Satunnaismuuttujia ja jakaumia

Mitä satunnaismuuttujat ovat?

Satunnaismuuttuja on kuvaus $X:\Omega \rightarrow \R.$ Satunnaismuuttujan avulla voimme kuvata tutkittavaa ilmiötä ja siihen liittyviä lukumääriä. Satunnaismuuttuja on diskreetti tai jatkuva riippuen kuvattavasta ilmiöstä. Satunnaismuuttuja noudattaa usein jotain tunnettua jakaumaa ja tällä sivulla esitellään tunnetuimpia jakaumia.

Esimerkkejä satunnaismuuttujista

Odotusaikaa liikennevaloissa voidaan kuvata satunnaismuuttujalla "odotusaika liikennevaloissa". Jos haluamme laskea todennäköisyyden sille, että joudumme odottamaan kaksi minuuttia liikennevaloissa, voimme merkitä $\mathbb{P}(X=2).$

Heitetään kolmea kolikkoa. Tällöin yksittäisen kolikonheiton tuloksen satunnaismuuttuja Y=1, jos kolikko on kruuna ja Y=0 kolikon ollessa klaava. Tällöin satunnaismuuttuja "kruunojen lukumäärä" voidaan merkitä $X=\omega_1+\omega_2+\omega_3,$ missä $\omega_i$ on yksittäisen kolikon heiton tulos ja $Y(\omega)=\omega_i.$ Eli tällöin satunnaismuuttuja saa arvoja ja

Python-koodi kolikonheitolle

# kolikenheittonn12345678

Diskreetti satunnaismuuttuja

$\begin{tikzpicture} \draw[thick] (0,0) -- (0,6); \draw[thick] (-0.1,5.8) -- (0,6);\ \draw[thick] (0.1,5.8) -- (0,6); \draw[thick] (0,0) -- (6,0); \draw[thick] (5.8,-0.1) -- (6,0); \draw[thick] (5.8,0.1) -- (6,0); \coordinate (k1) at (1,4); \coordinate (k2) at (2.3,1.8); \coordinate (k3) at (3,4); \coordinate (k4) at (4.0,0); \coordinate (k5) at (5,5); \draw[thick, line width=3] (0,0) -- (5.5,0); \foreach \i in {1,2,3,4,5}{ \draw[dashed] (k\i |- 52,0 )-- (k\i); \draw[dashed] (k\i -| 0,52) -- (k\i); \node[draw,text width=0cm,line width=0] at ($(k\i |- 52,-0.3 )+(-0.1,0)$) {$x_\i$}; \draw[color=black!90!black, fill] (k\i) circle(3pt); } \foreach \i in {1,2,3,4,5}{ \draw[color=white!90!black, fill] (k\i |- 52,0 ) circle(3pt); } \foreach \i in {1,2,3,4,5}{ \draw[color=black!90!black, fill] (k\i) circle(3pt); } \node[draw,text width=0cm,line width=0] at (-0.2,-0.1) {0}; \node[draw,text width=3cm,line width=0] at (7.6,0) {$x$}; \node[draw,text width=3cm,line width=0] at (k1 -| -0.7,52) {$p(x_1)=p(x_3)$}; \foreach \i in {2,4,5} \node[draw,text width=3cm,line width=0] at (k\i -| 0.45,52) {$p(x_\i)$}; \end{tikzpicture}$

\end{tikzpicture}

# pistetodennakoisyysfunktio

Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan arvojoukko $\{x_1,x_2,x_3,...\}.$ Tällöin sen jakaumaa kuvataan pistetodennäköisyysfunktiolla $p: \R \rightarrow[0{,}1],\ p(x)=P(X=x).$ Mikä tahansa funktio on pistetodennäköisyysfunktio, jos

vain niillä muuttujan arvoilla arvoilla, jotka kuuluvat :n arvojoukkoon
$p\geq 0$ kaikissa määrittelyjoukkonsa pisteissä eli koko reaaliakselilla $\R$
$\sum_{k=1}^{\infty} p(x_k)=1$ (normitusehdon tulee toteutua, jotta $P(\Omega)=1$ )

Klassisessa tapauksessa :n alkion arvojoukolle $\{x_1,x_2,x_3,...,x_N\}$ normitusehto voidaan kirjoittaa muuodossa $\sum_{k=1}^{N} p(x_k)=1$ Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio F_X(x) saadaan määrättyä pistetodennäköisyysfunktion avulla: $F_X(x)=\sum_{x_k\leqslant x} p(x_k).$

# diskreetinsatunnaismuuttujanodotusarvojavarianssi

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, varianssi ja keskihajonta

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo sijaitsee jakauman painopisteessä ja on satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Siitä voidaan käyttää joko merkintää $\mathbb{E}(X)$ tai <X>. Yleisemmin minkä tahansa muuttujan funktion g(X) odotusarvosta voidaan käyttää merkintää <g(X)>.

Odotusarvo satunnaismuuttujalle on $\mathbb{E}(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty x_iP(X=x_i),$ kun summa suppenee itseisesti. Odotusarvo voidaan määritellä myös muuttujalle, joka saa eri arvoa: $\mathbb{E}(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^N x_iP(X=x_i).$

Varianssi kuvaa paljonko satunnaismuuttujan arvot vaihtelevat keskimäärin odotusarvosta. Diskreetille satunnaismuuttujalle varianssi on: $\begin{align*}\text{Var}(X)&=\sigma^2=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]\\&=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2{,}\end{align*}$ missä $\mathbb{E}(X^2)=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2P(X=x_i).$ Varianssi on määriteltävissä, kun molemmat summat $\mathbb{E}(X)$ ja $\mathbb{E}(X^2)$ suppenevat itseisesti. Varianssin avulla voimme laskea satunnaismuuttujan keskihajonnan $\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}.$

# diskreetinsatunnaismuuttujanmoodijamediaani

Diskreetin satunnaismuuttujan moodi ja mediaani

Diskreetin satunnaismuuttujan moodi on se muuttujan arvojoukon alkio (tai alkiot), jolla p(x) on suurin.

Diskreetin satunnaismuuttujan mediaani on se muuttujan arvojoukon alkio jolla $F_X(x)=P(X\le x)\ge 0{,}5,$ kun P(X<x)<0{,}5.

Esimerkki diskreetistä jakaumasta

Myyjäisissä on myytävänä 200 kappaletta arpoja, jotka maksavat kolme euroa kappaleelta. Voittoina on kaksi 30 euron arvoista lahjakorttia ja kymmenen 10 euron arvoista lahjakorttia. Satunnaismuuttuja on ensimmäisenä ostetun arvan nettovoitto (euroina).

Määritä diskreetin satunnaismuuttujan jakauma:

Arpa maksaa kolme euroa, joten voittaessa 30 euron lahjakortin saamme 27 euroa, 10 euroa voittaessa saadaan 7 euroa ja muussa tapauksessa menetämme kolme euroa. Satunnaismuuttujan arvojoukko on siis $\{-3, 7, 27\}.$

Todennäköisyys voittaa seitsemän euroa on: $P(X=7)=\frac{10}{200}=\frac{1}{20}.$

Todennäköisyys voittaa 27 euroa on: $P(X=27)=\frac{2}{200}=\frac{1}{100}.$

Todennäköisyys hävitä kolme euroa on: $P(X=-3)=\frac{188}{200}=\frac{47}{50}.$

Esimerkki odotusarvon laskemisesta

Jatketaan edellistä esimerkkiä, eli satunnaismuuttuja on edelleen ensimmäisen arvan nettovoitto (euroina). Lasketaan tälle satunnaismuuttujalle odotusarvo:

$\begin{align*} \mathbb{E}(X)=&\ (-3)P(X=-3)+7P(X=7)\\&+27P(X=27)\\ =&\ (-3)\frac{47}{50}+7\frac{1}{20}+27\frac{1}{100}=-2{,}2\\ \end{align*}$

Esimerkki keskihajonnan laskemisesta

Jatketaan edelleen samalla satunnaismuuttujalla ja määritetään sille keskihajonta $\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}.$

Tätä varten lasketaan ensin varianssi: $\begin{align*} \text{Var}(X)=&\ \mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2\\=&\ (-3)^2\frac{47}{50}+7^2\frac{1}{20}+27^2\frac{1}{100}-2{,}2^2\\=&\ 13{,}36\\ \end{align*}$

Tällöin keskihajonta on $\sigma=\sqrt{13{,}36}\approx3{,}66.$

Esimerkki pistetodennäköisyysfunktion normittamisesta

Olkoon satunnaismuuttujan arvojoukko $\{1,2,3,4,8\}.$ Määrää vakion arvo siten, että funktio p(x) on pistetodennäköisyysfunktio, kun

$p(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{c}{x}} & \text{kun}\; x=1,2,3,4,8\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right .$

$p(x)\ge 0$ kaikilla $x\in\mathbb{R},$ kun $c\ge 0.$ Lisäksi p(x)>0 mahdollisilla arvoilla, kun c>0.

Pistetodennäköisyysfunktion normitusvakioksi voidaan yhtälöstä $\frac{c}{1}+\frac{c}{2}+\frac{c}{3}+\frac{c}{4}+\frac{c}{8}=\frac{424c}{192}=\frac{53c}{24}=1$ ratkaista $c=\frac{24}{53}.$

Tällöin pistetodennäköisyysfunktio p(x) on $p(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{24}{53x}} & \text{kun}\; x=1,2,3,4,8\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right .$

Esimerkki: paramagneetin magnetoituma

Tarkastellaan ideaalista paramagneettia, jonka :n dipolin kvanttimekaanisista spineistä kukin suunta voi olla hetkellisesti joko ylös tai alas, lämpötilassa olevassa lämpökylvyssä ja ulkoisessa magneettikentässä Näiden "ylös" ja "alas" tilojen energiat ovat $E_{\uparrow,\downarrow}=\mp\mu B$ ja magnetoitumat $m_{\uparrow,\downarrow}=\pm\mu.$

Boltzmanin jakauma systeemin eri riippumattomien energiatilojen todennäköisyyksille on $p(E)= \frac{1}{Z}g(E)e^{-\frac{E}{k_B T}},$ missä energiatilojen degeneraatio eli saman energian omaavien mikrotilojen määrä on $g(E)=\sum_{v} \delta_{E_vE},$ kun $\delta_{E_vE}$ on Kroneckerin delta $\delta_{mn}=\begin{cases*}1&kun $n=m$\\0& muulloin\end{cases*}$ ja partitiofunktio eli normalisaatiovakio on $Z=\sum_{E}g(E)e^{-\frac{E}{k_B T}}.$

Tässä energiatiloja on siis vain kaksi ja ne ovat toisistaan riippumattomia, joten yksittäisten dipolien suuntien todennäköisyydet ovat Boltzmannin jakauman mukaisesti $p(E_{\uparrow,\downarrow})=\frac{1}{Z}e^{-\frac{E_{\uparrow,\downarrow}}{k_B T}}= \frac{1}{Z}e^{\pm\frac{\mu B}{k_B T}},$ missä $Z= e^{-\frac{\mu B}{K_B T}}+e^{\frac{\mu B}{K_B T}}.$ Nyt yhden dipolin magnetoituman odotusarvoksi saadaan $<m>\ =\sum_{i=\uparrow,\downarrow} m_ip_i=\mu p_\uparrow-\mu p_\downarrow$ ja hyperbolisten funktioiden avulla kirjoitettuna $\begin{align*} <m>&=\mu\frac{e^{\frac{\mu B}{k_B T}}-e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}}{e^{-\frac{\mu B}{K_B T}}+e^{\frac{\mu B}{K_B T}}} \\&=\mu\frac{2\sinh\left(\frac{\mu B}{k_B T}\right)}{2\cosh\left(\frac{\mu B}{k_B T}\right)}\\&=\mu \tanh\left(\frac{\mu B}{k_B T}\right).\\ \end{align*}$

Lasketaan vielä koko materiaalin magnetoituman $M=\mu N_\uparrow-\mu N_\downarrow$ odotusarvo. Kun dipoleita on yhteensä kappaletta ja niistä kappaletta osoittaa ylöspäin ja N-n alaspäin, magnetoituma on $M_n=n\mu-(N-n)\mu.$ Koska dipolit ovat toisistaan riippumattomia, todennäköisyys sille, että dipolia osoittaa ylöspäin saadaan yksittäisten dipolien todennäköisyyksien tulona. Lisäksi on $\binom{n}{k}$ vaihtoehtoa, joilla kappaleesta dipoleita voidaan valita ylöspäin osoittaavaa dipolia, joten $\begin{align*} {(p_{kok})}_n&=\binom{N}{n}{(p_{\uparrow})}^n{(p_{\downarrow})}^{N-n}\\&=\binom{N}{n} {\left(\frac{e^{\frac{\mu B}{k_B T}}}{Z}\right)}^n{\left(\frac{e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}}{Z}\right)}^{N-n}. \end{align*}$ Nyt magnetoituman odotusarvo voidaan kirjoittaa muodossa $\begin{align*} <M>&=\sum_{n=0}^{N} M_n {(p_{kok})}_n \\ &=\mu{\left(Ze^{\frac{\mu B}{k_B T}}\right)}^{-N}\sum_{n=0}^{N}(2n-N)\binom{N}{n}e^{\frac{2\mu B}{k_B T}} \end{align*}$ Tässä laskussa hyödynnetään binomikaavaa ${(1+x)}^k=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}x^j,$ missä ${k\choose j} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ on binomikerroin, ja siitä saatavaa lauseketta $(1+x)^{k-1}=\frac{\text{d}}{\text{d} x}{(1+x)}^k=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}jx^{j-1}{,}$ jolloin $\sum_{n=0}^{N}(2n-N)\binom{N}{n}e^{\frac{2\mu Bn}{k_B T}}=2Ne^{\frac{2\mu B}{k_B T}}{\left(e^{\frac{2\mu B}{k_B T}}+1\right)}^{N-1} -N{(e^{\frac{2\mu B}{k_B T}}+1)}^N.$ Hyperbolisten funktioiden avulla kirjoitettuna magnetoituman odotusarvoksi saadaan $\begin{align*} <M>&=-\mu N+2\mu N\frac{e^{\frac{\mu B}{k_B T}}}{e^{\frac{\mu B}{k_B T}}+e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}}\\& =\frac{e^{\frac{\mu B}{k_B T}}-e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}}{e^{\frac{\mu B}{k_B T}}+e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}}\mu N \\&=\mu N\tanh\left(\frac{\mu B}{k_B T}\right) \end{align*}$ eli saatiin, että $<M>\ =N<m>.$

Poissonin jakauma

Poissonin jakauma esiintyy tilanteissa, joissa pyritään mittaamaan kuinka monesti jotain tapahtuu. Esimerkiksi autokolariin joutumiset ja radioaktiiviset hajoamiset ovat tälläisia tapahtumia. Todennäköisyys saada tapahtumaa jonakin ajanjaksona on $P_{\red\mu}(v)=\frac{\red\mu^v}{v!}e^{-\red\mu},$ missä $\red\mu>0$ on odotettavissa oleva tapahtumien lukumäärä kyseisenä ajanjaksona. Tämä on Poissonin jakauma parametrilla $\red\mu$ ja sen arvojoukko on $\{0,1,2,...\}.$ Poisonin jakaumalle voidaan diskreettien jakaumien yleisten ominaisuuksien perusteella osoittaa, että tapahtumien keskimääräinen lukumäärä $\bar{v}=\mu$ ja keskihajonta $\sigma_v=\sqrt{\mu}$

Python-koodi Poissonin jakaumien kuvaajien piirtämiseksi

# poisson_esimerkki_akselit_nimetty3

Esimerkki radioaktiivisesta hajoamisesta

Tehdyn mittauksen perusteella puolessa tunnissa hajoaa 36 alfahiukkasta. Tällöin $\mu=36$ ja mittaustuloksen virhe on $\sigma_v=\sqrt{36}=6.$ Näin ollen minuutissa hajoaa $\frac{36}{30}\pm\frac{6}{30}$ hiukkasta.

Esimerkki poissonjakaumasta

Matikkapakin kehittäjä juo satunnaisesti vettä keskimäärin 1,8 lasia tunnissa. Mikä on todennäköisyys, että kehittäjä juo 4 lasia vettä tunnin aikana?

Merkitään $X=\text{tunnissa juotujen vesilasien lukumäärä.}$

Tässä tapauksessa tapahtuma toistuu satunnaisesti ja tiedetään, että se keskimäärin toistuu 1,8 kertaa eli $\mu=1{,}8.$ Tällöin siis satunnaismuuttuja noudattaa Poissonin jakaumaa eli $X\sim Poisson(1{,}8).$

Hyödynnetään siis poissonin jakaumaa selvittämään haluttu todennäköisyys:

$P(X=4)=e^{-1{,}8}\frac{1{,}8^4}{4!}=0{,}0723.$

Entä kuinka todennäköistä on, että kehittäjä juo kaksi tai useamman lasin vettä tunnin aikana?

Tällöin $\begin{aligned}P(X\ge 2)=&\ P(X=2)+P(X=3)+...\\=&\ 1-P(X<2)\\=&\ 1-\left(P(X=0)+P(X=1)\right) \\ =&\ 1-\left(e^{-1{,}8}\frac{1{,}8^0}{0!}+e^{-1{,}8}\frac{1.8^1}{1!}\right)\\=&\ 1-(0{,}16529 + 0{,}29753)\\ \approx &\ 0{,}537.\end{aligned}$

Muita diskreettejä jakaumia

Esimerkki binomijakaumasta

Kolmenkymmenen päivän aikana keskimääräinen todennäköisyys sateelle on $40\%.$ Millä todennäköisyydellä sataa korkeintaan 5 päivänä?

Binomijakaumaa käyttämällä voimme tarkastella tilanteita, joissa tehdään kappaletta riippumattomia toistokokeita, joilla on vain kaksi mahdollista lopputulosta, joiden todennäköisyydet ovat ja 1-p. Sillä voimme siis tarkastella binäärisiä tilanteita kuten "sataa" tai "ei sada", joten se sopii hyvin tähän tilanteeseen.

Nyt n=30 ja p=0{,}4, joten

$\begin{align*}P(X\le 5)&=\sum_{i=1}^5\binom{30}{i}0,4^i(1-0{,}4)^{30-i}\\&=0{,}00565879637\approx 0{,}006\end{align*}$

eli on noin $0{,}6\%$ todennäköisyys, että korkeintaan viitenä päivänä sataa.

Mikä on todennäköisyys, että enemmän kuin kymmenenä päivänä sataa?

$\begin{align*}P(X>10)&=\sum_{i=11}^{30}\binom{30}{i}0{,}4^i(1-0{,}4)^{30-i}\\&=0{,}70852813878\approx 0{,}71\end{align*}$

Eli on noin $71\%$ todennäköisyys, että sataa useammin kuin kymmenenä päivänä.

Lasketaan vielä odotusarvo ja varianssi satunnaismuuttujalle :

$\mathbb{E}(X)=np=30\cdot 0{,}40=12$ ja

$\text{Var}(X)=np(1-p)=30\cdot 0{,}40(1-0{,}4)=7{,}2$

Python-koodi binomijakaumalle

# binomiparametriscattermuutettuversio

Esimerkki hypergeometrisesta jakaumasta

100 tuotteen tavaraerässä on 5 virheellistä tuotetta. Mikä on todennäköisyys, että 10 tuotteen otoksessa on kolme virheellistä tuotetta?

Hypergeometrinen jakauma sopii ratkaisemaan tällaisen kysymyksen, jossa halutaan selvittää tietyn kokoisen perusjoukon tiettyä tyyppiä olevien (eli tässä tapaudessa viallisten) alkioiden määrä otoksessa. Olkoon satunnaismuuttuja viallisten tuotteiden määrä otoksessa. Nyt perusjoukon koko on N=100, viallisten lukumäärä koko perusjoukossa on K=5 ja otoskoko on n=10, joten

$P(X=3)=\frac{\binom{5}{3}\binom{95}{7}}{\binom{100}{10}}\approx 0{,}006$

eli on noin $0,6\%$ todennäköisyys, että kolme tuotetta olisi viallisia satunnaisesti valitun kymmenen joukosta.

Lasketaan vielä odotusarvo ja varianssi satunnaismuuttujalle

$\mathbb{E}(X)=n\frac{K}{N}=10\frac{5}{100}=\frac{1}{2}$ ja

$\text{Var}(X)=n\frac{K}{N}\frac{N-K}{N}\frac{N-n}{N-1}=10\frac{5}{100}\frac{95}{100}\frac{90}{99} =\frac{19}{44}$

Python-koodi hypergeometriselle jakaumalle

# pyesimhyper12123488844449

Esimerkki geometrisesta jakaumasta

Heitetään noppaa kunnes saamme silmäluvun kuusi. Millä todennäköisyydellä saadaan kuusi neljännellä heitolla?

Tähän soveltuu geometrisen jakauman hyödyntäminen, sillä kyseessä on toistokoe, jossa halutaan selvittää toistojen määrä ennen todennäköisyydellä tapahtuvan tapahtuman tapahtumista. Olkoon satunnaismuuttuja heittokerta, jolla onnistumme heittämään silmäluvun kuusi ja $p=\frac16,$ jolloin

$P(X=4)=\frac{1}{6}\bigg(1-\dfrac{1}{6}\bigg)^{4-1}=\dfrac{5^3}{6^4}\approx0{,}1$

eli on noin $10\%$ mahdollisuus, että saadaan noppaa heittämällä kuusi neljännellä heitolla.

Lasketaan vielä odotusarvo ja varianssi satunnaismuuttujalle

$\mathbb{E}(X)=\frac{1-p}{p}=\frac{1-\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}}=5$ ja

$\text{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{1-\frac{1}{6}}{(\frac{1}{6})^2}=30$

Python-koodi geometriselle jakaumalle

# geometrinenkuvpython11111222

Jatkuva satunnaismuuttuja

# tiheysfunktionkuvaaja

# tiheysfunktio

Olkoon satunnaismuuttuja jatkuva. Tällöin funktio on sen tiheysfunktio, jos kaikilla $a,b\in \R,$ a<b pätee $P(a\le X \le b)=\int_a^bf(x)\text{d}x.$

Funktio $f:\R \to [0,\infty)$ on tiheysfunktio, jos ja vain jos

$f(x)\ge 0,$ kaikilla $x\in \R,$
on integroituva yli $\R$ :n ja
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\text{d}x=1$ (normitusehto)

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle jonka tiheysfunktio on pätee seuraavat ehdot:

kertymäfunktiolle $F(x)=P(X\le x)$ pätee $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\;\text{d}t,\ x\in{\mathbb{R}}$ ja kääntäen kaikissa tiheysfunktion jatkuvuuspisteissä;
kaikilla $x_0\in{\mathbb{R}}$ ja
$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x) \text{d}x=F(b)-F(a)$

Huomaa, että $\begin{align*}P(a<X<b)&=P(a<X\le b)\\&=P(a\le X<b)\\&=P(a\le X\le b).\end{align*}$

# jatkuvansatunnaismuuttujanmoodijamediaani

Jatkuvan satunnaismuuttujan moodi ja mediaani

Jatkuvan satunnaismuuttujan moodi on ne :n arvot, joilla funktio saavuttaa maksiminsa.

Jatkuvan satunnaismuuttujan mediaani on se :n arvo, jolla $F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{2}$ eli kertymäfunktio saavuttaa arvon puoli.

# jatkuvansatunnaismuuttujanodotusarvojavarianssi

Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo, varianssi ja keskihajonta

Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo sijaitsee jakauman painopisteessä ja siitä voidaan käyttää merkintöjä $\mathbb{E}X$ ja <X>. Jatkuvan muuttujan odotusarvon määritelmä on $\mathbb{E}X=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\text{d}x,$ kun integraali suppenee itseisesti.

Jatkuvan satunnaismuuttujan varianssi $\text{Var}(X)=\sigma ^2$ kertoo kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot vaihtelevat keskimäärin odotusarvosta. Varianssi voidaan laskea seuraavasti: $\begin{align*}\text{Var}(X)&=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]=\mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2\\&= \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)\text{d}x-\left(\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\text{d}x\right)^2,\end{align*}$ kun integraalit suppenevat itseisesti.

Tästä saadaan myös jakauman keskihajonta $\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}.$

Myös muuttujasta riippuvalle funktiolle g(X) voidaan laskea odotusarvo: $<g(X)>=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\text{d}x.$

# esimerkkijatkuvansatunnaismuutujanjakaumasta

Esimerkki jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumasta

Liikennevaloissa odottaminen kestää satunnaisen ajan (minuuteissa). :n tiheysfunktio on $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} cxe^{-\frac{x^2}{2}} & x>0\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right .$

Määrää c siten, että on tiheysfuntio.

Tarkastetaan ehdot:

$f(x)\ge 0$ kaikilla $x\in\R,$ kunhan $c\ge 0,$ sillä $e^x\ge 0\;$ kaikilla $x\in\R$ ja $x\ge 0,$ ja funktio on määritelty nollaksi negatiivisilla luvuilla.

Määritetään : $\begin{align*} 1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\text{d}x&=\int_{-\infty}^{\infty}cxe^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x\\&=\lim_{b\to\infty} c\int_{0}^{b}xe^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x\\&= c\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}xe^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x \\&=-c\lim_{b\to\infty}\bigg/_{\!\!\! 0}^{\,b}e^{-\frac{x^2}{2}}\\&=-c\left(\lim_{b\to\infty}e^{-\frac{b^2}{2}}-1\right)\\&=c.\end{align*}$

Nyt tiheysfunktio on $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} xe^{-\frac{x^2}{2}} & x>0\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right .$

Esimerkki moodin laskemisesta jatkuvassa jakaumassa

Jatketaan samalla tiheysfunktiolla ja selvitetään moodi:

Tiheysfunktion maksimi löydetään sen derivaatan nollakohdista: $\begin{align*}f'(x)&=e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\\&=e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2)=0\end{align*}$ Koska $e^{-\frac{x^2}{2}}\ge 0,$ $\begin{align*}f'(x)&=0\Leftrightarrow 1-x^2=0 \\&\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1.\end{align*}$

Sijoitetaan derivaatan nollakohdat ja saadaan seuraavat arvot: f(-1)=0 ja $f(1)=e^{-\frac{1}{2}}.$ Eli funktio saavuttaa maksiminsa, kun x=1. Tällöin siis satunnaismuuttujan moodi on

Esimerkki todennäköisyyden laskemisesta jatkuvassa jakaumassa

Määritä todennäköisyys, että liikennevaloissa odottaminen kestää ainakin 3 minuuttia.

$\begin{align*}P(X\ge 3)&=\int_{3}^{\infty}xe^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x\\&=\lim_{b\to\infty}\int_{3}^{b}xe^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x\\&=\lim_{b\to\infty}\bigg/_{\!\!\! 3}^{\,b}-e^{-\frac{x^2}{2}} \\&=0-(-e^{-\frac{9}{2}})=e^{-\frac{9}{2}}\\&\approx0{,}011.\end{align*}$

Eli todennäköisyys odottaa liikennevaloissa ainakin 3 minuuttia on noin $1{,}1\%.$

Esimerkki kertymäfunktion määrittämisestä

Määrää :n kertymäfunktio. $\begin{align*}F(x)&=\int_{-\infty}^{x}f(t)\text{d}t\\&=\left\{\begin{array}{ll} \int_0^xte^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t & x>0\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right . \\&=\left\{\begin{array}{ll} \bigg/_{\!\!\! 0}^{\,x}-e^{-\frac{t^2}{2}} & x>0\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right .\\&=\left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-\frac{x^2}{2}} & x>0\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right .\end{align*}$

Esimerkki mediaanin laskemisesta

Määrää satunnaismuuttujan mediaani.

Nyt haluamme selvittää, millä :n arvolla kertymäfunktio F(x) saavuttaa arvon 0,5 (tutkitaan vain positiivisilla luvuilla). $1-e^{-\frac{x^2}{2}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow e^{\frac{x^2}{2}}=2$ $\Leftrightarrow e^{x^2}=4 \Leftrightarrow x^2\ln e=\ln 4$ $\Leftrightarrow x^2=\ln 4\Leftrightarrow x=\sqrt{\ln 4}.$

Eli satunnaismuuttujan mediaani on $\sqrt{\ln 4}.$

Esimerkki odotusarvon ja varianssin laskemisesta jatkuvalle satunnaismuuttujalle

Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} xe^{-\frac{x^2}{2}} & x>0\\ 0 & \mbox{muualla.}\end{array}\right .$

Muuttujan odotusarvoksi saadaan osittaisintegroimalla

$\begin{align*}\mathbb{E}(X)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\text{d}x\\&=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x\\& =\lim_{b\to\infty}\bigg/_{\!\!\! 0}^{\,b}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt 2}\right)-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right)\\& =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\approx1{,}25{,}\end{align*}$

missä $\text{erf}$ on virhefunktio.

Lasketaan muuttujan varianssi:

$\begin{align*}\text{Var}(X)&=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2\\&=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}x^3e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x-\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^2\\& =\displaystyle\lim_{b\to\infty}\bigg/_{\!\!\! 0}^{\,b}(-e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2+2))-\frac{\pi}{2}\\&=2-\frac{\pi}{2}=\frac{4-\pi}{2}\approx0{,}43\end{align*}$

Normaalijakauma

Normaalijakauma eli Gaussin jakauma on kellokäyrän muotoinen symmetrinen jakauma, jonka tiheysfunktio on $f(x)=\frac{1}{\green\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{{( x-\red X)}^2}{2\green\sigma^2}},$ missä $\red X$ on jakauman keskikohta ja $\green\sigma$ on jakauman leveysparametri. Jakauman karakterisointiin riittää siis tieto jakauman leveydestä ja keskikohdasta.

Normaalijakauman kuvaaja Geogebralla

# geogebranormaalijak

Python-koodi normaalijakaumien kuvaajien piirtämiseksi

# normaalijak_parametriesimerkki_akselit_nimetty

Standardinormaalijakauman parametrit ovat X=0 ja $\sigma=1$ ja sen tiheysfunktio on $\Phi(\blue x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\blue x} e^{-\frac{t^2}{2}} \dt$

Mutta miksi?

Tämä ominaisuus seuraa suoraan kertymäfunktion ominaisuuksista ja pätee kaikille kertymäfuntktioille
Myös tämä ominaisuus pätee kaikille kertymäfunktioille, sillä integraalin ominaisuuksien nojalla $\begin{align*}P(x\le X\le y)&=\int_x^y f(z) \dz\\&=\int_{-\infty}^y f(z) \dz-\int_{-\infty}^x f(z) \dz\\&=\Phi(y)-\Phi(x).\end{align*}$
Normaalijakauman kertymäfunktio on symmetrinen, joten integraalin ominaisuuksien perusteella $\begin{align*}\Phi(-x)&=\int_{-\infty}^{-x} f(z) \dz\\&=\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} f(z) \dz}_{=1}- \int_{-x}^{\infty} \underbrace{f(z)}_{=f(-z)} \dz\\&=1- \int_{-\infty}^{x} f(z) \dz=1-\Phi(x).\end{align*}$

# normaalitiheysfunktioperustelukuva

Esimerkki standardi normaalijakauman käytöstä

Standardi normaalijakauman tiheysfunktiossa esiintyvää integraalia ei ole mahdollista esittää alkeisfunktioiden avulla, mutta sille voidaan katsoa arvoja taulukosta. Esimerkiksi $\Phi(1{,}50)=0{,}9332$ ja $\Phi(0{,}55)=0{,}7088,$ joten standardinormaalijakauman ominaisuuksien nojalla $\begin{align*} P(-0{,}55\leqslant X\leqslant 1{,}5) &= \Phi(1{,}50)-\Phi(-0{,}55)\\&=\Phi(1{,}50)-1+\Phi(0{,}55)\\&\approx 0{,}6420. \end{align*}$

Normaalijakautuneiden arvojen standardoiminen

Jos meillä on normaalijakautunut satunnaismuuttuja ja haluamme hyödyntää standardi normaalijakauman laskusääntöjä selvittäessämme todennäköisyyksiä, meidän pitää standardoida satunnaismuuttujan arvot.

Jos $\mu$ on satunnaismuuttujan keskiarvo ja $\sigma$ on sen keskihajonta, eli $X\sim N(\mu,\sigma),$ niin standardoitu arvo noudattaa normaalijakaumaa: $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$

Esimerkki arvojen standardoinnista

Suomalaisen miesväestön pituus noudattaa normaalijakaumaa parametrein $N(181{,}0\;{,}\; 6{,}1)$ (cm). Laske tämän tiedon avulla todennäköisyys sille, että satunnaisesti valitun henkilön pituus on yli 193,0 cm, on

$\begin{align*}P(X\ge 193{,}0)&=1-P(X\le 193{,}0)\\&=1-\Phi(\frac{193-181{,}0}{6{,}1})\\&=1-\Phi(1{,}96) =1-0{,}975\\&=0{,}025.\end{align*}$

Eli satunnaisesti valitun miespuolisen henkilön pituus on yli 193 cm noin 2,5% todennäköisyydellä.

# normaalijakaumanjakeskiarvonyhteys

Normaalijakauman ja keskiarvon yhteys

Tästä voit kerrata miten painotettu keskiarvo ja painotettu keskiarvo sekä niiden virheet lasketaan.

Normaalijakaumaa noudattavista mittaustuloksista voidaan etsiä kyseistä jakaumaa vastaavat odotusarvon ja jakauman leveysparametrin arvot. Tässä yhteydessä odotusarvoa kutsutaan keskiarvoksi ja leveysparametria keskihajonnaksi. Toisin sanoen mittaustuloksille, joiden virheet ovat samansuuruiset, voidaan laskea keskiarvo ja keskihajonta.

Toisaalta, jos rajajakauman f(x) parametrit tiedetään, niin keskiarvo ja keskihajonta saadaan integroimalla eli $\bar{x}=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\dx$ ja $\sigma_x = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}{(x-\bar{x})}^2f(x)\dx }.$

Eri normaalijakaumia, joiden keskikohdat ovat kumminkin samat, noudattavat mittaustulokset voidaan yhdistää painotettua keskiarvoa käyttäen. Painotettua keskiarvoa laskettaessa kullekin x_i käytetään painokerrointa $w_i=\frac{1}{\sigma_i^2},$ missä $\sigma_i$ on kunkin normaalijakauman keskihajonta. Normaalijakaumien keskihajonnat vastaavat siis yksittäisten mittauksien virheitä.

Mutta miksi?

Keskiarvon lauseke voidaan johtaa normaalijakauman pohjalta:

Tehdään kappaletta toisistaan riippumattomia mittauksia, joiden tuloksena saadaan tuloperiaatteen nojalla arvot x_1,x_2,...,x_N todennäköisyydellä $\begin{align*} P(x_1,x_2,...,x_N)&=P(x_1)P(x_2)..P(x_N)\\&= \frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi}\sigma\right)}^N}e^{-\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\bar{x})}^2}{2\sigma^2}} \end{align*}$ Tarkoitus on siis löytää todennäköisyyden maksimi. Näin käy, kun summa $\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\bar{x})}^2}{2\sigma^2}$ saavuttaa miniminsä eli, kun $\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{N}x_i-\bar{x}N=0,$ jolloin $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}.$

Arvio leveysparametrille saadaan tekemällä vastaava ääriarvotarkastelu muuttujan $\sigma$ suhteen: $\frac{dP}{d\sigma}=\frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi}\right)}^N\sigma^{N+1}}\left(\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\bar{x})}^2-N\right) e^{-\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\bar{x})}^2}{2\sigma^2}}=0,$ kun $\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{{(x_i-\bar{x})}}^2}{N}}.$ Näin saadaan populaatiokeskihajonta. Pienillä otoksilla on kuitenkin parempi käyttää otoskeskihajontaa $\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{{(x_i-\bar{x})}}^2}{N-1}}.$ Lauseke painotetulle keskiarvolle saadaan samankaltaisella ääriarvotarkastelulla kuin painottamattomankin keskiarvon lauseke: $P(x_1,x_2,...,x_N)= \frac{1}{{\left(\sqrt{2\pi}\right)}^N\sigma_1\sigma_2...\sigma_N}e^{-\frac{\chi^2}{2}},$ missä $\chi=\sum_{i=1}^{N}{\left(\frac{x_i-x_{wav}}{\sigma_i}\right)}^2,$ jolloin $\chi^2$ saa minimiarvonsa, kun $\frac{d\chi^2}{dx_{wav}}=-2\sum_{i=1}^{N}\frac{x_i-x_{wav}}{\sigma_i^2}=0,$ jolloin $x_{wav}=\frac{\sum_{i=1}^{N}\frac{x_i}{\sigma_i^2}}{\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{\sigma_i^2}}.$

Muita jatkuvia jakaumia

Tässä on lueteltu yleisimpiä jatkuvia jakaumia, niiden tiheysfunktiot f(x), kertymäfunktiot F(x), odotusarvot ja varianssit.

Taulukossa esiintyvä funktio $\Gamma(z)$ on Gammafunktio.

Esimerkki tasajakaumasta

Millä todennäköisyydellä väliltä [-1,5] umpimähkään poimittu luku on väliltä [0,2] ?

Lasketaan siis $P(0\le X\le 2),$ kun on tasajaukautunut välillä [-1,5].

Tasajakauman tiheysfunktio on $f(x)=\frac{1}{b-a},$ missä $x\in \mathopen]a,b\mathopen[.$ Nyt a=-1 ja b=5. Tällöin siis $\begin{align*}P(0\le X\le 2)&=\int_0^2\frac{1}{5-(-1)}\text{d}x\\&=\bigg/_{\!\!\! 0}^{\,2}\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}.\end{align*}$

Python-koodi tasajakauman kuvaajan piirtämiseksi

# tasajakauma_muutettu

Tasajakauman kuvaaja Geogebralla

# geogebratasajakau

Esimerkki eksponenttijakaumasta

Laboratoriossa laite vioittuu keskimäärin 80 päivän välein (pitkällä aikavälillä tarkasteltuna laite vaatii huoltoa noin 80 päivän välein). Millä todennäköisyydellä laite vioittuu 50 päivän sisällä aiemmasta korjauksesta?

Laitteen toimivuus tietyllä ajanhetkellä ei riipu sen toimivuudesta edellisellä ajanhetkellä, joten eksponenttijakauma sopii unohtavaisuusominaisuutensa vuoksi tähän tilanteeseen. Olkoon satunnaismuuttuja lukumäärä päivistä, jotka laite on ollut ehjänä edellisestä korjauksesta. Tällöin siis $\mathbb{E}(X)=80.$

Odotusarvon kaavasta saadaan $\lambda=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=\frac{1}{80},$ joten $P(X\le 50)=F(50)=1-e^{-\frac{1}{80}\cdot 50}\approx 0{,}46.$ Laite vioittuu siis 50 päivän sisällä aiemmasta korjauksesta noin $46\%$ todennäköisyydellä.

Python-koodi eksponenttijakauman kuvaajan piirtämiseksi

# eksponential411113muutet

Eksponenttijakauman kuvaaja Geogebralla

# geogebraeksponenttijakau

Kahden muuttujan jakauma

Olkoot ja reaalisia satunnaismuuttujia, jolloin $(X,Y)^\top$ on satunnaisvektori ja sen arvojoukon pisteet ovat $\R^2$ :n pisteitä. Todennäköisyysfunktio $\text P((X,Y)\in B),$ missä $B\subset\R^2,$ antaa todennäköisyyden, jolla $(X,Y)^\top$ kuuluu joukkoon Satunnaisvektorin $(X,Y)^\top$ kertymäfunktio on $F_{X,Y}(x,y)= P(X\leqslant x \ \text{ja}\ Y\leqslant y)$ ja sen reunajakaumien kertymäfuntiot ovat $\begin{align*} F_{XY}(x,\infty)&=\lim_{h\to\infty} P(X\leqslant x\ \text{ja}\ Y\leqslant h)\\&=P(X\leqslant x)=F_X(x) \end{align*}$ ja $F_{XY}(\infty,y)=F_Y(y).$

Kaksiulotteinen diskreetti jakauma

Satunnaisvektorin $(X,Y)^\top$ jakauma on diskreetti, jos on olemassa (enintään numeroituva) joukko $A\subset \mathbb{R}^2$ siten, että $P(\{(X,Y)\in A\})=1.$ Diskreetti kahden muuttujan jakauma määritellään pistetodennäköisyysfunktion $p_{X,Y}(x_i,y_j)=P(X=x_i, Y=y_j)$ avulla: kaikilla $\mathbb{R}^2$ :n osajoukoilla tulee päteä $\begin{align*}P(\{(X,Y)\in B\})&=P((X,Y)\in B)\\&=\underset{(x_i,y_j)\in B}{\sum\sum}p_{X,Y}(x_i,y_j).\end{align*}$ Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat ovat $\begin{align*}p_X(x_i)=&\sum_jp_{X,Y}(x_i,y_j), \; \text{ja}\\ p_Y(y_j)=&\sum_ip_{X,Y}(x_i,y_j).\end{align*}$

Esimerkki kaksiulotteisesta diskreetistä jakaumasta

Heitetään painotettua 8-tahkoista noppaa. Olkoon $X\in \Omega,$ missä $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$ Painotetun nopan silmälukujen todennäköisyydet ovat p(1)=p(2)=p(3)=2A, p(4)=p(5)=3A ja p(6)=p(7)=p(8)=A.

Määritetään pistetodennäköisyysfunktio p(x) siten, että

$p(x)\ge 0$ kaikilla $x\in \R.$
ja $\sum_{i=1}^8 p(x_i)=1.$

Toisin sanoen on yhtälöstä $\begin{align*}1=15A=&\ p(1)+p(2)+p(3)+p(4)\\&+p(5)+p(6)+p(7)+p(8)\end{align*}$ saadaan ratkaistua $A=\frac{1}{15}\ge0.$

Tällöin siis pistetodennäköisyysfunktioksi saadaan $p(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mbox{$\frac{2}{15}$} &x=1,\ 2\ \text{ja}\ 3\\ \mbox{$\frac{3}{15}$} & x=4\ \text{ja}\ 5\\ \mbox{$\frac{1}{15}$} & x=6,\ 7\ \text{ja}\ 8\\ 0 & \mbox{muualla.} \end{array}\right .$

Nyt voidaan lähteä tarkastelemaan kahden satunnaismuuttujan ja tapausta.

Olkoon Y=1, kun heiton silmälukua on parillinen, ja Y=0 muutoin. Olkoon Z=1, kun silmäluku on pienempi kuin neljä, ja Z=0 muutoin.

Määrätään seuraavaksi satunnaismuuttujien $Z\in\{0,1\}$ ja $Y\in\{0,1\}$ pistetodennäköisyysfunktio p(y,z)=P(Y=y, Z=z).

Taulukoidaan kutakin :n arvoa vastaavat :n ja :n arvot:

Taulukosta voidaan päätellä, että $p(y,z)=\left\{\begin{array}{ll} \mbox{$p(2)=\frac{2}{15}$} &(y,z)=(1,1)\\ \mbox{$p(5)+p(7)=\frac{4}{15}$} &(y,z)=(0,0)\\ \mbox{$p(1)+p(3)=\frac{4}{15}$} &(y,z)=(0,1)\\ \mbox{$p(4)+p(6)+p(8)=\frac{5}{15}$} &(y,z)=(1,0)\\ 0 & \mbox{muualla.} \end{array}\right .$ Huomaa, että tässä tapauksessa p(y,z) on jo valmiiksi normitettu, sillä sille saadun lausekkeen perusteella $\begin{align*} \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^2p(y_i,z_j)&=p(0,0)+p(0,1)+p(1,0)+p(1,1)\\&=\sum_{i=1}^8p(x_i)=1. \end{align*}$

Voimme vielä määrätä reunajakaumat: $p_Z(z)=\left\{\begin{array}{ll} \mbox{$\sum_{i=1}^{2}p(y_i,0)=p(0,0)+p(1,0)=\frac{9}{15}$} &z=0\\ \mbox{$\sum_{i=1}^{2}p(y_i,1)=p(0,1)+p(1,1)=\frac{6}{15}$} &z=1\\ 0 & \mbox{muualla} \end{array}\right .$ ja $p_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll} \mbox{$\sum_{i=1}^{2}p(0,z_i)=p(0,0)+p(0,1)=\frac{8}{15}$} &y=0\\ \mbox{$\sum_{i=1}^{2}p(1,z_i)=p(1,0)+p(1,1)=\frac{7}{15}$} &y=1\\ 0 & \mbox{muualla.} \end{array}\right .$

Tarkistetaan, että p_Z(z) on oikein normitettu eli että $\sum_{i=1}^2p_Z(z_i)=p_Z(0)+p_Z(1)=\frac{8}{15}+\frac{7}{15}=1.$ Funktion p_Y(y) normitus voitaisiin tarkistaa vastaavalla tavalla.

Esimerkki: elektronin pyörimismäärä

Elektroni on kytkemättömän kannan tilassa $|l=1, m_l=0, s=\frac12 ,m_s=\frac12\rangle .$ Mitataan tämän tilan kokonaispyörimismäärän z-komponenttia J_z ja kokonaispyörimismäärän suuruutta $\vec {J^2}$ yhtä aikaa. Selvitetään mahdolliset arvot kvanttiluvuille ja sekä näiden arvojen todennäköisyydet.

Glebsch-Gordan kertoimien avulla kytkemättömän kannan vektori voidaan kirjoittaa kytketyssä kannassa:

$\begin{align*}\bigg|l=1,&\ m_l=0, s=\frac12 ,m_s=\frac12\bigg{\rangle} \\&=\sqrt{\frac{2}{3}}\bigg|l=1, s=\frac12, j=\frac32 ,m=\frac12\bigg{\rangle}-\sqrt{\frac{1}{3}}\bigg|l=1, s=\frac12, j=\frac12 ,m=\frac12\bigg{\rangle}.\end{align*}$

Kantavektorit ovat ortogonaalisia eli

$\begin{align*}\bigg{\langle} l=1,s=\frac12, j=j', m=\frac12 \bigg|l=1, s=\frac12, j=j'' ,m&=\frac12\bigg{\rangle}=\delta_{j'j''},\end{align*}$

missä $\delta_{j'j''}$ on Kroneckerin delta $\delta_{mn}=\begin{cases*}1&kun $n=m$\\0& muulloin\end{cases*}$ , joten

$\begin{align*}1=&\ \bigg{\langle} l=1, m_l=0, s=\frac12 ,m_s=\frac12 \bigg|l=1, m_l=0, s=\frac12 ,m_s=\frac12\bigg{\rangle}\\ =&\ \left(\sqrt{\frac23}\right)^2\bigg{\langle} l=1, s=\frac12, j=\frac32, m=\frac12 \bigg|l=1, s=\frac12, j=\frac32 ,m=\frac12\bigg{\rangle}\\ &\ -2\sqrt{\frac13}\sqrt{\frac23}\bigg{\langle} l=1, s=\frac12, j=\frac12, m=\frac12 \bigg|l=1, s=\frac12, j=\frac32 ,m=\frac12\bigg{\rangle}\\ &\ +\left(\sqrt{\frac13}\right)^2\bigg{\langle} l=1, s=\frac12, j=\frac12, m=\frac12 \bigg|l=1, s=\frac12, j=\frac12 ,m=\frac12\bigg{\rangle}\\ =&\ \left(\sqrt{\frac23}\right)^2+\left(\sqrt{\frac13}\right)^2.\\\end{align*}$

Näin ollen, kun kyseisessä tilassa mitataan J_z ja $\vec{J^2},$ saamme tulokset:

$\left\{\begin{array}{ll} \mbox {$j=\frac{3}{2},\; m=\frac12\;$} &\text{todennäköisyydellä }\left(\sqrt{\frac23}\right)^2=\frac23\\ \mbox{$j=\frac{1}{2},\; m=\frac12\;$} &\text{todennäköisyydellä }\left(\sqrt{\frac13}\right)^2=\frac13\\ \end{array}\right .$

Kaksiulotteinen jatkuva jakauma

Satunnaisvektori $(X,Y)^\top$ noudattaa jatkuvaa jakaumaa. Tällöin $f_{X,Y}$ on sen tiheysfunktio, jos $P((X,Y)\in B)=\iint_B f_{XY}(x,y) \,\text{d}x\,\text{d}y$ pätee esimerkiksi kaikille avoimille ja suljetuille joukoille ja niiden numeroituville yhdisteille ja leikkauksille (itseasiassa tämän tulee päteä kaikille Borel-joukoille). Tiheysfunktiolle pätevät vastaavat ehdot kuin yksiulotteisessa tapauksessa eli

$f_{XY}\geq 0$ $\text{kaikilla}$ $(x,y)\in\R^2$
$f_{XY}$ $\text{on integroituva}$
$\iint_\R f_{XY}(x,y) \,\text{d}x\,\text{d}y=1$

Jatkuman kertymäfunktio saadaan tiheysfunktiosta integroimalla: $F_{XY}(\red x,\green y)=\int_{-\infty}^{\red x}\int_{-\infty}^{\green y} f_{XY}(u,v) \,\text{d}u\,\text{d}v.$

Esimerkki: harmoninen oskillaattori

Klassista harmonista yksiulotteista värähtelijää, jonka massa on ja taajuus on $\omega=\sqrt{\dfrac{\kappa}{m}},$ kuvaava paikan ja liikemäärän jakauma on $f(\red x,\green p)=Ae^{-\red ax^2-b\green p^2},$ missä $a=\dfrac{\kappa}{2k_BT},$ $b=\dfrac{1}{2mk_BT}$ ja on normitusvakio. Eräs yksiulotteinen harmoninen värähtelijä on kaksiatominen molekyyli. Lasketaan sen värähtelyjen lämpökapasiteetti $C=\frac{\text{d}E}{\text{d}T}=\frac{\text{d}}{\text{d}T}\left(\frac{1}{2}\kappa<x^2>+\frac{1}{2m}<p^2>\right).$ Tämän esimerkin integraaleja ei voi helposti tavanomaisia integrointisääntöjä käyttäen laskea, mutta tiedetään, että $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-cy^2} \text{d}y=\sqrt{\frac{\pi}{c}},$ joten $\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}y^2e^{-cy^2} \text{d}y&=\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{d}{dc}e^{-cy^2} \text{d}y\\&= -\frac{\text{d}}{\text{d}c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-cy^2} \text{d}y\\&=-\frac{\text{d}}{\text{d}c}\sqrt{\frac{\pi}{c}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2c^{3/2}}. \end{align*}$ Aloitetaan normittamalla kyseinen jakauma eli selvittämällä yhtälöstä $\begin{align*} 1&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(\red{x},\green{p}) \,\text{d}\red{x}\,\text{d}\green{p}\\&=A\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\red{x}^2}\text{d}\red{x} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-b\green{p}^2}\text{d}\green{p}\\&=A\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sqrt{\frac{\pi}{b}}. \end{align*}$ Saadaan, että $A=\frac{\sqrt{ab}}{\pi}=\sqrt{\frac{\kappa}{m}}\frac{1}{2k_BT\pi}.$ Paikan neliön odotusarvo $\begin{align*} <x^2>&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \red{x}^2f(\red{x},\green{p}) \,\text{d}\red{x}\,\text{d}\green{p}\\&= A\int_{-\infty}^{\infty}\red{x}^2e^{-a\red{x}^2} \text{d}\red{x}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-b\green{p}^2} \text{d}\green{p} \end{align*}$ voidaan laskea aiemmin esitettyn integraalin avulla ja tulokseksi saadaan $<x^2>=A\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}\sqrt{\frac{\pi}{b}}=\frac{k_BT}{\kappa}.$ Vastaavalla tavalla liikemäärän neliön odotusarvoksi saadaan $\begin{align*} <p^2>&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \green{p}^2f(\red{x},\green{p}) \,\text{d}\red{x}\,\text{d}\green{p}\\&= A\frac{\sqrt{\pi}}{2b^{3/2}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=mk_BT. \end{align*}$ Nyt $C=\dfrac{\text{d}}{\text{d}T}(k_BT)=k_B.$