MAA6 Derivaatta

Keskeiset sisällöt ja tavoitteet

1. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Jos funktion muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\), funktion arvo \(f(x)\) lähestyy arvoa \(b\). Tätä arvoa \(b\) kutsutaan funktion raja-arvoksi.

1.1 Raja-arvo

Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo lähestyy arvoa \(b\), kun muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\). Merkitään tätä \[\begin{align*} \lim_{x \to a} f(x) = b \end{align*}\]

1.1.1 Esimerkki: Raja-arvon määrittäminen

Toispuoleiset raja-arvot Funktion raja-arvo-kohtaa voidaan lähestyä oikealta sekä vasemmalta. Jos funktion muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\) oikealta puolelta, merkitään \[\begin{align*} \lim_{x \to a^{+}} f(x) = b. \end{align*}\] Vastaavasti, jos funktion muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\) vasemmalta, merkitään \[\begin{align*} \lim_{x \to a^{-}} f(x) = b. \end{align*}\]

Funktion raja-arvo

Funktiolla on raja-arvo, jos ja vain jos toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret: \[\begin{align*} \text{Jos }\lim_{x \to a^{+}} f(x) = b=\lim_{x \to a^{+}} f(x)\text{, niin }\lim_{x \to a} f(x) = b \end{align*}\]

Toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, joten funktiolla ei ole raja-arvoa.
Toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, joten funktiolla ei ole raja-arvoa.

1.2 Jatkuvuus

Jatkuvalle funktiolle sen raja-arvo \(\lim_{x \to a} f(x) = b\) on sama kuin funktion arvo \(f(a)\) kohdassa \(a\).

Funktion jatkuvuus pisteessä

Kohdassa \(a\) jatkuvalle funktiolle \[\begin{align*} f(a)=\lim_{x \to a} f(x). \end{align*}\]

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva määrittelyjoukkonsa jokaisessa kohdassa.

Jatkuvia funktioita:

polynomi-, rationaali-, potenssi-, juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktiot sekä trigonometriset funktiot.

Erilaisten jatkuvien funktioiden summa, erotus, tulo, osamäärä sekä yhdistetty funktio ovat myös jatkuvia funktioita.

Bolzanon lause

Oletetaan, että funktio on jatkuva suljetulla välillä \([a,b]\) ja funktion arvot ovat erimerkkiset välin päätepisteissä. Tällöin Funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä \(]a,b[\).

Funktio on jatkuva välillä [a,b] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset. Funktiolla on vähintään yksi nollakohta.
Funktio on jatkuva välillä [a,b] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset. Funktiolla on vähintään yksi nollakohta.

1.2.1 Esimerkki: Bolzanon lause

2. Derivaatta

2.1 Erotusosamäärä

Erotusosamäärä kuvaa funktion keskimääräistä muutosnopeutta kohtien \(x\) ja \(a\) välillä.

Tutki derivaattaa sekantin avulla!

Funktion erotusosamäärä

\[\begin{align*} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{align*}\] Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa \[\begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \end{align*}\] joka voidaan muodostaa, kun merkitään \(x=a+h\).

Jos tällä erotusosamäärällä on raja-arvo, kun \(x\rightarrow a\), niin keskimääräinen muutosnopeus lähestyy muutosnopeutta \(a\).

2.1.1 Esimerkki: Derivaatta erotusosamäärän avulla

2.2 Derivoituvuus ja jatkuvuus

Funktio on derivoituva kohdassa \(a\), jos funktion erotusosamäärällä on raja-arvo lähestyttäessä kohtaa \(a\).

Funktion derivoituvuus

Jos raja-arvo \[\begin{align*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{align*}\] on olemassa, niin funktio on derivoituva pisteessä \(a\).

Jos funktio on derivoituva kohdassa \(x=a\), niin se on myös jatkuva kohdassa \(x=a\).

Kuvassa g(x) ei ole derivoituva kohdassa x=0, mutta f(x) on.
Kuvassa \(g(x)\) ei ole derivoituva kohdassa \(x=0\), mutta \(f(x)\) on.

2.3 Derivaattafunktio ja derivointisääntöjä

Derivaattafunktiota merkitään \(f'\). Funktion \(f\) derivaatta kohdassa \(x\) on tällöin \(f'(x)\).

Derivoimissääntöjä:

  • \(D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)\)

  • \(Dkf(x)=kf'(x)\)

  • \(Df(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

  • \(D\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}\)

2.3.1 Esimerkki: Osamäärän derivaatta

3. Funktion derivaatan tulkitseminen

3.1 Funktion kasvaminen ja väheneminen

Funktio \(f(x)\) on kasvava annetulla välillä, jos \(f(x_{1})<f(x_{2})\), aina kun \(x_{1}<x_{2}\). Vastaavasti funktio \(f(x)\) on vähenevä annetulla välillä, jos \(f(x_{1})>f(x_{2})\), aina kun \(x_{1}<x_{2}\).

Jos funktio on kasvava tai vähenevä, funktiota kutsutaan monotoniseksi.

Derivaatan yhteys monotonisuuteen
  • Funktio \(f(x)\) on kasvava, jos funktion derivaatta \(f'(x)\)>0 kaikissa välin kohdissa lukuun ottamatta yksittäisiä kohtia, joissa derivaatta voi olla nolla (\(f'(x)=0\)).

  • Vastaavasti funktio \(f(x)\) on vähenevä, jos funktion derivaatta \(f'(x)\)<0 kaikissa välin kohdissa lukuun ottamatta yksittäisiä kohtia, joissa derivaatta voi olla nolla (\(f'(x)=0\)).

Funktiot, joiden derivaatta ei saa arvoa nolla missään välin kohdassa, ovat aidosti kasvavia tai aidosti väheneviä.

3.2 Funktion suurin ja pienin arvo

Jos funktio on jatkuva välillä \([a,b]\), niin funktiolla on suurin ja pienin arvo välillä \([a,b]\).

Jos funktio on jatkuva sekä derivoituva avoimella välillä \(]a,b[\), niin funktion suurin ja pienin arvo saavutetaan joko välin päätepisteissä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa.

3.3 Ääriarvot

Funktion ääriarvoja ovat lokaalit minimi- ja maksimi-arvot. Nämä saavutetaan minimi- ja maksimikohdissa.

Funktion \(f\) arvo \(f(x_{0})\) on lokaali minimi, jos \(f(x_{0})\) on funktion pienin arvo kohdan \(x_{0}\) lähellä.

Vastaavasti funktion \(f\) arvo \(f(x_{0})\) on lokaali maksimi, jos \(f(x_{0})\) on funktion suurin arvo kohdan \(x_{0}\) lähellä.

Jos funktion minimi- tai maksimiarvo on pienin/suurin arvo, jonka funktio voi saavuttaa, kutsutaan minimiä/maksimia globaaliksi minimiksi/maksimiksi. Globaali ääriarvo on aina myös lokaali ääriarvo.

3.3.1 Esimerkki: Funktion ääriarvokohdat

Tehtäviä

Tehtävä 1.

a.
#
b.
#

Tehtävä 2.

a.
#
b.
#

Tehtävä 3.

Astronautti on laskeutunut Kuuhun ja heittää löytämänsä kiven suoraan ylöspäin. Kiven paikka \(h\) metreinä noudattaa lakia \(h(t)=-0,8t^{2}+6,9t+1,5\), missä \(t\) on aika sekunteina.

a.

Kuinka korkealla kivi on 2 sekunnin kuluttua?

#

laske hetkellä 2s, niin antaa oikeasta vastauksesta pistee

14 Jan 20 (edited 14 Jan 20)
b.

Kuinka korkealla kivi alkaa putoamaan takaisin Kuun pintaa kohti?

#
c.

Mikä on kiven nopeus neljän sekunnin kuluttua?

#

Vihje

d.

Mikä on Kuun vetovoiman kiihtyvyys?

#

Tehtävä 4.

Lähde: WWF Norppagalleria
Lähde: WWF Norppagalleria

Saimaannorppa on yksi maailman harvinaisimmista hylkeistä, ja niitä elää ainoastaan Suomessa Saimaalla. Saimaannorppien suojelu aloitettiin vuonna 1979, jolloin norppakanta oli sukupuuton partaalla, norppia oli tällöin ainoastaan 120-150 yksilöä. Nykyään norppien määrä on kasvanut hitaasti lähes 400 yksilöön (Lähde: WWF).

Havainnollistetaan norppien kannan vuotuista kasvua funktiolla \(f(t)=\dfrac{4e^{0.065t}}{e^{0.05t}+5}\), jossa \(t\) kuvaa vuosia aloitusajankohdasta 1979 lähtien. (Kun \(t=1\) on kyseessä vuosi 1980 jne.)

a.

Milloin saimaannorppien populaatio oli n. 200?

#

Populaation suuruus f(t) sataa yksilöä?

14 Jan 20
b.

Millä nopeudella norppakanta kasvaa vuonna 2019?

#

Tehtävä 5.

a.

Määritä funktion \(f(x)=\dfrac{4x^{2}}{6-x}\) ääriarvokohdat.

#
b.

Toinen ylläolevan funktion \(f(x)=\dfrac{4x^{2}}{6-x}\) ääriarvoista on \(0\). Mikä on funktion toinen ääriarvo?

#

Tehtävä 6.

Osoita, että funktio \(f(x)=\dfrac{|x^{2}+3|}{x^{2}+x}+(x+1)^{3}\) on jatkuva.

#

Halutessasi voit ottaa kuvakaappauksen abitti-editorista ja palauttaa tehtävän tänne

Vihje

Tehtävä 7.

Missä pisteessä käyrät \(y=x^{3}-5x^{2}+11x\) ja \(y=3x^{2}-5x\) sivuavat toisiaan?

vastaus?

13 Jan 20 (edited 13 Jan 20)

Onko tämä tehtävä oikein?

18 Feb 21
#

Vihje

Tehtävä 8.

Huvipuistossa on laite nimeltään Koskiseikkailu, jossa istutaan kelluvassa lautassa ja kuljetaan erilaisten suihkulähteiden alitse puroa pitkin.

Matkan varrella on kaksi suihkulähdettä 15 m päässä toisistaan ja lautta kulkee näiden välistä. Toinen suihkulähteistä on puolet pienempi kuin toinen.

Vesisuihkun voimakkuus on suoraan verrannollinen suihkun kokoon ja kääntäen verrannollinen lähteestä mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin.

Kuinka kaukaa lautan pitäisi ohittaa suurempi suihkulähde, jotta matkustajat saisivat niskaansa mahdollisimman vähän vettä?

#

Vanhoja YO-tehtäviä

1.

Suorakulmion yksi kärki on origossa, ja siitä lähtevät kaksi sivua sijaitsevat positiivisilla koordinaattiakseleilla. Neljäs kärki sijaitsee paraabelilla \(y=4-x^{2}\) alueessa \(x\geq0,y\geq0\). Määritä suorakulmion suurimman mahdollisen pinta-alan tarkka arvo. [S16/4]

Ratkaisu

2.

Määritä funktion \(f(x)=\sin x +\sqrt{3}\cos x\) suurin ja pienin arvo välillä \(0\leq x\leq2\pi\). [K18/3]

Ratkaisu

3.

Laske ja sievenä derivaatta \(h'(2t)\), kun \(h(x)=\dfrac{\ln{x}}{x}.\) [S17/1c]

Ratkaisu

4.

Tarkastellaan raja-arvoa \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{n}-60x-8}{x^{2}-4}\) eksponentin \(n=1,2,3,...\) eri arvoilla. [S16/9.2]

  1. Osoita, että raja-arvo on olemassa, kun \(n=7\).
  2. Osoita, että raja-arvoa ei ole olemassa, kun \(n≠7\).

Ratkaisu

5.

Olkoot \(\overline{a}=\overline{i}+2\overline{j}+3\overline{k}\) ja \(\overline{b}=2\overline{i}+5\overline{k}\). Millä parametrin \(-2\leq t \leq 2\) arvolla vektorin \(\overline{c}_{t}=t\overline{a}+(1-t)\overline{b}\) pituus on mahdollisimman pieni? [K17/3]

Ratkaisu

6.

Tiedetään, että \(h(x)=g(f(x))\), \(f(x)=e^{x}\) ja \(g(x)=2x^{2}+1\). Elmeri ja Uolevi laskevat derivaatan \(h'(x)\) seuraavalla tavalla: Mari saa laskimella vastaukseksi \(4e^{2x}\). Kenen vastaus on oikein? Etsi väärien ratkaisujen virheet ja esitä korjatut ratkaisut. [K17/10]

Ratkaisu

7.

Tehtaassa valmistetaan tölkitettyjä säilykehedelmiä. Päärynänpuolikkaita pakataan suoran ympyrälieriön muotoiseen peltitölkkiin. Tölkin pohja- ja kansilevyjen materiaalin hinta on \(2,00\) \(€/m^{2}\) ja vaipan materiaalin hinta \(1,00\) \(€/m^{2}\). Suunnittele materiaalikustannuksiltaan mahdollisimman halpa peltitölkki, jonka tilavuus on \(1000\) \(cm^{2}\). Anna vastauksena tölkin korkeuden ja pohjan halkaisijan suhteen tarkka arvo. [K16/11]

Ratkaisu

8.

Ympyräsektorin säde on 3 ja keskuskulman suuruus on \(\alpha\). Sektori taivutetaan ympyräpohjaisen kartion vaipaksi. Mikä on kulman \(\alpha\) tarkka arvo silloin, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri? [S17/6]

Ratkaisu

9.

  1. Anna esimerkki rationaalifunktiosta \(f(x)\), jolle epäyhtälö \(f(x)\geq2\) toteutuu täsmälleen silloin, kun \(-1\leq x \leq 0\) tai \(1\leq x \leq 2\).
  2. Anna esimerkki funktiosta \(g(x)\geq0\), joka on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja jonka derivaatalla on täsmälleen kaksi nollakohtaa. [K18/11]

Ratkaisu

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.