4. Korkeamman asteen polynomiyhtälö ja -funktio

Tässä kappaleessa siirrytään toisen asteen polynomifunktiosta yleiseen polynomifunktioon. Kappaleessa opitaan ratkaisemaan korkeamman asteen polynomiyhtälöitä sekä -epäyhtälöitä. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.


4.1 Korkeamman asteen polynomifunktio ja -yhtälö


Tähän mennessä on tutustuttu ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa ja toisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa . Jos polynomin asteluku on tai enemmän, sitä kutsutaan korkemman asteen polynomiksi.

Yleinen polynomifunktio


Olkoon positiivinen kokonaisluku ja . Yleinen nnen asteen polynomifunktio voidaan esittää muodossa

Aiemmin on havaittu, että toisen asteen polynomifunktiolla on korkeintaan kaksi ja ensimmäisen asteen polynomifunktiolla yksi nollakohta. Samoin astetta olevalla polynomifunktiolla on enintään nollakohtaa.

4.1.1 Esimerkki: polynomin asteluku


Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin korkeamman asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään korkeamman asteen yhtälöön. Joissakin tapauksissa korkeamman asteen yhtälö voidaan saattaa tulomuotoon erottamalla yhteinen tekijä, jolloin se saadaan ratkaistua käyttämällä tulon nollasääntöä.

4.1.2 Esimerkki: ratkaisu tulon nollasäännön avulla


Joissakin tapauksissa yhteisessä tekijässä voi olla useampia termejä. Seuraavalla videolla näytetään, miten tällainen yhteinen tekijä voidaan löytää ryhmittelemällä.



4.1.3 Esimerkki: ratkaisu ryhmittelyn avulla


Sellaiset neljännen asteen yhtälöt, joissa esiintyy neljännen asteen termin lisäksi vain toisen asteen termi ja vakiotermi, voidaan ratkaista soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Tällaista yhtälöä kutsutaan bikvadraattiseksi yhtälöksi.

4.1.4 Esimerkki: bikvadraattinen yhtälö


Edellisessä kappaleessa jaoimme toisen asteen polynomin tekijöihin polynomin nollakohtien avulla. Voit kerrata sen tarvittaessa täältä. Seuraavan lauseen mukaan vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomien tapauksessa.

Polynomin tekijä


Lauseke on polynomin tekijä, jos ja vain jos on polynomin nollakohta.


Jos tiedetään kaikki polynomin nollakohdat niin polynomi voidaan kirjoittaa muotoon

Tässä vakio on polynomin korkeimman asteen termin kerroin.


4.1.5 Esimerkki: korkeamman asteen polynomin jakaminen tekijöihin

4.2 Korkeamman asteen epäyhtälö



Tähän mennessä on opittu ensimmäisen asteen epäyhtälön (MAY1) sekä toisen asteen epäyhtälön ratkaisumenetelmät. Toisen asteen epäyhtälössä ratkaisun ideana oli ensin muuttaa epäyhtälö perusmuotoon, jossa yhtälön vasemmalla puolella oli polynomi ja toisella puolella nolla. Tämän jälkeen selvitettiin polynomifunktion nollakohdat ja tutkittiin funktion kulkua.

Korkeamman asteen epäyhtälöt ratkaistaan samaan tapaan. Uutena asiana tulee merkkikaavion laatiminen.

Yleisesti korkemman asteen epäyhtälön ratkaisu etenee seuraavasti:


  1. Jaetaan polynomi tekijöihin
  2. Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat. Selvitetään tekijöiden merkit nollakohtien välillä.
  3. Laaditaan merkkikaavio.
  4. Katsotaan merkkikaaviosta välit, joilla epäyhtälö toteutuu.

4.2.1 Esimerkki: korkeamman asteen epäyhtälö

4.2.2 Esimerkki: korkeamman asteen epäyhtälö

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.