5. Rationaaliyhtälö ja -funktio

Tässä kappaleessa tutustutaan rationaalifunktioihin. Liikkeelle lähdetään rationaalilausekkeen käsitteestä sekä rationaalilausekkeilla tehtävistä laskutoimituksista. Lopuksi opitaan ratkaisemaan rationaaliyhtälöitä. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.


5.1 Rationaalilauseke



Rationaalilauseke tarkoittaa kahden polynomin osamäärää. Esimerkiksi lausekkeet

ovat rationaalilausekkeita.

Rationaalilauseke


Rationaalilauseke on muotoa oleva lauseke, missä ja ovat polynomeja ja .


Rationaalilauseke voidaan sieventää supistamalla. Supistaminen onnistuu, jos sekä osoittaja että nimittäjä voidaan muuttaa tulomuotoon ja niistä löytyy .



Rationaalilauseke on , mikäli se sievenee polynomiksi ja vastaavasti , mikäli se ei sievene polynomiksi.

5.1.1 Esimerkki: rationaalilausekkeen sieventäminen

5.2 Rationaalilausekkeiden laskutoimituksia


Rationaalilausekkeiden summa, erotus, tulo ja osamäärä lasketaan murtolukujen laskusääntöjä noudattaen.

Rationaalilausekkeiden tulo


Rationaalilausekkeiden kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään.

5.2.1 Esimerkki: rationaalilausekkeiden kertolasku


Rationaalilausekkeiden yhteen- ja vähennyslasku


Rationaalilausekkeiden yhteen- ja vähennyslaskussa lausekkeet lavennetaan ensin samannimisiksi. Tämän jälkeen lasketaan osoittajat yhteen tai vähennetään ne toisistaan.

5.2.2 Esimerkki: rationaalilausekkeiden yhteen- ja vähennyslasku


Rationaalilausekkeiden osamäärä


Rationaalilausekkeiden jakolasku muutetaan kertolaskuksi kertomalla jaettava jakajan käänteisluvulla.

5.2.3 Esimerkki: rationaalilausekkeiden jakolasku

5.3 Rationaalifunktio ja -yhtälö


Rationaalifunktiot ovat funktiota, jotka on määritelty jonkin rationaalilausekkeen avulla. Esimerkiksi

on rationaalifunktio.

Rationaalifunktio


Rationaalifunktio on muotoa oleva funktio, missä ja ovat polynomeja ja .


Rationaalifunktion kuvaajassa on katkos, kun nimittäjän koska nollalla jakamista ei ole määritelty.

5.3.1 Esimerkki: rationaalifunktion kuvaaja


Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin rationaalifunktio saa tietyn arvon, päädytään ratkaisemaan rationaaliyhtälö.

Rationaaliyhtälö


Rationaaliyhtälö on muotoa oleva yhtälö, missä ja ovat polynomeja ja .


Jos rationaaliyhtälölle saadaan ratkaisu, joka on nimittäjän nollakohta, kyseinen ratkaisu hylätään. Rationaaliyhtälöä ratkaistaessa pyritään tilanteeseen, jossa ei esiinny rationaalilausekkeita. Tässä muodossa yhtälö ratkaistaan, kuten olet aiemmissa kursseissa oppinut.

5.3.2 Esimerkki: rationaaliyhtälö

5.3.3 Esimerkki: rationaaliyhtälö

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.