MAA - Pitkän matematiikan kertauskurssi

Tämän TIM-sivuston tarkoituksena on toimia lukion pitkän matematiikan (MAA) pakollisten kurssien kattavana ja riittävänä kertausmateriaalina ja -ympäristönä.

Sivusto ei kuitenkaan ole kurssin keskeisin asia. Uuden oppiminen ja vanhojen tietojen vahvistaminen sen sijaan ovat. Siksi toivomme ja pyydämme, että jokainen sivustoa opiskellut osallistuu kykyjensä mukaan virheiden ja puutteiden ilmoittamiseen. Myös rakentavat kommentit vievät yhteistä oppimisasiaa eteenpäin.

Tekijät

Henri Jaakkola (040 341 6093)

Petri Luoma (040 341 4774)

etunimi.sukunimi(at)gradia.fi

Johdanto

Kurssin materiaali on luotu TASE-hankkeessa avoimeksi ja saavutettavaksi. Sen tarkoituksena on auttaa pitkän matematiikan itsenäiseen kertaukseen. Materiaali on laadittu siten, ettei varsinaista teoriaa ole erikseen luotu, vaan kaikki tarvittava tieto ja hyvän ratkaisun piirteet käyvät ilmi tehdyistä esimerkeistä.

Materiaalin rakenne on sellainen, että jokaisessa luvussa on aluksi H5P-tekniikalla tehtyjä yksinkertaisia pelejä. Tämän jälkeen on videoita esimerkkitehtävistä ratkaisuineen. Luvun lopussa on aina pieniin paloihin järjestetty yo-tehtäväratkaisu sekä linkkejä itsenäiseen itseopiskeluun ja vanhoihin yo-tehtäviin.

TASE-hanke on vuoden 2019 toisen asteen oppimateriaalikustannusten verkostomainen alentamishanke. Yhtenä sen tavoitteen mukaisena pilottina on toteuttaa toimintakokonaisuus, jossa koostetaan mm. digitaalisia oppimateriaaleja. Hanketta rahoittaa Opetushallitus ja sen hallinnoinnista vastaa Turun kaupungin sivistystoimiala.

Lue lisää osoitteessa koulutustakuu.fi/hankkeet/tase.

MAY1 - Luvut ja lukujonot

Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt

reaaliluvut, peruslaskutoimitukset ja prosenttilaskenta
funktio, kuvaajan piirto ja tulkinta
lukujono
rekursiivinen lukujono
aritmeettinen jono ja summa
logaritmi ja potenssi sekä niiden välinen yhteys
muotoa , $x \in \mathbb{N}$ olevien yhtälöiden ratkaiseminen
geometrinen jono ja summa

H5P-peli 1.1

Prosenttikerroinharjoitus

H5P-peli 1.2

Jonojen ja summien laskukaavat

H5P-peli 1.3

Jonot ja summat -harjoitus

H5P-peli 1.4

Sanallisen tehtävän ratkaisuvaiheet

H5P-peli 1.5

Ensimmäisen asteen yhtälönratkaisu

H5P-video 1.6

Makkaran rasvapitoisuus on 36 painoprosenttia. Kuinka monta prosenttia rasvaa makkarasta pitäisi vähentää, jotta makkaran uudeksi rasvaprosentiksi tulee 30 %?

#

Prosenttilaskuja

H5P-video 1.7

Kuutio pienennetään toiseksi kuutioksi niin, että sen kokonaispinta-ala pienenee 36 %. Kuinka monta prosenttia tilavuus pienenee?

#

Muutosprosentti ja -kerroin

H5P-video 1.8

Osoita, että lukujono

a) a_n = 2n - 3 on aritmeettinen

b) $b_n = \frac{3}{2^{n - 1}}$ on geometrinen.

#

Aritmeettinen ja geometrinen jono

H5P-video 1.9

Salissa on istumapaikkoja 1000:lle katsojalle 25 rivissä. Jokaisella rivillä on kaksi paikkaa enemmän kuin edellisellä rivillä. Kuinka monta paikkaa on ensimmäisellä ja viimeisellä rivillä?

#

Aritmeettinen summa

H5P-video 1.10

Tietyn alueen turpeen määrä riittää nykyisellä vuotuisella kulutuksella turvevoimalan käyttöön 60 vuodeksi. Jos kulutus kasvaa 3 % vuodessa, niin miten pitkäksi ajaksi turve riittää?

#

Geometrinen summa

Videoesimerkki 1.1

Kiinan väkiluku kasvaa 0,6 % ja Intian 1,1 % vuodessa. Vuonna 2017 Kiinassa oli 1,386 miljardia asukasta. Intiassa vastaava lukumäärä oli 1,356 miljardia. Ratkaise vuosi, jolloin Intia ohittaa Kiinan, jos kasvu jatkuu samanlaisena.

#

Videoesimerkin 1.1 ratkaisu

Videoesimerkki 1.2

Potilaalle määrätään lääkettä leikkauksen jälkeisenä aamuna 500 mg. Ratkaise kuukaudessa kuluvan lääkkeen kokonaismäärä, kun lääkkeen määrää pienennetään joka aamu

a) 5 mg

b) 2 %.

#

Videoesimerkin 1.2 ratkaisu

Yo-tehtävä 1.1

Harjoitellaan kevään 2003 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.

Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.

Tehtävänanto

Geometrisen jonon kolmen ensimmäisen termin summa on 3 ja kuuden ensimmäisen termin summa 12. Laske yhdeksän ensimmäisen termin summa. Vastaa, suppeneeko vastaava geometrinen sarja.

Ratkaisu

#

Kirjoitetaan kolmen ensimmäisen jäsenen summa ja otetaan yhteinen tekijä.

a + aq + aq^2 = 3

#

Valitse edellä oleva summa yhteisen tekijän avulla kirjoitettuna.

#

Valitse paras tapa kirjoittaa kuuden ensimmäisen jäsenen summa yhteisen tekijän avulla kirjoitettuna.

Edellä kirjoitettu summa voidaan kirjoittaa vielä uudessa muodossa.

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 = 3 + 3q^3 = 12

#

Ratkaistaan .

$\begin{align*} 3q^3 &= 9 \\ q^3 &= 3 \\ q &= \sqrt[3]{3} \end{align*}$

#

Suppeneeko annettu geometrinen sarja?

Kirjoitetaan yhdeksän ensimmäisen jäsenen summa.

S_9 = S_6 + aq^6(1 + q + q^2) = 12 + 3q^6

#

Lasketaan summa.

$S_9 = 12 + 3q^6 = 12 + 3 \cdot (\sqrt[3]{3})^6 = 12 + 3 \cdot 3^2 = 12 + 3^3 = 12 + 27 = 39$

Jälkipohdinta

#

Edellisen tapainen tehtävä voi sähköisissä yo-kokeissa olla A-osassa, joka tehdään ilman teknisiä apuvälineitä. Tässä mielessä tehtäväratkaisun kirjoittamista kannattaa harjoitella koeympäristön vastauskenttää vastaavassa Matikkaeditorissa.

Linkkejä

Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.

omaantahtiin.com/may

matikkamatskut.com/may1

Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAY1-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen. Lukujonoja ja summia ei ole uusissa keskeisissä sisällöissä.

TAU/MAY1

Yo-tehtäviä harjoiteltaviksi

Prosentit

S13/2c, K09/3b, K07/3a, K00/4, S16/1, K02/3, S02/2, K03/5, K04/3, K05/3, K06/4, S06/5, S07/4, K08/4

Geometrinen ja aritmeettinen jono ja summa

K03/12, S03/12, S16/5b, S15/8, S14/8, S16/5a, S19/1

Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.

matemaattinenyhdistys.fi/yo

matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html

MAA2 - Polynomifunktiot ja yhtälöt

Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt

polynomien tulo ja muotoa , $n \leq 3$ , $n \in \mathbb{N}$ olevat binomikaavat
toisen asteen yhtälö ja ratkaisukaava sekä juurten lukumäärän tutkiminen
toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin
polynomifunktio
polynomiyhtälöitä
polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

H5P-peli 2.1

Yhdistä oikea yhtälö

H5P-peli 2.2

Epäyhtälön ratkaisuvaiheet

H5P-peli 2.3

Diskriminantti ja ratkaisujen lukumäärä

Videoesimerkki 2.1

Millä vakion arvolla jakolasku $\dfrac{x^2 + 2x^2 + ax}{x - 3}$ menee tasan? Määritä saadulla vakion arvolla polynomin kaikki nollakohdat. (K80/3)

#

Videoesimerkin 2.1 ratkaisu

Videoesimerkki 2.2

Millä vakion arvolla yhtälöllä x^2 - ax + a = -1 ei ole ratkaisuja?

#

Videoesimerkin 2.2 ratkaisu

Videoesimerkki 2.3

Ratkaise epäyhtälö x - 1 > 2(x - 1)^2 .

#

Videoesimerkin 2.3 ratkaisu

Videoesimerkki 2.4

Olkoon f(x) = -x + 3 ja g(x) = x^2 - x - 5 .

a) Muodosta funktioiden erotus f(x) - g(x) ja tulo $f(x) \cdot g(x)$ .

b) Määritä funktioiden leikkauspisteet sekä piirtämällä että laskemalla.

#

Videoesimerkin 2.4 ratkaisu

Videoesimerkki 2.5

Olkoon $f(x) = 3 - \frac{x}{2}$ .

a) Piirrä funktioiden f(x) ja |f(x)| kuvaajat.

b) Ratkaise yhtälö |f(x)| = 2 ja epäyhtälö |f(x)| < 2 .

#

Videoesimerkin 2.5 ratkaisu

Yo-tehtävä 2.1

Harjoitellaan kevään 2018 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.

Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.

Tehtävänanto

Toisen asteen polynomifunktiolle voidaan käyttää kahta erilaista esitystapaa.

Summamuoto .

Tulomuoto .

a) Muokkaa polynomi summamuotoon.

b) Muokkaa polynomi tulomuotoon.

c) Osoita, että $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ , jos ja ovat polynomin nollakohdat.

Ratkaisu

#

a) Kirjoitetaan polynomi 2(x - 6)(x - 9) summamuotoon.

#

Polynomi summamuodossa?

b) Kirjoitetaan polynomi x^2 + x - 12 tulomuotoon.

Muodostetaan polynomista yhtälö x^2 + x - 12 = 0 .

#

Ratkaisukaavan kertoimet?

Ratkaistaan nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.

$\begin{align*} x^2 + x - 12 &= 0 \\ x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \\ x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \\ x &= \frac{-1 \pm 7}{2} \\ x &= 3 \qquad \text{tai} \qquad x = -4 \end{align*}$

#

Nollakohtien merkitys tehtävän kannalta?

c) Osoitetaan, että $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ , jos x_1 ja x_2 ovat polynomin ax^2 + bx + c nollakohdat.

#

Polynomi aukikirjoitettuna?

Vertaillaan vakiotermejä.

$c = ax_1 x_2 \qquad \text{eli} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

#

Linkkejä

Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.

omaantahtiin.com/pitkamatikka/maa2

matikkamatskut.com/maa2

Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAA2-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen.

TAU/MAA2

Yo-tehtäviä harjoiteltaviksi

Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

K12/1b, S11/1c, K13/1b, S10/2a, K17/1c, K09/1

Toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

K10/1a, S10/2c, K11/1b, K10/3b, K18/2, S18/1, K19/7

Itseisarvoyhtälö

S12/1b, S11/6b, K17/5a

Yleinen polynomiyhtälö Ja epäyhtälö

S19/5

Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.

matemaattinenyhdistys.fi/yo

matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html

MAA3 - Geometria

Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt

kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
sini- ja kosinilause
ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

H5P-peli 3.1

$\begin{tikzpicture}[thick, font=\footnotesize] % HENRI JAAKKOLA % Suorakulmainen kolmio \draw [red] (0,0) -- node [below] {$b$} (4,0) -- node [above] {$c$} (0,3) -- node [left] {$a$} cycle; % Kulmat \draw [thin] (0.35,0) -- ++(0,0.35) -- ++(-0.35,0); \draw [thin] (3.5,0) arc (180:143.130:0.5); \draw [thin] (0,2.5) arc (-90:-36.870:0.5); \node at (3.25,0.2) {$\beta$}; \node at (0.35,2.35) {$\alpha$}; \end{tikzpicture}$

Trigonometriaharjoitus

H5P-peli 3.2

Sini- ja kosinilauseharjoitus

H5P-peli 3.3

Pythagorasharjoitus

Videoesimerkki 3.1

Lintutorni on 10 metrin korkuinen. Kuinka kauas merelle sieltä voi kirkkaana päivänä nähdä. Maapallon ympärysmitta on noin 40000 km.

#

Videoesimerkin 3.1 ratkaisu

Videoesimerkki 3.2

Kaksi samankokoista ympyrää, joiden säde on 1, sivuavat toisiaan ja niiden ympärille piirretyn mahdollisimman pienen neliön sivua.

Piirrä kuvio.
Laske neliön sivun pituus.

#

Videoesimerkin 3.2 ratkaisu

Videoesimerkki 3.3

Teräväkulmaisen kolmion kaksi sivua ovat 11 ja 7 ruudun pituiset, ja jälkimmäisen sivun vastainen kulma on 30 astetta. Laske kolmion

muut kulmat
kolmannen sivun pituus.

#

Videoesimerkin 3.3 ratkaisu

Yo-tehtävä 3.1

Harjoitellaan kevään 2012 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.

Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.

Tehtävänanto

Näytä, että pisteet , ja ovat suorakulmaisen kolmion kärjissä.

Ratkaisu

#

Koordinaatistoon piirretyt pisteet , ja muodostavat suorakulmaisen kolmion, jos kahden muodostetun, lyhimmän janan pituuksien neliöiden summa on kolmannen, pisimmän sivun neliö.

Lasketaan janan pituus Pythagoraan lauseella.

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

#

Janan $AB$ pituus?

Lasketaan janan pituus Pythagoraan lauseella.

#

Janan $AC$ pituus?

Lasketaan janan pituus Pythagoraan lauseella.

$\begin{align*} BC &= \sqrt{(5 - 4)^2 + (7 - 0)^2} \\ BC &= \sqrt{1^2 + 7^2} \\ BC &= \sqrt{50} \end{align*}$

#

Mikä on pisin sivu?

Tutkitaan vielä Pythagoraan lauseella, muodostavatko janat , ja suorakulmaisen kolmion.

$\begin{align*} AB^2 + AC^2 &= BC^2 \\ (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{45})^2 &= (\sqrt{50})^2 \\ 5 + 45 &= 50 \\ 50 &= 50 \end{align*}$

Koska kahden lyhyemmän sivun pituuksien neliöiden summa on pisimmän sivun neliön summa, on janoista muodostuva kolmio suorakulmainen ja pisteet sijaitsevat suorakulmaisen kolmion kärjissä.

#

Linkkejä

Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.

omaantahtiin.com/pitkamatikka/maa3

matikkamatskut.com/maa3

Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAA3-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen.

TAU/MAA3

Yo-tehtäviä harjoiteltaviksi

Kolmio

K99/3, S99/1, K00/5, S00/4, K04/6, S04/2, S05/2, K06/3, S07/6, K10/3a, K12/3, K16/6-7, S17/5, S18/8, S19/1

Sini- ja kosinilause

S02/6, S06/7, K08/8, K11/7, S12/4b, S13/6, K19/12

Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.

matemaattinenyhdistys.fi/yo

matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html

MAA4 - Vektorit

Opetussuunnitelman keskeiset sisällöt

vektoreiden perusominaisuudet
vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla
koordinaatiston vektoreiden skalaaritulo
yhtälöryhmän ratkaiseminen
suorat ja tasot avaruudessa

H5P-peli 4.1

Vektorit esitetään usein (x,y) -koordinaatistossa ns. $(\overline{i},\overline{j})$ -muodossa, missä $\overline{i}$ ja ovat -tason kantavektorit.

Vektorin $\overline{i}$ suunta on -akselin positiivinen suunta ja pituus 1.

Vektorin $\overline{j}$ suunta on -akselin positiivinen suunta ja pituus 1.

Kokeile alla olevan appletin avulla, miten mikä tahansa -tason vektori voidaan lausua :n ja :n summana.

Huomaa, että GeoGebra ei näytä algebra-ikkunassa summaa, vaan $\overline{i}$ :n ja $\overline{j}$ :n kertoimet ovat allekkain matriisimuodossa siten, että $\overline{i}$ :n kerroin on ylempi luku ja $\overline{j}$ :n kerroin on alempi luku.

Tason vektori kantavektoreiden summana

H5P-peli 4.2

Piste-paikkavektori-peli.

H5P-peli 4.3

Vektorit ovat $\begin{align*} \overline{a} &= 2\overline{i} - 3\overline{j} + \overline{k} \\ \overline{b} &= 4\overline{i} + \overline{k} \\ \overline{c} &= 5\overline{k} - \overline{j} \\ \overline{d} &= \overline{i} - 2\overline{j} - 8\overline{k} \end{align*}$

Pistetulopeli.

Videoesimerkki 4.1

Olkoon A = (3,4) , B = (4,0) ja C = (-1;-1,5) .

Muodosta vektorin ja .
Laske niiden erotus ja kaikkien kolmen pituudet.
Muodosta paikkavektori .
Muodosta yksikkövektori .
Laske pistetulo $AB \cdot AC$ .

#

Videoesimerkin 4.1 ratkaisu

Videoesimerkki 4.2

Onko piste C = (-9,-21,26) pisteiden A = (3,3,2) ja B = (4,5,0) kautta kulkevalla suoralla?

#

Videoesimerkin 4.2 ratkaisu - osa 1

Videoesimerkin 4.2 ratkaisu - osa 2

Videoesimerkki 4.3

Suorakulmaisen särmiön sivut ovat pituudeltaan 1 : 2 : 3 suhteessa toisiina. Laske avaruuslävistäjien välinen kulma.

Pistetulo ja ijk-vektorit

Yo-tehtävä 4.1

Harjoitellaan kevään 2019 yo-koetehtävän ratkaisu ilman teknisiä apuvälineitä.

Tehtäväratkaisu antaa valmiuksia matematiikan yo-kokeen A-osaan, jossa ei ole käytössä teknisiä apuvälineitä.

Tehtävänanto

Määritä sellainen vektori $\overline{c} = a\overline{i} + b\overline{j}$ , että $\overline{c} \cdot (\overline{i} + \overline{j}) = 2$ ja $\overline{c} \cdot (\overline{i} - \overline{j}) = 3$ .

Ratkaisu

#

Lasketaan ensimmäinen pistetulo.

$\overline{c} \cdot (\overline{i} + \overline{j}) = (a\overline{i} + b\overline{j}) \cdot (\overline{i} + \overline{j})$

#

Valitse edellä olevan ensimmäisen pistetulon oikea ratkaisu.

Lasketaan toinen pistetulo.

$\overline{c} \cdot (\overline{i} - \overline{j}) = (a\overline{i} + b\overline{j}) \cdot (\overline{i} - \overline{j})$

#

Valitse edellä olevan toisen pistetulon oikea ratkaisu.

Pistetulot on nyt tehty.

#

Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälöpari.

\[\begin{cases} a + b &= 2 \\ a - b &= 3 \end{cases}\]

#

Lasketaan puolittain yhteen ja ratkaistaan .

$\begin{align*} 2a &= 5 \\ a &= \frac{5}{2} \end{align*}$

Ratkaistaan $b = 2 - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{2}$ .

#

Kysytty vektori on siis $\overline{c} = \dfrac{5}{2}\overline{i} - \dfrac{1}{2}\overline{j}$ .

Jälkipohdinta

#

Linkkejä

Vahvista keskeisten sisältöjen osaamistasi.

omaantahtiin.com/pitkamatikka/maa4

matikkamatskut.com/maa4

Tampereen yliopisto (TAU) on tehnyt LOPS2021-sisältöisen pitkän matematiikan kertauskurssin. Osaamistaan voi lisätä ja nykyisiä MAA4-sisältöjä peilata tehtyyn toteutukseen.

TAU/MAA4

Yo-tehtäviä harjoiteltaviksi

Vektorit i, j ja k sekä pistetulo

K01/3, S02/5, S03/4, K04/4, S04/4, S05/3, S06/4, K08/6, S09/5, K10/5, K11/8, K12/3, K13/2b, S13/3+5, S14/4, K16/3a, K17/3, K18/10, S18/5, K19/2, S19/3

Suora ja taso

S01/7, K07/4, K03/7, K06/6, K09/8, S10/3a, K12/4, K13/7, K14/8, K16/8, S17/11

Yhtälöryhmä

K11/4, S10/4

Voit etsiä edellä listattuja ja paljon muita yo-tehtäviä alla olevista linkeistä.

matemaattinenyhdistys.fi/yo

matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html