3. Toisen asteen polynomiyhtälö ja -funktio

Tässä kappaleessa tutkitaan toisen asteen polynomifunktion kuvaajia sekä nollakohtia. Kappaleessa opitaan ratkaisemaan toisen asteen yhtälö ratkaisukaavan avulla sekä perehdytään toisen asteen epäyhtälöön. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.


3.1 Toisen asteen polynomifunktio


Toisen asteen polynomifunktio


Toisen asteen polynomifunktio on muotoa

missä ja ovat reaalilukuja ja .


Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on nimeltään paraabeli. Paraabelin kaikken kaarevinta kohtaa sanotaan huipuksi. Huipun kautta kulkeva akselin suuntainen suora on nimeltään paraabelin akseli. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen, joten samalla korkeudella olevat paraabelin pisteet ovat yhtä kaukana paraabelin akselista. Tästä seuraa, että huipun koordinaatti on funktion nollakohtien välissä.

3.1.1 Esimerkki: paraabelin tulkintaa


Kerroin määrää paraabelin aukeamissuunnan. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on

  • ylöspäin aukeava paraabeli, kun

  • alaspäin aukeava paraabeli, kun .

3.1.2 Esimerkki: kertoimien vaikutus paraabelin kuvaajaan GeoGebralla


Kuten edellisestä esimerkissä huomattiin, paraabeli voi sijaita koordinaatistossa niin, että paraabelin ja akselin leikkauspisteitä on tai . Toisen asteen polynomifunktiolla on siis joko yksi, kaksi tai ei yhtään nollakohtaa.


3.1.3 Esimerkki: lentopallon rata toisen asteen funktiona

3.2 Toisen asteen yhtälö

Kun toisen asteen polynomifunktio merkitään nollaksi, syntyy toisen asteen yhtälö.

Toisen asteen yhtälö


Toisen asteen yhtälö voidaan esittää muodossa

missä .


Toisen asteen yhtälö on vaillinainen, jos tai . Muulloin sen sanotaan olevan täydellinen. Tarkastellaan erikseen erityyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisut.

Vaillinainen toisen asteen yhtälö, jossa

Kun toisen asteen yhtälö saa muodon Tämän tyyppisen yhtälön eli potenssiyhtälön ratkaiseminen käytiin läpi MAY1-kurssilla. Potenssiyhtälön ratkaisun vaiheet:

  1. Siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle.

  2. Jaetaan yhtälö puolittain toisen asteen termin kertoimella.

  3. Ratkaistaan yhtälö neliöjuuren avulla.

3.2.1 Esimerkki: vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaisu neliöjuuren avulla

Vaillinainen toisen asteen yhtälö, jossa

Kun toisen asteen yhtälö saa muodon Nyt yhtälön vasen puoli voidaan jakaa tekijöihin eli muuttaa tulomuotoon, kun erotetaan tuntematon yhteiseksi tekijäksi.

Tätä muotoa oleva yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla.

Tulon nollasääntö


Tulo on nolla vain silloin, kun jokin sen tekijä on nolla.

Tutkitaan siis, milloin jompikumpi tulon tekijöistä on nolla.

3.2.2 Esimerkki: vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaisu tulon nollasäännön avulla

Täydellinen toisen asteen yhtälö



Täydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan käyttämällä ratkaisukaavaa.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava


Toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat



  • on toisen asteen termin kerroin
  • on ensimmäisen asteen termin kerroin
  • on vakio

3.2.3 Todistus: toisen asteen yhtälön ratkaisukaava


Kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista ratkaisukaavalla. Vaillinaiset yhtälöt ratkeavat kuitenkin helpommin aikaisemmin esitellyillä tavoilla.


Toisen asteen yhtälön ratkaisun vaiheet:

  1. Sievennetään yhtälö muotoon .

  2. Poimitaan toisen asteen polynomista termien kertoimet ja .

  3. Sijoitetaan kertoimien lukuarvot ratkaisukaavaan ja lasketaan merkityt laskutoimitukset.


3.2.4 Esimerkki: toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

3.2.5 Esimerkki: toisen asteen yhtälöllä vain yksi ratkaisu tai ei ratkaisua

3.2.6 Esimerkki: erilaisia toisen asteen yhtälöitä


Käytännön tehtävien matemaattinen mallintaminen johtaa joskus toisen asteen yhtälöön. Ratkaisemalla yhtälö saadaan vastaukseksi kaksi, yksi tai ei yhtään arvoa. Jos yhtälöllä ei ole ratkaisua, tarkoittaa se sitä, ettei ongelmallakaan ole ratkaisua. Kahden juuren tapauksessa usein vain positiivnen juuri kelpaa ratkaisuksi.


3.2.7 Esimerkki: perunamaan mitoitus

3.3 Diskriminantti


Täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa

juurimerkin alla olevaa lauseketta sanotaan diskriminantiksi.

Diskriminantti


Diskriminantiksi sanotaan lauseketta

Toisen asteen yhtälön reaalijuurten lukumäärän tutkiminen ei edellytä yhtälön ratkaisemista, vaan diskriminantin arvo määrää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on.

Reaalijuurien määrä


  • Jos yhtälöllä on kaksi eri juurta.
  • Jos yhtälöllä on yksi juuri (kaksoisjuuri).
  • Jos yhtälöllä ei ole juuria.

Alla oleva GeoGebra havainnollistaa diskriminantin vaikutusta juurten määrään ylöspäin aukeavan paraabelin kuvaajalla.

3.3.1 Esimerkki: toisen asteen yhtälön ratkaisujen määrä

3.4 Toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin


Aikaisemmin polynomi on jaettu tekijöihin yhteisen tekijän ja muistikaavojen avulla. Esimerkiksi



ovat tilanteita, joissa polynomi jaetaan tekijöihin. Tässä kappaleessa käydään läpi, miten polynomi voidaan jakaa tekijöihin myös polynomin nollakohtien avulla

Juurten summa ja tulo


Toisen asteen yhtälön juurten summalla ja juurten tulolla on mielenkiintoinen yhteys kertoimiin ja . Tätä yhteyttä tarvitaan johdettaessa toisen asteen polynomin tekijöihin jaon sääntöä.

Juurten summa ja tulo


Jos luvut ja ovat toisen asteen yhtälön ratkaisut eli juuret, niiden summa on

ja tulo

3.4.1 Perustelu: juurten summa ja tulo

Polynomin tekijöihin jako juurten avulla



Toisen asteen polynomin tekijöihin jako tarkoittaa, että polynomi kirjoitetaan kahden ensimmäisen asteen polynomin tuloksi. Kun toisen asteen polynomin nollakohdat ovat tiedossa, tekijöihin jako onnistuu seuraavan teoreeman avulla.

Polynomin jakaminen tekijöihin


Jos ja ovat polynomin nollakohdat, niin

3.4.2 Perustelu: toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin


Jos toisen asteen yhtälöllä on vain yksi ratkaisu niin


Jos yhtälöllä taas ei ole yhtään ratkaisua, niin polynomia ei voi jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin.

3.4.3 Esimerkki: toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

3.5 Toisen asteen epäyhtälö



Toisen asteen epäyhtälö normaalimuodossa on

Merkin tilalla voi myös olla tai .


Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan tutkimalla toisen asteen polynomifunktion kulkua.

3.5.1 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälön ratkaisun tarkastelu GeoGebralla


Yleisesti toisen asteen epäyhtälön ratkaisu ilman ohjelmistoja etenee seuraavasti:


  1. Saatetaan epäyhtälö normaalimuotoon.

  2. Ratkaistaan vastaavan toisen asteen polynomin nollakohdat.

  3. Hahmotellaan polynomia vastaavan paraabelin kuvaaja. Riittää, että kuvaajasta näkyy paraabelin aukeamissuunta ja nollakohdat.

  4. Ilmoitetaan tulos kuvaajan perusteella.


3.5.2 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälö

3.5.3 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälö

3.5.4 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälön sovelluksen ratkaiseminen laskimen avulla

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.