MAA7 Integraalilaskentaa

Keskeiset sisällöt ja tavoitteet

1. Integraalifunktio

Integroinnin käänteisoperaatio on derivointi, joten integroinnin tulos voidaan aina tarkistaa derivoimalla funktio.

Integraalifunktio on derivoituva, joten se on myös jatkuva.

1.1 Integraalifunktio ja integroimissääntöjä

Integraalifunktion määritelmä

Oletetaan funktiot ja määritellyiksi avoimella välillä .

Jos , eli kaikilla , niin funktiota kutsutaan funktion integraalifunktioksi.

Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio.

Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, mutta yhden integraalifunktion avulla löydetään kaikki kyseisen funtion integraalifunktiot.

Integroimisvakio

Jos funktiolla on integraalifunktio , niin kaikki muotoa olevat funktiot ovat funktion integraalifunktioita.

on integroimisvakio ja se on mielivaltainen: .

Integroinniksi kutsutaan funktion integraalifunktioiden määrittämistä.

Integroinnin merkintä

Funktion integraalifunktiota voidaan merkitä Lausutaan: “integraali .”

Merkintä kertoo, että integrointi tapahtuu muuttujan suhteen. Jos funktiossa on useita eri muuttujia, niin merkintä muutetaan kuvaamaan oikeaa termiä.

Integroimissääntöjä
  • , kun on vakio
  • , jossa ja on ulkofunktion integraalifunktio.

1.2 Potenssi- ja polynomifunktion integrointi

Potenssifunktion integroimissääntö

jossa

1.2.1 Esimerkki: Integroimista

1.3 Sini- ja kosinifunktion integrointi

Sini- ja kosinifunktion integrointi

1.3.1 Esimerkki: Tangenttifunktion derivointi

1.4 Eksponentti- ja logaritmifunktion integrointi

Eksponenttifunktion integrointi

Eksponenttifunktion integrointi

1.4.1 Esimerkki: Integraalifunktion määritys

1.5 Murtofunktion integrointi

Rationaalifunktio on muotoa , ja ja ovat polynomeja.

Murtofunktion integrointi

kun

kun

1.5.1 Esimerkki: Murtofunktion integrointi

1.6 Yhdistetyn funktion ja paloittain määritellyn funktion integrointi

Yhdistetyn funktion integroimissääntöä voidaan käyttää, jos integroitava lauseke voidaan tulkita ulkofunktion ja sisäfunktion derivaatan tuloksi, ja jos ulkofunktion integraalifunktio osataan laskea.

Aina sisäfunktion derivaatta ei ole valmiina lausekkeessa, vaan lauseke pitää täydentää vakiolla sopivaksi.

Yhdistetyn funktion integroimissääntö

1.6.1 Esimerkki: Yhdistetyn funktion integrointi

2. Määrätty integraali

2.1 Välisumma

Käyrän ja x-akselin väliin jäänyttä pinta-alaa voidaan tutkia välisumman avulla.

Kun väli jaetaan yhtä pitkiin osaväleihin ja jokainen osaväli erotellaan piirtämällä suorakulmio jokaiseen osaväliin. Suorakulmion korkeus määräytyy funktiosta, joka kulkee myös välillä . Image

Nyt funktion ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa voidaan arvioida laskemalla suorakulmioiden pinta-alat yhteen. Tätä suorakulmioiden pinta-alojen summaa kutsutaan Riemann-integraaliksi eli välisummaksi.

Arvio pinta-alan suuruudesta on sitä tarkempi mitä pienempiin osa väleihin väli jaetaan.

Välisumman määritelmä

Olkoon funktio . Väli jaetaan :ään yhtä pitkään osaväliin. Nyt jokaisen osavälin pituus on .

Välisumma on summa Pisteet on valittu kultakin osaväliltä.

Tutki GeoGebran avulla pinta-alan ylä- ja alasummaa!

2.1.1 Esimerkki: Äärellisen alueen alan arviointi

Mitä useampaan osaväliin väli jaetaan, sitä tarkemmaksi pinta-alan arvio muuttuu. Edelleen siis, kun osavälien lukumäärä lähestyy ääretöntä , niin päädytään puhumaan määrätystä integraalista yli välin .

Määrätty integraali

Jos funktio on määritelty suljetulla välillä ja jos välisumman raja-arvo on olemassa riippumatta siitä mistä välisummat valittiin, niin funktio on integroituva välillä .

Kyseinen raja-arvo on tällöin funktion määrätty integraali kohdasta kohtaan . Tätä merkitään Siis:

Ylläolevassa määritelmässä integraalimerkinnässä olevaa lukua kutsutaan alarajaksi ja vastaavasti lukua ylärajaksi.

2.2 Integroimissääntöjä

Määrättyyn integraaliin liittyviä sääntöjä


  • , kun on vakio.





2.2.1 Esimerkki: Määrätty integraali