MAY1 Luvut ja yhtälöt

Keskeiset sisällöt ja tavoitteet

1. Luvut ja laskutoimitukset

1.1 Lukujoukot

Image Yllä olevassa kuvassa on lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko \(\N\) sisältää kaikki luvut nollasta eteenpäin. Kokonaislukujen joukko \(\Z\) sisältää kaikki positiiviset ja negatiiviset kokonaisluvut. Kokonaislukujen joukkoa voidaan tarkentaa alaindekseillä \(\Z_{+}\) ja \(\Z_{-}\).

Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää murtolukumuodossa \(\frac{m}{n}\), jossa \(n≠0\). Näitä lukuja kutsutaan rationaaliluvuiksi \(\mathbb{Q}\).

Symbolilla \(\R\) kuvataan kaikkia reaalilukuja, joihin sisältyvät kaikki edellä mainitut luvut. Edelleen kaikki reaaliluvut sisältyvät kompleksilukuihin \(\mathbb{C}\), joka on reaalilukujen lukulaajennus. Kompleksilukuihin ei perehdytä lukion oppimäärässä tarkemmin. Lisätietoja saat esimerkiksi tältä sivulta.

1.2 Vastaluku, käänteisluku ja itseisarvo

Jos kahden luvun summa on nolla, luvut ovat toistensa vastalukuja. Esimerkiksi luvun \(5\) vastaluku on \(-5\), koska \(5+(-5)=0\). Yleisemmin siis luvun \(a\) vastaluku on \(-a\), ja \(a+(-a)=0\).

Jos kahden luvun tulo on yksi, luvut ovat toistensa käänteislukuja. Esimerkiksi luvun \(3\) vastaluku on \(\frac{1}{3}\), sillä \(3\cdot\frac{1}{3}=1\). Yleisemmin luvun \(a\) vastaluku on \(\frac{1}{a}\), ja \(a\cdot\frac{1}{a}=1\).

Itseisarvo


Reaaliluvun itseisarvo on

Kahden luvun välinen etäisyys on niiden erotuksen itseisarvo.

Itseisarvo ilmaisee, kuinka suuri etäisyys luvulla \(a\) on nollaan. Esim. \(|-2|=|2|\), koska molemmilla luvuilla on sama etäisyys nollaan, eli \(2\).

Hei!

Jyväskylän yliopiston TIM-ympäristö ymmärtää TikZ-vektorigrafiikkakieltä.

Alla oleva koodi piirtää vasemmalla olevan kuvan. Saa testata!

Terv. Henri

#- {math_type=“svg” math_preamble=“\usetikzlibrary{arrows}”} — 08 Nov 19 (edited 08 Nov 19)

Tutki itseisarvoa GeoGebran avulla!

Esimerkki 1.2.1: Itseisarvo

1.3 Murtoluvut


Murtoluku on kahden kokonaisluvun osamäärä \(\displaystyle\frac{m}{n}\), missä jaettavaa \((m)\) sanotaan osoittajaksi ja jakajaa \((n)\) nimittäjäksi, ja osoittaja ei ole jaollinen jakajalla. Murtoluku on siis rationaaliluku, joka ei supistu kokonaisluvuksi.


Sekaluvut ovat murtoluvun vaihtoehtoinen esittämistapa, missä murtoluku esitetään Nimittäjän tulee olla suurempi kuin osoittaja. Esimerkiksi murtoluku \(\displaystyle\frac{7}{4}=\frac{4+3}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=1+\frac{3}{4}\) voidaan esittää sekalukuna \(1\displaystyle\frac{3}{4}\).

Murtolukujen kerto- ja jakolasku

Murtolukujen kertolasku, missä \(b,d\neq0\)

Murtolukujen jakolasku, missä \(b,c,d\neq0\)

Esimerkki 1.3.1: Pizzeriassa

1.4 Suoraan ja kääntäen verrannollisuus


Kun työskennellään tuntipalkalla ansaitaan sitä enemmän, mitä useampi tunti työskennellään. Palkka ja tehtyjen tuntien määrä kasvavat siis samassa suhteessa. Kun esimerkiksi työtuntien määrä kasvaa kolminkertaiseksi, myös palkka kolminkertaistuu. Tällaisia suureita, joiden suhde on aina vakio, sanotaan suoraan verrannollisiksi.

Suoraan verrannollisuus


Suureet \(x\) ja \(y\) ovat suoraan verrannolliset, jos \(y\) saadaan kertomalla \(x\) vakiolla \(k\) eli jos \(y=kx.\)


Vakio \(k\) on nimeltään verrannollisuuskerroin.


Yhtälö \(y=kx\) saadaan muotoon \(\dfrac{y}{x}=k,\) josta nähdään että suoraan verrannollisten suureiden suhde on vakio. On siis voimassa verranto \(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\) eli \(\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{x_1}{x_2}.\)


Suoraan verrannollisuutta kuvaa graafisesti origon kautta kulkeva suora.


Esimerkki 1.4.1: Sovellus suoraan verrannollisuudesta

Kääntäen verrannollisuus

Suureet \(x\) ja \(y\) ovat kääntäen verrannolliset, jos \(y\) saadaan jakamalla vakio \(k\) suureella \(x\) eli jos \(y=\dfrac{k}{x}.\)


Yhtälo \(y=\dfrac{k}{x}\) saadaan muotoon \(xy=k,\) josta nähdään että kääntäen verrannollisten suureiden tulo on vakio. On siis voimassa myös yhtälö \(x_1y_1=x_2y_2\) eli \(\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{x_2}{x_1}.\)


Kääntäen verrannollisten suureiden kuvaaja on hyperbeli.

Esimerkki 1.4.2: Sovellus kääntäen verrannollisuudesta

2. Yhtälö

Laskutuoimitusta tai yhtä numeroa kutsutaan lausekkeeksi, esim. \(x+2\), \(a\), \(\frac{x}{2}\), 6,…

Jos kaksi lauseketta merkitään yhtäsuuriksi, on kyseessä yhtälö, esim. \(2x=6\).

2.1 Ensimmäisten asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö


Ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan saattaa muotoon

jossa .

Ensimmäisen asteen epäyhtälö on muotoa \(ax+b>0\), missä \(>\):n tilalla voi olla myös \(<, \geq, \leq\) tai \(\neq\).

Ristiin kertominen


Olkoon ja . Tällöin voidaan sieventää

Eli voidaan kertoa ristiin tällaista muotoa olevat yhtälöt.

Esimerkki 2.1.1: Yhtälön ratkaiseminen ja vastauksen tarkistaminen

2.2 Yhtälöpari

Yhtälöparin ratkaisu on lukupari \((x,y)\), joka toteuttaa molemmat yhtälöt. Muuttujia voidaan merkitä myös muilla kirjaimilla.

Yhtälöparin ratkaisussa voidaan käyttää joko sijoitus- tai yhteenlaskukeinoa. Nämä menetelmät esitellään seuraavissa esimerkeissä.

Yhtälöpari


Yhtälöpari muodostuu kahdesta yhtälöstä, esimerkiksi

\[\begin{cases} 2x-y+3=0 \\ -4x+2y+1=0 \end{cases}\]

2.2.1 Esimerkki (sijoituskeino)

2.2.2 Esimerkki (Yhteenlaskukeino)

3. Prosenttilaskenta

Kuva ei näy.

17 Jan 21

Prosentin nimitys tulee latinan kielestä per centum, joka tarkoittaa yksi sadasta. Prosentti siis tarkoittaa sadasosaa, ja sen merkki on \(\%\). Prosenttia käytetään suhteellisen osuuden ilmoittamiseen.

Prosentti


Kuinka paljon on prosenttia luvusta ?


Kun kysytään kuinka paljon prosenttia on luvusta , niin tällöin lasketaan tulo Tulossa luku ilmaistaan sadasosina tai desimaalilukuna.


Esimerkki 3.1.1: \(p\) prosenttia luvusta \(a\)

 

Kun positiivinen luku \(a\) kasvaa \(p\;\%\), saadaan

\[a+\frac{p}{100}\;a=(1+\frac{p}{100})a\]

Samoin kun \(a\) pienenee \(p\;\%\), saadaan

\[a-\frac{p}{100}\;a=(1-\frac{p}{100})a\]

Näin saadaan laskettua muuttunut arvo.

Korotus


Mikä luku on suurempi kuin ?


Alennus


Mikä luku on pienempi kuin ?

Esimerkki 3.1.2: Osakkeiden hinta laskun jälkeen


Prosenttiluvuilla kuvataan myös suureen muutosta alkuperäisestä arvosta.

Muutosprosentti


Kuinka monta prosenttia muutos on?

Esimerkki 3.1.3: Vuokran muutos prosentteina

HUOM! Prosenttiyksikkö on absoluuttisen pronsenttimäärän yksikkö. Esimerkiksi koron noustessa 10 prosentista 11 prosenttiin:

  • korko kasvaa 10 prosenttia
  • korko kasvaa yhden prosenttiyksikön


Vertailuprosentti lasketaan samaan tyyliin kuin muutosprosentti.

Vertailuprosentti


Kuinka monta prosenttia \(a\) on suurempi kuin \(b\)?

\[\displaystyle\frac{a-b}{b}\cdot100\;\%\]


Kuinka monta prosenttia \(b\) on pienempi kuin \(a\)?

\[\displaystyle\frac{a-b}{a}\cdot100\;\%\]

Esimerkki 3.1.4: Vertailuprosentti

4. Potenssi ja juuri

Jos lukua \(a\) kerrotaan itsellään, voidaan tämä tulo kirjoittaa lyhyemmin potenssimerkintänä.

Jos luvulla \(a\) on eksponenttina nolla, lausekkeen arvo on aina 1: \(a^{0}=1\), missä \(a\neq0\).

Potenssi


Olkoon positiivinen kokonaisluku (). Tällöin luvun :s potenssi on

Erityisesti

Kymmenpotenssimuoto (suuret luvut)


Suuri luku voidaan merkitä kymmenpotenssimuodossa missä ja on positiivinen kokonaisluku.

Esimerkki 4.1: Rahaston arvon kasvu

4.1 Potenssien laskusäänöt

Potensseille on omat laskusääntönsä:

Samankantaisten potenssien tulo ja osamäärä

\(a^{m}a^{n}=a^{m+n}\\\) \(\displaystyle\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\), missä \(a\neq0\)

Potenssin potenssi

\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)

Osamäärän ja tulon potenssit

\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\\\) \(\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

Neliöjuurien tulo ja osamäärä

\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), missä \(a\geq0\) ja \(b\geq0\) \(\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\), missä \(a\geq0\) ja \(b>0\)

Esimerkki 4.1.1: Potenssien sieventämistä

Esimerkki 4.1.2: Neliöjuurten sieventämistä

5. Funktio

Funktio liittää jokaiseen muuttujan arvoon tietyn (yhden) luvun, eli funktion arvon.

Usealla eri muuttujan arvolla voi kuitenkin olla sama funktion arvo, esimerkiksi jos \(f(x)=x^{2}\). Tällöin muuttuja arvolla \(-1\) saa funktion arvoksi \(f(-1)=(-1)^{2}=1\) samoin kuin muuttuja arvolla \(1\), jolloin \(f(1)=x^{2}=1\).

Funktion kuvaaja xy-koordinaatistossa


Funktion kuvaaja muodostuu pisteistä , joissa on muuttujan arvo ja funktion arvo kohdassa eli .


 
 

Tehtäviä

Tehtävä 1.

a.

Sievennä lauseke \((b+5)^{2}-(b-3)^{2}\)

#
b.

Sievennä lauseke \(\displaystyle \frac{x}{1-x}+\frac{x}{1+x}\) [K05/1a]

#
c.

Positiivinen luku \(a\) on 25 prosenttia pienempi kuin luku \(b\). Kuinka monta prosenttia luku \(b\) on suurempi kuin \(a\)?

#

Tehtävä 2.

Matkaa kuljetaan tasaisella nopeudella. Kun matkasta on jäljellä 40\(\%\), nopeutta lisätään 20 \(\%\). Kuinka monta prosenttia koko matkaan kuluva aika tällöin lyhenee? [S00/3]

#

Tehtävä 3.

a.

Ratkaise yhtälö \(\mid\frac{3}{2}x-6\mid=6\). [K11/1c]

#
b.

Sievennä lauseke \(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^{2}}}}\), kun \(a\geq0\). [S16/2a]

#

Tehtävä 4.

Pauliinan laskun välivaiheet ovat menneet sekaisin. Tehtävänä on järjestää allekain vaiheet A-G niin, että niistä muodostuu yhtälö \(20+4x=x^2+8\). [S17/3b]

A: \(20+4x=x^{2}+8\)

B: \(x^{2}-4x=12\)

C: \(x-2=\pm 4\)

D: \(x^{2}-4x+4=16\)

E: \((x-2)^{2}=4^{2}\)

F: \(x=-2\) tai \(x=6\)

#

Tehtävä 5.

a.

Ratkaise \(L\) yhtälöstä \(t=\displaystyle\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\). [S07/1c]

#
b.

Sievennä lauseke \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}\) välivaiheet esittäen. [S11/2a]

#

Tehtävä 6.

Päärynämehusta ja omenamehusta tehdyn sekamehun sokeripitoisuus on \(11\%\). Määritä mehujen sekoitussuhde, kun päärynämehun sokeripitoisuus on \(14\%\) ja omenamehun \(7\%\).

#

Tehtävä 7.

Merkitse, onko seuraavat väittämät totta vai tarua [K16/1]

#

Tehtävä 8.

Vuonna 2007 alennettiin parturimaksujen arvonlisäveroa 22 prosentista 8 prosenttiin. Arvonlisävero ilmoitetaan prosentteina verottomasta hinnasta ja se on osa tuotteen tai palvelun hintaa.

a.

Kuinka monta prosenttiyksikköä alhaisempi uusi arvonlisäveroprosentti on verrattuna alkuperäiseen?

#
b.

Kuinka monta prosenttia enemmän arvonlisäveroa maksettiin vanhalla arvonlisäveroprosentilla?

#

vanhoja YO-tehtäviä

1.
  1. Osoita, että luvut \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) ja \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) ovat toistensa käänteislukuja. [K16/2b]
  2. Osoita, että \(\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\), kun \(a>0\) ja \(b>0\). [K16/2c]

Ratkaisu

2.

Sievennä lauseke \(\displaystyle\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}\), kun \(a\neq b\) ja \(a\neq -b\). [K14/1c]

Ratkaisu

3.

Sievennä lausekkeet

  1. \(\displaystyle\frac{\sqrt{3\frac{3}{4}}}{\sqrt{1\frac{2}{3}}}\)

  2. \(\displaystyle\frac{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)}{(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})}\). [K03/1]

Ratkaisu

4.

Osoita, että \(\sqrt{27-10\sqrt{2}}=5-\sqrt{2}\). [S09/1c]

Ratkaisu

5.
  1. Merivettä, jossa on 4,0 painoprosenttia suolaa, haihdutetaan altaassa, kunnes sen massa on vähentynyt \(28\%\). Mikä on suolapitoisuus haihduttamisen jälkeen? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

  2. Mikä on vuotuinen korkoprosentti, jos tilille talletettu rahamäärä kasvaa korkoa korolle 1,5-kertaiseksi 10 vuodessa? Lähdeveroa ei oteta huomioon. Anna vastaus prosentin sadasosan tarkkuudella. [K07/3]

Ratkaisu

6.

Perheen vuokramenot olivat \(25\%\) tuloista. Vuokramenot nousivat \(15\%\). Montako prosenttia vähemmän rahaa riitti muuhun käyttöön korotuksen jälkeen? [K04/3]

Ratkaisu

7.

Määrittele, mitä tarkoitetaan reaaliluvun \(x\) itseisarvolla (1p.). Todista, että seuraavat epäyhtälöt ovat voimassa kaikille reaaliluvuille \(x\) ja \(y\).

  1. \(x \leq \mid x\mid\) (1p.)

  2. \(x+y \leq \mid x\mid+\mid y\mid\) (2p.)

  3. \(\mid x+y\mid \leq \mid x\mid+\mid y\mid\) (2p.)

  4. \(\mid\mid x\mid - \mid y\mid \mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid\) (3p.) [S08/14]

Ratkaisu

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.