Tämän TIM-sivuston tarkoituksena on toimia lukion pitkän matematiikan (MAA) pakollisten kurssien kattavana ja riittävänä kertausmateriaalina ja -ympäristönä.
Sivusto ei kuitenkaan ole kurssin keskeisin asia. Uuden oppiminen ja vanhojen tietojen vahvistaminen sen sijaan ovat. Siksi toivomme ja pyydämme, että jokainen sivustoa opiskellut osallistuu kykyjensä mukaan virheiden ja puutteiden ilmoittamiseen. Myös rakentavat kommentit vievät yhteistä oppimisasiaa eteenpäin.
Tekijät
Henri Jaakkola (040 341 6093)
Petri Luoma (040 341 4774)
etunimi.sukunimi(at)gradia.fi
Kurssin materiaali on luotu TASE-hankkeessa avoimeksi ja saavutettavaksi. Sen tarkoituksena on auttaa pitkän matematiikan itsenäiseen kertaukseen. Materiaali on laadittu siten, ettei varsinaista teoriaa ole erikseen luotu, vaan kaikki tarvittava tieto ja hyvän ratkaisun piirteet käyvät ilmi tehdyistä esimerkeistä.
Materiaalin rakenne on sellainen, että jokaisessa luvussa on aluksi H5P-tekniikalla tehtyjä yksinkertaisia pelejä. Tämän jälkeen on videoita esimerkkitehtävistä ratkaisuineen. Luvun lopussa on aina pieniin paloihin järjestetty yo-tehtäväratkaisu sekä linkkejä itsenäiseen itseopiskeluun ja vanhoihin yo-tehtäviin.
TASE-hanke on vuoden 2019 toisen asteen oppimateriaalikustannusten verkostomainen alentamishanke. Yhtenä sen tavoitteen mukaisena pilottina on toteuttaa toimintakokonaisuus, jossa koostetaan mm. digitaalisia oppimateriaaleja. Hanketta rahoittaa Opetushallitus ja sen hallinnoinnista vastaa Turun kaupungin sivistystoimiala.
Lue lisää osoitteessa koulutustakuu.fi/hankkeet/tase.
Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt
Makkaran rasvapitoisuus on 36 painoprosenttia. Kuinka monta prosenttia rasvaa makkarasta pitäisi vähentää, jotta makkaran uudeksi rasvaprosentiksi tulee 30 %?
Kuutio pienennetään toiseksi kuutioksi niin, että sen kokonaispinta-ala pienenee 36 %. Kuinka monta prosenttia tilavuus pienenee?
Osoita, että lukujono
a) on aritmeettinen
b) on geometrinen.
Salissa on istumapaikkoja 1000:lle katsojalle 25 rivissä. Jokaisella rivillä on kaksi paikkaa enemmän kuin edellisellä rivillä. Kuinka monta paikkaa on ensimmäisellä ja viimeisellä rivillä?
Tietyn alueen turpeen määrä riittää nykyisellä vuotuisella kulutuksella turvevoimalan käyttöön 60 vuodeksi. Jos kulutus kasvaa 3 % vuodessa, niin miten pitkäksi ajaksi turve riittää?
Kiinan väkiluku kasvaa 0,6 % ja Intian 1,1 % vuodessa. Vuonna 2017 Kiinassa oli 1,386 miljardia asukasta. Intiassa vastaava lukumäärä oli 1,356 miljardia. Ratkaise vuosi, jolloin Intia ohittaa Kiinan, jos kasvu jatkuu samanlaisena.
Potilaalle määrätään lääkettä leikkauksen jälkeisenä aamuna 500 mg. Ratkaise kuukaudessa kuluvan lääkkeen kokonaismäärä, kun lääkkeen määrää pienennetään joka aamu
a) 5 mg
b) 2 %.
Harjoitellaan kevään 2003 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.
Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.
Tehtävänanto
Geometrisen jonon kolmen ensimmäisen termin summa on 3 ja kuuden ensimmäisen termin summa 12. Laske yhdeksän ensimmäisen termin summa. Vastaa, suppeneeko vastaava geometrinen sarja.
Ratkaisu
Kirjoitetaan kolmen ensimmäisen jäsenen summa ja otetaan yhteinen tekijä.
Valitse edellä oleva summa yhteisen tekijän avulla kirjoitettuna.
Valitse paras tapa kirjoittaa kuuden ensimmäisen jäsenen summa yhteisen tekijän avulla kirjoitettuna.
Edellä kirjoitettu summa voidaan kirjoittaa vielä uudessa muodossa.
Ratkaistaan .
Suppeneeko annettu geometrinen sarja?
Kirjoitetaan yhdeksän ensimmäisen jäsenen summa.
Lasketaan summa.
Jälkipohdinta
Edellisen tapainen tehtävä voi sähköisissä yo-kokeissa olla A-osassa, joka tehdään ilman teknisiä apuvälineitä. Tässä mielessä tehtäväratkaisun kirjoittamista kannattaa harjoitella koeympäristön vastauskenttää vastaavassa Matikkaeditorissa.
Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.
Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAY1-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen. Lukujonoja ja summia ei ole uusissa keskeisissä sisällöissä.
Prosentit
S13/2c, K09/3b, K07/3a, K00/4, S16/1, K02/3, S02/2, K03/5, K04/3, K05/3, K06/4, S06/5, S07/4, K08/4
Geometrinen ja aritmeettinen jono ja summa
K03/12, S03/12, S16/5b, S15/8, S14/8, S16/5a, S19/1
Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.
matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html
Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt
Millä vakion arvolla jakolasku
menee tasan? Määritä saadulla vakion arvolla polynomin
kaikki nollakohdat. (K80/3)
Millä vakion arvolla yhtälöllä
ei ole ratkaisuja?
Ratkaise epäyhtälö .
Olkoon ja
.
a) Muodosta funktioiden erotus ja tulo
.
b) Määritä funktioiden leikkauspisteet sekä piirtämällä että laskemalla.
Olkoon .
a) Piirrä funktioiden ja
kuvaajat.
b) Ratkaise yhtälö ja epäyhtälö
.
Harjoitellaan kevään 2018 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.
Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.
Tehtävänanto
Toisen asteen polynomifunktiolle voidaan käyttää kahta erilaista esitystapaa.
Summamuoto .
Tulomuoto .
a) Muokkaa polynomi summamuotoon.
b) Muokkaa polynomi tulomuotoon.
c) Osoita, että , jos
ja
ovat polynomin
nollakohdat.
Ratkaisu
a) Kirjoitetaan polynomi summamuotoon.
Polynomi summamuodossa?
b) Kirjoitetaan polynomi tulomuotoon.
Muodostetaan polynomista yhtälö .
Ratkaisukaavan kertoimet?
Ratkaistaan nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.
Nollakohtien merkitys tehtävän kannalta?
c) Osoitetaan, että , jos
ja
ovat polynomin
nollakohdat.
Polynomi aukikirjoitettuna?
Vertaillaan vakiotermejä.
Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.
omaantahtiin.com/pitkamatikka/maa2
Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAA2-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen.
Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
K12/1b, S11/1c, K13/1b, S10/2a, K17/1c, K09/1
Toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
K10/1a, S10/2c, K11/1b, K10/3b, K18/2, S18/1, K19/7
Itseisarvoyhtälö
S12/1b, S11/6b, K17/5a
Yleinen polynomiyhtälö Ja epäyhtälö
S19/5
Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.
matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html
Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt
Lintutorni on 10 metrin korkuinen. Kuinka kauas merelle sieltä voi kirkkaana päivänä nähdä. Maapallon ympärysmitta on noin 40000 km.
Kaksi samankokoista ympyrää, joiden säde on 1, sivuavat toisiaan ja niiden ympärille piirretyn mahdollisimman pienen neliön sivua.
Piirrä kuvio.
Laske neliön sivun pituus.
Teräväkulmaisen kolmion kaksi sivua ovat 11 ja 7 ruudun pituiset, ja jälkimmäisen sivun vastainen kulma on 30 astetta. Laske kolmion
muut kulmat
kolmannen sivun pituus.
Harjoitellaan kevään 2012 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.
Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.
Tehtävänanto
Näytä, että pisteet ,
ja
ovat suorakulmaisen kolmion kärjissä.
Ratkaisu
Koordinaatistoon piirretyt pisteet ,
ja
muodostavat suorakulmaisen kolmion, jos kahden muodostetun, lyhimmän janan pituuksien neliöiden summa on kolmannen, pisimmän sivun neliö.
Lasketaan janan pituus Pythagoraan lauseella.
Janan $AB$ pituus?
Lasketaan janan pituus Pythagoraan lauseella.
Janan $AC$ pituus?
Lasketaan janan pituus Pythagoraan lauseella.
Mikä on pisin sivu?
Tutkitaan vielä Pythagoraan lauseella, muodostavatko janat ,
ja
suorakulmaisen kolmion.
Koska kahden lyhyemmän sivun pituuksien neliöiden summa on pisimmän sivun neliön summa, on janoista muodostuva kolmio suorakulmainen ja pisteet sijaitsevat suorakulmaisen kolmion kärjissä.
Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.
omaantahtiin.com/pitkamatikka/maa3
Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAA3-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen.
Kolmio
K99/3, S99/1, K00/5, S00/4, K04/6, S04/2, S05/2, K06/3, S07/6, K10/3a, K12/3, K16/6-7, S17/5, S18/8, S19/1
Sini- ja kosinilause
S02/6, S06/7, K08/8, K11/7, S12/4b, S13/6, K19/12
Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.
Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt
Vektorit esitetään usein -koordinaatistossa ns.
-muodossa, missä
ja ovat
-tason kantavektorit.
Vektorin suunta on
-akselin positiivinen suunta ja pituus 1.
Vektorin suunta on
-akselin positiivinen suunta ja pituus 1.
Kokeile alla olevan appletin avulla, miten mikä tahansa -tason vektori
voidaan lausua :n ja :n summana.
Huomaa, että GeoGebra ei näytä algebra-ikkunassa summaa, vaan :n ja
:n kertoimet ovat allekkain matriisimuodossa siten, että
:n kerroin on ylempi luku ja
:n kerroin on alempi luku.
Vektorit ovat
Olkoon ,
ja
.
Muodosta vektorin ja
.
Laske niiden erotus ja kaikkien kolmen pituudet.
Muodosta paikkavektori .
Muodosta yksikkövektori .
Laske pistetulo .
Onko piste pisteiden
ja
kautta kulkevalla suoralla?
Suorakulmaisen särmiön sivut ovat pituudeltaan 1 : 2 : 3 suhteessa toisiina. Laske avaruuslävistäjien välinen kulma.
Harjoitellaan kevään 2019 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.
Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.
Tehtävänanto
Määritä sellainen vektori , että
ja
.
Ratkaisu
Lasketaan ensimmäinen pistetulo.
Valitse edellä olevan ensimmäisen pistetulon oikea ratkaisu.
Lasketaan toinen pistetulo.
Valitse edellä olevan toisen pistetulon oikea ratkaisu.
Pistetulot on nyt tehty.
Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälöpari.
\[\begin{cases} a + b &= 2 \\ a - b &= 3 \end{cases}\]Lasketaan puolittain yhteen ja ratkaistaan .
Ratkaistaan .
Kysytty vektori on siis .
Jälkipohdinta
Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.
omaantahtiin.com/pitkamatikka/maa4
Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAA4-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen.
Vektorit i, j ja k sekä pistetulo
K01/3, S02/5, S03/4, K04/4, S04/4, S05/3, S06/4, K08/6, S09/5, K10/5, K11/8, K12/3, K13/2b, S13/3+5, S14/4, K16/3a, K17/3, K18/10, S18/5, K19/2, S19/3
Suora ja taso
S01/7, K07/4, K03/7, K06/6, K09/8, S10/3a, K12/4, K13/7, K14/8, K16/8, S17/11
Yhtälöryhmä
K11/4, S10/4
Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.
Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt
Suora kulkee pisteen kautta ja on kohtisuorassa suoraa
vastaan. Määritä suoran yhtälö.
Millä vakion arvolla yhtälö
esittää ympyrää?
Paraabelin akseli on -akselin suuntainen, ja paraabeli kulkee pisteiden
,
ja