Integrointityökalut

Eli

työkaluja integroimiseen
työkaluja joihin tarvitaan integrointia.

# muuttujanvaihto

Integraalin sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto

Muuttujanvaihdossa (change of variables) on kaksi tapausta

Tapaus 1

$\mintegral{ f(\blue g(x))\cdot \blue g'(x)}{x}{a}{b}=\mintegral{f(\red t)}{\red t}{\blue g(a)}{\blue g(b)}.$

Muistisääntö: Merkitään $\blue g(x)=\red t,$ jolloin $\blue g'(x)=\dfrac{\text d \blue g}{\text dx}=\dfrac{\text d \red t}{\dx},$ joten

$"\blue g'(x)\,\dx=\text d\red t".$

(Vertaa muistisääntöä differentiaaleihin.)

Tapaus 2

Oletetaan, että $\blue g'(x)\neq0$ kaikilla välillä [a,b].

$\mintegral{f(\blue g(x))}{x}{a}{b}=\mintegral{f(\red t)\cdot (\blue g^{-1})'(\red t)}{\red t}{\blue g(a)}{\blue g(b)},$ missä $\blue g^{-1}$ on funktion $\blue g$ käänteisfunktio ja $(\blue g^{-1})'$ sen derivaatta.

Muistisääntö: Merkitään $\blue g(x)=\red t,$ jolloin $x=\blue g^{-1}(\red t)$ . Nyt $\dfrac{\dx}{\text d\red t}=(\blue g^{-1})'(\red t),$ joten

$"\dx=(\blue g^{-1})'(\red t)\,\text d\red t".$

Määräämättömälle integraalille eli integraalille ilman integrointirajoja muuttujanvaihto toimii myös. Tällöin integroinnista saatavaan vastaukseen pitää tehdä takaisinsijoitus, jotta vastaus olisi saman muuttujan suhteen kuin alkuperäinen integroitava funktio.

Esimerkkejä muuttujanvaihdoista

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Sijoitusmenetelmä/Muuttujanvaihto: Laske integraali $\mintegral{\frac{e^{1/x}}{x^2}}{x}{1}{4}.$

Aluksi täytyy päätellä, kumpi tapaus integraaliin puree. Huomataan, että

$D\left(\frac{1}{x}\right)=D\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=\frac{-1}{x^2}$

derivaatan laskusääntöjen nojalla. Lisäksi

$\mintegral{\frac{e^{1/x}}{x^2}}{x}{1}{4}=-\mintegral{-\frac{e^{1/x}}{x^2}}{x}{1}{4},$

joten integraali on sama kuin tapauksessa 1, eli f(x)=e^x ja $g(x)=\dfrac{1}{x}.$

Lasketaan integraali käyttäen sijoitusta $t=\dfrac{1}{x},$ jolloin $\red{dt}=g'(x)\,dx=\red{\frac{-1}{x^2}\,dx}.$ Tämä on "valmiina" integraalissa, joten integraali saadaan muotoon

$\begin{aligned} \mintegral{\frac{e^{1/x}}{x^2}}{x}{1}{4}&=-\int_1^4e^{1/x}\red{\frac{-1}{x^2}}\,\red{\dx}\\ &=-\int_{g(1)}^{g(4)}e^{t}\,\red{\dt}\\ &=-\int_{1}^{1/4}e^{t}\,\dt&&\Big|\int_a^bf=-\int_b^af\\ &=\int_{1/4}^1 e^{t}\,\dt&&\Big|\int e^x=e^x\\ &=e-e^{1/4}. \end{aligned}$

Sijoitusmenetelmä/Muuttujanvaihto: Laske integraali $\mintegral{\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}}{x}{0}{1}.$

Tunnistetaan kumpaa tapausta integraali on. Näyttäisi siltä, että $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ ja $g(x)=1+\sqrt{x},$ mutta funktion derivaattaa ei ole näkyvissä, joten integraali on tapauksen 2 muotoa. Muodostetaan siis seuraavaksi funktion käänteisfunktio. Ratkaistaan yhtälöstä $\begin{aligned} 1+\sqrt{y}&=x&&\Big|-1\\ \sqrt{y}&=x-1&&\Big|\phantom{x}^2\\ y&=(x-1)^2. \end{aligned}$ Käänteisfunktio on siten $g^{-1}(x)=(x-1)^2$ ja $D\left(g^{-1}(t)\right)=D\left((t-1)^2)\right)=2(t-1).$ Saadaan siis $"\blue{dx}=(g^{-1})'(t)\,dt=\blue{2(t-1)\,dt}",$ jolloin integraalista tulee $\begin{aligned} \int_0^1\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}\,\blue{\dx}&=\int_{g(0)}^{g(1)}\frac{1}{t^2}\blue{2(t-1)\,\dt}\\ &=\int_1^2\frac{2(t-1)}{t^2}\,\dt&&\Big|\int(f+g)=\int f+\int g\\ &=\int_1^2\frac{2t}{t^2}\,\dt+\int_1^2\frac{-2}{t^2}\,\dt\\ &=2\int_1^2\frac{1}{t}\,\dt-2\int_1^2t^{-2}\,\dt&&\Big|\,\text{potenssin integrointi}\\ &=2\intsub{1}{2}\ln(t)-2\intsub{1}{2}\frac{-1}{t}\\ &=2(\ln(2)-\ln(1))-2\left(\frac{-1}{2}+1\right)\\ &=2\cdot\ln(2)-1\\ &=\ln(4)-1. \end{aligned}$

# osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointikaava määräämättömälle integraalille on $\dint \green f'(x)\cdot \blue g(x)\,\dx=\green f(x)\cdot \blue g(x)-\dint \green f(x)\cdot \blue g'(x)\,\dx+\red C.$

Osittaisintegrointikaava määrätylle integraalille on $\dint_a^b \green f'(x)\cdot \blue g(x)\,\dx=\intsub{a}{b}\green f(x)\cdot \blue g(x)-\dint_a^b \green f(x)\cdot \blue g'(x)\,\dx.$

Osittaisintegroinnin resepti:

Valitse $\green f'(x)$ ja $\blue g(x)$ käsiteltävästä integraalista (kaavan vasen puoli).
Määritä $\green f(x)$ integroimalla ja $\blue g'(x)$ derivoimalla.
Sijoita nämä kaavaan (oikealle puolelle).

Esimerkkejä osittaisintegroinnista

Määrätty integraali, osittaisintegrointi: Määritä $\mintegral{e^xx}{x}{1}{2}$ .

Tämä määrätty integraali on helpoin laskea osittaisintegroimalla.

Lyhyesti:

Osittaisintegroidaan: $\begin{align*} \mintegral{e^xx}{x}{1}{2}&=\intsub{1}{2}e^xx-\mintegral{e^x\cdot 1}{x}{1}{2}\\ &=2e^2-e-\intsub{1}{2}e^x\\ &=2e^2-e-e^2+e\\ &=e^2 \end{align*}$

Pitkästi:

Osittaisintegrointikaavassa esiintyvien funktioiden ja valinta on tärkeässä osassa integraalin laskemisessa, sillä "väärällä" valinnalla integraalista tulee vain vaikeampi (ks. alla). Valitaan $\red{f'(x)=e^x},\quad \blue{g(x)=x},$ jolloin $\green{f(x)=e^x},\quad g'(x)=1.$ Näillä valinnoilla integraali saadaan muotoon $\begin{align*} \mintegral{\red{f'(x)}\blue{g(x)}}{x}{1}{2}&=\mintegral{\red{e^x}\blue{x}}{x}{1}{2}&&\Big|\,\text{osittaisintegrointi}\\ &=\intsub{1}{2}\green{e^x}\blue{x}-\mintegral{\green{e^x}\cdot 1}{x}{1}{2}&&\Big|\,\small\int_a^b \red{f'}\blue{g} = \intsub{a}{b}\green{f}\blue{g}-\int_a^b\green{f}g'\\ &=2e^2-e-\intsub{1}{2}e^x\\ &=2e^2-e-e^2+e\\ &=e^2. \end{align*}$

Varoittava esimerkki osittaisintegroinnista:

Jos tässä esimerkissä valitsee funktiot ja toisinpäin, eli $f'(x)=x,\quad g(x)=e^x,$ niin osittaisintegrointi ei auta ensimmäisen kerran jälkeen: $\begin{align*} \mintegral{e^xx}{x}{1}{2}&=\intsub{1}{2}\frac{1}{2}x^2e^x-\mintegral{\frac{1}{2}x^2e^x}{x}{1}{2}. \end{align*}$ Jälkimmäinen integraali on selvästi hankalampi kuin alkuperäinen. On tilanteita, joissa uusi osittaisintegroiminen auttaa, mutta tämä ei selvästi ole sellainen.

Määräämätön integraali, osittaisintegrointi: Määritä $\dint x^2\sin x \, \dx.$

Määritetään integraali käyttämällä osittaisintegrointikaavaa

$\dint f'(x)\cdot g(x)\,\dx=f(x)\cdot g(x)-\dint f(x)\cdot g'(x)\,\dx$

Tehdään seuraavat valinnat kaavaan:

Integraali	Kaavassa	Havainto	Seuraus
$\dint \red{x^2}\blue{\sin x} \, \dx$	$\dint \blue{f'(x)}\cdot \red {g(x)}\,\dx$	$\blue{f'(x)} = \sin x$ $\red{g(x)} = x^2$	$f(x) = -\cos x$

Sijoitetaan valinnat kaavaan: $\dint f'(x)\cdot g(x)\,\dx=f(x)\cdot g(x)-\dint f(x)\cdot g'(x)\,\dx$ $\begin{aligned} \dint {x^2}{\sin x} \, \dx &= -x^2 \cos x - \dint -2x \cos x \, \dx\\ &= -x^2 \cos x +2\dint x \cos x \, \dx \end{aligned}$

Havaitaan, että jäljelle jäänyt integraali $\dint x \cos x \, \dx$ vaatii edelleen osittaisintegrointia. Tehdään seuraavat valinnat osittaisintegroinnin kaavaan:

Integraali	Kaavassa	Havainto	Seuraus
$\dint \red{x}\, \blue{\cos x} \, \dx$	$\dint\blue{f'(x)}\cdot \red {g(x)}\,\dx$	$\blue{f'(x)} = \cos x$ $\red{g(x)} = x$	$f(x) = \sin x$

Sijoitetaan valinnat kaavaan: $\begin{aligned} \dint x \cos x \, \dx &= x\sin x - \dint 1\cdot \sin x\, \dx\\ &= x\sin x + \cos x + C \end{aligned}$

Sijoitetaan saatu integraali alkuperäiseen integraalin lausekkeeseen: $\begin{aligned} \dint {x^2}{\sin x} \, \dx &= -x^2 \cos x +2\dint x \cos x \, \dx \\ &= -x^2 \cos x +2(x\sin x + \cos x + C) \\ &= -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + 2C \\ &= 2x\sin x + (2-x^2)\cos x + D &&\Big| D = 2C,\text{ vakio } \end{aligned}$

# epäoleellinen-integraali

Epäoleellinen integraali

Epäoleellinen integraali (improper integral) määritellään raja-arvon avulla:

$\dint_a^{\infty} f(x)\,\dx=\lim_{c\to\infty}\dint_a^c f(x)\,\dx$ ja vastaavasti $\dint_{-\infty}^a f(x)\,\dx=\lim_{c\to-\infty}\dint_c^a f(x)\,\dx.$ Epäoleellisten integraalien laskemiseen voidaan käyttää määrätyn integraalin ja raja-arvon laskusääntöjä.

Epäoleellinen integraali $\dint_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\dx$ sovitaan laskettavaksi kahtena integraalina: $\dint_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\dx = \mintegral{f(x)}{x}{0}{\infty} + \mintegral{f(x)}{x}{-\infty}{0}.$

Epäoleellisten integraalien arvoja löytyy esimerkiksi wikipediasta.

Esimerkkejä epäoleellisista integraaleista ja integroinnista

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Epäoleellinen integraali: Laske $\dint_0^\infty e^{-ax} \text{ d}x$ .

Epäoleellisen integraalin määritelmän nojalla $\dint_0^\infty e^{-ax} \text{ d}x = \lim_{c\to\infty}\mintegral{e^{-ax}}{x}{0}{c}$ joten riittää laskea integraali $\mintegral{e^{-ax}}{x}{0}{c}$ ja tutkia sitten raja-arvoa.

Huomataan, että kun niin $\begin{aligned} \mintegral{e^{-ax}}{x}{0}{c} &=\mintegral{e^{-0x}}{x}{0}{c} \\ &= \mintegral{1}{x}{0}{c} \\ &= c \end{aligned}$ Siispä kun $c \to \infty$ niin $\mintegral{e^{-ax}}{x}{0}{c}\to \infty$ .
Jos $a\ne 0$ niin integraali voidaan laskea käyttäen yhdistetyn funktion integroimissääntöä tai yhdistetyn luonnollisen eksponenttifunktion integroimissääntöä.

$\begin{aligned} \mintegral{e^{-ax}}{x}{0}{c} &=-\frac{1}{a}\mintegral{-ae^{-ax}}{x}{0}{c} \\ &= -\frac{1}{a}\intsub{0}{c} e^{-ax} \\ &= -\frac{1}{a}(e^{-ac}-e^{-a0}) \\ &= \frac{1}{a}(1-e^{-ac}) \end{aligned}$

- Jos niin $\frac{1}{a}(1-e^{-ac})\to \frac{1}{a}$ kun $c\to \infty$ .
- Jos niin $\frac{1}{a}(1-e^{-ac}) \to \infty$ kun $c\to \infty$ .

Siispä

$\dint_0^\infty e^{-ax} \text{ d}x = \begin{cases} \frac{1}{a}, \text{ jos } a > 0, \\ \infty, \text{ jos } a \le 0. \end{cases}$

Epäoleellinen integraali: Laske $\mintegral{\frac{1}{x^2+1}}{x}{-\infty}{\infty}$ .

Integraali voidaan jakaa osiin:

$\begin{aligned} \mintegral{\frac{1}{x^2+1}}{x}{-\infty}{\infty} &= \mintegral{\frac{1}{x^2+1}}{x}{-\infty}{0} + \mintegral{\frac{1}{x^2+1}}{x}{0}{\infty} \\ &= \lim_{c\to-\infty}\mintegral{\frac{1}{x^2+1}}{x}{c}{0} + \lim_{c\to\infty}\mintegral{\frac{1}{x^2+1}}{x}{0}{c} \\ &= \lim_{c\to-\infty}\intsub{c}{0}\arctan(x) + \lim_{c\to\infty}\intsub{0}{c}\arctan(x) &&\Big| \arctan(0) = 0\\ &= \lim_{c\to-\infty}(-\arctan(c)) + \lim_{c\to\infty}\arctan(c) \\ &= -(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} \\ &= \pi \end{aligned}$

Tässä käytetään tietoa

$\arctan(x) \to \begin{cases} \frac{\pi}{2} \text{ kun } x\to \infty \\ -\frac{\pi}{2} \text{ kun } x\to -\infty \\ \end{cases}$