidaan ajatella radaksi, jota tietty piste kulkee.

Piirrä käyrä GeoGebralla!

Tietty piste \((x,y)\) on käyrällä, jos ja vain jos pisteen koordinaatit toteuttavat käyrän yhtälön.

Kahden pisteen välinen etäisyys

Pisteiden \(A=(x_{1},y_{1})\) ja \(B=(x_{2},y_{2})\) välinen etäisyys \(d\) voidaan laskea hyödyntämällä Pythagoraan lausetta:

\(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\)

3. Suora

Suoran kulmakerroin

Suora kulkee pisteiden \((x_{1},y_{1})\) ja \((x_{2},y_{2})\) kautta. Suoran kulmakerroin on \(k=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos niillä on sama kulmakerroin tai ne ovat molemmat y-akselin suuntaisia.

Suoran suunta määräytyy sen kulmakertoimen perusteella. Jos kulmakerroin on negatiivinen, suora on laskeva. Vastaavasti jos kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva. Yllä olevassa kuvassa on laskeva suora.

3.1 Suoran yhtälöt

Pisteen \((x_{0}, y_{0})\) kautta kulkeva suora

\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\), jossa suoran kulmakerroin on \(k\).

Ratkaisemalla yllä oleva yhtälö \(y\):n suhteen, saadaan suoran nk. ratkaistu muoto:

Suoran ratkaistu muoto:

\(y=kx+b\)

Kun suoran ratkaistussa muodossa siirretään kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle, saadaan muodostettua suoran yleinen muoto, eli nk. normaalimuoto:

Suoran normaalimuoto

\(ax+by+c=0\), jossa \(a≠0\) ja \(b≠0\).

3.2 Suorien leikkauspiste ja välinen kulma

Kahdella suoralla tasossa voi olla leikkauspisteitä joko yksi, ääretön määrä tai ei yhtään.

Tilanteessa 1. sinisellä sekä vihreällä suoralla on yksi leikkauspiste.

Tilanteessa 2. Oranssilla ja punaisella suoralla ei ole yhtään leikkauspistettä.

Tilanteessa 3. kahdella suoralla on ääretön määrä leikkauspisteitä (suorat ovat päällekkäin).

Suorien välinen leikkauspiste

Suorien leikkauspiste on kahden suoran yhteinen piste. Tämä piste toteuttaa kummankin suoran yhtälöt. Leikkauspiste saadaan selville ratkaisemalla yhtälöpari.

3.2.1 Esimerkki: Suorien leikkauspiste

Suorien välinen kulma on aina se pienempi kulma, joka muodostuu suorien leikatessa toisensa. Täten suorien välinen kulma on aina välillä \([0°,90°]\). Yhdensuuntaisten suorien välinen kulma on \(0°\). Image

Suorien välinen kulma

Suorat \(y=k_{1}x+b_{1}\) ja \(y=k_{2}x+b_{2}\) leikkaavat toisensa. Näiden suorien välinen kulma \(\alpha\) toteuttaa yhtälön \[\begin{align*} \tan \alpha=\mid\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}\mid. \end{align*}\]

Suorat eivät saa olla toisiaan kohtisuorassa, koska \(\tan 90°\) ei ole määritelty.

3.2.2 Esimerkki: Suorien välinen kulma

3.3 Suorien kohtisuoruus

Suorat \(l_{1}\) ja \(l_{2}\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos ja vain jos niiden kulmakertoimien \(k_{1}\) ja \(k_{2}\) tulo \(k_{1}k_{2}= -1\) tai suorat ovat eri koordinaattiakselien suuntaiset.

Tarkastele suoran kulmakerrointa sekä suoran normaalia!

3.3.1 Esimerkki: Keskinormaalin yhtälön määritys

3.4 Pisteen etäisyys suorasta

Pisteen \((x_{0},y_{0})\) etäisyys suorasta \(ax+by+c=0\) on

\[\begin{align*} \displaystyle\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. \end{align*}\] Image

3.4.1 Esimerkki: Suoran etäisyys ympyrän kehästä

4. Paraabeli

Paraabeli on toisen asteen polynomifunktion kuvaaja.
Paraabeli on toisen asteen polynomifunktion kuvaaja.

4.1 Määritelmä

Tutki, mitä ovat paraabelin polttopiste sekä johtosuora!

Paraabelin määritelmä

Paraabeli on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä kiinteästä suorasta (johtosuora) ja yksittäisestä pisteestä (polttopiste), joka ei ole suoralla.

4.1.1 Esimerkki: Paraabelin yhtälö

4.2 Yhtälö

Yhtälöä \(y=ax^{2}+bx+c\) (\(a≠0\)) vastaava käyrä on ylöspäin aukeava paraabeli, jos \(a>0\). Vastaavasti, jos \(a<0\), paraabeli aukeaa alaspäin. Image

Jos yhtälössä vaihdetaan muuttujien \(x\) ja \(y\) roolit, saadaan käyrä, joka aukeaa vasemmalle tai oikealle. Yhtälö on tällöin muotoa \(x=ay^{2}+bx+c\) (\(a≠0\)). Jos \(a<0\), niin paraabeli on vasemmalle aukeava, ja vastaavasti kun \(a>0\), paraabeli aukeaa oikealle. Image

Paraabelin yhtälö perusmuodossa

\[\begin{align*} y=ax^{2}+bx+c,\;\;\; a≠0 \end{align*}\]

Vastaavasti vaakasuoraan aukeaville paraabeleille pätee \(x=ay^{2}+by+c, a≠0\).

Paraabelin yhtälö huippumuodossa

Paraabelin yhtälö \(y=ax^{2}+bx+c\) voidaan esittää huippumuodossa: \[\begin{align*} y-y_{0}=a(x-x_{0})^2 \end{align*}\] Tässä \((x_{0},y_{0})\) on paraabelin huipun koordinaatit.

Vastaavasti vaakasuoraan aukeaville paraabeleille pätee \(x-x_{0}=a(y-y_{0})^2\).

Paraabelin yhtälö nollakohtamuodossa

\[\begin{align*} y=a(x-x_{1})(x-x_{2}), \;\;\;\;a≠0 \end{align*}\]

Tässä \(x_{1}\) ja \(x_{2}\) ovat paraabelin nollakohdat.

Vastaavasti vaakasuoraan aukeaville paraabeleille pätee \(x=a(y-y_{1})(y-y_{2}), a≠0\).

Paraabelin huipun koordinaatit

Pystysuoraan aukeavan paraabelin huipun \((x_{0},y_{0})\) x-koordinaatti on muotoa \[\begin{align*} x_{0}=\frac{-b}{2a}. \end{align*}\]

Vaakasuoraan aukeavan paraabelin huipun y-koordinaatti on muotoa \[\begin{align*} y_{0}=\frac{-b}{2a}. \end{align*}\]

4.2.1 Esimerkki: Paraabelien leikkauspisteet

5. Ympyrä

Ympyrän määritelmä

Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat positiivisella vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä. Image

5.1 Ympyrän yhtälöt

Ympyrän kehällä olevan pisteen \((x,y)\) etäisyys ympyrän keskipisteestä \((x_{0},y_{0})\) on säde \(r\). Image

Säteelle saadaa pituus Pythagoraan lauseen mukaisesti: \[\begin{align*} r&=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^2}\\ \text{joka edelleen on muotoa}\\ r^{2}&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^2.\\ \end{align*}\]

Keskipistemuoto

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö on \[\begin{align*} r^{2}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^2 \end{align*}\]

Sievennetään edelleen saatua keskipistemuotoista yhtälöä: \[\begin{align*} r^{2}&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^2\\ x^{2}-2xx_{0}+x_{0}^{2}+y^{2}-2yy_{0}+y_{0}^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}&=0 \end{align*}\] Jos nyt merkitään vakioita lyhyemmin: \(a=-2x_{0}\), \(b=-2y_{0}\), \(c=x_{0}^2+y_{0}^2-r^{2}\), saadaan ympyrän yhtälö muotoon \[\begin{align*} x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \end{align*}\]

Yleinen muoto

Ympyrän yleinen muoto on \[\begin{align*} x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \end{align*}\]

Kaikki keskipistemuodossa olevat ympyrän yhtälöt voidaan muuttaa yleiseen muotoon, mutta kaikki yleisessä muodossa olevat yhtälöt eivät ole ympyröitä.

5.1.1 Esimerkki: Ympyrän keskipisteen ja säteen määritys

5.2 Ympyrä ja suora

Ympyrällä ja suoralla on maksimissaan kaksi leikkauspistettä. Tällöin suoraa kutsutaan ympyrän sekantiksi. Jos suoralla ja ympyrällä on täsmälleen yksi leikkauspiste, suora on ympyrän tangentti.

Tangentin erityisominaisuuksia
  • Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan
  • Tangentti on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä
  • Tangentilla on tasan yksi leikkauspiste ympyrän kanssa

Image Jos suoralla on yksikin yllä luetelluista ominaisuuksista, se on ympyrän tangentti.

5.2.1 Esimerkki: Ympyrän tangentin yhtälön määritys

6. Vektorit

Tässä luvussa tutustutaan vektoreihin ja niiden perusominaisuuksiin. Käsiteltäviä asioita ovat mm. vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku, vektoreiden pistetulo, vektorin kertominen luvulla sekä vektoreiden välinen kulma

6.1 Vektorit tasolla ja avaruudessa

Vektorilla on aina suunta ja pituus. Poikkeuksena on nollavektori \(\overline{0}\), jolla ei ole suuntaa ja jonka pituus on \(0\).

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Vektorit ovat yhdensuuntaiset silloin, kun \(\overline{b}=t\overline{a}\), jollakin \(t≠0\). Tällöin pätee

  • \(|\overline{b}|=|t\overline{a}|=|t||\overline{a}|\)

huom. tässä \(|t|\) on luvun \(t\) itseisarvo, ja \(|a|\) on vektorin \(\overline{a}\) pituus.

  • \(\overline{b}\uparrow\uparrow\overline{a}\), jos \(t>0\)
  • \(\overline{b}\uparrow\downarrow\overline{a}\), jos \(t<0\)

Vektoreiden summa ja erotus

Summavektori \(\overline{a}+\overline{b}\) kulkee vektorin \(\overline{a}\) alkupisteestä vektorin päätepisteeseen.

Erotusvektori: \(\overline{a}+(-\overline{b})=\overline{a}-\overline{b}\). Huomioi tässä summavektorin suunta ja vektorin \(\overline{b}\) suunta.

Pisteen paikkavektori

Avaruuden pisteen \(P(x,y,z)\) paikkavektori on \[\begin{align*} \overline{OP}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k} \end{align*}\]

Tutki avaruuden vektoria \(\overline{v}=(2,-2,4)\)!

Pisteiden välinen vektori

Avaruuden kahden pisteen \(A=(x_{1},y_{1},z_{1})\) ja \(B=(x_{2},y_{2},z_{2})\) välinen vektori \(\overline{AB}\) on muotoa \[\begin{align*} \overline{AB}=(x_{2}-x_{1})\overline{i}+(y_{2}-y_{1})\overline{j}+(z_{2}-z_{1})\overline{k} \end{align*}\] Image

Vektorin pituus

Avaruuden vektorin \(\overline{v}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\) pituus on \[\begin{align*} |\overline{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \end{align*}\]

Yksikkövektori

Vektorin \(\overline{a}\) yksikkövektori \(\overline{a}^{0}\) on vektorin \(\overline{a}\) kanssa samansuuntainen vektori, jonka pituus on 1:

\(\overline{a}^{0}=\displaystyle\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}\)

Vektorit voidaan jakaa osiin, komponentteihin, jotka ovat tason erisuuntaisten vektoreiden \(\overline{v}\) ja \(\overline{u}\) suuntaisia. Tällöin vektori \(\overline{a}\) voidaan esittää muodossa \(\overline{a}=t\overline{u}+s\overline{v}\), jossa \(t\) ja \(s\) ovat reaalilukuja.

Tämä jako on yksikäsitteinen, eli jos vektorille \(\overline{a}\) on kaksi erilaista esitystapaa \(\overline{a}=t\overline{u}+s\overline{v}\) ja \(\overline{a}=p\overline{u}+r\overline{v}\), niin \(t=p\) ja \(s=r\).

6.1.1 Esimerkki: Vektorin pituus

6.2 Vektoreiden välinen kulma ja pistetulo

Vektoreiden \(\overline{a}\) ja \(\overline{b}\) välinen kulma on pienempi niistä kulmista, jotka muodostuvat kun vektorit piirretään alkamaan samasta pisteestä.

Vektoreiden pistetulo

Tasossa: \[\begin{align*} \overline{a}\cdot\overline{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}, \end{align*}\] kun \(\overline{a}=x_{1}\overline{i}+y_{1}\overline{j}\) ja \(\overline{b}=x_{2}\overline{i}+y_{2}\overline{j}\)

Avaruudessa: \[\begin{align*} \overline{a}\cdot\overline{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}, \end{align*}\] kun \(\overline{a}=x_{1}\overline{i}+y_{1}\overline{j}+z_{1}\overline{k}\) ja \(\overline{b}=x_{2}\overline{i}+y_{2}\overline{j}+z_{2}\overline{k}\) ja \(\overline{c}=x_{3}\overline{i}+y_{3}\overline{j}+z_{3}\overline{k}\)

Vektoreiden pistetulolla on yhteys vektoreiden väliseen kulmaan. Jos vektoreiden \(\overline{a}\) ja \(\overline{b}\) pistetulo on 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Vektoreiden välinen kulma

Kahden vektorin, jotka eivät ole nollavektoreita, välisen kulman kosini on yhteydessä vektoreiden pistetuloon sekä vektoreiden pituuksiin: \[\begin{align*} &\overline{a}\cdot\overline{b}=|\overline{a}||\overline{b}|\cos{(\overline{a},\overline{b})}\\ &\text{eli}\\ &\cos{(\overline{a},\overline{b})}=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|} \end{align*}\]

6.2.1 Esimerkki: Vektoreiden välinen kulma

6.3 Vektori ja suora

Avaruuden suora

Suora kulkee avaruudessa pisteen \(A=(x_{0},y_{0},z_{0})\) kautta vektorin \(\overline{s}=s_{x}\overline{i}+s_{y}\overline{j}+s_{z}\overline{k}\) suuntaisesti.

Suoran vektorimuotoinen yhtälö: \[\begin{align*} \overline{OP}&=\overline{OA}+t\overline{s}\\ &=x_{0}\overline{i}+y_{0}\overline{j}+z_{0}\overline{k}+t(s_{x}\overline{i}+s_{y}\overline{j}+s_{z}\overline{k})\;\;\;\;\;(t\in\R) \end{align*}\]

Suoran parametrimuotoinen yhtälö: \[\begin{align*} \begin{cases} x=x_{0}+ts_{x}\\ y=y_{0}+ts_{y}\\ z=z_{0}+ts_{z} \end{cases} \end{align*}\]

Xy-tason suoran kulmakerroin on \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) ja suoran eräs suuntavektori on \(\overline{s}=\Delta x\overline{i}+\Delta y\overline{j}\).

Suoran \(ax+by+c=0\) eräs normaalivektori on \(\overline{n}=a\overline{i}+b\overline{j}\).

6.3.1 Esimerkki: Vektorin yhtälöt

6.4 Vektori ja taso

Avaruuden pisteet muodostavat tason, jos ja vain jos ne toteuttavat yhtälön \(ax+by+cz+d=0\), jossa ainakin yksi kertoimista \(a, b, c\) ei ole nolla. Tälle tasolle eräs normaalivektori on \(\overline{n}=a\overline{i}+b\overline{j}+c\overline{k}+d\).

Tutki tason erästä normaalivektoria!

Pisteen kautta kulkevan tason yhtälö

Taso kulkee pisteen \(A=(x_{0},y_{0},z_{0})\) kautta ja on kohtisuorassa vektoria \(\overline{n}=a\overline{i}+b\overline{j}+c\overline{k}\) vastaan. Tason yhtälö on: \[\begin{align*} a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0 \end{align*}\]

Tason normaalimuotoinen yhtälö on: \[\begin{align*} ax+by+cz+d=0 \end{align*}\]

6.4.1 Esimerkki: Kaksi tasoa

Tehtäviä

Tehtävä 1

a.
#

Yhtälön ratkaisussa on virhe.

Siirrä virhemerkintä sen välivaiheen päälle, joka on virheellinen.

#

Selitä lyhyesti, miksi kyseinen kohta on virheellinen

 

b.
#

Tehtävän ratkaisussa on virhe.

Siirrä virhemerkintä kohtaan, joka on virheellinen.

#

Selitä lyhyesti, miksi kyseinen kohta on virheellinen

 

Tehtävä 2

a.

Siirrä limen siivu koordinaatistopohjaan siten, että sen yhtälö on \((x-\frac{4}{3})^{2}+ (y+\frac{4}{3})^{2}=2\).

#
b.

Siirrä banaanit koordinaattiruudukon päälle siten, että ne kuvaavat yhtälöitä \(x=\frac{1}{3}y^{2}\) ja \(x=-\frac{1}{3}y^{2}-1\).

#

Tehtävä 3.

#

Hahmottele karttaan Asemakadun etäisyys Kuopion keskustan infopisteestä

Sijoitetaan kartta koordinaatistoon siten, että asemakatu kulkee suoran \(y=0,14x+4,6\) suuntaisesti ja infopiste on pisteessä \((-4,7;-5)\).

a.

Laske infopisteen etäisyys Asemakadusta (koordinaatistossa etäisyys 1 tarkoittaa noin 56 metriä luonnossa)

#

Anna vastaus metrin tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

Vihje

b.

Lilja on eksynyt Kuopion keskustaan ja kiertää kehää Sankaripuiston ympärillä. Kulkureitti on ympyrän \((x+10,4)^{2}+(y+1,6)^{2}=4\) muotoinen. Kuinka lähellä Asemakatua Lilja enimmillään käy?

#

Anna vastaus metrin tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

Vihje

Tehtävä 4.

Ravirata voidaan muodostaa yhdistämällä kaksi toisensa sivuavaa, yhdenmuotoista ympyrää kahdella tangentilla. Raviradan suoran pituus on 175m ja kaarresäteet ovat 85m.

Avaa GeoGebra tästä

a.

Hevonen ravaa yhden kierroksen. Kuinka pitkän matkan hevonen ravaa yhteensä kaarteissa?

#

Anna vastaus metrin tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

Vihje

b.

Bruno ravaa raviradan kaarteessa siten, että sillä on kaarretta jäljellä \(\frac{1}{4}\) ennen alkavaa suoraa. Toisella puolella rataa Hillevi on jo ravannut kolmanneksen kaarteesta. Hahmotetaan Bruno sekä Hillevi vektoreina seuraavasti: \(\overline{B}=-\frac{2}{3}\overline{i}+\frac{2}{3}\overline{j}\) ja \(\overline{H}=-\frac{2}{3}\overline{i}-\overline{j}\). Image

Kuinka suuri on Brunon ja Hillevin välinen kulma?

#

Anna vastaus asteen tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

Tehtävä 5.

Kuumailmapallo on lähdössä lennolle, mutta 200 m päässä kuumailmapallosta on 20 m korkea radiomasto. Muotoile kuumailmapallon lentoradalle paraabelin yhtälö, jos pallo ainoastaan ylittäisi radiomaston ja laskeutuisi sen toiselle puolelle 200 metrin päähän mastosta. Lentäjä haluaa 5 m turvavälin maston ylityksessä.

Avaa GeoGebra tästä

Muodosta paraabelin lauseke.

#

Muodosta paraabelin lauseke \(y=\).

=

 

Tehtävä 6.

Komeetta, joka saapuu aurinkokuntaan suurella nopeudella, ohittaa planeetan hyperbelin muotoisella radalla. Planeetan gravitaatiovoima vaikuttaa komeetan liikerataan tehden siitä kaarevan.

Alla olevassa kuvassa on origokeskinen, ylöspäin ja alaspäin aukeava hyberpeli. Hyperbelin yhtälö akselimuodossa on \(\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\). Hyperbelillä on kaksi asymptoottia, eli suoraa, jotka kulkevat hyperbelin kylkien suuntaisesti kuitenkaan leikkaamatta hyperbeliä. Tutki ja päättele, mitä osia hyperbelissä on.

#

Tehtävä 7.

Navetan katolla istuu 50 cm korkea kukko. Aurinko paistaa vinon katon suuntaisesti. Kuinka kaukana talon seinästä on kukon pään varjo? Image

#

Anna vastauksesi metrin kymmenesosan tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

Tehtävä 8.

#

Vanhoja YO-tehtäviä

1.

Ympyrän \(x^{2}+y^{2}=16\) jänteen keskipiste on \((2,1)\). Määritä jänteen pituus. [S15/5]

Ratkaisu

2.

Tasokäyrä kulkee pisteen \((3,4)\) kautta. Määritä käyrän yhtälö, kun kyseessä on

  1. origon kautta kulkeva suora
  2. origokeskeinen ympyrä
  3. ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu on origossa. [S15/2]

Ratkaisu

3.

Määritä se toisen asteen polynomi, joka saa pisteissä \(x=0, x=1\) ja \(x=2\) samat arvot kuin funktio \(f(x)=2^{x}\). [K11/4]

Ratkaisu

4.

Ympyrä sivuaa suoraa \(3x-4y=0\) pisteessä \((8,6)\). Lisäksi se sivuaa positiivista x-akselia. Määritä ympyrän keskipiste ja säde. [K14/5]

Ratkaisu

5.

Olkoon \(A=(1,0), B=(0,-1) ja t>1\). Piste \(T=(t,0)\) keskipisteenä piirretään ympyrä, joka leikkaa yksikköympyrän \(x^{2}+y^{2}=1\) kohtisuorasti kuvion mukaisessa pisteessä \(C\) janan \(=A\) pisteessä \(D\). [S14/10] Image

  1. Määritä pisteen \(C\) koordinaatit parametrin \(t\) avulla lausuttuna.

  2. Osoita, että pisteet \(B,D\) ja \(C\) ovat samalla suoralla.

Ratkaisu

6.

Pisteestä \(A(1,-1,0)\) siirrytään 9 pituusyksikköä vektorin \(\overline{i}-2\overline{j}+2\overline{k}\) suuntaan pisteeseen \(B\) ja siitä edelleen 10 pituusyksikköä vektorin \(3\overline{i}-4\overline{k}\) suuntaan pisteeseen \(C\). Määritä pisteen \(C\) koordinaatit.[S13/5]

Ratkaisu

7.

Pisteiden \(A(2,0,1)\) ja \(B(3,1,3)\) yhdysjanan keskipisteen kautta asetetaan taso, joka on kohtisuorassa yhdysjanaa vastaan. Missä pisteessä tämä taso leikkaa y-akselin? [K13/7]

Ratkaisu

8.

Suoran vektorimuotoinen yhtälö on \(\overline{OP}=\overline{i}+2\overline{j}+2\overline{k}+t(2\overline{i}+\overline{j}+s\overline{k})\), missä \(t\in\R\) on suoran parametri. Märitä sellainen luku \(s\), että suora on tasossa \(3x+4y+5z=21\). [S10/3a]

Ratkaisu

9.

Määritä ympyrän \(x^{2}+y^{2}+4x-2y+1=0\) niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkeutuvat pisteen \((1,3)\) kautta. [S07/5]

Ratkaisu

10.
  1. Muodosta sen tason yhtälö, joka kulkee pisteen \((2,4,6)\) kautta ja leikkaa xy-tason pitkin suoraa \(x+2y=3\).
  2. Missä pisteissä a-kohdan taso leikkaa koordinaattiakselit? [K16/8]

Ratkaisu

11.

Olkoon \(\overline{a}=4\overline{i}-5\overline{j}+3\overline{k}\) ja \(\overline{b}=2\overline{i}+\overline{j}-2\overline{k}\). Esitä vektori \(\overline{a}\) summana vektoreista \(\overline{u}\) ja \(\overline{v}\), joista \(\overline{u}\) on yhdensuuntainen vektorin \(\overline{b}\) kanssa ja \(\overline{v}\) kohtisuorassa vektoria \(\overline{b}\) vastaan. [K11/8]

Ratkaisu

12.

Vektoreiden \(\overline{a}\) ja \(\overline{b}\) summa on vektori \(4\overline{i}+\overline{j}\) ja niiden pistetulo on \(\overline{a}\cdot\overline{b}=4\). Vektori \(\overline{b}\) on yhdensuuntainen vektorin \(\overline{i}\) kanssa. Määritä vektorit \(\overline{a}\) ja \(\overline{b}\). [K10/5]

Ratkaisu

13.

Lasersäteellä osoitetaan pisteestä \(A(1,-2,3)\) vektorin \(\overline{u}=2\overline{i}-\overline{j}-3\overline{k}\) suuntaan. Toisella säteellä osoitetaan pisteestä \(B(9,-1,-12)\) vektorin \(\overline{v}=-\overline{i}-2\overline{j}+3\overline{k}\) suuntaan. Näytä, että säteet leikkaavat toisensa, ja määritä niiden leikkauspiste. [K14/8]

Ratkaisu

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.