3. Toisen asteen polynomiyhtälö ja -funktio

Tässä kappaleessa tutkitaan toisen asteen polynomifunktion kuvaajia sekä nollakohtia. Kappaleessa opitaan ratkaisemaan toisen asteen yhtälö ratkaisukaavan avulla sekä perehdytään toisen asteen epäyhtälöön. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.

3.1 Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktio on muotoa

f(x)=ax^2+bx+c,

missä ja ovat reaalilukuja ja $a\neq0$ .

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on nimeltään paraabeli. Paraabelin kaikken kaarevinta kohtaa sanotaan huipuksi. Huipun kautta kulkeva akselin suuntainen suora on nimeltään paraabelin akseli. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen, joten samalla korkeudella olevat paraabelin pisteet ovat yhtä kaukana paraabelin akselista. Tästä seuraa, että huipun koordinaatti on funktion nollakohtien välissä.

3.1.1 Esimerkki: paraabelin tulkintaa

Määritetään toisen asteen funktion f(x)=-4x^2-8x kuvaajasta funktion nollakohdat, paraabelin huipun koordinaatit ja symmetria-akselin yhtälö.

Kerroin määrää paraabelin aukeamissuunnan. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on

ylöspäin aukeava paraabeli, kun
alaspäin aukeava paraabeli, kun .

3.1.2 Esimerkki: kertoimien vaikutus paraabelin kuvaajaan GeoGebralla

Vaihtele liukusäätimillä kertoimien ja arvoja ja tarkkaile niiden vaikutusta paraabelin f(x)=ax^2+bx+c kuvaajaan. Oikealta saat näkyviin paraabelin huipun ja akselin.

Voidaan tehdä muun muassa seuraavat havainnot:

Paraabeli on sitä kapeampi, mitä suurempi on itseisarvoltaan.
Kun kerroin muuttuu, paraabeli siirtyy pystysuunnassa.
Kerroin vaikuttaa paraabelin sijaintiin sekä vaaka- että pystysuunnassa.
Polynomifunktiolla on tai nollakohtaa.

Kuten edellisestä esimerkissä huomattiin, paraabeli voi sijaita koordinaatistossa niin, että paraabelin ja akselin leikkauspisteitä on tai . Toisen asteen polynomifunktiolla on siis joko yksi, kaksi tai ei yhtään nollakohtaa.

3.1.3 Esimerkki: lentopallon rata toisen asteen funktiona

Arttu ja Samuli pelaavat rantalentopalloa. Arttu syöttää pallon, jonka korkeutta maan pinnasta metreinä kuvaa funktio h(x)=-0,4x^2+2,2x+1,5 , missä on etäisyys metreinä, jonka pallo on edennyt vaakasuunnassa.

Kuinka korkealla pallo on, kun se on edennyt vaakasuunnassa metriä?
Samulin keskittyminen herpaantuu, eikä hän osu palloon. Kuinka kaukana syöttöpaikasta pallo osuu maahan?

Ratkaisu:

Pallon korkeus saadaan laskemalla funktion arvo, kun .

$h(2)=-0,4\cdot2^2+2,2\cdot2+1,5=4,3\;\;\;\text{(m)}$

Pallo osuu maahan, kun pallon korkeus on .

$\begin{align*} h(x)&=0 \\ -0,4x^2+2,2x+1,5&=0 \\ x&=-0,613...\;\;\text{tai}\;\;x=6,113... && \text{(laskimesta)} \end{align*}$

Etäisyys ei voi olla negatiivinen, joten $x=6,113...\;\text{m}\approx6,1\;\text{m}.$

Vastaus:

$4,3\;\text{m}$
$6,1\;\text{m}$

Toisen asteen polynomifunktio: tehtäviä

3.2 Toisen asteen yhtälö

Kun toisen asteen polynomifunktio ax^2+bx+c merkitään nollaksi, syntyy toisen asteen yhtälö.

Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö voidaan esittää muodossa

ax^2+bx+c=0,

missä $a\neq0$ .

Toisen asteen yhtälö on vaillinainen, jos b=0 tai c=0 . Muulloin sen sanotaan olevan täydellinen. Tarkastellaan erikseen erityyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisut.

Vaillinainen toisen asteen yhtälö, jossa

Kun b=0, toisen asteen yhtälö saa muodon ax^2+c=0. Tämän tyyppisen yhtälön eli potenssiyhtälön ratkaiseminen käytiin läpi MAY1-kurssilla. Potenssiyhtälön ratkaisun vaiheet:

Siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle.
Jaetaan yhtälö puolittain toisen asteen termin kertoimella.
Ratkaistaan yhtälö neliöjuuren avulla.

3.2.1 Esimerkki: vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaisu neliöjuuren avulla

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Potenssiyhtälön ratkaisussa täytyy ensin muokata yhtälö muotoon, jossa toisella puolella on muuttuja ja toisella vakio, ja sen jälkeen ottaa puolittain neliöjuuri. Ratkaisussa pitää huomioida myös negatiivinen juuri.

$\begin{align*} 3x^2-27&=0 \\ 3x^2&=27 \\ x^2&=9\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\sqrt{}\\ x&=\pm \sqrt{9} \\ x&=\pm 3 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2+4=0 \\ \underbrace{x^2}_{\ge0}=\underbrace{-4}_{<0} \end{align*}$

Koska x^2 ei voi saada negatiivista arvoa, yhtälöllä ei ole ratkaisua. Yhtälön y=x^2+4 kuvaaja ei leikkaa akselia.

Vastaus:

tai
Yhtälöllä ei ole reaalijuuria.

Vaillinainen toisen asteen yhtälö, jossa

Kun c=0, toisen asteen yhtälö saa muodon ax^2+bx=0. Nyt yhtälön vasen puoli voidaan jakaa tekijöihin eli muuttaa tulomuotoon, kun erotetaan tuntematon yhteiseksi tekijäksi.

$ax^2+bx=a\cdot x\cdot \textcolor{red}{x}+b\cdot \textcolor{red}{x}=\textcolor{red}{x}(ax+b)$

Tätä muotoa oleva yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla.

Tulon nollasääntö

Tulo on nolla vain silloin, kun jokin sen tekijä on nolla.

Tutkitaan siis, milloin jompikumpi tulon tekijöistä on nolla.

3.2.2 Esimerkki: vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaisu tulon nollasäännön avulla

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälön vasen puoli on valmiiksi tulomuodossa, joten voidaan suoraan soveltaa tulon nollasääntöä. Tulon tekijöitä ovat (x+3) ja (x-1) . Merkitään ne erikseen yhtä suuriksi kuin nolla.

$\begin{align*} (x+3)(x-1)&=0 \\ x+3=0\;\;&\text{tai}\;\; x-1=0 \\ x=-3 \;\;&\text{tai}\;\; x=1 \end{align*}$

Erotetaan ensin lausekkeesta 2x^2-6x=0 yhteinen tekijä .

$\begin{align*} 2x^2-6x&=0 \\ 2\cdot x\cdot \textcolor{red}x -6\cdot \textcolor{red}x &=0\\ \textcolor{red}x(2x-6)&=0 \\ \end{align*}$

Tulon nollasäännön mukaan

$\begin{align*} x=0\;\;\text{tai}\;\;2x-6&=0 \\ 2x&=-6 \\ x&=-3 \end{align*}$

Siirretään muuttujan sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolella ja erotetaan lausekkeesta yhteinen tekijä .

$\begin{align*} x^2&=ax \\ x^2-ax&=0 \\ x\cdot\textcolor{red}x-a\cdot\textcolor{red}x&=0 \\ \textcolor{red}x(x-a)&=0 \end{align*}$

Tulon nollasäännön mukaan

$\begin{align*} x=0\;\;\text{tai}\;\;x-a&=0 \\ x&=a \end{align*}$

Vastaus:

Täydellinen toisen asteen yhtälö

Täydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan käyttämällä ratkaisukaavaa.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön $ax^2+bx+c=0,\,a\neq0$ ratkaisut ovat

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

on toisen asteen termin kerroin
on ensimmäisen asteen termin kerroin
on vakio

3.2.3 Todistus: toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava voidaan johtaa seuraavasti:

$\begin{align*} ax^2+bx+c&=0 &&|\cdot 4a \\ 4a^2x^2+4abx+4ac&=0 &&|-4ac \\ 4a^2x^2+4abx&=-4ac &&|+b^2 \\ 4a^2x^2+4abx+b^2&=-4a+b^2 &&|\;\text{muokataan kahden ensimmäisen termin muotoa} \\ (2ax)^2+2\cdot2abx+b^2&=-4a+b^2 &&|\;\text{kirjoitetaan vasen puoli binomin neliöksi}\\ (2ax+b)^2&=b^2-4ac &&|\sqrt{\;\;} \\ 2ax+b&=\pm \sqrt{b^2-4ac} &&|-b\\ 2ax &=-b\pm \sqrt{b^2-4ac} &&|:2a\\ x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}$

Kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista ratkaisukaavalla. Vaillinaiset yhtälöt ratkeavat kuitenkin helpommin aikaisemmin esitellyillä tavoilla.

Toisen asteen yhtälön ratkaisun vaiheet:

Sievennetään yhtälö muotoon .
Poimitaan toisen asteen polynomista termien kertoimet ja .
Sijoitetaan kertoimien lukuarvot ratkaisukaavaan ja lasketaan merkityt laskutoimitukset.

3.2.4 Esimerkki: toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Ratkaise yhtälö x^2+2x-8=0 .

Ratkaisu:

Yhtälö on valmiiksi muodossa ax^2+bx+c=0 . Yhtälön kertoimet ovat

$a=\textcolor{red}1,\;b=\textcolor{blue}2\;\text{ja}\;c=\textcolor{green}{-8}$

Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan.

$\begin{align*} x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x&=\frac{-\textcolor{blue}2\pm\sqrt{\textcolor{blue}2^2-4\cdot\textcolor{red}1\cdot (\textcolor{green}{-8})}}{\textcolor{blue}2\cdot \textcolor{red}1} \\ x&=\frac{-2\pm\sqrt{4+32}}{4} \\ x&=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{4} \\ x&=\frac{-2\pm6}{4} \end{align*}$

Kirjoitetaan vastaus kahtena eri lausekkeena.

$x=\frac{-2-6}{4}=\frac{-8}{4}=-4\;\;\;\;\text{tai}\;\;\;\;\frac{-2+6}{4}=\frac{4}{4}=1$

Vastaus: $x=-4\;\;\text{tai}\;\;x=1$

3.2.5 Esimerkki: toisen asteen yhtälöllä vain yksi ratkaisu tai ei ratkaisua

Ratkaise funktion nollakohdat ja tarkista graafisesti.

Ratkaisu:

Ratkaistaan funktion nollakohdat toisen asteen yhtälöstä . Yhtälön kertoimet ovat

$a=\textcolor{red}1,\;b=\textcolor{blue}{-2}\;\text{ja}\;c=\textcolor{green}1$

Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan.

$\begin{align*} x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x&=\frac{-(\textcolor{blue}{-2})\pm\sqrt{(\textcolor{blue}{-2})^2-4\cdot\textcolor{red}1\cdot\textcolor{green}1}}{2\cdot\textcolor{red}1} \\ x&=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2} \\ x&=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2} \end{align*}$

Koska osoittajan toinen yhteenlaskettava on nolla, yhtälöllä on vain yksi ratkaisu $x=\frac{2}{2}=1$

Piirretään funktion f(x)=x^2-2x+1 kuvaaja.

Funktion kuvaaja sivuaa akselia pisteessä x=1.

Ratkaistaan funktion nollakohdat toisen asteen yhtälöstä . Yhtälön kertoimet ovat

$a=\textcolor{red}{-10},\;b=\textcolor{blue}{15}\;\text{ja}\;c=\textcolor{green}{-25}$

Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan.

$\begin{align*} x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x&=\frac{-(\textcolor{blue}{15})\pm\sqrt{(\textcolor{blue}{15})^2-4\cdot\textcolor{red}{-10}\cdot\textcolor{green}{-25}}}{2\cdot\textcolor{red}{-10}} \\ x&=\frac{-15\pm\sqrt{225-1000}}{-20} \\ x&=\frac{-15\pm\sqrt{-775}}{-20} \end{align*}$

Koska juurrettava on negatiivinen luku, neliöjuurelle $\sqrt{-775}$ ei voida laskea arvoa ja yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Piirretään funktion f(x)=-10x^2+15x-25=0 kuvaaja.

Funktion kuvaaja ei leikkaa akselia.

Vastaus:

Ei ratkaisua

3.2.6 Esimerkki: erilaisia toisen asteen yhtälöitä

Ratkaise yhtälö.

$-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x=\dfrac{1}{3}x^2-1$

Ratkaisu:

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet luvulla jotta saadaan poistettua yhtälöstä nimittäjät, ja muokataan yhtälö normaalimuotoon

$\begin{align*} -\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x&=\dfrac{1}{3}x^2-1 \;\;\;\;\;\;\;|\cdot3 \\ -x^2+x&=x^2-3 \\ -x^2-x^2+x+3&=0 \\ -2x^2+x+3&=0 \end{align*}$

Yhtälön kertoimet ovat

$a=-2,\;b=1\;\text{ja}\;c=3$

Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan.

$\begin{align*} x&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot(-2)\cdot3}}{2\cdot(-2)} \\ x&=\frac{-1\pm\sqrt{1+25}}{-4} \\ x&=\frac{-1\sqrt{25}}{-4} \\ x&=\frac{-1\pm5}{-4} \\ x&=\frac{-1+5}{-4}=\frac{4}{-4}=-1\;\;\text{tai}\;\;x=\frac{-1-5}{-4}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2} \end{align*}$

Avataan yhtälöstä sulkeet ja muokataan yhtälö normaalimuotoon.

$\begin{align*} x(x-5)=2 \\ x^2-5x=2 \\ x^2-5x-2=0 \end{align*}$

Yhtälön kertoimet ovat

$a=1,\;b=-5\;\text{ja}\;c=-2$

Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan.

$\begin{align*} x&=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} \\ x&=\frac{5\pm\sqrt{25+8}}{2} \\ x&=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2} \end{align*}$

Luku ei ole minkään kokonaisluvun neliö, joten yhtälön ratkaisujen tarkat arvot ovat.

$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\;\;\text{tai}\;\;x=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$

Vastaus:

$x=-1\;\text{tai}\;x=\frac{3}{2}$
$x=\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{2}$

Käytännön tehtävien matemaattinen mallintaminen johtaa joskus toisen asteen yhtälöön. Ratkaisemalla yhtälö saadaan vastaukseksi kaksi, yksi tai ei yhtään arvoa. Jos yhtälöllä ei ole ratkaisua, tarkoittaa se sitä, ettei ongelmallakaan ole ratkaisua. Kahden juuren tapauksessa usein vain positiivnen juuri kelpaa ratkaisuksi.

3.2.7 Esimerkki: perunamaan mitoitus

Perunanviljelijä Santeri haluaa kaksinkertaistaa perunan viljelyalan lisäämällä suorakulmion muotoisen palstan pituutta ja leveyttä saman verran. Mitkä ovat uuden palstan mitat, kun nykyiset mitat ovat $12\;\text{m}$ ja $18\;\text{m}$ ?

Ratkaisu:

Tämänhetkinen palstan pinta-ala on $12\cdot18=216\;(\text{m}^2)$ ja uuden palstan pinta-alaksi Santeri haluaa $2\cdot216=432\;(\text{m}^2)$ .

Valitaan muuttujaksi pituus joka lisätään molempiin sivuihin. Tällöin uuden palstan sivujen pituudet ovat 12+x ja 18+x . Uuden perunamaan pinta-ala on A=(12+x)(18+x), joten yhtälöksi saadaan (12+x)(18+x)=432.

Sievennetään ja ratkaistaan toisen asteen yhtälö.

$\begin{align*} (12+x)(18+x)&=432 \\ 216+30x+x^2&=432 \\ x^2+30x-216&=0 \\ x&=\frac{-30\pm\sqrt{30^2-4\cdot1\cdot(-216)}}{2\cdot1} \\ x&=\frac{-30\pm42}{2} \\ x&=\frac{-30-42}{2}=-36\;\;\text{tai}\;\;x=\frac{-30+42}{2}=6 \end{align*}$

Negatiivinen ratkaisu ei käy vastaukseksi, joten x=6 . Uuden palstan sivujen pituudet siis 12+6=18 ja 18+6=24 .

Vastaus: $18\;\text{m}$ ja $24\;\text{m}$

Toisen asteen yhtälö: tehtäviä

3.3 Diskriminantti

Täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

juurimerkin alla olevaa lauseketta sanotaan diskriminantiksi.

Diskriminantti

Diskriminantiksi sanotaan lauseketta

D=b^2-4ac.

Toisen asteen yhtälön reaalijuurten lukumäärän tutkiminen ei edellytä yhtälön ratkaisemista, vaan diskriminantin arvo määrää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on.

Reaalijuurien määrä

Jos yhtälöllä on kaksi eri juurta.
Jos yhtälöllä on yksi juuri (kaksoisjuuri).
Jos yhtälöllä ei ole juuria.

Alla oleva GeoGebra havainnollistaa diskriminantin vaikutusta juurten määrään ylöspäin aukeavan paraabelin kuvaajalla.

3.3.1 Esimerkki: toisen asteen yhtälön ratkaisujen määrä

Kuinka monta reaalijuurta yhtälöllä on?

Ratkaisu:

Yhtälön kertoimet ovat

$a=6,\;b=-1\;\text{ja}\;c=-5$

Lasketaan diskriminantti.

$\begin{align*} D&=b^2-4ac \\ &=(-1)^2-4\cdot6\cdot(-5) \\ &=1+120=121 \end{align*}$

Koska D>0, niin yhtälöllä on kaksi reaalijuurta.

Muokataan yhtälö normaalimuotoon.

$\begin{align*} x^2&=2x-5 \\ x^2-2x+5&=0 \end{align*}$

Yhtälön kertoimet ovat

$a=1,\;b=-2\;\text{ja}\;c=5$

Lasketaan diskriminantti.

$\begin{align*} D&=b^2-4ac \\ &=(-2)^2-4\cdot1\cdot5 \\ &=4-20=-16 \end{align*}$

Koska D<0, niin yhtälöllä ei ole reaalijuuria.

Vastaus:

kaksi
ei yhtään

Diskriminantti: tehtäviä

3.4 Toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

Aikaisemmin polynomi on jaettu tekijöihin yhteisen tekijän ja muistikaavojen avulla. Esimerkiksi

$2x^2+4x=x(2x+4)\;\;\;\text{ja}\;\;\;4x^2+12x+9=(2x+3)^2$

ovat tilanteita, joissa polynomi jaetaan tekijöihin. Tässä kappaleessa käydään läpi, miten polynomi voidaan jakaa tekijöihin myös polynomin nollakohtien avulla

Juurten summa ja tulo

Toisen asteen yhtälön juurten summalla ja juurten tulolla on mielenkiintoinen yhteys kertoimiin ja . Tätä yhteyttä tarvitaan johdettaessa toisen asteen polynomin tekijöihin jaon sääntöä.

Juurten summa ja tulo

Jos luvut x_1 ja x_2 ovat toisen asteen yhtälön ax^2+bx+c=0 ratkaisut eli juuret, niiden summa on

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

ja tulo

$x_1 x_2=\frac{c}{a}.$

3.4.1 Perustelu: juurten summa ja tulo

Toisen asteen yhtälön ax^2+bx+c=0 ratkaisut ovat muotoa

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;\;\text{ja}\;\;x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Merkitään D=b^2-4ac, jolloin ratkaisut voidaan kirjoittaa

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}\;\;\text{ja}\;\;x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$

Juurten summa

$\begin{align*} x_1+x_2&=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ &=\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a} \\ &=\frac{-2b}{2a} \\ &=-\frac{b}{a} \end{align*}$

Juurten tulo

$\begin{align*} x_1x_2&=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ &=\frac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{(2a)^2} \;\;\;\;\;\;|\,(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ &=\frac{(-b)^2-(\sqrt{D})^2}{4a^2} \\ &=\frac{b^2-D}{4a^2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|D=b^2-4ac \\ &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\ &=\frac{4ac}{4a^2} \\ &=\frac{c}{a} \end{align*}$

Polynomin tekijöihin jako juurten avulla

Toisen asteen polynomin tekijöihin jako tarkoittaa, että polynomi kirjoitetaan kahden ensimmäisen asteen polynomin tuloksi. Kun toisen asteen polynomin nollakohdat ovat tiedossa, tekijöihin jako onnistuu seuraavan teoreeman avulla.

Polynomin jakaminen tekijöihin

Jos x_1 ja x_2 ovat polynomin ax^2+bx+c nollakohdat, niin

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

3.4.2 Perustelu: toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

Muokataan toisen asteen yhtälön ax^2+bx+c=0 vasenta puolta.

$\begin{align*} ax^2+bx+c&=0 &&|\,\text{otetaan}\;a\;\text{yhteiseksi tekijäksi}\\ a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)&=0 &&|\,\text{sijoitetaan}\;\frac{b}{a}=-(x_1+x_2)\;\text{ja}\;\frac{c}{a}=x_1x_2\\ a\left(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\right)&=0 \\ a\left(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2\right)&=0 &&|\,\text{otetaan yhteiset tekijät}\;x\;\text{ja}\;x_2\\ a\left(x(x-x_1)-x_2(x-x_1)\right)&=0 &&|\,\text{otetaan yhteinen tekijä}\;(x-x_1)\\ a(x-x_1)(x-x_2)&=0 \end{align*}$

Toisen asteen polynomifunktio ax^2+bx+c voidaan siis kirjoittaa muodossa a(x-x_1)(x-x_2), missä x_1 ja x_2 ovat yhtälön juuret.

Jos toisen asteen yhtälöllä ax^2+bx+c=0 on vain yksi ratkaisu x_1, niin

ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2.

Jos yhtälöllä taas ei ole yhtään ratkaisua, niin polynomia ei voi jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin.

3.4.3 Esimerkki: toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

Jaa polynomi 9x^2-3x-2 tekijöihin.

Ratkaisu:

Ratkaistaan ensin yhtälön 9x^2-3x-2=0 juuret.

$\begin{align*} 9x^2-3x-2&=0 \\ x&=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 9\cdot(-2)}}{2\cdot9} \\ x&=\frac{3\pm\sqrt{81}}{18} \\ x&=\frac{3\pm9}{18} \\ x&=-\frac{6}{18}=-\frac{1}{3}\;\;\text{tai}\;\;x=\frac{12}{18}=\frac{2}{3} \end{align*}$

Tekijöihin jako

$\begin{align*} &9x^2-3x-2 &&|\,a=\textcolor{red}9,\,x_1=\textcolor{blue}{-\frac{1}{3}},\,x_2=\textcolor{green}{\frac{2}{3}}\\ &=\textcolor{red}9\left(x-\left(\textcolor{blue}{-\frac{1}{3}}\right)\left(x-\textcolor{green}{\frac{2}{3}}\right)\right) \\ &=3\left(x+\frac{1}{3}\right)\cdot3\left(x-\frac{2}{3}\right) \\ &=(3x+1)(3x-2) \end{align*}$

Tarkastetaan tehtävä GeoGebralla. Tekijöihin jako tapahtuu käskyllä JaaTekijöihin().

Vastaus:

9x^2-3x-2=(3x+1)(3x-2)

Toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin: tehtäviä

3.5 Toisen asteen epäyhtälö

Toisen asteen epäyhtälö normaalimuodossa on

ax^2+bx+c<0

Merkin tilalla voi myös olla $\le,$ $\ge$ tai $\neq$ .

Toisen asteen epäyhtälö ratkaistaan tutkimalla toisen asteen polynomifunktion kulkua.

3.5.1 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälön ratkaisun tarkastelu GeoGebralla

Tarkastellaan funktion $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x-3$ kulkua appletin avulla.

Funktion f(x) nollakohdat ovat x=-3 ja x=2 . Kun liikutellaan pistettä askelilla, huomataan, että funktio vaihtaa merkkiään nollakohdissa. Välillä -3<x<2 funktio saa negatiivisia arvoja ja muualla positiivisia.

Näin ollen epäyhtälön f(x)<0 ratkaisu on -3<x<2 . Vastaavasti epäyhtälön f(x)>0 ratkaisu on x<-3 tai x>2 .

Yleisesti toisen asteen epäyhtälön ratkaisu ilman ohjelmistoja etenee seuraavasti:

Saatetaan epäyhtälö normaalimuotoon.
Ratkaistaan vastaavan toisen asteen polynomin nollakohdat.
Hahmotellaan polynomia vastaavan paraabelin kuvaaja. Riittää, että kuvaajasta näkyy paraabelin aukeamissuunta ja nollakohdat.
Ilmoitetaan tulos kuvaajan perusteella.

3.5.2 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise toisen asteen epäyhtälö $x^2+5x+4\ge0$ .

Ratkaisu:

Epäyhtälö on normaalimuodossa. Tutkitaan, milloin funktio f(x)=x^2+5x+4 on ei-negatiivinen eli $f(x)\ge0$ . Ratkaistaan funktion nollakohdat.

$\begin{align*} x^2+5x+4&=0 \\ x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1} \\ x&=\frac{-5\pm3}{2} \\ x&=-4\;\;\text{tai}\;\;x=-1 \end{align*}$

Hahmotellaan funktion kuvaaja niiden tietojen perusteella, että

paraabeli aukeaa ylöspäin
nollakohdat ovat ja

Kuvasta nähdään, että funktion arvot ovat ei-negatiivisia, kun $x\le-4$ tai $x\ge-1$ .

Vastaus: $x\le-4$ tai $x\ge-1$

3.5.3 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise toisen asteen epäyhtälö x<x^2+1 .

Ratkaisu:

Muokataan epäyhtälö normaalimuotoon.

$\begin{align*} x&<x^2+1 \\ -x^2+x-1&<0 \end{align*}$

Tutkitaan yhtälön -x^2+x-1=0 ratkaisuja. Nyt diskriminantti $D=1^2-4\cdot(-1)\cdot(-1)=-3<0,$ joten yhtälöllä ei ole reaalisia juuria.

Hahmotellaan funktion f(x)=-x^2+x-1 kuvaaja niiden tietojen perusteella, että

paraabeli aukeaa alaspäin
funktiolla ei ole nollakohtia

Kuvasta nähdään, että funktion kuvaaja on aina akselin alapuolella, joten funktio saa aina negatiivisia arvoja.

Vastaus: Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla.

3.5.4 Esimerkki: toisen asteen epäyhtälön sovelluksen ratkaiseminen laskimen avulla

Urheilutapahtumassa myydään kisamakkaroita. Makkaranmyyjä arvioi menekiksi 320 makkaraa, jos makkaran hinta on $1,50\;\text{€}$ . Jokainen sentin korotus hinnassa alentaa menekkiä makkaralla.

Muodosta funktio , joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa makkaran hintaa on nostettu euroa kertaa.
Millä makkaran hinnalla myyntitulot ovat vähintään $240\;\text{€}$ ?

Ratkaisu:

Tutkitaan ensin tilannetta taulukon avulla.

Hinnan korotusten määrä	Makkaran hinta ( $\text{€}$ )	Myydyt makkarat (kpl)	Myyntitulot ( $\text{€}$ )
			$1,50\cdot320$

	$1,50+2\cdot0,05$	$320-2\cdot8$	$(1,50+2\cdot0,05)(320-2\cdot8)$
	$1,50+3\cdot0,05$	$320-3\cdot8$	$(1,50+3\cdot0,05)(320-3\cdot8)$
$\textcolor{red}x$	$1,50+\textcolor{red}x\cdot0,05$	$320-\textcolor{red}x\cdot8$	$(1,50+\textcolor{red}x\cdot0,05)(320-\textcolor{red}x\cdot8)$

Myyntituloa kuvaava funktio on siis

$\begin{align*} T(x)&=(1,50+0,05x)(320-8x) \;\;\;\;\;\;\;\;\text{(sievennetään laskimella)}\\ T(x)&=-0,4x^2+4x+480 \end{align*}$

Myyntitulojen halutaan olevan vähintään $240\;\text{€}$ eli funktion halutaan olevan suurempi kuin . Saadaan epäyhtälö

$\begin{align*} -0,4x^2+4x+480&\ge240 \\ -0,4x^2+4x+240&\ge0 \end{align*}$

Ratkaistaan epäyhtälö laskimella.

Muuttuja kuvaa siis viiden sentin hinnankorotusten lukumäärää ja niiden tulee olla välillä $-20\le x\le30.$ Makkaran hintaa tulee siis joko alentaa $20\cdot0,05\;\text{€}=1\;\text{€}$ tai nostaa $30\cdot0,05\;\text{€}=1,5\;\text{€}$ .

Vastaus:

Makkaran hinnan tulee olla vähintään $50\;\text{snt}$ ja enintään $3\;\text{€}$ .

Toisen asteen epäyhtälö: tehtäviä