Trigonometriset funktiot

Tällä sivulla esitellään trigonometrisiä funktioita ja niiden ominaisuuksia, laskusääntöjä sekä esimerkkejä.

Määrittely

Sini, kosini ja tangentti voidaan määritellä suorakulmaisen kolmion avulla seuraavasti: $\sin(\alpha)=\frac{a}{c},$ $\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ ja $\tan(\alpha)=\frac{a}{b}.$

$\begin{tikzpicture} %B \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (5,2); \coordinate (C) at (5,0); %Kolmio \draw[thick, orange!75] (B) --node [above]{\color{blue}$c$} (A)-- node [below]{\color{blue}$b$}(C)-- node [right]{\color{blue}$a$}(B); \fill[black] (B) circle (0.05) node [above, xshift=-.1cm]{B}; \fill[black] (C) circle (0.05) node [right]{C}; \fill[black] (A) circle (0.05) node [above, xshift=-.1cm]{A}; %Suora kulma \draw (5, 10pt) -- ([xshift=-10pt]5, 10pt) -- ([xshift=-10pt]5, 0); %Kulma Bssa \draw[thick, green!50!black] (1.5,0) arc (0:21.5:1.5); \node at (1.70,.35) {$\textcolor{green!50!black}\alpha$}; \end{tikzpicture}$

Yleisempi määritelmä saadaan origokeskisen yksikköympyrän avulla. Otetaan jokin ympyrän piste $\magenta A=(\red x,\blue y).$ Tämän pisteen paikkavektoriVektori, joka alkaa origosta ja päättyy pisteeseen. muodostaa kulman $\green\theta$ $\red x\text-$ akselin kanssa. Kulman kiertosuunnalla ei ole väliä. Nyt funktiot voidaan määritellä seuraavasti: $\sin(\green\theta)=\blue y,$ $\cos(\green\theta)=\red x$ ja $\tan(\green\theta)=\frac{\sin(\green\theta)}{\cos(\green\theta)}=\frac{\blue y}{\red x}.$

$\begin{tikzpicture} %x-akseli \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right]{$\textcolor{red!80!black}x$}; %y-akseli \draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above]{$\textcolor{blue!25!black}y$}; %yksikköympyrä \draw (0,0) circle (2.5); %piste A \coordinate (A) at (-1.25,2.165); \draw[fill=magenta!20!black] (A) circle (.05) node[above]{$\textcolor{magenta}A$}; \draw (0,0) -- (A); %kulma \draw[thick,green!50!black] (.5,0) arc (0:120:0.5); \node at (.3,.6){$\textcolor{green!50!black}\theta$}; %x-komponentti \draw[thick,red!80!black] (0,0) -- (-1.25,0) node[xshift=18,yshift=-8]{$\textcolor{red!80!black}\cos(\theta)$}; %y-komponentti \draw[thick,blue!75!black] (A) -- (-1.25,0) node[xshift=-14,yshift=30]{$\textcolor{blue!75!black}\sin(\theta)$}; %suorakulma \draw (-1.1,0) -- (-1.1,.15) -- (-1.25,.15); \end{tikzpicture}$

GeoGebra: Yksikköympyrä

# geoYmpyra2

# arkusfunktiot

Arkusfunktiot

Arkusfunktiot ovat nimitys trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille $\arcsin (x), \quad \arccos (x), \quad \arctan (x).$ Esimerkiksi arkussini kulman $2\pi$ sinistä on kulma $2\pi$ itse: $\arcsin(\sin(2\pi))=2\pi.$ Arkusfunktioiden kuvaaja saadaan peilaamalla sopiva pätkä siniä, kosinia tai tangenttia suoran y=x suhteen. Kulmien ratkaisemisen lisäksi arkusfunktiot ovat hyödyllisiä integraalilaskennassa.

Kuvaajat: $\arcsin(x),$ $\arccos(x)$ ja $\arctan(x).$

# geoTrigInverse

# muita

Muita trigonometrisiä funktioita

Kotangentti, sekantti ja kosekantti

Funktio	Lyhenne	Kuvaus	Relaatio
kotangentti	$\cot$	$\frac{\text{viereinen}}{\text{vastakkainen}}$	$\cot (\theta) =\frac{\cos (\theta)}{\sin(\theta)} =\frac{1}{\operatorname{tan}(\theta)}$
sekantti	$\sec$	$\frac{\text{hypotenuusa}}{\text{viereinen}}$	$\sec (\theta) =\frac{1}{\cos (\theta)}$
kosekantti	$\csc$ (tai $\operatorname{cosec}$ )	$\frac{\text{hypotenuusa}}{\text{vastakkainen}}$	$\csc (\theta) =\frac{1}{\sin (\theta)}$

Sekantti on parillinen, mutta kotangentti ja kosekantti ovat parittomia funktioita: $\begin{align*} \cot(-\theta)&=-\cot (\theta) \\ \csc(-\theta)&=-\csc (\theta) \\ \sec(-\theta)&= \sec (\theta) \end{align*}$

# asteet

Asteet ja radiaanit

Radiaani $\operatorname{rad}$ on kulman yksikkö siinä missä asteetkin. Kun asteilla mitataan kulman suuruutta, radiaani ilmaisee kulman piirtämän kaaren pituuden yksikköympyrällä. Yleisemmin voidaan kirjoittaa radiaanin määritelmä, että kulman $\alpha$ suuruus radiaaneissa on yhtä suuri kuin sitä vastaavan kaaren pituus jaettuna säteellä eli

$\alpha = \frac{s}{r} \, \operatorname{rad}.$

Alla oleva kuva hahmottaa tilannetta.

$\begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (5,2); \coordinate (C) at (5,0); \filldraw[fill=green!20,draw=green!50!black] (0,0) -- (10mm,0mm) arc (0:30:10mm) node[midway, right]{$\alpha$} -- cycle; \draw[draw=green!50!black] (0,0) --node[midway, below]{$r$} (C) arc (0:30:50mm) node[midway, right]{$s$}-- node[midway, above]{$r$} (A); \end{tikzpicture}$

Asteet voidaan muuntaa radiaaneiksi ja päinvastoin verrannon avulla ja seuraavalla (muisti)kaavalla: $\begin{align*} 180^\circ = \pi \, \operatorname{rad}. \end{align*}$

Yleensä radiaanit yksikkönä jätetään merkitsemättä ja ilmoitetaan kulma vain lukuna: $\alpha = 180^\circ = \pi$ .

Asteet radiaaneiksi verrannolla

Kirjoitetaan verrantotaulukko ja lasketaan sen avulla kuinka monta radiaania on $30^\circ$ . Merkitään tuntematonta kirjaimella $\color{red}{s}$ .

Asteet	Radiaanit
$180^\circ$	$\pi$
$30^\circ$	$\color{red} s$

Nyt verranto antaa ristiinkertomisella $\begin{align*} \frac{180^\circ}{30^\circ}&=\frac{\pi}{\red s}\\ \Leftrightarrow 180^\circ \cdot \color{red}{s} \color{black} &= 30^\circ \cdot \pi \\ \Leftrightarrow \color{red}{s} &= \color{black} \frac{30^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{1}{6}\pi. \end{align*}$

Kun ollaan yksikköympyrällä eli r=1 , niin kulman suuruus radiaaneissa on sitä vastaavan kaaren pituus.

Vastaus: $30^\circ = \frac{1}{6} \pi$ .

$\begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (5,2); \coordinate (C) at (5,0); \filldraw[fill=green!20,draw=green!50!black] (0,0) -- (10mm,0mm) arc (0:30:10mm) node[midway, right, yshift=1mm]{$\alpha = 30^\circ$} -- cycle; \draw[draw=green!50!black] (0,0) --node[midway, below]{$r=1$} (C) arc (0:30:50mm) node[midway, right]{$s=\frac{1}{6}\pi$}--(A); \end{tikzpicture}$

# laskusaantoja

Laskusääntöjä

Tässä on lueteltuna joitakin laskusääntöjä trigonometrisille funktioille, joista hyödyllisimpiä lienee kaksinkertaisen kulman kaavat ja pythagoraan trigonometrinen identiteetti $\begin{aligned} \sin(2x)&=2\sin(x)\cos(x)\\ \cos(2x)&=\cos^2(x)-\sin^2(x)\\ \sin^2(x)+\cos^2(x)&=1. \end{aligned}$ Kaikkia kaavoja ei tietenkään kannata opetella ulkoa, mutta on hyvä tietää että trigonometrisiä funktioita voi esittää monella eri tavalla.

Tavallisia laskusääntöjä sinille, kosinille ja tangentille

Trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja, muistikolmiot $\sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\tfrac12$

$\begin{tikzpicture} %B \coordinate (C) at (0,0); \coordinate (B) at (4,0); \coordinate (D) at (2,0); \coordinate (A) at (2,3.46); %Kolmio \draw[thick, orange!75] (B) --(A)--(C)--(B); \draw[thick, orange!75] (A) -- (2,0); \fill[black] (B) circle (0.05) node [right]{B}; \fill[black] (C) circle (0.05) node [above, xshift=-.1cm]{C}; \fill[black] (A) circle (0.05) node [right]{A}; \fill[black] (D) circle (0.05) node [below]{D}; \node at (.8,1.8){1}; \node at (1.7,1.5){$\frac{\sqrt3}2$}; \node at (1,-.3){$\frac12$}; %Suora kulma \draw (2, 10pt) -- ([xshift=10pt]2, 10pt) -- ([xshift=10pt]2, 0); %B \coordinate (C2) at (6,0); \coordinate (B2) at (9,0); \coordinate (A2) at (6,3); %Kolmio \draw[thick, orange!75] (B2) --(A2)--(C2)--(B2); \fill[black] (B2) circle (0.05) node [right]{B'}; \fill[black] (C2) circle (0.05) node [above, xshift=-.21cm]{C'}; \fill[black] (A2) circle (0.05) node [right]{A'}; \node at (5.8,1.5){$1$}; \node at (7.9,1.5){$\sqrt2$}; %Suora kulma \draw (6, 10pt) -- ([xshift=10pt]6, 10pt) -- ([xshift=10pt]6, 0); \end{tikzpicture}$

Tasasivuisen kolmion avulla saadaan tarkan arvot trigonometrisille funktioille kulmilla $\frac\pi3=60^{\circ}$ ja $\frac\pi6=30^{\circ}.$ Asetetaan sivun pituudeksi 1, jolloin kolmion korkeus on pythagoraan lauseen mukaan $\frac{\sqrt3}2.$ $\begin{align*} \sin(\tfrac\pi6)&=\cos(\tfrac\pi3)=\frac{|CD|}{|CA|}=\frac12\\ \sin(\tfrac\pi3)&=\cos(\tfrac\pi6)=\frac{|AD|}{|CA|}=\frac{\sqrt3}2\\ \tan(\tfrac\pi3)&=\frac{|AD|}{|CD|}=\sqrt3\\ \tan(\tfrac\pi6)&=\frac{|CD|}{|AD|}=\frac1{\sqrt3} \end{align*}$ Tasakylkisestä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tarkat arvot kulmalle $45^{\circ}=\frac\pi4$ asettamalla kateettien pituudeksi , jolloin hypotenuusan pituus on $\sqrt2$ ja kulmat ovat $\begin{align*} \sin(\tfrac\pi4)&=\cos(\tfrac\pi4)=\frac{|C'A'|}{|A'B'|}=\frac1{\sqrt2}\\ \tan(\tfrac\pi4)&=\frac{|C'A'|}{|C'B'|}=1. \end{align*}$

Jaksollisuus, parittomuus sekä sinin ja kosinin välinen yhteys $\begin{aligned} \sin(x)&=-\sin(-x)=\cos(\tfrac\pi2-x)\\&=\cos(x-\tfrac\pi2) \end{aligned}$

Sini ja kosini ovat $2\pi$ jaksollisia, eli kaikilla ja kokonaisluvuilla pätee $\sin(x)=\sin(2\pi n+x),$ $\cos(x)=\cos(2\pi n+x),$ tangentti taas on $\pi$ jaksollinen, eli $\tan(x)=\tan(x+n\pi).$ Sini ja kosini ovat vaihessiirron päässä toisistaan, eli $\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos(x).$ Sini ja tangentti ovat parittomia funktioita $\begin{aligned} \sin(-x)=-\sin(x), && \tan(-x)=-\tan(x), \end{aligned}$ ja kosini on parillinen $\cos(-x)=\cos(x).$

Kaksinkertainen ja kolminkertainen kulma $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

Sinin ja kosinin potenssit $2\sin^2(x)=1-\cos(2x)$

Sinin ja kosinin summakaavoja $\vphantom{\Big|}\sin(x\pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y$

$\begin{align*} a\sin(x)+b\cos(x)=c\cos(x+\varphi),\\ \begin{cases} c=\text{sgn}(a)\sqrt{a^2+b^2}\\ \varphi=\arctan(\frac{-b}{a}), \end{cases} \end{align*}$ missä $\text{sgn}(a)$ on merkkifunktio, joka palauttaa vakion etumerkin.

Kosini-, sini- ja tangenttilause kolmiolle $\red c^2=\blue a^2\green b^2-2\blue a\green b\cos\red \gamma$

Jos kolmiosta tiedetään kaikkien sivujen pituudet tai sivu-kulma-sivu tai kulma-sivu-kulma määräävät nämä kolmion yksikäsitteisesti, ja puuttuvat kulmat/sivut voidaan laskea seuraavien lauseiden avulla.

Kun kolmion kulmat ovat $\blue\alpha,$ $\green\beta$ ja $\red\gamma,$ niiden vastaiset sivut $\blue a,$ $\green b$ ja $\red c$ ja kolmion pinta-ala , saadaan

$\begin{tikzpicture} \draw[ultra thick, blue!70!black, name path = A] (2,1.5) -- (3,-2); \draw[ultra thick, green!50!black, name path = B] (3,-2) -- (0,0); \draw[ultra thick, red!75!black, name path = C] (0,0) -- (2,1.5); \tikzfillbetween[of = A and B]{gray!10}; \node at (1.75,-.15) {$\textcolor{black!80}A$}; \node at (2.6,0) {$\textcolor{blue!70!black}a$}; \draw[thick, blue!70!black] (.4,-.25) arc (-40:42:.4); \node at (.7,0) {$\textcolor{blue!70!black}\alpha$}; \node at (1,-1) {$\textcolor{green!50!black}b$}; \draw[thick, green!50!black] (1.6,1.2) arc (205:300:.4); \node at (1.8,0.7) {$\textcolor{green!50!black}\beta$}; \node at (.8,.8) {$\textcolor{red!75!black}c$}; \draw[thick, red!75!black] (2.82,-1.4) arc (90:155:.4); \node at (2.5, -1.3) {$\textcolor{red!75!black}\gamma$}; \end{tikzpicture}$

Lisää laskusääntöjä löytyy wikipedian listasta trigonometric indentities.

Trigonometristen funktioiden derivaattoja ja integraaleja

Trigonometriset sijoitukset

Sinin kosinin ja tangentin derivaatta sekä integraali

Käänteisfunktioiden derivaatat ja integraaleja

Sarjakehitelmiä

Sini-, kosini- ja tangenttifunktiot voidaan esittää Taylorin sarjoina: $\begin{aligned} \sin (x) &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \\&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\\\\ \cos (x) &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \\&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \\\\ \tan(x) &= x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\dots \end{aligned}$

# esimerkkeja

Esimerkkejä

Kosinilauseen sovellus: metaanin sidoskulma.

Metaanin avaruusrakenne on tetraedri. Tetraedri voidaan asettaa kuution sisään siten, että sen kärjet asettuvat kuution tahkojen vastakkaisiin kulmiin.

Sidoskulman ratkaisemiseksi sovelletaan kosinilausetta $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ kuvan punaiseen kolmioon, jonka kaksi sivua ja ovat kuution lävistäjän puolikkaita ja kolmas sivu kuution tahkon lävistäjä.

Kuution tahkon lävistäjä on kahden vety-ytimen välinen etäisyys $\green{|\overline{HH}|}.$ Pythagoraan lauseen a^2+b^2=c^2 nojalla lävistäjän pituus on $\green{|\overline{HH}|= \sqrt{L^2+L^2} = \sqrt{2L^2} = \sqrt2L}.$

Hillen ja vedyn välisen sidoksen pituus $\blue{|\overline{CH}|}$ on puolet kuution lävistäjän pituudesta. Lävistäjän pituus on edelleen Pythagoraan lauseen nojalla $\blue{2|\overline{CH}|=\sqrt{2L^2+L^2}=\sqrt3L}$ eli sidospituus on $\blue{|\overline{CH}|=\frac{\sqrt3L}{2}}.$

Sijoittamalla kosinilauseeseen saadut sivujen pituuksien lausekkeet $a=b=\blue{|\overline{CH}|=\frac{\sqrt3L}{2}}$ ja $c=\green{|\overline{HH}|= \sqrt2L}$ saadaan $\begin{aligned} c^2&=\green{|\overline{HH}|}^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \\&= 2\blue{|\overline{CH}|}^2-2\blue{|\overline{CH}|}^2\cos\gamma, \end{aligned}$ eli $\begin{aligned} \cos\gamma &= \frac{\green{|\overline{HH}|}^2-2\blue{|\overline{CH}|}^2}{-2\blue{|\overline{CH}|}^2} = \frac{\green{\cancel2L^2}-\cancel2\cdot\blue{\dfrac{3L^2}{4}}}{-\cancel2\cdot\blue{\dfrac{3L^2}{4}}} \\&= \frac{\dfrac{1\cancel{L^2}}{\cancel4}}{-\dfrac{3\cancel{L^2}}{\cancel4}} = -\frac13. \end{aligned}$ Sidoskulma voidaan nyt ratkaista kosinin käänteisfunktiolla $\gamma = \arccos\left(-\frac13\right) \approx 109,47^\circ.$

Heilurin korkeus esimerkki

Kuinka korkealle heilurin, jonka pituus on $\ell=1{,}8\text{m},$ pää nousee, kun se heilahtaa $24^{\circ}$ yhdelle puolelle?

Pystysuora etäisyys heilurin nivelestä pallon korkeuteen on $\ell\cos\theta,$ missä $\theta =24^{\circ}.$

Nyt pallon korkeus mitattuna matalimmasta pisteestä on $\begin{aligned}h&=\ell-\ell\cos\theta\\&=1{,}8\text{m}-1{,}8\text{m}\cos24^{\circ}\approx 0{,}16\text{m}.\end{aligned}$

$\begin{tikzpicture} \coordinate (origo) at (0,0); \draw[dashed,gray,-] (origo) -- ++ (0,-3.5) node (alaasento) [black,below]{$ $}; \draw[thick] (0,0) -- (1.5,-3) coordinate (heiluri); \fill (heiluri) circle (0.1); \fill[lightgray] (0,-3.5) circle (0.1); \pic [draw, ->, "$\theta$", angle eccentricity=1.5] {angle = alaasento--origo--heiluri}; \draw[dashed,gray,-] (0,-3) -- (heiluri); \node[draw,text width=3cm,line width=0] at (2.6,-1.7) {$\ell$}; \node[draw,text width=3cm,line width=0] at (1.2,-3.2) {$h$}; \node[draw,text width=3cm,line width=0] at (0.4,-1.7) {$h\cos\theta$}; \end{tikzpicture}$

Esimerkki trigonometrisen yhtälön ratkaisusta

Ratkaise yhtälö $\sin(2x)\cos(x)+\sin(x)=0,$ kun $0\le x\le 2\pi.$

$\sin(2x)\cos(x)+\sin(x)=0$ Sovelletaan kaksinkertaisen sinin lauseketta $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).$ $2\sin(x)\cos(x)\cos(x)+\sin(x)=0$ $2\sin(x)\cos^2(x)+\sin(x)=0$ $\sin(x)(2\cos^2(x)+1)=0$

Nyt tulon nollasääntöä soveltamalla saadaan:

$\sin(x)=0$ tai $2\cos^2(x)+1=0.$

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan:

x=0, $x=\pi$ tai $x=2\pi,$ kun $0\le x\le 2\pi.$

Toisella yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja, joten x=0, $x=\pi$ ja $x=2\pi$ ovat yhtälön kaikki ratkaisut.

$\begin{align*}\end{align*}$

# hyperboliset_funktiot

Hyperboliset funktiot

Kuvaajat $\sinh(x),$ $\cosh(x)$ ja $\tanh(x).$

# geoHyper

Samalla tavalla kuin $(\cos t,\, \sin t)$ määrittelee ympyrän, $(\cosh t, \,\sinh t)$ määrittelee hyperbelin. Hyperboliset funktiot voidaan kirjoittaa eksponenttifunktion avulla:

$\begin{align*} \sinh (x) &= \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\\ \cosh (x) &= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\\ \tanh (x) &= \frac{\sinh (x)}{\cosh(x)} = \frac{(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})} \end{align*}$

Hyperbolinen sini ja kosini esiintyvät monella fysiikan alalla Laplacen yhtälön ratkaisuina. Esimerkiksi $y = a\cosh\left(\frac xa\right)$ tunnetaan ketjukäyränä, sillä päistään kiinnitetty ketju asettuu tähän muotoon oman painonsa vaikutuksesta.

GeoGebra: Yksikköhyperbeli

Voit tutkia yksikköhyperbelin pisteitä tällä geogebralla:

Kun liukusäädin on valittu, voit säätää kulmaa $\green \theta$ itse, tai käynnistää animaation vasemmasta alakulmasta.
Kun liukusäädin ei ole valittuna, voit liikuttaa pistettä $\magenta A$ hyperbelillä.

# geoHyperbeli1

# kompleksinen-eksponenttifunktio

Kompleksinen eksponenttifunktio

Kompleksinen eksponenttifunktio voidaan Eulerin lauseen mukaan lausua trigonometristen funktioiden avulla:

Kompleksinen eksponenttifunktio on siis $2\pi\text-$ jaksollinen. Funktio piirtää kompleksitasoon yksikköympyrän.

Tämän avulla trigonometriset funktiot voidaan laajentaa koko kompleksitasolle: $\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$ $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2$ ja $\tan(z)=\frac{\sin(z)}{\cos(z)}=\frac1i\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}.$

Mutta miksi?

$\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ ja $\sin(-\theta)=-\sin(\theta),$ joten $\begin{align*} \dfrac12(e^{i\theta}+e^{-i\theta})&=\dfrac12(\cos\theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta)\\&=\dfrac12(2\cos\theta)=\cos\theta. \end{align*}$ Tämän tuloksen nojalla kompleksinen kosini määritellään: $\cos(z)=\dfrac12(e^{iz}+e^{-iz})\text{ kaikilla }z\in\mathbb{C}.$

$\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ ja $\sin(-\theta)=-\sin(\theta),$ joten $\begin{align*} \dfrac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})&=\dfrac{1}{2i}(\cos\theta+i\sin\theta-\cos\theta+i\sin\theta)\\&=\dfrac{1}{2i}(i\sin\theta)=\sin\theta. \end{align*}$ Tämän tuloksen nojalla kompleksinen sini määritellään: $\sin(z)=\dfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\text{ kaikilla }z\in\mathbb{C}.$