MAA3 Geometria

Keskeiset sisällöt ja tavoitteet

1.Tasogeometrian peruskäsitteitä

Kulmat nimetään usein käyttämällä kreikkalaisia pieniä aakkosia: \(\alpha\) (alfa), \(\beta\) (beeta), \(\gamma\) (gamma) …

1.1 Erilaisia kulmia

Vieruskulmat

Vieruskulmien \(\alpha\) ja \(\beta\) summa on \(180^{°}\). Image

Ristikulmat

Ristikulmat \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat yhtä suuret. Image

Tutki vierus- ja ristikulmia GeoGebralla!

Samankohtaiset kulmat

Jos suorat \(a\) ja \(b\) ovat yhdensuuntaiset, kulmat \(\alpha\) ja \(\beta\) ovat yhtä suuret. Image

Tutki samankohtaisia kulmia GeoGebralla!

Kolmion kulmien summa on \(180^{°}\).

Jos kolmiossa on kolme yhtä suurta kulmaa, tällöin kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Tällainen kolmio on tasasivuinen kolmio. Jos kolmion kaksi sivua ovat yhtä pitkät, niiden kantakulmatkin ovat yhtä suuret. Tällaista kolmiota kutsutaan tasakylkiseksi kolmioksi.

Monikulmion kulmien summa on \((n-2)\cdot 180\), missä \(n\) on monikulmion kärkien lukumäärä. Image

Säännöllisen monikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kulmat yhtä suuria.

1.2 Kuvioiden yhdenmuotoisuus

Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinsivujen suhteet ovat samat riippumatta siitä, mitä sivuja tarkastellaan. Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinkulmat ovat aina yhtä suuret.

Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset, yhdenmuotoisuussuhde tarkoittaa suhdetta \[\frac{s_1}{s_2},\] missä \(s_1\) on sivun pituus ensimmäisessä kuviossa ja \(s_2\) sitä vastaavan sivun pituus toisessa kuviossa.

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia, jos niillä on kaksi yhtä suurta kulmaa. Kahdesta yhtä suuresta kulmastahan seuraa myös, että kolmioiden kolmas kulma on yhtä suuri.

Yhdenmuotoisuuden avulla voidaan päätellä lisäksi myös kuvioiden pinta-aloihin liittyviä suhteita.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslause KK

Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuria kuin vastinkulmat toisessa kolmiossa, kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslause SSS

Jos kolmion kaikki sivut ovat verrannolliset vastinsivuihin toisessa kolmiossa, kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuslause SKS

Jos kolmion kaksi sivua ovat verrannollista vastinsivuihin toisessa kolmiossa ja niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin vastinkulma toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

1.2.1 Esimerkki: Sivun pituuden määritys

Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alalause

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset yhdenmuotoisuussuhteessa \(s_1 : s_2\), niiden pinta-alojen suhde on \[\frac{A_1}{A_2} =\left(\frac{s_1}{s_2}\right)^2.\]

1.2.2 Esimerkki: Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alat

Piirrä yhdenmuotoinen kolmio GeoGebralla!

Pinta-alan kohdalla yhdenmuotoisuussuhde korotettiin toiseen potenssiin, mutta tilavuuden kohdalla yhdenmuotoisuussuhde korotetaankin kolmanteen potenssiin.

Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuslause

Jos kappaleet ovat yhdenmuotoiset yhdenmuotoisuussuhteessa \(s_1 : s_2\), niiden tilavuuksien suhde on \[\frac{V_1}{V_2} =\left(\frac{s_1}{s_2}\right)^3.\]

Tutki yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksia GeoGebralla!

2. Kolmioiden geometriaa

2.1 Pythagoraan lause

Suorakulmainen kolmio on sellainen kolmio, jonka yksi kulma on suorakulma eli \(90^{\circ}\). Suoran kulman kylkinä olevia sivuja kutsutaan kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua hypotenuusaksi.

Jos suorakulmaisen kolmion kahden sivun pituus tiedetään, kolmannen sivun pituus voidaan selvittää Pythagoraan lauseen avulla:

Pythagoraan lause

Suorakulmaisen kolmion kateettien \(a\) ja \(b\) neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen hypotenuusan \(c\) neliö, eli \[a^2+b^2=c^2.\]

Tutki Pythagoraan lauseen todistusta GeoGebran avulla!

Pythagoraan lausetta voidaan käyttää myös käänteisesti: jos kolmion kateettien neliöiden summa \(a^{2}+b^{2}\) on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö \(c^{2}\), on kyseessä tällöin suorakulmainen kolmio.

Jos suoraa kulmaa ei ole erikseen mainittu tai merkitty, tulee aina tarkistaa, onko kolmio suorakulmainen.

2.2 Trigonometriset funktiot ja muistikolmiot

Kolmion sivujen suhteet ovat aina vakioita tietyillä kulman suuruuksilla. Näitä suhteita kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi.

Kolmion kulmien suuruudet voidaan ratkaista, jos tiedetään kolmion kateettien pituudet tai kateetin ja hypotenuusan pituus.

Suorakulmaisen kolmion sini, kosini ja tangentti

Suorakulmaisessa kolmiossa kulman \(\alpha\) sini, kosini ja tangentti tarkoittavat seuraavia suhteita: \[\sin(\alpha)=\frac{\text{kulman vastainen kateetti}}{\text{hypotenuusa}}=\frac{a}{c}\] \[\cos(\alpha)=\frac{\text{kulman viereinen kateetti}}{\text{hypotenuusa}}=\frac{b}{c}\] \[\tan(\alpha)=\frac{\text{kulman vastainen kateetti}}{\text{kulman viereinen kateetti}}=\frac{a}{b}\]

Ylläolevat trigonometriset funktiot pätevät ainoastaan suorakulmaiselle kolmiolle. Mille tahansa kolmiolle pätevät seuraavat sini- ja kosinilauseet:


Sinilause: \(\displaystyle\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\) eli \(\dfrac{\text{kolmion sivu}}{\text{vastaisen kulman sini}}\)

Kosinilause: \(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\)

2.2.1 Esimerkki: Kolmion sivun pituus

Jos kolmiosta tiedetään kahden kulman suuruus sekä yhden sivun pituus, kosinilausetta ei voida käyttää. Tällöin käytetään sinilausetta.

Muistikolmioiden avulla voidaan ratkaista tietyille usein esiintyville kulmille sini, kosini ja tangentti. Tällaisia kulmia ovat \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) ja \(60^{\circ}\).

2.3 Kolmioiden pinta-ala

Kolmion pinta-ala

Jos kolmion kannan pituus on \(a\) ja korkeus \(h\), kolmion pinta-ala on \[A=\frac{1}{2} ah.\] Jos kolmion kahden sivun pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja näiden välisen kulman suuruus \(\alpha\), voidaan kolmion pinta-ala ilmaista lausekkeella \[A=\frac{1}{2} ab \sin \alpha.\]

Kolmion korkeusjana merkitään aina kohtisuoraksi kantaa tai sen jatketta vastaan.

2.4 Kolmion merkilliset pisteet

Tutki kolmion eri osasia GeoGebralla!

Kulmanpuolittajalause 1

Kolmion jokaisen kulman kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on aina kolmion sisällä. Tämä piste on myös suurimman mahdollisen kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste

Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla \(r=\displaystyle\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\), missä \(a,b\) ja \(c\) ovat kolmion sivujen pituudet ja \(s\) on kolmion piirin puolikas

\(s=\frac{1}{2}(a+b+c)\).

Kulmanpuolittajalause 2

Kolmion yhden kulman kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa: \(\displaystyle\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

Keskijanalause (mediaanilause)

Kun kolmion sivujen keskipisteet yhdistetään vastakkaisiin kulmiin, saadaan kolme keskijanaa. Nämä keskijanat leikkaavat yhdessä pisteessä, joka jakaa jokaisen keskijanan suhteessa 2:1. Leikkauspiste on aina kolmion sisällä ja sitä kutsutaan myös kolmion painopisteeksi.

Keskinormaalilause

Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.

Teräväkulmaisen kolmion tapauksessa piste on kolmion sisäpuolella ja tylppäkulmaisella kolmiolla se on kolmion ulkopuolella. Suorakulmaisella kolmiolla leikkauspiste on täsmälleen hypotenuusan keskipisteessä.

2.5 Tylppäkulmainen kolmio

Esimerkki tylppäkulmaisesta kolmiosta
Esimerkki tylppäkulmaisesta kolmiosta

Tylpän kulman sini ja kosini

Tylpän kulman (\(90^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}\)) sini ja kosini voidaan laskea seuraavilla kaavoilla: \[\sin (180^{\circ} -\alpha) = \sin (\alpha)\] \[\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos (\alpha).\]

Määritellään nyt tylpän kulman eli suoran kulman ja oikokulman välillä olevalle kulmalle sini ja kosini laskukaavojen avulla. Alla olevissa esimerkeissä havainnollistetaan sitä, mistä laskukaavat tulevat.

GeoGebra-appletti: Tylpän kulman sini

Otetaan esimerkiksi GeoGeba-appletissa näkyvä alkutilanne, jossa halutaan selvittää kulman \(\alpha=140^{\circ}\) sini. Äsken esitellyn kaavan mukaisesti \[ \begin{aligned} \sin(140^{\circ}) &= \sin(180^{\circ}-140^{\circ}) \\ &= \sin(40^{\circ}) \\ &= 0,64. \end{aligned} \] GeoGebra-appletissa sekä kulman \(140^{\circ}\) että \(40^{\circ}\) oikea kylki on x-akselilla, ja vasen kylki on yhden mittainen jana. Huomataan, että kummankin kulman tapauksessa tämän janan päätepisteen y-koordinaatti on \(0,64\).


GeoGebra-appletti: Tylpän kulman kosini

Otetaan esimerkiksi GeoGebra-appletissa näkyvä alkutilanne, jossa halutaan selvittää kulman \(\alpha=140^{\circ}\) kosini. Äsken esitellyn kaavan mukaisesti \[ \begin{aligned} \cos(140^{\circ}) &= -\cos(180^{\circ}-140^{\circ}) \\ &= -\cos(40^{\circ}) \\ &= -0,77. \end{aligned} \] GeoGebra-appletissa sekä kulman \(140^{\circ}\) että \(40^{\circ}\) oikea kylki on x-akselilla, ja vasen kylki on yhden mittainen jana. Huomataan, että kummankin kulman tapauksessa tämän janan päätepisteen x-koordinaatti on \(0,77\). Tylpän kulman kosinin arvo on negatiivinen, kun taas vastaavan terävän kulman kosini on positiivinen.


3. Monikulmioiden pinta-aloja

Monet monikulmioihin liittyvät ongelmat voidaan yksinkertaistaa kolmioihin liittyviksi ongelmiksi. Jos monikulmio on säännöllinen, sitä yksinkertaisempaa sen pinta-alan laskeminen on.

3.1 Puolisuunnikas

Puolisuunnikkaan pinta-ala

Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset. Näitä sivuja kutsutaan puolisuunnikkaan kannoiksi. Jos puolisuunnikkaan kannat ovat \(a\) ja \(b\) ja sen korkeus on \(h\), sen pinta-ala on \[A= \frac{a+b}{2}h.\]

3.2 Suunnikas

Jos suunnikkaan kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, puhutaan neljäkkäästä eli vinoneliöstä. Joskus neljäkästä kutsutaan myös nimellä rombi.

Suunnikkaan pinta-ala

Suunnikas on nelikulmio, jonka molemmat vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkiä ja yhdensuuntaisia. Jos suunnikkaan sivujen pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja näiden sivujen välinen kulma on \(\alpha\), voidaan suunnikkaan pinta-ala laskea seuraavasti \[A=ah=ab \sin \alpha,\] missä \(h\) on suunnikkaan korkeus.

3.3 Suorakulmio

Suorakulmion pinta-ala

Suorakulmio on monikulmio, jolla on neljä kulmaa ja jonka jokainen kulma on suora. Jos suorakulmion eripituisten sivujen pituudet ovat \(a\) ja \(b\), voidaan suorakulmion pinta-ala laskea seuraavasti \[A=ab.\]

Neliö on suunnikas, jonka kaikki neljä kulmaa ovat \(90^{\circ}\) ja sen kaikki sivut ovat yhtäpitkiä. Tällöin neliön pinta-alaksi \(A\) saadaan \(A=a\cdot a=a^{2}\).

4. Ympyrä

Tutki alla olevan piirroksen avulla ympyrän eri osia.

Tutki ympyrän osia GeoGebralla!

4.1 Säde, halkaisija ja piiri

Ympyrän säde, halkaisija ja piiri

Säde: \(r\)

Halkaisija: \(d=2r\)

Piiri: \(p=2\pi r=\pi d\)

Ympyrän pinta-ala

Ympyrän pinta-ala lasketaan sen säteen \(r\) avulla seuraavasti \[A=\pi r^2.\]

Keskuskulma on se kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä.

Ympyrän kaaren pituus

Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrän kehältä kaaren, jonka pituus voidaan laskea seuraavasti

4.1.1 Esimerkki: Sektorin kaaren pituus

4.2 Sektori ja segmentti

Ympyrän sektorin pinta-ala

Keskuskulman \(\alpha\) kyljet rajaavat ympyrän sisältä sektorin, jonka pinta-ala \(A_{SEK}\) voidaan laskea seuraavasti: \[A_{SEK}= \frac{\alpha}{360 ^{\circ}} \pi r^2.\] Jos tiedetään keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus \(b\), voidaan sektorin pinta-ala laskea myös kaavalla \[A_{SEK}=\frac{br}{2}.\]

Jänne on jana, joka yhdistään ympyrän kehällä olevan kaaren päätepisteet.

Segmentin pinta-ala

Jänne jakaa ympyrän kahdeksi segmentiksi, joiden pinta-ala \(A_{SEG}\) saadaan laskettua kaavalla \[A_{SEG}=A_{SEK} \pm A_{keskuskolmio}.\] Kaavassa käytetään yhteenlaskua, jos keskuskulma \(\alpha\) on suurempi kuin \(180^{\circ}\), ja vähennyslaskua, jos keskuskulma \(\alpha\) on pienempi kuin \(180^{\circ}\).

4.2.1 Esimerkki: Segmentin pinta-ala

4.3 Tangentti

Tangentti

Tangentti on suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä. Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.

4.4 Ympyrään liittyviä kulmia

Kehäkulma on kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja jonka kylkinä on kaksi jännettä tai jänne ja tangentti. Kehäkulman suuruus on puolet sitä vastaavan keskuskulman suuruudesta. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat aina yhtä suuria.

Kehäkulman lause 1

Kehäkulma \(\beta\) on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta \(\alpha\), eli \[\begin{align*} \beta=\frac{\alpha}{2} \end{align*}\]

Kehäkulman lause 2

Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuria.

Kehäkulman lause 3

Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. Image

Tangenttikulma on kahden ympyrän tangentin leikkauspisteeseen muodostuva kulma, jonka aukeamassa ympyrä on. Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on aina \(180^{\circ}\)

Tangenttikulman lause

Tangenttikulman \(\beta\) ja sitä vastaavan keskuskuman \(\alpha\) summa on \(180°\), eli \(\alpha+\beta=180°\). Image

Kehäkulmalauseen erityistapauksena on Thaleen lause. Sen mukaan puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. Kehäkulmalauseen perusteella tämä on selvä asia, sillä puoliympyrän rajaava keskuskulma on \(180^{\circ}\), jolloin kehäkulman on oltava puolet siitä eli \(90^{\circ}\).

5. Avaruusgeometria

Monia tasogeometriassa hyödynnettyjä lauseita ja ominaisuuksia voi hyödyntää myös kolmiulotteisessa, eli avaruusgeometriassa. Suorien välinen kulma on suorien leikkauspisteeseen muodostuneista kulmista pienempi.

5.1 Kulmat avaruudessa

Kolmiulotteisessa avaruudessa voidaan laskea muun muassa kahden suoran välinen kulma, kahden tason välinen kulma tai tason ja suoran välinen kulma. Usein tilanne voidaan yksinkertaistaa kaksiulotteiseksi.

Tutki monitahokkaan osia GeoGebralla!

Avaruuslävistäjän pituus

Suorakulmaisen särmiön särmien pituudet ovat \(a\),\(b\) ja \(c\). Avaruuslävistäjän \(d\) pituus on \[\begin{align*} d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} \end{align*}\]

5.1.1 Esimerkki: Avaruuslävistäjän pituus

5.2 Pallo

Pallon pinta-ala ja tilavuus

Pallon muodostavat ne pisteet, jotka ovat säteen etäisyydellä pallon keskipisteestä. Pallon pinta-ala ja tilavuus lasketaan sen säteen avulla ja

 
 

Jos pallo leikataan keksipisteen kautta, leikkausta kutsutaan isoympyräksi. Jos leikkaus ei kulje pallon keksipisteen kautta, leikkauksen nimi on pikkuympyrä.

5.2.1 Esimerkki: Pallo purkissa

Segmentti

Taso leikkaa pallon kahteen osaan, joita kutsutaan segmenteiksi. Segmentin tilavuus saadaan sen korkeuden avulla Pallon pinnasta taso rajaa kalotin, jonka pinta-ala saadaan segmentin korkeuden avulla

 
 
Pallosektorin tilavuus

\[\begin{align*} V=\frac{2}{3}\pi r^{2}h, \end{align*}\] missä \(r\) on pallon säde ja \(h\) segmentin korkeus

Pallosektori havainnollistettu GeoGebralla

5.2.2 Esimerkki: Pallosektorin tilavuus

5.3 Lieriö

Lieriön erityistapaus on suora ympyrälieriö, jota kutsutaan myös sylinteriksi. Lieriö, jonka pohja on muodoltaan monikulmio on särmiö.

Lieriön pinta-ala ja tilavuus

Jos suora kulkee pitkin itseään leikkaamatonta umpinaista suoraa, muodostuu lieriöpinta. Kun lieriöpinta leikataan kahdella tasolla, syntyy lieriö. Lieriön vaipan pinta-ala saadaan laskettua sen pohjan piirin ja lieriön korkeuden avulla Lieriön tilavuus saadaan laskettua pohjan pinta-alan ja lieriön korkeuden avulla

Tutki lieriötä GeoGebralla!

5.4 Kartio

Kartion tilavuus

Jos suora kulkee pitkin itseään leikkaamatonta umpinaista suoraa ja lisäksi suora kulkee koko ajan saman pisteen kautta, syntyy kartiopinta. Kun kartiopinta leikataan tasolla, syntyy kartio. Kartion tilavuus lasketaan sen pohjan pinta-alan \(A_p\) ja korkeuden \(h\) avulla \[V = \frac{A_p h}{3}.\]

Erikoistapauksia kartiolle ovat ympyräkartio ja pyramidi, eli särmäkartio. Jos ympyräkartion korkeusjana on kohtisuorassa pohjaa vastaan, kyseessä on suora ympyräkartio.

Suoran ympyräkartion vaipan pinta-ala

Suoran ympyräkartion vaipan pinta-ala voidaan laskea pohjaympyrän säteen ja kartion sivujanan avulla

5.4.1 Esimerkki: Teltta

Tehtäviä

Tehtävä 1

Tekokuut A ja B kiertävät Maata ympyränmuotoisilla radoilla. Tekokuun A rata on \(50 \text{ km}\) pitempi kuin tekokuun B rata. Kuinka paljon korkeammalla tekokuu A on? [S94/2]

#

Anna vastaus kilometrin kymmenesosan tarkkuudella (ilman yksikköä).

=

 

mikäb ittu tää o

09 Dec 19

wtf voiko joku kertoo vastauksen?

09 Dec 19 (edited 09 Dec 19)

Tee yhtälö jossa on tuntemattomana ratojen korkeusero. Tai aloita miettimällä paljonko enemmän narua tarvitaan maapallon päivantasaajan kohdalla jos naru nostetaan metrin irti maasta.

09 Dec 19 (edited 09 Dec 19)

joo en osaa

09 Dec 19

Tehtävä 2

Helikopteri tekee turistilentoja etelämantereen ympäri lentokorkeutenaan 500 metriä. Kuinka pitkän matkan helikopteri lentää kiertäessään koko mantereen? Voit olettaa etelämantereen sijaitsevan kokonaisuudessaan Eteläisen napapiirin sisäpuolella. Eteläinen napapiiri sijaitsee \(66^{°}\) etelään päiväntasaajasta. Maapallon säde on 6370 kilometriä.

#

Anna vastaus kymmenen kilometrin tarkkuudella (ilman yksikköä).

=

 

Tehtävä 3

Image Laatikossa, jonka pohja on neliö, on kolmio asetettu siten, että kolmion kantakulmat ovat laatikon pohjan vastakkaisissa kulmissa. Kolmion kärki on laatikon yläkulmassa. Laske kolmion pinta-ala, kun laatikon kannan pituus on 3 ja tilavuus on 45.

#

Anna vastaus kokonaislukuna ilman yksikköä.

=

 

Jaettuna kahdella?

11 Dec 19 (edited 11 Dec 19)

Tehtävä 4

Jäätyneen kuplan säde on 3 cm. Kuplan pinnasta \(\frac{2}{3}\) on jäässä.

  1. Kuinka suuren pinta-alan jää peittää?
#

Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.

=

 

Approksimoidaan jään raja siten, että se on taso, joka jakaa kuplan kahteen pallosegmenttiin: Alue, joka ei ole jäätynyt Alue, joka on jäätynyt

  1. Laske jäätymättömän alueen (pienemmän kalotin) korkeus
#

Anna vastauksesi senttimetrin kymmenesosan tarkkuudella (ilman yksikköä)

=

 

  1. Laske jäätymättömän segmentin tilavuus.
#

Kirjoita vastauksesi yhden senttimetrin kymmenesosan tarkkuudella (ilman yksikköä).

=

 

Tehtävä 5

Image Kaksi mökkiä, N ja O, sijaitsevat säännöllisen kahdeksankulmion ympärillä. Järven rannalla on myös laavu. Järven ympäri kulkee kaksi tietä, joiden risteyksestä R etäisyys mökille N on 250 m ja mökille O 300 m.

  1. Kuinka pitkä matka on soudettava, jotta päästään mökiltä N mökille O?
#

Anna vastaus yhden metrin tarkkuudella ilman yksikköä.

=

 

  1. Kuinka pitkä matka mökiltä N on laavulle?
#

Kirjoita vastauksesi metreinä ilman yksikköä.

=

 

Tehtävä 6

Image Syntymäpäiväpallot on puhallettu siten, että isomman pallon sisällä on pienempi pallo. Pienempi pallo vie neljänneksen suuremman pallon tilavuudesta. Suuremmassa pallossa on materiaalia \(450\text{ cm}^{2}\). Laske, paljonko materiaalia on pienemmässä pallossa.

#

Anna vastaus kuutiosenttimetrin tarkkuudella.

=

 

Tehtävä 7

Faaraon hautapaikka on kullalla vuoratussa kuution muotoisessa kammiossa pyramidin sisällä. Pyramidin särmä on 50 m ja sen neliön muotoisen pohjan kannan pituus on 30 m. Kammio on 2% koko pyramidin tilavuudesta.

Tarkastele pyramidin havainnollistusta GeoGebralla

  1. Laske kammion tilavuus.
#

Anna vastauksesi kuutiometrin kymmenesosan tarkkuudella ilman yksikköä

=

 

  1. Muumion kammio vuorataan kullalla. Yhdelle neliömetrille valetaan yhden senttimetrin paksuinen kerros kultaa. Montako kiloa kultaa kammion seinissä on yhteensä? Kullan tiheys on 19,32 \(\frac{g}{cm^{3}}\)
#

Anna vastauksesi kuutiometrin kymmenesosan tarkkuudella ilman yksikköä

=

 

Tehtävä 8

Liisalla on symmetrinen maljakko, jossa on kaarevat kulmat. Maljakon pohjapiirrustus on alla olevassa kuvassa. Kapeimmillaan maljakko on 10 cm leveä. Maljakon korkeus on 12 cm. Image Mikä on maljakon tilavuus desilitroina?

#

Anna vastauksesi yhden desilitran kymmenesosan tarkkuudella (ilman yksikköä)

=

 

Vanhoja YO-tehtäviä

1.

Tasaisella maanpinnalla sijaitsevan tornin huippu näkyy eräästä paikasta katsottuna 3,5 asteen kulmassa vaakasuoraan tasoon nähden. Tasan puoli kilometriä kauempaa katsottuna kulma on 2,5 astetta. Mikä on tornin korkeus, ja mitkä ovat katseluetäisyydet? [S00/04]

Ratkaisu

2.

Kuutio pienennetään toiseksi kuutioksi siten, että sen kokonaispinta-ala pienenee \(36\%\). Kuinka monta prosenttia tilavuus pienenee? [S04/3]

Ratkaisu

3.

Kolmion \(ABC\) kulman \(C\) puolittaja leikkaa sivun \(AB\) pisteessä \(D\). Pisteiden välisille etäisyyksille on voimassa \(CD=6\), \(AD=4\) ja \(DB=3\). Määritä kolmion sivujen \(AC\) ja \(BC\) pituuksien tarkat arvot. [S13/6] Image

Ratkaisu

4.

Kuvion suorakulmaisessa kolmiossa on toisen kateetin projektio hypotenuusalle yhtä pitkä kuin toinen kateetti: \(AD=BC=a\). Määritä kolmion kulmat asteen tarkkuudella. [K05/6] Image

Ratkaisu

5.

Talosta 4 metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu näkyy 25 asteen korkeuskulmassa ja 12 metriä korkeammalta katsottaessa 22,5 asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on 21 metriä korkeammalla kuin talon perusta. Määritä maston korkeus 0,1 metrin tarkkuudella. [K04/6]

Ratkaisu

6.

Kuinka monta prosenttia kuvassa olevan pienemmän neliön sivun pituus on suuremman neliön sivun pituudesta? Kuinka monta prosenttia pienemmän neliön pinta-ala on suuremman neliön pinta-alasta? Suuremman neliön sivun pituus on 1. [S17/5 (B-osa)] Image

Ratkaisu

7.

Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 30 astetta. Kolmion hypotenuusan keskipisteeseen piirretään kuvion mukaisesti kohtisuora jana, jonka toinen päätepiste sijaitsee kolmion kateetilla. Laske niiden kahden osan pituuksien suhde, joihin kohtisuora jakaa kateetin. [K18/6 (B-osa)] Image

Ratkaisu

8.

Suoran ympyräkartion korkeus on \(5,0\) cm ja sen pohjan säde on \(2,0\) cm. Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on \(1,0\) cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. [K12/9] Image

Ratkaisu

9.

Vesikaukalon päädyt ovat tasasivuisen kolmion mauotoiset, ja kolmion sivujen pituus on \(a\). Kaukalon pohja koostuu kahdesta suorakulmion muotoisesta levystä, joiden pituus on \(b\).

  1. Vaakasuorassa oleva kaukalo on aluksi täynnä vettä. Sitä kallistetaan pituussuunnassa niin, että vedenpinta ulottuu vasemmanpuoleisen päätykolmion alakulmaan alla olevan kuvion mukaisesti. Kuinka monta prosenttia vedestä valuu pois kallistuksen aikana?

  2. Tämän jälkeen kaukalo palautetaan takaisin vaakasuoraan asentoon. Kuinka korkealla vedenpinta on kaukalon syvimmästä kohdasta mitattuna? [S16/6] Image

Ratkaisu

10.

Pöydällä on kolme samankokoista palloa, joista kukin koskettaa kahta muuta. Niiden päälle asetetaan neljäs samanlainen pallo, joka koskettaa kaikkia kolmea alkuperäistä palloa. Mikä on rakennelman korkeus? Anna vastauksena tarkka arvo pallojen säteen avulla lausuttuna.[S13/10] Kuva: Pekka Alestalo 2012

Ratkaisu

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.