1. Peruskoulun matematiikan kertauskurssi

1.1 Johdanto

1.2 Luvut ja laskutoimitukset

1.2.1 Erilaisia lukuja

Luvut ovat aikoinaan keksitty kuvaamaan esimerkiksi kappalemäärää. Tällaisia lukuja kutsutaan nykyään positiivisiksi kokonaisluvuiksi. Negatiivisille luvuille tuli tarvetta kaupankäynnin yleistyessä voidaksemme kuvata kauppavelkoja. Luku nolla puolestaan on suhteellisen tuore keksintö, siitä huolimatta, että ihmiset ovat ymmärtäneet jo kauan, että jotakin ei välttämättä ole yhtään. Vaikka nolla ilmaisee määrän ”ei mitään”, on sen mukaanotto kymmenjärjestelmään vaikuttanut merkittävästi suuruusluokkien kuvaamiseen ja laskutoimitusten sujuvuuteen.

Tuttu esimerkki negatiivisten lukujen käytöstä on Celsius-lämpömittarin asteikko, jossa miinusmerkkiä käytetään 0 ˚C alhaisempien lämpötilojen kuvaamiseen. Negatiivisilla luvuilla on siis mahdollista kuvata myös joitakin käytännön tilanteita. On hyvä ymmärtää, ettei celsiusasteikon ”nolla” ja ”ei mitään” ole synonyymeja.

Nykyiseen tapaan nollaa ryhtyivät käyttämään vuoden 600 eKr. paikkeilla intialaiset matemaatikot, jotka myös keksivät sille laskusäännöt: nollalla kertominen antaa aina tulokseksi nollan. Nollan lisääminen tai vähentäminen ei kasvata tai pienennä lukua. He totesivat myös, ettei nollalla jakaminen anna järkevää tulosta. Vielä nykyäänkin nollalla jakaminen on matematiikassa kiellettyä.

Kokonaisluvut riittävät niin kauan kuin on kyse lukumäärien laskemisesta. Ruokapalkan maksaminen vaati leivän osien käyttöönoton. Tarvittiin keino kuvata puolikkaita ja muita osia. Näitä lukuja kutsutaan rationaaliluvuiksi. Ne voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna. Käsitteen alkuosa "rationaali" on peräisin latinan sanasta ratio, joka tarkoittaa osamäärää. Myös jokainen päättyvä tai päättymätön jaksollinen desimaaliluku on rationaaliluku, koska se voidaan merkitä murtolukumuodossa.

Kymmenjärjestelmän uskotaan olevan lähtöisin ihmisen tavasta laskea sormilla. Kymmenjärjestelmän perusnumerot ovat 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Näiden avulla voidaan merkitä mikä luku tahansa. Kymmenjärjestelmässä käytetään paikkamerkintää, jossa numeron arvo on sijainnin mukaan oikealta vasemmalle lukien: ykköset, kymmenet, sadat, tuhannet jne. Viereinen paikka vasemmalla on aina kymmenen kertaa suurempi ja oikealla kymmenesosa. Sama sääntö pätee myös ykkösiä pienemmille luvuille. Desimaalipilkun jälkeen paikkajärjestelmä kuvaa vasemmalta oikealle: kymmenesosat, sadasosat, tuhannesosat jne.

Kymmenjärjestelmää kuvattaessa on kätevä käyttää käsitettä potenssi. Potenssi tarkoittaa tilannetta, jossa kantalukua kerrotaan itsellään eksponentin osoittama määrä. Potenssimerkintää käytetään siis tulosta, jossa kaikki tulon tekijät ovat samoja.

Lukujen joukkoa laajennettiin vielä ottamalla käyttöön päättymättömiä desimaalilukuja, esimerkiksi π, joita nykyään kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Niitä ei siis voida kuvata tarkasti muuten kuin symbolin avulla. Havaittiin myös, että lukuja on loputtomasti: kuinka suuria tai pieniä tahansa. Oivallettiin myös, ettei lukujärjestelmässämme ole ylärajaa. Äärettömyys, merkitään ∞, ei kuitenkaan nollan tavoin ole luku. Keksitäänpä kuinka suuri luku tahansa, voidaan se aina kertoa sadalla tai tuhannella, jolloin saadaan entistä suurempi luku, joka voidaan taas kertoa sadalla tai tuhannella. Äärettömyyttä ei siis koskaan voida saavuttaa.

1.2.2 Lukuihin liittyviä käsitteitä

• Vastaluku: Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden etäisyys lukusuoralla nollasta on yhtä suuri. Luvun a vastaluku on –a ja toisin päin.
• Itseisarvo: Itseisarvolla kuvataan lukusuoralla olevan luvun etäisyyttä nollasta. Positiivisen luvun itseisarvo on siis luku itse. Negatiivisen luvun itseisarvo on sen vastaluku.
• Käänteisluku: Kaksi lukua ovat toistensa käänteislukuja, jos niiden tulo on yksi. Esimerkiksi luvun käänteisluku on . Luvun käänteisluku on .
• Sekaluku: Sekaluvuksi kutsutaan lukua, joka muodostuu kokonaisosasta ja murto-osasta.
• Jaollisuus: Kokonaisluku on jaollinen toisella kokonaisluvulla, jos jako menee tasan eli jakojäännökseksi jää nolla.
• Alkuluku: Positiivista kokonaislukua kutsutaan alkuluvuksi, jos se on jaollinen vain ykkösellä ja itsellään.
• Tekijöihin jako: Kun luku voidaan esittää kahden tai useamman luvun tulona, sanotaan, että luku jaetaan tekijöihin. Jos tulon tekijät ovat alkulukuja, sanotaan niitä alkutekijöiksi.
• Merkitsevät numerot: Yleisesti merkitsevillä numeroilla tarkoitetaan kaikkia luvussa olevia numeroita paitsi alla mainittuja nollia. Enemmän pohdintaa merkitsevistä numeroista löytyy Solmun artikkelista.
  • Desimaaliluvun alussa: 0,003 (yksi merkitsevä numero) ja 0,000010 (kaksi merkitsevää numeroa).
    
  • Kokonaisluvun lopussa: 1200 (kaksi merkitsevää numeroa). Huomaa kuitenkin, että mikäli 1199,9 pyöristetään kolmen merkitsevän numeron tarkuudella saadaan luku 1200.
• Pyöristäminen: Kun jako ei mene tasan tai laskussa ei ole mahdollista käyttää tarkkoja arvoja, pitää vastaus pyöristää. Pyöristystarkkuutta voidaan kuvata merkitsevien numeroiden tarkkuutta, desimaalien määrää tai tietyn yksikön tarkkuutta.
• Etuliitteet: Kun kuvataan jonkin mitattavan ominaisuuden suuruutta, käytetään mittaluvun perässä mittayksikköä. Perusyksikön edessä voi olla kerrannaisuutta tai osia kuvaavia etuliitteitä, kuten kilo, desi, sentti tai milli. Etuliitteitä on käsitelty tarkemmin yksikkömuunnoksia esittelevässä osassa.

1.2.3 Peruslaskutoimitukset:

• Yhteenlasku: yhteenlaskettava + yhteenlaskettava = summa
• Vähennyslasku: vähenevä - vähentäjä = erotus
• Kertolasku: kertoja x kerrottava = tulo
• Jakolasku: jaettava : jakaja = osamäärä

Laskujärjestyksestä on tehty sopimus:

1) Potenssit

2) Sulkeiden sisällä olevat laskutoimitukset, sisimmistä sulkeista alkaen

3) Kerto- ja jakolasku vasemmalta oikealta

4) Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle Myös sulkujen sisällä noudatetaan laskujärjestystä.

1.2.4 Laskulakeja

Supistaminen: Toimenpiteen tarkoitus on muuttaa murtoluku yksinkertaisempaan muotoon. Siinä murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla, jolloin murtoluvun arvo ei muutu. Supistettaessa pyritään etsimään osoittajan ja nimittäjän suurin yhteinen tekijä eli suurin luku, jolla osoittaja ja nimittäjä on jaollinen. Supistaminen voidaan tehdä useamman kerran peräkkäin, mikäli suurinta yhteistä tekijää ei heti löydy.

Laventaminen: Laventaminen tarkoittaa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän kertomista samalla positiivisella luvulla. Lavennetun murtoluvun osamäärän arvo ei muutu. Lavennettu murtoluku voidaan palauttaa entiseen muotoonsa supistamalla

1.3 Polynomit

1.4 Yhtälöt

1.5 Prosentit

1.5.1 Ennakkokäsitys

Merkitse rasti (x) osaamistasi parhaiten kuvaavaan kohtaan.

1.5.2 Teoria

1.5.3 Tehtävät

1.5.3.1 Tehtävä

Täydennä taulukko kirjoittamalla annettu luku otsikoiden mukaisesti kaikissa kolmessa muodossa. Taulukkotehtävissä ei ole automaattitarkistusta.

Ilmoita vastaus kaikissa tehtävissä ilman prosenttimerkkiä ja käytä pistettä . desimaalipilkkuna tarvittaessa.

1.5.3.2 Tehtäviä

1. Montako prosenttia euroa on eurosta?
2. Montako prosenttia 85 g on 575 grammasta? Ilmoita vastaus prosentin tarkkuudella.
3. Montako prosenttia luku 650 m on 750 metristä? Ilmoita vastaus prosentin tarkkuudella.
4. Montako prosenttia 25 g on 1,7 kilogrammasta? Ilmoita vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.
5. Montako prosenttia on neliömetristä?
6. Montako prosenttia 7,5 dl on 7,5 litrasta?
7. Montako prosenttia 17 s on yhdestä minuutista? Ilmoita vastaus prosentin tarkkuudella
8. Montako prosenttia 15 min on kahdesta tunnista? Ilmoita prosentin kymmenesosan tarkkuudella.
9. Laske 68 % osuus 900 grammasta.
10. Paljonko on 25 % 150 grammasta? Ilmoita vastaus gramman tarkkuudella
11. Paljonko on 35 % 400 eurosta?
12. Laske 37 % osuus 17 kilogrammasta. Ilmoita vastaus kilogramman kymmenesosan tarkkuudella.
13. Laske 7 % osuus 42 000 eurosta.
14. Laske 2,5 % osuus 1500 eurosta.
15. Laske 1,25 % osuus 12 000 litrasta.

1.5.3.3 Tehtävä

Ilmoita vastaus seuraavissa tehtävissä ilman yksiköitä.

1.5.3.4 Tehtävä

1.5.3.5 Tehtävä

1.5.3.6 Tehtävä

1.5.3.7 Tehtävä

1.5.3.8 Tehtävä

1.5.3.9 Tehtävä

1.5.3.10 Tehtävä

Tilanteita, joissa prosenttilaskentaa sovelletaan:

1. Alennusmyynnissä on ihanat 80 € kengät 40 % alennuksella. Paljonko kengät maksavat?

• Maksettavaksesi jää 60 % osuus: 100 % - 40 % = 60 %
• Muuta prosenttiosuus kertoimeksi: 60 % = 0,6
• Kerro alkuperäisellä hinnalla: 0,6 · 80 € = 48 €

2. Saat kuukaudessa 1 400 € palkkaa. Veroprosenttisi on 19 %. Paljonko sinulle jää verojen jälkeen rahaa käteen?

• Palkan osuus: 100 % - 19 % = 81 %
• Kerroin: 81 % = 0,81
• Kertolasku:0,81 · 1 400 € = 1 134 €

3. Asut vuokralla ja vuokrasi on 300 €. Vuokraisäntäsi ilmoittaa korottavansa vuokraasi 5 %. Kuinka suuri on uusi vuokrasi?

• Vuokran korotus 5 %: 100 % + 5 % = 105 %
• Kerroin: 105 % = 1,05
• Kertolasku:1,05 · 300 € = 315 €

4. Vuokraisäntäsi ilmoittaa, että vuokrasi nousee 300 eurosta 350 euroon. Kuinka monta prosenttia vuokra nousee?

• Laske ensin korotus euroina: 350 € - 300 € = 50 €
• Vertaa erotusta alkuperäiseen (osamäärän nimittäjä!) vuokraan jakolaskulla:

50 € / 300 € = 0,1666666 = 16,7 %

5. Arpajaisissa tehtiin 120 voittoarpaa. Kuinka monta tyhjää arpaa pitää tehdä, jotta voittoarpojen osuus olisi 40 %?

• Merkitse arpojen määrää X:llä ja kerro se prosenttikertoimella, tuloksena on voittoarpojen määrä:
• Saat muodostettua yhtälön: 0,4 · X = 120
• Jaa yhtälön molemmat puolet X:n kertoimella: X = 120 / 0,4 = 300

Ilmoita rahaan liittyvissä tehtävissä vastaus sentin tarkkuudella! Desimaalierottimena käytetään näissäkin pistettä, sillä MathCheck ei tunnista pilkkua. Ei kannata ihmetellä, jos kone ilmoittaa omituisia, vaikka vastaisitkin oikein. Kunhan tulee teksti "Hienoa!", niin tiedät, että oikein meni.

1.5.3.11 Tehtävä

1.5.3.12 Tehtävä

Talletukselle maksetaan 1,5 % korko. Paljonko korkoa saa korkoa

1.5.3.13 Tehtävä

Oppilaskuntavaaleissa Matti sai 143 ääntä, Maija 178 ääntä, Antti 76 ääntä ja Milla 65 ääntä.

a) Laske kunkin äänimäärä prosentteina.

1.5.3.14 Tehtävä

1.5.3.15 Tehtävä

1.5.3.16 Tehtävä

1.5.3.17 Tehtävä

1.5.4 Itsearviointi

1.5.5 Lisätehtäviä ja teoriaa löytyy lukion MAY1 -sivustolta

Teoria

Tehtäviä

1.6 Yksikkömuunnokset

1.6.1 Ennakkokäsitys

Merkitse rasti (x) osaamistasi parhaiten kuvaavaan kohtaan.

1.6.2 Teoria

SI-järjestelmän suureista ja niiden yksiköistä

Perussuureita ovat luonnossa olevien kappaleiden, hiukkasten ja ilmiöiden ominaisuuksia, joiden määrä tai suuruus voidaan mitata. Perussuureita on tällä hetkellä määritelty seitsemän:

pituus: yksikkö metri, yksikön lyhenne m

massa: yksikkö kilogramma, yksikön lyhenne kg

aika: yksikkö sekunti, yksikön lyhenne s

sähkövirta: yksikkö ampeeri, yksikön lyhenne A

termodynaaminen lämpötila: yksikkö kelvin, yksikön lyhenne K

ainemäärä: yksikkö mooli, yksikön lyhenne mol

valovoima: yksikkö kandela, yksikön lyhenne cd

Muut suureet, joita kutsutaan johdannaissuureiksi, saadaan laskettua mitattujen suureiden avulla. Ominaisuus voidaan määritellä suureeksi, jos sille voidaan määrittää mittayksikkö, johon mittatulosta verrataan, käytetään vertailuarvona. Yksikön avulla ominaisuuden määrä, suuruus tai voimakkuus voidaan ilmaista suureen arvona, joka merkitään lukuarvon ja yksikön yhdistelmänä.

SI-järjestelmän etuliitteet

Perusyksiköille käytetään SI-etuliitteitä kuvaamaan ominaisuuden suuruutta tai pienuutta. Etuliite merkitsee yksikön kertomista tietyillä kymmenen kerrannaisilla tai sen osilla. Etuliite merkitsee myös yksikön kertomista tietyllä kymmenen potenssilla, joita kutsutaan kerrannais- tai alikerrannaisyksiköiksi sen mukaan, onko kantaluvun kymmenen eksponentti positiivinen vai negatiivinen.

Etuliitteet

Etuliitteitä käytetään yksiköiden edessä kuvaamaan pieniä ja suuria mittatuloksia, jotta niiden lukuarvot pysyisivät 0,1 ja 1000 välissä, esim. näkyvän valon aallonpituus on 380 -760 nm. Etuliite nano- tarkoittaa miljardisosaa perusyksiköstä eli metristä. Toisaalta etuliite mega- tarkoittaa miljoonaa, esim. ydinvoimalan teho saattaa olla miljoonia watteja eli megawatteja.

SI-opas on nyt ladattavissa osoitteesta:

Tiesitkö, että...

Tietotekniikassa käytetään myös etuliitteitä kilo, mega ja giga kuvaamaan noin tuhatta, miljoonaa ja miljardia bittiä eli tavua. Nämä etuliitteet eivät kuitenkaan tarkoita aivan samaa kuin kymmenjärjestelmän etuliitteet, koska bitit esiintyvät kaksijärjestelmässä:

kilo on noin tuhat, koska 2¹⁰ = 1024,

mega on noin miljoona, koska 2²⁰ = 1 048 576 ja

giga on noin miljardi 2³⁰ = 1 073 741 824

1.6.3 Lähtötasotesti

Testaa taitosi...

Yksikkömuunnoksia: pituus

Tehtävä 1:

Täydennä taulukko tekemällä yksikkömuunnos siten, että yhdellä rivillä pituus säilyy aina yhtä suurena.

Muistathan...

Milli on perusyksikön tuhannesosa ja kilo tuhat kertainen. Suhdeluku siis kaikissa yksikkömuunnoksissa 1 000.

Kun yksikkö kasvaa, luku pienenee. Luku jaetaan tuhannella, jolloin pilkku siirtyy kolmella vasemmalle. Poista ylimääriset nollat.
Kun yksikkö pienenee, luku kasvaa. Kerro luku tuhannella ja siirrä pilkkua kolmella oikealle. Lisää tarvittava määrä nollia.

Yksikkömuunnoksia: massa

Tehtävä 2:

Täydennä taulukko tekemällä yksikkömuunnos siten, että yhdellä rivillä suuruus säilyy.

Kun yksikkö pienenee, mittaluku kasvaa.

Luku kerrotaan tuhannella, jolloin pilkkua siirretään kolmella oikealle.

Kun yksikkö kasvaa, luku pienenee.

Luku siis jaetaan tuhannella, jolloin pilkku siirtyy kolmella vasemmalle.

Yksikkömuunnoksia, pinta-ala

Pinta-alan yksikkömuunnoksia tehtäessä, on hyvä muistaa, että sekä pituus että leveys on kymmenkertaistunut. Tällöin yksikkömuunnosta tehtäessä suhdeluku on 100. Kun yksikkö suurenee, mittaluku pienenee ja vastaavasti yksikön pienentyessä, mittaluku kasvaa.

Tehtävä 3: Pienet pinta-alayksiköt

Täydennä taulukko tekemällä yksikkömuunnos siten, että yhdellä rivillä suuruus säilyy.

Tehtävä 4: Suuret pinta-alayksiköt

Täydennä taulukko tekemällä yksikkömuunnos siten, että yhdellä rivillä suuruus säilyy.

Tilavuus- ja vetomitat

Kuutiometri, kuutiodesimetri ja kuutiosenttimetri ovat tilavuusmittoja.
Litra, desilitra, senttilitra ja millilitra ovat vetomittoja.

Näiden mittojen välillä on yhteys:

• yksi kuutiodesimetri vastaa tilavuudeltaan yhtä litraa: 1 dm³ = 1 l

• yksi kuutiosenttimetri vastaa tilavuudeltaan yhtä millilitraa: 1 cm³ = 1 dl.

Yksiköillä on myös lyhenteet, jotka näkyvät alla olevissa taulukoissa.

Tehtävä 5: Täytä taulukosta puuttuvat yksikkömuunnokset, käytä apunasi jo taulukkoon merkittyjä yksiköitä.

Vetomitat: suhdeluku 10

Tehtävä 6: Täytä taulukosta puuttuvat yksikkömuunnokset, käytä apunasi jo taulukkoon merkittyjä yksiköitä.

Tilavuusmitat: suhdeluku 1000

Tehtävä 7: Täytä taulukosta puuttuvat yksikkömuunnokset.

Tilavuus- ja vetomitat yhdessä:

Yksikkömuunnoksia, aika:

Yksiköt: sekunti, minuutti ja tunti, suhdeluku 60

Kun yksikkö kasvaa, luku pienenee. Luku jaetaan silloin 60:llä. Muunnos voidaan tehdä laskimella.
Kun yksikkö pienenee, luku kasvaa. Silloin alkuperäinen luku kerrotaan 60-llä. Muunnos tehdään laskimella.

Tehtävä 7: Täydennä taulukkoon siitä puuttuvat yksikkömuunnokset.

Tehtävä 8: Täydennä taulukkoon siitä puuttuvat yksikkömuunnokset.

Muunna annettuun yksikköön

Tehtävä 9: Pituus

Tehtävä 10: Pituus

Tehtävä 11: Massa

Tehtävä 12: Aika:

1.6.4 Itsearviointi

Merkitse rasti (x) osaamistasi parhaiten kuvaavaan kohtaan.

1.6.5 Tehtävät

1.7 Murtoluvut ja murtolausekkeet

1.8 Funktiot

Teoria

Tehtäviä

1.9 Potenssit

Teoria

Tehtäviä