Potenssit ja juuret

VANHENTUNUT SIVU Jos löysit tänne materiaalin sisäisestä linkistä, jätä dokumenttiin kommentti miten. Sivua ei enää päivitetä. Sivu on jaettu osiin, jotka löytyvät ylämenusta kohdasta funktiot.

Mikäli aiot jättää palautetta kyseisestä aihealueesta, jätä se funktiot-menusta tai etusivulta löytyville sivuille.

Potenssien laskusäännöt

Potenssimerkinnällä a^n tarkoitetaan lukua, joka saadaan kun kerrotaan reaaliluku itsellään kertaa. Lisäksi sovitaan, että $a^0=1\quad\text{ja}\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

Seuraavat säännöt pätevät, kun ja ovat positiivisia kokonaislukuja.

$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$	Samankantaisten tulo
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	Samankantaisten osamäärä
$\left(a^m\right)^n = a^{mn}$	Potenssin potenssi
$\left(ab\right)^n = a^nb^n$	Tulon potenssi on potenssien tulo
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	Osamäärän potenssi on potenssien osamäärä

Pitäisikö määritelmät/laskusäännöt/esimerkit koodata systemaattisesti tietyillä (maltillisilla) väreillä? Vai meneekö sekavaksi…?

AR: Värejä kokeiltu derivaattasivulla.

— 04 Nov 19 (edited 04 Nov 19)

TODO: Ideoita perusteluista:

Havainnollistetaan näiden laskusääntöjen "todistuksia" hieman. Aloitetaan samankantaisten lukujen tulosta ja tarkastellaan tapausta n=4 ja m=3 $\begin{aligned}a^4\cdot a^3&=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a}_{4\, \text{kpl}} \cdot\underbrace{a\cdot a\cdot a}_{3\, \text{kpl}}\\ &=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{7\, \text{kpl}}=a^7. \end{aligned}$

# -juuret

Juuret

Yleinen juuri määritellään potenssiin korottamisen "käänteiseksi operaatioksi":

$b=\sqrt[n]{a}\iff b^{n}=a$ missä b>0, jos on parillinen. Lisäksi merkitään

$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}$

Potenssi juureksi

josta saadaan myös murtopotenssin määritelmä

$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$

Murtopotenssi

Esimerkkejä potenssien laskusäännöistä

Napsauta esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Eksponenttien sieventäminen:

Sievennä $\quad$ (a) $(2\cdot r^4)^\frac{3}{4}\quad$ ja $\quad$ (b) $\dfrac{x^3}{(3\cdot x)^2}$

(a) $\quad$ Sievennetään lauseketta sääntöjä käyttäen:

$(2\cdot r^4)^\frac{3}{4}=2^\frac{3}{4}\cdot r^{4\cdot\frac{3}{4}}=2^\frac{3}{4}\cdot r^3$

(b) $\quad$ Sievennetään lauseketta sääntöjä käyttäen:

$\dfrac{x^3}{(3\cdot x)^2}=\dfrac{x^3}{9\cdot x^2}=\dfrac{x^{3-2}}{9}=\dfrac{x}{9}$

Negatiivisen luvun potenssi: Sievennä lauseke $t\cdot(-t)^4 + (-t)^5$ .

Laskujärjestyksen mukaan on ensin laskettava potenssit. Saadaan (-t)^4 = t^4 , sillä on parillinen luku ja (-t)^5=-t^5 , sillä on pariton luku. Tällöin lauseke sievenee muotoon

$\begin{aligned}t\cdot(-t)^4 + (-t)^5 &= t\cdot t^4 -t^5 \\ &= t^5-t^5 \\ &= 0 \end{aligned}$

Negatiivisen luvun potenssi: Laske (-a)^n , kun a>0 ja on kokonaisluku:

Tarkastellaan erikseen tilanteet n > 0, n = 0 ja n < 0 .

Jos ja kokonaisluku, niin on joko parillinen tai pariton. Jos on parillinen, niin . Jos on pariton niin .
Jos , niin laskusääntöjen nojalla.
Jos ja kokonaisluku, niin $(-a)^n=\frac{1}{(-a)^{-n}}.$ Jos on parillinen, niin $(-a)^{-n}=a^{-n}$ ja siten $(-a)^n=\frac{1}{(-a)^{-n}} = \frac{1}{a^{-n}} = a^n$ .

Jos on pariton, niin $(-a)^{-n}=-a^{-n}$ ja siten $(-a)^n=\frac{1}{(-a)^{-n}} = \frac{1}{-a^{-n}} = -a^n$ .

# -eksponenttifunktio

Eksponenttifunktio

Yleisemmin, jos a>0 , funktiota f(x)=a^x kutsutaan eksponenttifunktioksi. Tässä voi olla mikä tahansa reaaliluku.

Seuraavat laskusäännöt ovat voimassa, kun ja ovat reaalilukuja:

$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$	Samankantaisten tulo
$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$	Samankantaisten osamäärä
$\left(a^x\right)^y = a^{xy}$	Potenssin potenssi
$\left(ab\right)^x = a^xb^x$	Tulon potenssi on potenssien tulo
$\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}$	Osamäärän potenssi on potenssien osamäärä

# luonnollinen_eksponenttifunktio

Luonnollinen eksponenttifunktio

Luonnolliseksi eksponenttifunktioksi kutsutaan eksponenttifunktiota, jonka kantalukuna on Neperin luku , ja sitä merkitään $\exp(x) = e^x.$ Funktio e^x>0 kaikilla $x\in\mathbb{R}$ ja lisäksi se on aidosti kasvava.

Luonnollisen eksponenttifunktion derivaatan löydät täältä.

Neperin luvusta:

Määritelmä: Neperin luvun eräs määritelmä on $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$ Neperin luvun likiarvo on $e\approx2,718282$ .

Neperin luku on nimetty matemaatikko John Napierin mukaan, vaikka hän ei itse tätä määritelmää esittänytkään.

Luonnollisen eksponenttifunktion määritelmä: Eksponenttifunktion $\exp(x)=e^x$ yksi määritelmä on $e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ mukailee Neperin luvun määritelmää.

Eksponenttifunktiolla e^x on derivointiin liittyvä tärkeä ominaisuus: $\frac{d}{dx} e^x = e^x.$ On mahdollista osoittaa, että luonnollinen eksponenttifunktio on (vakiota vaille) ainoa funktio jolla on kyseinen ominaisuus. Toisin sanoen, jos $\frac{d}{dx} f(x) = f(x)$ niin on oltava f(x) = Ce^x , missä on jokin vakio.

Esimerkkejä eksponenttifunktion laskusäännöistä

Napsauta esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Ratkaise eksponenttiyhtälö: Ratkaise yhtälöstä $2 k c^b=(5 c^a)^\frac{b-1}{a},$ missä k>0 .

Ratkaistaan yhtälöstä käyttäen apuna potenssin tulosääntöä:

$\begin{align*} 2 k c^b&=(5 c^a)^\frac{b-1}{a} &&\Big| (ab)^x=a^xb^x\\ 2 k c^b&=5^\frac{b-1}{a}c^{a\cdot \frac{b-1}{a}} \\ 2 k c^b&=5^\frac{b-1}{a}c^{b-1} &&\Big|:c^{b-1}\\ 2k\cdot \frac{c^b}{c^{b-1}}&=5^\frac{b-1}{a} &&\Big| \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\\ 2k\cdot c^{b-(b-1)}&=5^\frac{b-1}{a}&&\Big|:2k\\ c&=\frac{5^\frac{b-1}{a}}{2k} \end{align*}$

Eksponenttien sieventäminen (Harmoninen värähtelijä, fysiikka): Arvioi harmonisen värähtelijän tilojen n=2 ja n=4 todennäköisyyksien suhdetta, kun todennäköisyys tilalle on $p_n=\frac{1}{Z}e^{-E_n/kT},$ missä normitustekijä on vakio. Tilan energia on $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$ . Kumpi tiloista on todennäköisempi?

Harmonisen värähtelijän eri tilojen energiat saadaan kaavalla $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,$ missä $n=0, 1, 2, \ldots$ ja $\omega$ on kulmataajuus. Tämän värähtelijän todennäköisyys sille, että se on tietyssä mikrotilassa saadaan kaavasta

$p_n=\frac{1}{Z}e^{-E_n/kT},$ missä on normitustekijä. Näiden todennäköisyyksien p_n muodostamaa jakaumaa kutsutaan Boltzmann-jakaumaksi.

Lasketaan mikrotilojen n=2 ja n=4 todennäköisyyksien suhde. Todennäköisyys tilalle n=2 on p_2 ja tilalle n=4 vastaavasti p_4 . Huomaa, että E_m>E_n aina kun m>n . Tällöin

$\begin{align*} \frac{p_2}{p_4}&=\frac{\frac{1}{Z}e^{-E_2/kT}}{\frac{1}{Z}e^{-E_4/kT}} =\frac{e^{-E_2/kT}}{e^{-E_4/kT}}=e^{-E_2/kT-(-E_4/kT)}\\ &=e^{(-E_2+E_4)/kT}. \end{align*}$ Huomataan, että $\begin{align*} -E_2+E_4&=-\left(2+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega+\left(4+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega\\ &=-\frac{5}{2}\hbar\omega+\frac{9}{2}\hbar\omega\\ &=2\hbar\omega>0, \end{align*}$ joten $e^{(-E_2+E_4)/kT}=e^{2\hbar\omega/kT}>1$

Siispä p_2 > p_4 , eli tila n=2 on todennäköisempi.

# -logaritmi

Logaritmi

Logaritmin ja eksponenttiyhtälön yhteys

Luvun -kantainen logaritmi $\log_{a}x$ on luku, joka vastaa kysymykseen: "Mihin potenssiin $\color{red}a$ on korotettu, että on saatu $\color{blue}x$ ?"

Toisin sanoen $\log_{\color{red}a}{\color{blue}x} = y \iff {\color{red}a}^y = {\color{blue}x}.$ Huom: Määritelmän nojalla oltava $a > 0, a\ne 1$ ja x > 0 .

Logaritmin derivaatta löytyy täältä.

Logaritmifunktion ja ekponenttifunktion kuvaajat: (GeoGebra)

Alla olevassa GeoGebra-appletissa esitellään logaritmi- ja eksponenttifunktioiden kuvaajia joillain :n arvoilla.

# geo_log_ja_eksp

Esimerkkejä logaritmeista

Napsauta esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Joitakin laskettuja logaritmeja:

Logaritmimuoto $\log_{\color{red}a}{\color{blue}x} = y$	Potenssimuoto $\color{red}{a}\color{black}^y = \color{blue}x$
$\log_{10} 100 = 2$
$\log_5 1 = 0$
$\log_{2a} 8a^3 = 3$

Logaritmin laskeminen: Laske $\log_{5} 125$ .

$\log_{5} 125 = 3 \ \text{sillä} \ 5^3 = 125.$

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen: Ratkaise logaritmiyhtälö $\log_{10}{(x+2)}=1.$

Logaritmin määritelmän nojalla $\log_{10}(x+2) = 1 \iff 10^1 = x+2$ joten yhtälö voidaan ratkaista tavanomaisin menetelmin:

$\begin{align*} \log_{10}(x+2) &= 1 \\ 10^1 &= x+2\\ x+2 &= 10\\ x &= 8 \end{align*}$

$\begin{aligned} \end{aligned}$

# -logaritmimerkinnät

Yleisiä logaritmeja

Jotkin kantaluvut ovat käytössä useammin kuin toiset. Näille logaritmeille on otettu käyttöön lyhentäviä merkintöjä.

Merkintä	Tarkoittaa	Nimi
$\lg x$	$\log_{10}x$	kymmenkantainen logaritmi
$\ln x$	$\log_{e}x$	luonnollinen logaritmi
$\text{lb} \ x$	$\log_{2}x$	binäärilogaritmi
$\log x$	$\log_{e}x$	luonnollinen logaritmi (matematiikassa)

Esimerkiksi $\text{lb} \ 64 = 6$ , sillä 2^6 = 64 .

Huom: Merkintää $\log x$ käytetään joskus myös silloin, kun kantaluvulla ei ole merkitystä.

Logaritmin sovelluksia

TODO: Tähän sovelluksia logaritmin käytöstä.

Desibeliasteikko
Tietotekniikka, algoritmit
Linkki loglog ja puolilog kuvaajiin

Logaritmin laskusäännöt

Logaritmin määritelmästä saadaan seuraavat yleisesti käytettävät kaavat:

Sääntö	Perustelu
$\log_a a = 1$
$\log_a 1 = 0$
$\log_{\blue{a}} \red{a^x} = x$	$\textcolor{blue}{a}^x \color{black} = \color{red}{a^x}$
$\color{red}a\color{black}^{\log_a(x)} =\color{blue}{x}$	$\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{x} \color{black} = \log_a x$

Näytä sanalliset perustelut:

$\log_{\color{blue}{a}} \color{red}{a^x} \color{black} = x:$

Luku ${\log_{\textcolor{blue}{a}}\textcolor{red}{a^x}}$ on se eksponentti, mihin $\textcolor{blue}{a}$ pitää korottaa, jotta saadaan $\textcolor{red}{a^x}$ . Lisäksi eksponentin on oltava tietenkin .
$\color{red}a\color{black}^{\log_a(x)} =\color{blue}{x}:$

Luku $\log_a(x)$ on se eksponentti, mihin $\color{red}a$ pitää korottaa, jotta saadaan $\color{blue}x$ .

Kun logaritmi on määritelty, pätevät myös seuraavat laskusäännöt:

	Sääntö
Summa	$\log_{a}(x) + \log_{a}(y) = \log_{a}(x\cdot y)$
Erotus	$\log_{a}(x) - \log_{a}(y) = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
Potenssi	$\log_{a}(x^b) = b\cdot \log_{a}(x)$
Kannanvaihto	$\log_a x = \frac{\log_bx}{\log_ba}$

Näytä perustelut:

Säännöt voidaan perustella logaritmin määritelmää käyttämällä.

Logaritmien summa:

Merkitään $A=\log_a(x)$ ja $B=\log_a(y)$ . Nyt logaritmin määritelmän perusteella x=a^A ja y=a^B, jolloin eksponenttifunktion laskusääntöjen nojalla $x\cdot y=a^A\cdot a^B=a^{A+B}.$ Hyödynnetään tätä ja käytetään logaritmin sääntöä $\log_a(a^x)=x$ : $\begin{align*} \log_a(x\cdot y)&=\log_a\left(a^{A+B}\right)\\ &=A+B\\ &=\log_a(x)+\log_a(y). \end{align*}$

Logaritmien erotus

Sääntö voidaan johtaa vastaavalla päättelyllä, kuten summa.

Logaritmi potenssifunktiosta

Sääntö voidaan perustella kokonaisluvuille käyttämällä logaritmien summasääntöä:

$\begin{aligned} \log_a(x^b) &= \log_a(x\cdot x \cdot ... \cdot x) \\ &= \log_a (x) + \log_a (x) + \dots + \log_a (x) \\ &= b\cdot \log_a(x) \end{aligned}$

Logaritmin kannanvaihto

Merkitään $A = \log_a (x)$ ja $B = \log_b (x)$ . Logaritmin määritelmän perusteella x = a^A ja x = b^B , joten

$\begin{aligned} \log_b(x) &= \log_b(a^A) &&\Big| \ \log_a(x^b) = b\cdot \log_a(x) \\ &= A\cdot \log_b(a) &&\Big| \ A = \log_a(x)\\ &= \log_a(x)\log_b(a) \end{aligned}$ josta saadaan ratkaistua $\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}.$

Esimerkkejä logaritmin laskusäännöistä

Napsauta esimerkkiä tarkastellaksesi vastausta.

Logaritmien sieventäminen: Sievennä $\log_a 3x + \log_a 2x - \log_a x$ .

Sievennetään lauseke käyttämällä logaritmin summa- ja erotussääntöjä: $\begin{aligned}\log_a 3x + \log_a 2x - \log_a x &= \log_a (3x\cdot2x) - \log_a x &&\Big| \log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x\cdot y)\\ &= \log_a 6x^2 - \log_a x &&\Big| \log_a (x) - \log_a (y) = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\\ &= \log_a\left(\frac{6x^2}{x}\right) \\ &= \log_a 6x \end{aligned}$

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen:

Ratkaise yhtälöstä $\quad\ln p = \ln \left[\beta \exp\left(-\dfrac{\Delta H}{RT}\right)\right]$ .

Yhtälö on helpointa ratkaista tutkimalla ensin, mitä :n ympärillä on, ja riisumalla ympäriltä merkintöjä uloimmasta lähtien.

Ratkaisu:

$\begin{aligned}\ln p &= \ln \left[\beta \exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right)\right] &&\Big| \ln a = \ln b \iff a = b \\ p &= \beta \exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right) \\ \frac{p}{\beta} &= \exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right) &&\Big|a = b \iff \ln a = \ln b \\ \ln\left(\frac{p}{\beta}\right)&=\ln\left(\exp\left(-\frac{\Delta H}{RT}\right)\right) &&\Big|\ln\left(\exp(x)\right)=\ln(e^x) = x \\ \ln\left(\frac{p}{\beta}\right)&=-\frac{\Delta H}{RT} &&\Big| \cdot \frac{RT}{\ln\left(\frac{p}{\beta}\right)}\\ RT &=-\frac{\Delta H}{\ln\left(\frac{p}{\beta}\right)} \\ T &= -\frac{\Delta H}{R\ln\left(\frac{p}{\beta}\right)} \\ \end{aligned}$

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen:

Ratkaise yhtälöstä $\Delta G + RT \ln K = 0$ .

Ratkaistaan yhtälöstä käyttäen apuna logaritmin sääntöjä: $\begin{aligned}\Delta G + RT\ln K &= 0 \\ RT\ln K &= - \Delta G \\ \ln K &= - \frac{\Delta G}{RT} && \Big| a = b \iff e^a = e^b\\ \\ e^{\ln K} &= e^{-\frac{\Delta G}{RT}} &&\Big| e^{\ln x} = x\\ K &= e^{-\frac{\Delta G}{RT}} \\ \end{aligned}$

Logaritmeilla laskeminen (Ideaalikaasun isoterminen prosessi):

Osoita, että isotermisessä reversiibelissä prosessissa tehty työ on $W=nRT \ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right),$ kun $W=-\dint_{V_i}^{V_f}p \, \text{d}V$ ja pV=nRT , missä nRT =vakio.

Kaasulle tehty on työ on

$W=-\int_{V_i}^{V_f}p\,dV,$

missä V_i on tilavuus alussa ja V_f tilavuus lopussa.

Ideaalikaasulaista pV=nRT ratkaisemalla paine, saadaan työ muotoon (ks. integrointisäännöt)

$\begin{align*} W&=-\int_{V_i}^{V_f}p\,dV && \Big| p = \frac{nRT}{V}, \ nRT = \text{vakio}\\ &=-nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV\\ &=-nRT\intsub{V_i}{V_f}\ln V\\ &=-nRT\left(\ln V_f-\ln V_i\right) && \Big|\log_{a}(x) - \log_{a}(y) = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right) \\ &=-nRT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)&& \Big|\log_{a}(x^b) = b\cdot \log_{a}(x)\\ &=nRT\ln\left(\left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{-1}\right) && \Big|\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a} \\ &=nRT\ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right). \end{align*}$

(Muokattu Esimerkki 17.2 Knight)

Logaritmin kannanvaihto: Kirjoita logaritmifunktio $f(x) = \log_{0.5} x$ siten, että kantalukuna on Neperin luku .

Kannanvaihto saadaan kaavalla $\begin{aligned}\log_{\color{red}a} x &= \frac{\log_{\color{blue}b} x}{\log_{\color{blue}b}{\color{red}a}}\quad \Big| \quad {\color{red}a} = 0.5, {\color{blue}b} = e\\ \log_{0.5} x &= \frac{\log_e x}{\log_e 0.5} \end{aligned}$ Siispä $\begin{aligned}f(x) &= \log_{0.5} x \\ &= \frac{\log_e x}{\log_e 0.5} = \frac{\ln x}{\ln 0.5} \end{aligned}$ Halutessaan likiarvon luvulle $\ln 0.5$ voi laskea laskimella.