Derivointityökalut

Eli

työkaluja derivoimiseen
työkaluja joihin tarvitaan derivointia.

# funktion-suurin-ja-pienin-arvo

Funktion suurimman ja pienimmän arvon selvittäminen

Derivoituva funktio $f\colon[a,b] \to \mathbb{R}$ saavuttaa suurimman arvonsa (maksimin) ja pienimmän arvonsa (minimin) joko

välin päätepisteissä, tai
derivaatan nollakohdissa, eli kun .

Jos halutaan selvittää derivoituvan funktion $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ suurinta ja pienintä arvoa koko avaruudessa $\mathbb{R}$ , niin derivaatan nollakohtien lisäksi tulee selvittää funktion käyttäytyminen "äärettömyydessä".

Esimerkiksi funktiolla f(x)=x^2 on yksi derivaatan nollakohta, jossa saavuttaa pienimmän arvonsa, mutta funktiolla ei ole suurinta arvoa. Funktio "kasvaa rajatta" kun $x\to\pm\infty.$

Globaali ja lokaali ääriarvo, minimi ja maksimi (minima and maxima):

Funktion globaaleilla ja lokaaleilla ääriarvoilla tarkoitetaan funktion pienimpiä ja suurimpia arvoja joko koko määrittelyjoukossa (globaali) tai ääriarvokohdan läheisyydessä (lokaali).

Funktion globaalit ja lokaalit ääriarvot.

Matemaattisesti ilmaistuna: Piste $x_0\in\mathbb{R}$ on funktion $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

globaali maksimi, jos $f(x_0)\geq f(x)$ kaikilla $x\in\mathbb{R}$
globaali minimi, jos $f(x_0)\leq f(x)$ kaikilla $x\in\mathbb{R}$
lokaali maksimi, jos jollain on voimassa $f(x_0)\geq f(x)$ aina kun
lokaali minimi, jos jollain on voimassa $f(x_0)\leq f(x)$ aina kun

Huom: Derivaatan nollakohta ei välttämättä ole lokaali tai globaali ääriarvo. Esimerkiksi funktion f(x)=x^3 derivaatalla f'(x)=3x^2 on nollakohta x=0 , mutta se ei ole funktion lokaali maksimi eikä minimi.

Esimerkkejä suurimman ja pienimmän arvon selvittämisestä

Klikkaa esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Suurimman ja pienimmän arvon selvittäminen: Määritä funktion f(x)=2x^2-4x suurin ja pienin arvo välillä [-1,2] .

Määritetään funktion f(x)=2x^2-4x suurin ja pienin arvo välillä [-1,2] .

Derivoidaan funktio :

f'(x)=4x-4.

Selvitetään funktion nollakohdat välillä .

$\begin{aligned} f'(x)&=4x-4=0 &&\Big|+4\\ 4x&=4 &&\Big|\colon4\\ x&=1, \end{aligned}$ joka on derivaatan ainoa nollakohta välillä [-1,2] .

Funktio saa siis suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä (huom. suljettu väli) tai derivaatan nollakohdissa.

Tehdään kulkukaavio: ja , joten

$\begin{array}{l} \hspace{29pt} -1 \hspace{13.5pt} 1 \hspace{15pt} 2 \\ \begin{array}{c|c|c|} f'(x) :& - & + \!\!\! \\ \hline f(x) : & \searrow & \nearrow \end{array} \end{array}$ Kulkukaaviosta nähdään, että funktion saavuttaa suurimman arvonsa jommassa kummassa välin päätepisteistä ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa.

Lasketaan funktion arvot kohdissa ja :

$f(-1)=6, \quad f(1)=-2,\quad\text{ja}\quad f(2) = 4.$ Funktion suurin arvo välillä [-1,2] on siten (saavutetaan kohdassa x=-1 ) ja pienin arvo on (saavutetaan kohdassa x=1 ).

Eksponenttifunktion suurin arvo: Määritä funktion $f(x) = e^{-x^2}$ suurin arvo.

Funktion suurimman ja pienimmän arvon selvittämiseksi täytyy tutkia funktion arvoa derivaatan nollakohdissa, sekä käyttäytymistä äärettömyydessä.

Arvo derivaatan nollakohdissa:

Selvitetään derivaatan nollakohdat, eli ratkaistaan yhtälö f'(x) = 0 . $\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx} e^{-x^2} &&\Big| \text{ ketjusääntö} \\ &= e^{-x^2}\cdot (-2x) \\ \end{aligned}$ Siispä $\begin{aligned} f'(x) &= 0 \\ e^{-x^2}\cdot (-2x) &= 0 &&\Big| \ e^{-x^2} > 0 \text{ kaikilla } x \\ (-2x) &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned}$

Funktion arvo derivaatan nollakohdassa on f(0) = e^0 = 1 .

Käyttäytyminen äärettömyydessä:

Kun $x \to \infty$ niin $e^{-x^2} \to 0$ ja kun $x \to -\infty$ niin $e^{-x^2} \to 0$ .

Funktion kulun tutkiminen:

Koska funktio lähestyy nollaa :n lähestyessä positiivista tai negatiivista ääretöntä, on ainoa mahdollinen sijainti suurimmalle arvolle derivaatan nollakohdassa.

Tutkimalla derivaatan merkkiä derivaatan nollakohdan molemmin puolin voidaan todeta, onko kyseessä suurin arvo vai ei. Derivaatan merkkiä voi tutkia sopivilla testikohdilla, esimerkiksi x=-1 ja x=1 .

$f'(-1) = e^{-(-1)^2}\cdot (-2\cdot(-1)) = e^{-1}\cdot 2$ $f'(1) = e^{-(1)^2}\cdot (-2\cdot1) = e^{-1}\cdot (-2)$

Huomataan, että

, joten funktio on kasvava, kun ,
, joten funktio on vähenevä, kun .

Funktion kulkua voi havainnollistaa kulkukaaviolla: $\begin{array}{l} \hspace{46pt} 0 \\ \begin{array}{c|c} f'(x): + & - \!\!\! \\ \hline f(x): \nearrow & \searrow \end{array} \end{array}$

Funktio saavuttaa suurimman arvonsa kun x = 0 , ja se on f(0) = 1 .

Esimerkki suurimman ja pienimmän arvon selvittämisestä:

Vetyatomin perustilan (n=1, l=0) Schrödingerin yhtälöstä saatavan ratkaisun vastaava radiaalinen todennäköisyystiheys on $P(r)=r^2\frac{4}{a_0^3}e^{\frac{-2r}{a_0}},$ joka kuvaa todennäköisyyttä sille, että elektroni löydetään säteen päästä protonista. Tässä a_0 > 0 on Bohrin säde.

Määritä vetyatomin elektronin todennäköisin etäisyys protonista.

Selvitetään funktion suurin arvo, joka on haluttu todennäköisin etäisyys.

Derivoidaan , käyttäen tulon ja yhdistetyn funktion (ja yleisten funktioiden) derivaatan laskusääntöjä ja muistetaan, että vakion voi "ottaa ulos" derivoinnista:

$\begin{aligned} P'(r)&=D(r^2)\cdot \frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2r}{a_0}}+r^2\cdot D\left(\frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2r}{a_0}}\right)\\ &=2r\cdot\frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2r}{a_0}}+r^2\cdot \frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2r}{a_0}}\cdot \left(-\frac{2}{a_0}\right)\\ &=2r\cdot\frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2r}{a_0}}\cdot\left(1-\frac{r}{a_0}\right). \end{aligned}$

Selvitetään derivaatan nollakohdat.: $\begin{aligned} P'(r)&=0 \\ 2r\cdot\frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2r}{a_0}}\cdot\left(1-\frac{r}{a_0}\right)&=0 \end{aligned}$ Yhtälö ratkeaa tulon nollasäännön nojalla täsmälleen silloin kun

$\begin{aligned} &r=0\quad \\ \text{tai}\quad&\frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2r}{a_0}}=0\quad \Big| \ e^x>0 \text{ kaikilla } x\\ \text{tai}\quad&\left(1-\frac{r}{a_0}\right)=0. \end{aligned}$

Koska e^x>0 kaikilla $x\in \mathbb{R}$ (ks. eksponenttifunktio), niin joko $r=0 \text{ tai } \left(1-\frac{r}{a_0}\right)=0.$ Saadaan nollakohdiksi r=0 ja r=a_0 .

Tehdään kulkukaavio. Koska säde on luonnollista olettaa ei-negatiiviseksi $(r\geq0)$ , ei meidän tarvitse tutkia negatiivisia :n arvoja.

$\begin{aligned} P'\left(\frac{a_0}{2}\right)&=2\cdot\left(\frac{a_0}{2}\right)\cdot\frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-2a_0}{2a_0}}\cdot\left(1-\frac{a_0}{2a_0}\right)\\ &=\frac{2e^{-1}}{a_0^2}>0, \end{aligned}$

$\begin{aligned} P'(2a_0)&=2\cdot(2a_0)\cdot\frac{4}{a_0^{3}}e^{\frac{-4a_0}{a_0}}\cdot\left(1-\frac{2a_0}{a_0}\right)\\ &=\frac{-8e^{-4}}{a_0^2}<0, \end{aligned}$ joten

$\begin{array}{l} \hspace{37pt} 0 \hspace{13pt} a_0 \\ \begin{array}{c|c|c} P'(x) : & + & - \!\!\! \\ \hline P(x) : & \nearrow & \searrow \end{array} \end{array}$

Funktiolla on siis maksimi kun säde on a_0 , mikä on vetyatomin elektronin todennäköisin etäisyys protonista.

# differentiaali

Differentiaali

Merkitään derivaatan määritelmässä olevaa erotusosamäärää lyhyemmin kirjoittamalla y=f, $\Delta y=f(x+h)-f(x),$ $\Delta x=(x+h)-x=h.$ Tällöin

$\frac{\dy}{\dx}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Joskus käytetään merkintää $\dy=f'(x)\cdot \dx,$

joka saadaan kun ajatellaan, että $\dx$ on muuttuja ja :n ajatellaan riippuvan muuttujista ja $\dx.$ Muuttujaa $\dx$ sanotaan $\boldsymbol{x}$ :n differentiaaliksi ja vastaavasti $\dy\text{:tä}$ $\boldsymbol{y}$ :n differentiaaliksi.

Usein (esim. fysiikassa ja kemiassa) suureita $\dx$ ja $\dy$ ajatellaan lukuina, joilla voi laskea normaaleja laskuja. Ajatellaan, että $\dy$ on "hyvin pieni" äärellinen muutos :ssä eli $\Delta x\approx \dx,$ ja vastaavasti $\dx$ on "hyvin pieni" äärellinen muutos :ssä eli $\Delta y\approx \dy.$ Käytännössä, varsinkin jos y=f(x) on derivoituva, niin

$\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx\frac{\dy}{\dx},$

kunhan $\Delta x\lll 1$ eli $\Delta x$ on "hyvin pientä". Tästä saadaan, että

$\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot \Delta x\approx \frac{\dy}{\dx}\dx=f'(x)\dx=\dy.$

Esimerkki differentiaalien käytöstä

Gravitaatiokiihtyvyys korkeudella maanpinnasta on $a(h)=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2,$ missä on maapallon säde. Kuinka paljon kihhtyvyys muuttuu, kun siirrytään maanpinnalta korkeudelle $\frac{R}{300}$ ?

Tehdään approksimaatio, että $\dfrac{\text{d}a}{\text{d}h}\approx\frac{\Delta a}{\Delta h}.$ Nyt $\Delta a\approx\dfrac{\text{d}}{\text{d}h}a(0)\Delta h=-g\frac{2R^2}{{(R+0)}^3}\frac{R}{300}=-\frac{g}{150}.$