Raja-arvo

Raja-arvo ja toispuoleiset raja-arvot

Toispuoleiset raja-arvot

Tarkastellaan raja-arvon käsitettä esimerkin kautta. Olkoon meillä funktio $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ ja tutkitaan mitä tapahtuu, kun lähestytään pistettä x =1.

Lähestytään pistettä x=1 ensin $\red{\text{vasemmalta}}$ ja sitten $\blue{\text{oikealta}}$ puolelta. Merkitään tätä

$\red{\lim_{x \to 1-}}\frac{x^2-1}{x-1} \quad \text{ja}\quad \blue{\lim_{x \to 1+}}\frac{x^2-1}{x-1},$ missä $\displaystyle{\lim_{x \to 1}}$ tarkoittaa limittiä"limes" latinaksi, "limit" engl. eli raja-arvoa, kun lähestyy ykköstä. $\red{\text{Miinus}}$ merkki ykkösen perässä tarkoittaa, että pistettä lähestytään vasemmalta, $\blue{\text{plus}}$ oikealta puolelta.

Funktion arvoa ei kuitenkaan voida laskea pistessä x=1 , sillä saataisiin muotoa " $\frac{0}{0}$ " oleva vastaus, jota ei ole määritelty. Sen sijaan funktion toispuoleiset raja-arvot pisteessä x=1 saadaan laskettua, kun sievennetään funktiota supistamalla yhteinen tekijä. Lasketaan ensin vasemmanpuoleinen raja-arvo $\red{\lim_{x \to 1-}}\frac{x^2-1}{x-1}= \red{\lim_{x \to 1-}}\frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{x-1}}=\red{\lim_{x \to 1-}}x+1=1+1={2}.$

Vastaavasti voidaan laskea oikeanpuoleinen raja-arvo $\blue{\lim_{{x \to 1+}}}\frac{x^2-1}{x-1}= \blue{\lim_{x \to 1+}}\frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{x-1}}=\blue{\lim_{x \to 1+}}x+1=1+1={2}.$

Funktion

raja-arvo pisteessä x=1

on siis olemassa ja sen arvo on 2, sillä funktion vasemman- ja oikeanpuoleinen raja-arvo on 2. Toisin sanoen $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2.$ Huomaa, että vaikka funktiolla ei ole olemassa arvoa pisteessä x=1

eli

ei ole määritelty, on sillä kuitenkin olemassa raja-arvo pisteessä x=1

. $\begin{tikzpicture} \begin{axis}[domain=-1:3, samples=100,grid=major, restrict y to domain=-2:4, legend pos = north west, axis lines = left,] \addplot [color=red, domain=-1:0.96, thick, arrows= ->] {(x^2-1)/(x-1))}; \addplot [color=blue, domain=1.04:3, thick, arrows= <-] {(x^2-1)/(x-1))}; \addplot [color=black!50!white, mark=*, fill=white, thick] coordinates { (1,2) }; \legend{$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\text{,} \quad x<1$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \text{,} \quad x>1$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

Määritelmä. Jos funktion f(x) sekä $\red{\text{vasemman-}}$ että $\blue{\text{oikeanpuoleinen}}$ raja-arvo pisteessä on sama arvo , on funktiolla f(x) raja-arvo pisteessä eli

$\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Longleftrightarrow \quad \red{\lim_{x \to \red{a-}}} f(x) = L \quad \text{ja} \quad \blue{\lim_{x \to \blue{a+}}}f(x)=L.$

Huomautus. Jos funktio on jatkuva, niin sen raja-arvo pisteessä on sama kuin funktion arvo pisteessä eli $\displaystyle{\lim_{x\to a} f(x)=f(a)}.$

Esimerkki. Tutki, onko funktiolla f(x) raja-arvo pisteessä x=1 , kun $\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \red{x+1}, &\text{ kun } x \leq 1\\ \blue{2x^2-4}, &\text{ kun } x > 1\\ \end{cases}. \end{align*}$

Ratkaisu. Lasketaan funktion toispuoleisetHuomaa käyttää funktion vasenta ja oikeaa osaa! raja-arvot

${\lim_{x \to 1-}} \red{x+1} = 1+1 = 2 \quad \text{ja} \quad \lim_{x \to {1+}} \blue{2x^2-4} = 2-4 = -2.$

Huomataan, että funktion f(x) toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret $\displaystyle{2 = \red{\lim_{x \to 1-}}f(x)\neq \blue{\lim_{{x \to 1+}}}f(x) =-2},$ joten funktiolla ei ole raja-arvoa pisteessä x=1 .

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[domain=-4:4, samples=100,grid=major, restrict y to domain=-4:4, legend pos = outer north east, axis lines = middle, xlabel = $x$, ylabel=$y$] \addplot [color=red, domain=-2:1, thick,] {x+1}; \addplot [color=blue, domain=1:4, thick] {2*x^2-4}; \addplot [color=red, mark=*, fill=red, thick] coordinates { (1,2) } node[pin=140:{$(1,2)$}]{}; \addplot [color=blue, mark=*, fill=white, thick] coordinates { (1,-2) } node[pin=140:{$(1,-2)$}]{}; \legend{$f(x)=x+1\text{,} \quad x\leq 1$, $f(x)=2x^2-4 \text{,} \quad x>1$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

# laskusaannot

Raja-arvon laskusääntöjä

Merkitään f(x)=f , g(x)=g . Tällöin, jos ${\lim_{x \to a} f = L \quad \; \text{ja} \; \quad \lim_{x\to a} g = M,}$ niin alla olevan taulukon laskusäännöt ovat voimassa.

# yhdistetty

Yhdistetyn funktion raja-arvo

Jos funktion g(x) raja-arvo pisteessä on $\displaystyle\lim_{x \to c} g(x) = L$ ja funktio f(x) on jatkuva pisteessä , niin saadaan laskettua yhdistetyn funktion $f \circ g$ raja-arvo pisteessä : $\lim_{x \to c} f(g(x)) = f(L).$ Jos lisäksi funktio g(x) on jatkuva pisteessä (eli L = g(c) ), niin myös yhdistetty funktio f(g(x)) on jatkuva pisteessä .

Esimerkki. Yhdistetyn funktion raja-arvo.

Olkoon $\displaystyle{f(x)=\frac{3}{x-1}}, \, x\neq 1$ , ja g(x)=x^2-2 . Funktio g(x) on jatkuva, jolloin sen raja-arvo , kun muuttuja lähestyy pistettä x=1 , on $L = \lim_{x \to 1} x^2-2 = 1^2-2=-1.$ Tällöin yhdistetyn funktion $(f \circ g)(x)$ raja-arvo pisteessä x=1 on $\lim_{x \to 1}f(g(x)) =f(L) = f(-1)= \frac{3}{(-1)-1} = -\frac{3}{2}.$

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[samples=400, grid=major, domain= -2.9:2.9, restrict y to domain = -5:5, title={Yhdistetyn funktion $(f\circ g)(x)$ raja-arvo pisteessä $x=1$ on $-\frac{3}{2}$.}, legend pos = outer north east, axis lines = middle, xlabel=$x$, ylabel=$y$,] \addplot [color=red, thick,] {3/(x-1}; \addplot [color=blue, thick, ] {x^2-2}; \addplot [color=green!70!black, thick, ] {3/(x^2-3}; \addplot[mark=*, blue, thick] coordinates {(1,-1)} node[pin=-5:{$(1,-1)$}]{}; \addplot[mark=*, green!70!black, thick] coordinates {(1,-3/2)} node[pin=-30:{$(1,-\frac{3}{2})$}]{}; \legend{$f(x)$, $g(x)$, $(f\circ g)(x)$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

Sen sijaan funktion f(x) toispuoleiset raja-arvot pisteessä x=1 ovat eri suuret $\begin{align*} \lim_{x \to 1-} \frac{3}{x-1} &= -\infty \quad \text{ja}\\ \lim_{x \to 1+} \frac{3}{x-1} &= \infty, \end{align*}$ jolloin funktiolla f(x) ei ole olemassa raja-arvoa pistessä x=1 . Raja-arvon määrittämisessä yhdistetylle funktiolle $(g\circ f)(x)$ täytyy siis käyttää perinteistä menetelmää: $\lim_{x \to 1} (g \circ f) (x) = \lim_{x \to 1} \left(\frac{3}{x-1}\right)^2-2 =\infty .$

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[samples=400, grid=major, domain= -9.9:9.9, restrict y to domain = -19.9:19.9, title={Yhdistetty funktio $(g\circ f)(x)$ kasvaa rajatta pisteessä $x=1$.}, legend pos = outer north east, axis lines = middle, xlabel=$x$, ylabel=$y$,] \addplot [color=red, thick,] {3/(x-1}; \addplot [color=blue, thick, ] {x^2-2}; \addplot [color=green!70!black, thick, ] {(9/(x-1)^2)-2}; \addplot[mark=*, blue] coordinates {(1,-1)} node[pin=-25:{$(1,-1)$}]{}; \legend{$f(x)$, $g(x)$, $(g\circ f)(x)$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

# aarettomyys

Raja-arvo ja äärettömyys

Ääretön raja-arvona

Jos $\underline{\text{funktio}}$ kasvaa rajatta lähestyttäessä pistettä , niin merkitään $\lim_{x \to a} f(x) = \infty.$ Vastaavasti, jos $\underline{\text{funktio}}$ vähenee rajatta lähestyttäessä pistettä , niin merkitään $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty.$

Vaikka funktion raja-arvo on "ääretön", niin ääretön ei kuitenkaan ole luku, vaan "ääretön" raja-arvona kuvaa tilannetta, jossa funktio "karkaa käsistä". Siksi tulisikin raja-arvon sijaan käyttää ilmaisua "funktio kasvaa tai vähenee rajatta".

Esimerkki. Funktio $f(x)=\tan (x)$ kasvaa/vähenee rajatta, kun lähestyy pistettä $\frac{\pi}{2}$ .

Funktio $f(x)=\tan (x)$ kasvaa rajatta, kun pistettä $x =\frac{\pi}{2}$ lähestytään vasemmalta. Vastaavasti $\tan (x)$ vähenee rajatta, kun pistettä $x =\frac{\pi}{2}$ lähestytään oikealta. Toisin sanoen $\red{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-}}\tan (x) = \red{\infty} \quad \text{ja} \quad \blue{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+}}\tan (x) = \blue{-\infty}.$ Koska funktion toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, ei funktiolla ole raja-arvoa pisteessä $\frac{\pi}{2}$ , siis $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan (x) \quad \text{ei ole olemassa.}$

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle,domain=-pi:pi, samples=100, restrict y to domain=-10:10, xtick={-pi, -(1/2)*pi, (1/2)*pi, pi}, xticklabel style = {xshift=-0.2cm}, xticklabels={$-\pi$,$-\dfrac{\pi}{2}$,$\dfrac{\pi}{2}$,$\pi$}, legend pos = outer north east] \addplot [color=red, thick, domain=-pi:pi/2, arrows=->] {tan(deg(x)}; \addplot [color=blue, thick, domain=pi/2:pi, arrows=<-] {tan(deg(x)}; \addplot +[mark=none, color=black, loosely dashed, thick] coordinates {(pi/2, -9) (pi/2,8)}; \legend{$f(x)=\tan(x) \text{,} \quad x< \frac{\pi}{2}$, $f(x)=\tan(x) \text{,} \quad x> \frac{\pi}{2}$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

Raja-arvo äärettömyydessä

Jos $\underline{\text{muuttuja}}$ kasvaa rajatta ja funktio f(x) lähestyy jotakin raja-arvoa , merkitään $\lim_{x \to \infty} f(x) = L.$ Vastaavasti, jos $\underline{\text{muuttuja}}$ vähenee rajatta ja funktio f(x) lähestyy jotakin raja-arvoa , merkitään $\lim_{x \to -\infty} f(x) = M.$

Esimerkki. Tutkitaan funktioiden $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{x^2}$ ja $\sin (x)$ raja-arvoja, kun $x \to 0$ ja kun $x \to \pm \infty$ .

Tutkitaan ensin toispuoleiset raja-arvot funktiolle $\frac{1}{x}$ , kun $x \to 0$ , minkä jälkeen päätellään raja-arvon olemassaolo: $\begin{align*} \red{\lim_{x \to 0-}} \frac{1}{x} = \red{-\infty} \quad \text{ja} \quad \blue{\lim_{x \to 0+}} \frac{1}{x} = \blue{\infty} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \quad \text{ei raja-arvoa.} \end{align*}$ Vastaavasti funktiolle $\frac{1}{x^2}$ saadaan $\begin{align*} \red{\lim_{x \to 0-}} \frac{1}{x^2} = \red{\infty} \quad \text{ja} \quad \blue{\lim_{x \to 0+}} \frac{1}{x^2} = \blue{\infty} \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \quad = \infty. \end{align*}$

Raja-arvo nollassa ei siis ole määritelty funktiolle $\frac{1}{x}$ , kun taas funktiolle $\frac{1}{x^2}$ se on ääretönHups! Saikos näin sanoa? ;).

Tutkitaan funktion $\frac{1}{x}$ raja-arvoa, kun kasvaa rajatta positiiviseen tai negatiiviseenHuom! Nämä eivät ole toispuoleisia raja-arvoja! suuntaan eli kun $x\to \infty$ ja kun $x\to -\infty$ : $\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{ja} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0. \end{align*}$

Todetaan sama funktiolle $\frac{1}{x^2}$ $\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}= 0 \quad \text{ja} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2}= 0. \end{align*}$

Funktion $\sin (x)$ arvot heilahtelevat jaksollisesti välillä $[-1, \, 1]$ . Tästä seuraa, että funktion arvot eivät siis lähesty mitään tiettyä raja-arvoa äärettömyydessä eli $\lim_{x \to \infty} \sin (x)\quad \text{ei ole raja-arvoa} \quad \text{ja} \quad \lim_{x \to -\infty} \sin (x) \quad \text{ei ole raja-arvoa.}$

Sen sijaan raja-arvo, kun lähestyy nollaa, on olemassa ja se on $\red{\lim_{x \to 0-}} \sin (x) =0 \quad \text{ja} \quad \blue{\lim_{x \to 0+}} \sin (x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to 0} \sin (x) =0.$

Alla olevat kuvat havainnollistavat, mitä funktioille $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{x^2}$ ja $\sin (x)$ tapahtuu nollan ympäristössä ja "äärettömyydessä". $\begin{tikzpicture} \begin{axis}[domain=-7.8:7.8, samples=400, grid=major, restrict y to domain=-5:5, title={Funktiot nollan ympäristössä.}, legend pos = outer north east, axis lines = middle, xlabel=$x$, ylabel=$y$,] \addplot [color=red, thick,] {1/x}; \addplot [color=green!70!black, thick, ] {1/x^2}; \addplot [color=blue, thick,] {sin(deg(x)}; \legend{$\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\sin (x)$} \end{axis} \end{tikzpicture}$ $\begin{tikzpicture} \begin{axis}[domain=100:130, samples=100, grid=major, restrict y to domain=-4:4, title={Funktiot "äärettömyydessä".}, legend pos = outer north east, axis lines = middle, xlabel=$x$, ylabel=$y$,] \addplot [color=red, thick] {1/x}; \addplot [color=green!70!black, thick] {1/x^2}; \addplot [color=blue, thick] {sin(deg(x)}; \legend{$\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\sin (x)$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

# hospital

L'Hospitalin sääntö

Oletetaan, että funktiot f(x) ja g(x) ovat derivoituvia pisteen ympäristössä (mutta eivät välttämättä pisteessä ). Oletetaan lisäksi, että f(c)=g(c)=0 tai $f(c)=g(c)=\pm \infty$ ja $g'(x)\neq 0$ pisteen ympäristössä. Tällöin, jos raja-arvo $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ on olemassa, niin myös $\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = L.$

Huomautus. L'Hospitalin sääntö toimii siis tilanteissa, jotka ovat muotoa " $\frac{0}{0}$ " tai " $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ ". Sääntö toimii myös, kun $x \to \pm \infty$ .

# hankalat

Esimerkkejä funktioiden raja-arvoista

Esimerkki. Laske funktion $h(x)=\tfrac{\sin(x)}{x}$ raja-arvo, kun $x \to 0$ .

Tapa 1. L'Hospitalin säännöllä.

Koska raja-arvo on muotoa " $\frac{0}{0}$ " ja funktiot $f(x) =\sin (x)$ ja g(x) =x toteuttavat l'Hospitalin säännnön oletukset, voidaan raja-arvo laskea l'Hospitalin säännöllä derivaatan avulla. Siis $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{1}=1.$

Tapa 2. Taylorin sarjan avulla.

Suoraan sijoittamalla saataisiin $h(0)=\frac{0}{0}$ , jota ei ole määritelty. Täytyy siis löytää keino, jolla funktiota voidaan supistaa, että raja-arvo saataisiin lasketuksi. Funktion $\sin(x)$ Taylorin sarjaesitys on

$\begin{aligned} \sin(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ &=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+O(x^7). \end{aligned}$

Ilmaistaan siis funktio h(x) Taylorin sarjakehitelmän avulla, jolloin nimittäjä supistuu

$\frac{\sin(x)}{x} = \frac{x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+O(x^7)}{x}= 1-\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{120}x^4+O(x^6).$

Nyt kysytty raja-arvo voidaan laskea ja se on $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1.$

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[samples=100, %grid=major, %restrict y to domain=-1:1, legend pos = outer north east, %axis lines = middle, %axis equal, xtick={-2*pi, -pi, 0, pi, 2*pi}, %xticklabel style = {xshift=-0.2cm}, xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,0, $\pi$,$2\pi$}, xlabel = $x$, ylabel=$y$] \addplot [color=blue, domain=-2*pi:2*pi, thick,] {sin(deg(x))/x}; %\addplot [color=red, domain=-pi:pi, thick,] {1-1/6*x^2+1/120*x^4}; \addplot [color=black, mark=*, fill=white, thick] coordinates { (0,1) } node[pin=0:{$(0,1)$}]{}; \legend{$h(x)=\frac{\sin(x)}{x}$}%, $1-\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{120}x^4$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

Esimerkki. Laske seuraavien funktioiden raja-arvot.

$a)\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}}$

Raja-arvo on muotoa " $\frac{\infty}{\infty}$ ". Funktiot f(x)=e^x ja g(x) =x^2 ovat derivoituvia ja $g'(x)=2x \neq 0.$ Voidaan siis käyttää l'Hospitalin sääntöä (kahdesti).

$\lim_{x \to \infty}\frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x} =\lim_{x \to \infty}\frac{f''(x)}{g''(x)} =\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2} =\infty.$

Huomaa, että l'Hospitalin oletukset ovat voimassa myös toisen kerran derivoitaessa: f'(x)=e^x ja g'(x)=2x ovat derivoituvia ja $g''(x)=2 \neq 0$ .

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[samples=400, %grid=major, domain=-12:12 , restrict y to domain=-10:150, legend pos = outer north east, axis lines = middle, %axis equal, %xtick={-2*pi, -pi, 0, pi, 2*pi}, %xticklabel style = {xshift=-0.2cm}, %xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,0, $\pi$,$2\pi$}, xlabel = $x$, ylabel=$y$] \addplot [color=blue, thick,] {e^x}; \addplot [color=red, thick,] {x^2}; \addplot [color=green!70!black, thick,opacity=0.8] {(e^x)/x^2}; \legend{$e^x$,$x^2$,$\frac{e^x}{x^2}$}%} \end{axis} \end{tikzpicture}$

$b) \displaystyle{\lim_{x\to \infty} \frac{\ln (x)}{x^2}}$

Raja-arvo on muotoa " $\frac{\infty}{\infty}$ ". Funktiot $f(x)=\ln(x)$ ja g(x) =x^2 ovat derivoituvia ja $g'(x)=2x \neq 0.$ Voidaan siis käyttää l'Hospitalin sääntöä.

$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln (x)}{x^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} =0.$

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[samples=400, domain=-10:8, %grid=major, scaled ticks=false, tick label style={/pgf/number format/fixed}, restrict y to domain=-5:5, legend pos = outer north east, axis lines = middle, %axis equal, %xtick={-2*pi, -pi, 0, pi, 2*pi}, %xticklabel style = {xshift=-0.2cm}, %xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,0, $\pi$,$2\pi$}, xlabel = $x$, ylabel=$y$] \addplot [color=blue, thick,] {ln(x)}; \addplot [color=red, thick, ] {x^2}; \addplot [color=green!70!black, thick, ] {ln(x)/x^2}; \legend{$\ln (x)$,$x^2$,$\frac{\ln (x)}{x^2}$}%} \end{axis} \end{tikzpicture}$

$c)\displaystyle{\lim_{x\to -1} \frac{x-1}{x^2-1}}$

Suora sijoitus antaisi muodon " $\frac{-2}{0}$ ", joten ei voida käyttää l'Hospitalin sääntöä. Tehdään siis supistus.

$\lim_{x \to -1}\frac{x-1}{x^2-1} = \lim_{x \to -1}\frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}(x+1)}= \lim_{x \to -1}\frac{1}{x+1}.$

Nyt täytyy tarkastella toispuoleisia raja-arvoja.

$\lim_{\red{x \to -1-}}\frac{1}{x+1} = -\infty \quad \text{ja} \quad \lim_{\blue{x \to -1+}}\frac{1}{x+1} = \infty .$

Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, niin funktiolla $\frac{x-1}{x^2-1}$ ei ole raja-arvoa pisteessä x=-1 .

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[samples=100, %grid=major, scaled ticks=false, tick label style={/pgf/number format/fixed}, restrict y to domain=-10:10, legend pos = outer north east, axis lines = middle, %axis equal, %xtick={-2*pi, -pi, 0, pi, 2*pi}, %xticklabel style = {xshift=-0.2cm}, %xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,0, $\pi$,$2\pi$}, xlabel = $x$, ylabel=$y$] \addplot [color=red, thick, domain=-10:-1.01] {(x-1)/(x^2-1)}; \addplot [color=blue, thick, domain= -0.99:10] {(x-1)/(x^2-1)}; %\legend{$\frac{x-1}{x^2-1}$}%} \end{axis} \end{tikzpicture}$

$d)\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\frac{2x^3+4x-3}{8x^3+x^2+11}}$

Otetaan yhteinen tekijä x^3 ja supistetaan

${\lim_{x\to \infty}\frac{2x^3+4x-3}{8x^3+x^2+11}} = {\lim_{x\to \infty}\frac{\cancel{x^3} \left(2+\frac{4}{x^2}-\frac{3}{x^3}\right)}{\cancel{x^3}\left(8+\frac{1}{x}+\frac{11}{x^3}\right)}} = \lim_{x\to \infty}\frac{2+\overbrace{\frac{4}{x^2}}^{=0}-\overbrace{\frac{3}{x^3}}^{=0}}{8+\underbrace{\frac{1}{x}}_{=0}+\underbrace{\frac{11}{x^3}}_{=0}} = \frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$

Huomautus. Eksponenttifunktiolla on nopein kasvuvauhti, sitten polynomifunktiolla ja lopuksi logaritmifunktiolla. Funktion raja-arvot määräytyvät tämän kasvunopeuden mukaisesti. Osaisitko päätellä edellisen esimerkin - ja -kohtien perusteella, mikä olisi raja-arvo $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}\frac{e^x}{\ln(x)}}$ ? Katso vastaus $\infty$ .