MAA2 Algebralliset funktiot ja yhtälöt


Tervetuloa lukion pitkän matematiikan Algebralliset funktiot ja yhtälöt -kurssille! Tämä materiaali sisältää sekä teoriatietoa että tehtäviä, joista suurin osa suoritetaan sähköisesti suoraan oppimateriaaliin. Materiaali on tuotettu lisenssillä Nimeä-JaaSamoin 4.0 Kansainvälinen (CC BY-SA 4.0).

1. Kurssin tavoitteet ja keskeiset sisällöt

Algebralliset funktiot ja yhtälöt (ent. Polynomifunktiot ja -yhtälöt) kurssin tavoitteet ja sisällöt löytyvät Lukion testiopetussuunnitelman sivulta 181.

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

  • tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali ja juurifunktioiden avulla, tuntee polynomi-, rationaali ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen yhteyden
  • osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
  • osaa käyttää ohjelmistoja matemaattisessa mallintamisessa, polynomi-, rationaali ja juuri- funktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja polynomiepäyhtälöi- den ratkaisemisessa sovellusongelmien yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
  • toisen asteen yhtälön ratkaisukaava
  • polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
  • polynomien tekijät
  • potenssifunktio ja potenssiyhtälö
  • rationaalifunktiot ja -yhtälöt
  • juurifunktiot ja -yhtälöt

2. Teoria

Seuraavilla sivuilla on käyty läpi kurssiin liittyvä asiasisältö. Tärkeimmät lauseet ja kaavat on korostettu harmailla laatikoilla. Joitakin lauseita todistetaan eli perustellaan, mistä lauseet tulevat. Esimerkit ja todistukset eivät oletuksena näy sivulla, vaan ne saa näkyviin painamalla todistuksen tai esimerkin otsikon edessä olevaa -merkkiä. Esimerkit ovat pääosin perinteisiä laskuesimerkkejä. Joissain esimerkeissä on käytetty havainnollistamiseen GeoGebraa.

Teoria löytyy luku kerrallaan seuraavilta sivuilta.

3. Tehtävät

Tehtävät tehdään suoraan sähköiseen materiaaliin ja suurimmassa osassa niistä on automaattinen tarkistus. Seuraavaksi on ohjeita eri tehtävätyyppeihin vastaamiseen.

3.1 MathCheck-tehtävät

Suurin osa tehtävistä tuottaa vastaukseksi jonkin lukuarvon. Sen tarkistamiseksi tällaisissa tehtävissä on alla olevan esimerkin näköinen MathCheck-laatikko. Jos laatikossa on valmiina =-merkki, kirjoita vastauksesi suoraan sen perään. MathCheck-tehtävät haluavat vastauksen tietyssä muodossa, joten se ei hyväksy väärin pyöristettyä vastausta, vaikka se muuten olisikin oikein. Tehtävänannossa kerrotaan pyöristystarkkuus.

Sievennystehtävissä voit kirjoittaa ensin vastauksesi sieventämättömässä muodossa ja sieventää sitä lisämällä ketjuun =-merkkejä. MathCheck osaa kertoa, jos sieventämisesi menee jossakin kohdassa pieleen. Kopioi alla oleva teksti MathCheck-kenttään =-merkin jälkeen ja katso mitä tapahtuu, kun painat Tarkista. Korjaa virheellinen kohta ja katso, mitä silloin tapahtuu, kun painat Tarkista.

4^2-1^3 = 16-3 = 13

#

Jos lopullinen muoto ei ole tarpeeksi sievä, MathCheck ilmoittaa myös siitä. Pyyhi edellisestä vastauksestasi = 15 pois ja katso, mitä tapahtuu, kun painat Tarkista.

Yhtälönratkaisutehtävissä vastaus halutaan tallentaa tietyn nimiseksi. Esimerkiksi, jos yhtälön muuttujana on vastaus halutaan tallentaa samannimiseen muuttujaan. Joskus vastauskentässä saattaa valmiiksi jo lukea <=> x=. MathCheck osaa tarkastaa myös yhtälön ratkaisun välivaiheet. Ratkaistaessa yhtälöitä pitää rivien väliin kirjoittaa ekvivalenssinuoli <=>. Kokeile tätäkin tapaa alla olevaan vastauskenttään kopioimalla alla olevat rivit siihen ja painamalla Tarkista.

<=> 4x+3=0
<=> 4x=-3
<=> x=-3/4

#

Jos yhtälöllä on useampia ratkaisuja täytyy kirjoittaa esimerkiksi <=> x=1 or x=-1. ormerkinnän, kuten muutkin tarvittavat komennot, saa myös klikkaamalla vastauskentän alla olevasta palkista.

Huomaa, että MathCheck-laatikoissa tulee käyttää desimaalipistettä eikä -pilkkua! Eli desimaaliluku “nolla pilkku viisi” kirjoitetaan MathCheckiin 0.5

3.2 GeoGebra-tehtävät

Parissa tehtävässä sinun tulee tuottaa vastaus GeoGebralla. Seuraa tarkasti ohjeita. Jos ohjeissa käsketään nimeämään esimerkiksi jokin funktio tietyllä tavalla, se johtuu siitä, että ohjelma osaa tarkistaa tehtävän vain, jos olet nimennyt funktion oikein. Jos tehtävässä käsketään ottamaan funktion määrittelyjoukko huomioon, ohjelma ei anna pisteitä ilman oikeaa määrittelyjoukkoa.

Esimerkiksi, jos funktio on määritelty vain positiivisilla reaaliluvuilla, täytyy GeoGebraan syöttää f(x)=2x+1, x>0.

3.3 Monivalintatehtävät

Monivalintatehtävissä on useampia vastauskertoja, mutta jo ensimmäisen vastaamisen jälkeen tehtävä kertoo malliratkaisun. Jos malliratkaisu näyttää koodikieleltä, kokeile päivittää sivu (esimerkiksi Windows-koneissa F5-painikkeella), jolloin tekstin pitäisi muuttua ymmärrettävämmäksi.

3.4 Tehtäväsivut

Seuraavilla sivuilla on eri teoriakappaleisiin liittyviä tehtäviä. Tehtävät on jaoteltu sivuille ja sivuilla kappaleisiin samalla tavalla kuin teoriakappaleissakin.

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.