Kombinatoriikka ja todennäköisyys

Kombinatoriikka

Mistä kombinatoriikassa on kysymys?

Koe (engl. experiment, trial) tarkoittaa tilannetta, joka on mahdollista toistaa. Tällä voidaan tarkoittaa esimerkiksi bussin odottamiseen kuluvaa aikaa, nopan heiton silmälukuja tai nopeuden mittaamista. Koe antaa tuloksen (engl. outcome). Näistä esimerkkejä ovat täyskäden saaminen tai kun laboratoriossa kappaleen nopeudeksi mitataan 15km/h.

Kombinatoriikka tutkii, kuinka paljon meillä voi olla erilaisia tuloksia. Kombinatoriikan periaatteet helpottavat todennäköisyyksien selvittämistä ja niistä on hyötyä myös esimerkiksi statistisessa fysiikassa.

Tulo- ja summaperiaate

Tuloperiaate soveltuu parhaiten tilanteisiin, joissa koe on jaettu osiin jotka tapahtuvat järjestyksessä. Jos vaiheessa yksi on n_1 vaihtoehtoa ja vaiheessa kaksi on n_2 niin tällöin kokeessa on yhteensä $n_1\cdot n_2$ vaihtoehtoa. Joukko, jossa on alkiota, voidaan siis järjestää eri tavalla, missä luonnollisen luvun kertoma on $n!=n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot 2\cdot1.$

Kertoma ja tuloperiaate yhdistettynä kertovat, kuinka moneen erilaiseen jonoon voimme järjestää -alkioisen joukon.

Joukon $A=\{a_1, a_2,...,a_n\}$ eri järjestyksiä eli jonoja $(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_n})$ sanotaan permutaatioiksi.

Mutta miksi?

Muodostaessamme jonoa joukosta, jossa on alkiota voimme valita jonon ensimmäiseksi minkä tahansa alkion, joten siihen meillä on käytettävissä vaihtoehtoa. Valittaessa toista meillä on käytettävissä (n-1) alkiota. Kolmannessa vaiheessa meillä on (n-2) vaihtoehtoa. Lopulta meillä on jonon viimeiseksi vain yksi vaihtoehto, joten se alkio ottaa viimeisen paikan. Nyt tuloperiaatteen nojalla meillä on siis erilaisia jonoja $n!=n(n-1)(n-2)...\cdot 2\cdot 1$ kappaletta.

Jos koe koostuu :stä erilaisesta toisensa poissulkevista vaiheista ja ensimmäisessä vaiheessa on k_1 eri vaihtoehtoa, toisessa on k_2 vaihtoehtoa, ja niin edelleen kunnes viimeisessä vaiheessa on k_n vaihtoehtoa, niin kokeella on yhteensä k_1+k_2+...+k_n vaihtoehtoa tulokselle. Tätä kutsutaan summaperiaatteeksi.

Milloin tapahtumat ovat toisensa poissulkevat?

Summaperiaatteen kanssa on syytä olla tarkka, että erilaiset vaihtoehdot kokeessa tosiaan poissulkevat toisensa eli ne eivät voi tapahtua samalla kertaa. Esimerkiksi silmäluvun kolme saaminen ja kakkosta suuremman silmäluvun saaminen noppaa heittämällä eivät ole toisiaan poissulkevia tapahtumia. Sen sijaan esimerkiksi nelosta pienemmän ja suuremman silmäluvun saaminen ovat toisensa poissulkevia tapahtumia.

Esimerkki summaperiaatteesta

Tapahtumassa on sata henkilöä, joilla on vihreä paita ja kolmekymmentä punapaitaista. Lisäksi tapahtumassa on viisikymmentä sinipaitaista henkilöä. Tällöin siis oletuksella, että kellään ei ole kahta eriväristä paitaa yhtä aikaa päällään, meillä on yhteensä 100+30+50=180 eri paitaa tapahtumassa.

Variaatio ja kombinaatio

Joukon $A=\{a_1, a_2,...,a_n\},$ joka sisältää siis alkiota, -alkioisen osajoukon muodostamaa järjestettyä jonoa kutsutaan k-variaatioksi ja niitä on

$\begin{align*} (n)_k&=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)\\&=\frac{n!}{(n-k)!} \end{align*}$ kappaletta.

Järjestettyjen jonojen lukumäärä saadaan siis selville k-variaation avulla. Se kertoo kuinka monta erilaista alkiota sisältävää jonoa voimme muodostaa alkioisesta joukosta.

Mutta miksi?

Tämä on suora seuraus tuloperiaatteesta. Ensimmäisellä kerralla voidaan vaihtoehtoja, joista voidaan valita on kappaletta. Seuraavalla kerralla vaihtoehtoja on n-1 ja sitä seuraavalla kerralla n-2 kappaletta. Näin etenemällä alkioisen osajoukon viimeistä alkiota valittaessa vaihtoehtoja on n-k+1 kappaletta. Lopulta valitsematta jää n-k alkiota ja tuloperiaatteen nojalla erilaisia jonoja on n(n-1)(n-2)...(n-k+1) kappaletta.

Jos jonon alkioiden järjestyksellä ei ole väliä, löytyy erilaisia k alkiota sisältäviä osajoukkoja eli k-kombinaatioita

$\binom{n}{k}=\frac{(n)_k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ kappaletta, missä kerroin $\binom{n}{k}$ on binomikerroin. Binomikerroin siis kertoo kuinka monella tavalla voimme muodostaa alkioisen joukon :n alkion joukosta, kun valintajärjestyksellä ei ole väliä.

Mutta miksi?

$\binom{n}{k}$ kappaleesta kombinaatioita saadaan kaikki k-variaatiot, kun alkiot järjestetään. Eri järjestyksiä jokaisella kombinaatiolla on kappaletta, joten $k!\binom{n}{k}=(n)_k.$

Esimerkki variaatioista ja kombinaatioista

Joukon $\Omega=\{a,b,c\}$ 2-variaatiot ovat (a,b), (b,a), (c,a), (a,c), (b,c) ja (c,b) ja sen 2-kombinaatiot ovat $\{a,b\},$ $\{b,c\}$ ja $\{a,c\}.$ Huomaa, että esimerkiksi $\{a,c\}=\{c,a\},$ eikä järjestyksellä ole väliä. Sen sijaan variaatiot eli järjestetyt jonot (a,c) ja (c,a) eivät ole samat.

Binomikerroin

${n\choose k}$ on binomikerroin (lue "n yli k") ja se määritellään seuraavasti $\begin{align*} {n\choose k} &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\&= \frac{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdot ... \cdot 1}. \end{align*}$ Erityisesti ${n\choose 0}= 1 \quad \text{ja} \quad {n\choose 1} = n.$

# binomikaava

Binomikertoimia hyödynnetään myös binomikaavassa $(\red a+\green b)^{\blue n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\blue n}\binom{\blue n}{k}\red a^{k}\green b^{\blue n-k}$ ja binomisarjassa.

Esimerkki binomikertoimesta

Esimerkiksi neljän alkion joukosta $\Omega=\{a,b,c,d\}$ voidaan valita kahden alkion joukot $\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\}$ ja $\{c,d\}$ eli 6 kahden alkion joukkoa. Sama tulos saadaan laskemalla binomikerroin $\begin{align*} {4\choose 2} &= \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!}\\&= \frac{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2\cdot 1 \cdot 2\cdot 1} = \frac{24}{4} = 6. \end{align*}$

Esimerkki: paramagneetti

Tarkastellaan ideaalista paramagneettia, jonka :n dipolin kvanttimekaanisista spineistä kukin suunta voi olla hetkellisesti joko ylös tai alas. Ideaalisen paramagneetin energian pysyessä vakiona systeemin entropia, joka kuvaa sen järjestäytyneisyyttä, on $S=k_B\ln\Omega=k_B\ln\binom{N}{N_\uparrow}=k_B\ln\binom{N}{N_\downarrow},$ missä $\Omega$ on makrotilan statistinen paino eli sitä vastaavien mikrotilojen lukumäärä. Kukin makrotila, jossa $N_\uparrow$ dipolia osoittaa ylöspäin ja $N_\downarrow$ dipolia alaspäin, on mahdollista toteuttaa $\binom{N}{N_\uparrow}=\binom{N}{N-N_\uparrow}=\binom{N}{N_\downarrow}$ eri tavalla. Kaiken kaikkiaan mahdollisten mikrotilojen lukumäärä voidaan laskea binomikaavaa käyttäen, jolloin niiden lukumääräksi saadaan $\begin{align*}\sum_{n=0}^{N}\binom{N}{n}&=\sum_{n=0}^{N}\binom{N}{n}1^{n}1^{N-n}\\&=(1+1)^N=2^N\end{align*}$ kappaletta.

Entropia on minimissään, kun makrotilaa vastaavia mikrotiloja on mahdollisimman vähän. Näin käy, kun kaikki dipolit osoittavat joko ylös tai alas. Tällöin ei siis ole mahdollista vaihtaa yhdenkään dipolin suuntaa ilman, että alas tai ylös osoittavien dipolien määrä muutuisi. Vastaavasti entropia on suurimmillaan, kun $N_\uparrow=N_\downarrow.$ Tällöin on olemassa eniten eri mikrotiloja eli dipolien järjestyksiä, joilla sama määrä dipoleja osoittaa ylös ja alas.

Stirlingin approksimaatio

Kertoman n!=n(n-1)...(n-n+2)(n-n+1) approksimointiin käytetään Stirlingin approksimaatiota. Stirlingin approksimaatiota voidaan käyttää sovelluksissa approksimoimaan kertoman logaritmia.

$\ln(k!) \approx k\ln(k) - k, \quad \text{kun} \ k\gg1.$

Mutta miksi?

Kertoman

määritelmän ja logaritmin laskusääntöjen avulla saadaan

\[\begin{aligned} \ln(k!) =&\ \ln(k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdot\cdot \cdot 2\cdot 1) \\ =&\ \ln k + \ln(k-1) + \ln(k-2) \\&+ \dots + \ln(2) + \ln(1)\\=&\ \sum_{j=1}^{k}\ln(j), \end{aligned}\]

missä $\ln(1)=0.$ Approksimoimalla yllä olevaa summaa integraalilla saadaan $\ln(k!) = \sum_{j=1}^{k}\ln j \approx \int_{1}^{k}\ln(x) \dx.$ Valitsemalla $u=\ln(x)$ ja v'=1, osittaisintegroimalla $\left(\int uv' = uv-\int u'v\right)$ saadaan $\begin{aligned} \int_{1}^{k}\ln(x) \dx &= \intsub{1}{k}x\ln(x) - \int_{1}^{k}x\cdot\frac{1}{x}\dx\\ &= k\ln(k) - 1\cdot\ln(1) - \intsub{1}{k}x\\ &= k\ln(k) - k + 1. \end{aligned}$ Kun $k\gg 1,$ niin $k+1 \approx k,$ joten saadaan $\ln(k!) \approx k\ln(k)-k.$

Esimerkki: Frenkelin kidevirhe

Frenkelin kidevirheessä yksi atomi on siirtynyt pois hilapisteestään.

$\begin{tikzpicture} \foreach \i in {0,...,4} \draw[thick] (\i,0) -- (\i,3); \foreach \j in {0,...,3} \draw[thick] (0,\j) -- (4,\j); \foreach \i in {0,...,4} \foreach \j in {0,...,3} \draw[color=red!90!black, fill] (\i,\j) circle(3pt); \draw[color=black] (1,-0.2) ++ (2,-0.2); \draw[color=black] (1,1.8) ++ (2,1.8); \end{tikzpicture}$ $\begin{tikzpicture} \foreach \i in {0,2,3,4} \draw[thick] (\i,0) -- (\i,3); \foreach \j in {0,1,3} \draw[thick] (0,\j) -- (4,\j); \draw[thick] (2,2) -- (4,2); \draw[thick] (1,0) -- (1,1); \foreach \i in {0,...,4} \foreach \j in {0,...,3}{ \draw[color=red!90!black, fill] (\i,\j) circle(3pt); \ifnum \i = 1 \ifnum \j = 1 \breakforeach \fi \fi } \draw[color=red!90!black, fill] (1,3) circle(3pt); \draw[color=red!90!black, fill] (2.5,0.5) circle(3pt); \draw[color=black] (1,-0.2) ++ (2,-0.2); \end{tikzpicture}$

Selvitetään Frenkelin kidevirheiden tiheys lämpötilassa

Kiinteässä kiteessä on atomia ja välipaikkaa (verrannollinen atomien määrään) johon atomi voi siirtyä. Merkitään kidevirheideen määrää :llä. Lasketaan kuinka monella tavalla kidevirhettä voi tapahtua eli niiden statistinen paino $\Omega.$ Oletetaan, että yksittäiset kidevirheet eivät vaikuta toisiinsa.

atomin joukosta voidaan valita siirtyvää atomia ${N\choose n}$ tavalla. Puolestaan siirtynyttä atomia voidaan sijoittaa välisijapaikkaan ${qN\choose n}$ tavalla.

Koska oletettiin, että kidevirheet eivät vaikuta toisiinsa, niin kidevirhettä voi tapahtua $\begin{aligned} \Omega(n)&={N\choose n}{qN\choose n}\\&=\frac{N!}{n!(N-n)!}\cdot\frac{(qN)!}{n!((qN)-n)!} \end{aligned}$ tavalla. Lasketaan seuraavaksi kiteen entropia $S=k_B\ln(\Omega(n)).$ Tähän tarvitaan Stirlingin approksimaatiota. $\begin{aligned} S &= k_B\ln(\Omega(n)) \\&= k_B\left[\ln\left(\frac{N!}{n!(N-n)!}\cdot\frac{(qN)!}{n!((qN)-n)!}\right)\right]. \end{aligned}$ Logaritmin laskusääntojen nojalla saadaan $\begin{aligned} S = &\ k_B\big[ \ln(N!)-\blue{\ln(n!)}-\ln((N-n)!)\\ & +\ln((qN)!)-\blue{\ln(n!)}-\ln((qN-n)!)\big]\\ =&\ k_B\big[ \red{\ln(N!)}-2\blue{\ln(n!)}+\green{\ln((qN)!)}\\ & -\magenta{\ln((N-n)!)}-\ln((qN-n)!)\big]. \end{aligned}$ Käyttämällä Stirlingin approksimaatiota saadaan $\begin{aligned} S &\approx k_B\Big[ \red{N\ln(N)-N}-2\blue{(n\ln(n)-n)} \\& \quad + \green{qN\ln(qN)-qN}\\ & \quad -\magenta{(N-n)\ln(N-n)-(N-n)} \\& \quad -(qN-n)\ln(qN-n) - (qN-n) \Big]. \end{aligned}$
Kiteen sisäenergia riippuu kidevirheiden määrästä: $E=E(n)=E_0 + n\epsilon.$ Lämpötilan käänteisluku 1/T saadaan entropian osittaisderivaatasta sisäenergian suhteen. $\begin{aligned} \frac{1}{T}&=\frac{\partial S}{\partial E} = \frac{\text{d}n}{\text{d} E}\frac{\partial S}{\partial n} = \frac{1}{\epsilon}\frac{\partial S}{\partial n}\\ &= \frac{k_B}{\epsilon}\ln\left(\frac{(N-n)(qN-n)}{n^2}\right) \end{aligned}$ Koska $N, qN \gg n,$ niin $N-n\approx N$ ja $qN-n\approx qN,$ jolloin saadaan $\frac{1}{T} \approx \frac{k_B}{\epsilon}\ln\left(\frac{qN^2}{n^2}\right).$ Siten Frenkelin kidevirheiden tiheys lämpötilassa on likimain $\frac{n}{N}=\sqrt{q}\cdot e^{-\tfrac{\epsilon}{2k_BT}}$

Todennäköisyys

Mikäli joukko-opin peruskäsitteet, kuten esimerkiksi yhdiste, leikkaus ja joukkojen erotus, eivät ole ennalta tuttuja, voit tutustua niihin täällä.

Mistä todennäköisyydessä on kysymys?

Todennäköisyyslaskenta mittaa jonkin toistettavan kokeen tapahtumien yleisyyttä. Todennäköisyydellä halutaan siis mallintaa satunnaisilmiöitä. Todennäköisyyslaskenta voidaan jakaa diskreetteihin ja jatkuviin tapauksiin. Esimerkki diskreetistä todennäköisyydestä on todennäköisyyden laskeminen korttipelissä tai lantin heitossa, jossa voimme määrittää kaikki mahdolliset tapahtumat. Jatkuva todennäköisyys sopii taas paremmin kuvaamaan laboratoriossa tutkittavia ilmiöitä, kuten hiukkasen sijaintia rajatulla alueella.

Perusjoukko $\Omega,$ alkeistapaukset ja tapahtumat

Kaikkien alkeistapausten joukkoa kutsutaan perusjoukoksi $\Omega$ . Perusjoukko on epätyhjä. Alkeistapausien $\omega\in\Omega$ muodostamat joukot ovat mahdollisia tapahtumia.

$\Omega$ voi tarkoittaa esimerkiksi kaikkien mahdollisten mittaustulosten joukkoa mitattaessa kappaleen nopeutta ja $\omega\in \Omega$ on yksi mittaustulos nopeudelle, jonka saamme mitattua. Olkoon tapahtuma "Nopeus on 15-20 km/h". Tällöin mittaustulokset $\omega_i$ kuuluvat joukkoon jos niiden nopeus on 15-20 km/h.

Todennäköisyysfunktio $\mathbb{P}$

Todennäköisyyttä kuvataan todennäköisyysmitalla eli todennäköisyysfunktiolla $\mathbb{P}$ , joka kertoo tutkittavan tapahtuman todennäköisyyden toteutua.

Jos todennäköisyysfunktio antaa tuloksen nolla, ei kyseinen tapahtuma ole mahdollinen. Tuloksella yksi tapahtuma tapahtuu varmasti.

Mutta miksi?

Perusteluissa tarvitaan todennäköisyysmitan määritelmää. Olkoot $\Omega$ epätyhjä joukko. Tällöin $\mathbb{P}$ on todennäköisyysmitta, jos

$\mathbb{P}(\Omega)=1$ ja
kaikille joukon $\Omega$ $\sigma$ -algebran muodostaville osajoukoille joille $A_i\cap A_j =\emptyset,$ kun $i\neq j,$ pätee $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}(A_i).$

$\mathbb{P}(\Omega)=1,$ sillä se on todennäköisyysmitan määritelmän mukainen perusominaisuus. Lisäksi todennäköisyysfunktio on tällöin oikein normitettu.

Tämä ominaisuus pohjautuu todennäköisyysmitan määritelmään, jonka mukaan joukkojen joille pätee $A_i\cap A_j =\emptyset,$ kun $i\neq j,$ yhdisteen todennäköisyysmitta on $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}(A_i).$ Yhtälöön $\mathbb{P} (\emptyset) = \mathbb{P} \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}\emptyset \right) = \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P} (\emptyset)$ päädytään valitsemalla $A_1=A_2=A_3=...=\emptyset$ ja se toteutuu ainoastaan, kun $\mathbb{P} (\emptyset) = 0.$

(Yhtälö $\displaystyle a=\sum_{i=1}^{\infty}a ="\infty \cdot a\ "$ ei toteudu muilla reaaliluvuilla kuin )

Tämä on varsin luonnollinen todennäköisyyden ominaisuus, sillä tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota.

Jos $\mathbb{P}(A\cap B)=\emptyset,$ niin $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B),$ sillä, jos tapahtumilla ei ole yhteisiä alkioita, niin voimme summata niiden todennäköisyydet yhteen.

Tämäkin ominaisuus pohjautuu todennäköisyysmitan määritelmään, jonka mukaan joukkojen joille $A_i\cap A_j =\emptyset,$ kun $i\neq j,$ yhdisteen todennäköisyysmitta on $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}(A_i).$ Haluttu tulos saadaan valitsemalla ja $A_i=\emptyset,$ kun

$\begin{tikzpicture} % Circle with label at 225 deg. \node[draw, circle, minimum size =2cm, fill=cyan!50, label={225:$A$}] (circle1) at (0,0){}; % Circle with label at 45 deg. \node[draw, circle, minimum size =2cm, fill=yellow!50, label={45:$B$}] (circle2) at (3,0){}; \end{tikzpicture}$

Koska $A\cap A^c=\emptyset,$ niin kohdan 3. nojalla pätee $\mathbb{P}(A\cup A^c)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c).$ Toisaalta $\Omega=A\cup A^c,$ joten saadaan $\begin{align*}1&=\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}(A\cup A^c)\\&=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c).\end{align*}$ Nyt $\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A^c).$

$\begin{tikzpicture} % Circle with label \node[draw, circle, minimum size =2cm, fill=red, label=$A$] (circle1) at (0,0){}; \draw (-2,-2) rectangle (3,2) node [text=black,above] {$\Omega$}; \end{tikzpicture}$

$0\le \mathbb{P}(A)\le 1,$ koska, kun $\mathbb{P}(A)\ge 0$ ja $\mathbb{P}(A^c)\ge 0,$ niin kohdan 4. nojalla $\mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A^c)\le 1-0=1.$

Kun $A\subseteq B,$ niin kuvan mukaisesti $A\cap (B\setminus A) =\emptyset,$ joten kohdan 3. nojalla $\begin{align*}\mathbb{P}(A)&\le \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\setminus A)\\&=\mathbb{P}(A\cup (B\setminus A))=\mathbb{P}(B).\end{align*}$

$\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 3cm, fill=white}] \node[draw, circle, minimum size =5cm, fill=white, label=$A$] (circle1.5cm) at (0,0){}; % Set B \node[set,label={45:$B$}] (B) at (0,0) {}; % Circles outline \draw[black,fill=red] (0.5,0) circle (8ex); \end{tikzpicture}$

Kohdan 3. nojalla $\begin{align*}\mathbb{P}(A)&=\mathbb{P}((A\cap B)\cup(B\setminus A))\\&=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(B\setminus A),\end{align*}$ koska voidaan alla olevan kuvan mukaisesti esittää muodossa $A=(A\cap B)\cup(A\setminus B),$ missä $(A\cap B)\cap(A\setminus B)=\emptyset$ eli $A\cup B$ ja $A\setminus B$ ovat erilliset joukot.

Nyt siis $\mathbb{P}(A\setminus B)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A\cap B).$

$\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 3cm, fill=white}] \node[draw, circle, minimum size =3cm, fill=red, label=$A$] (circle1.5cm) at (0,0){}; % Set B \node[set,label={45:$B$}] (B) at (1.8,0) {}; % Intersection \begin{scope} \clip (0,0) circle(1.5cm); \clip (1.8,0) circle(1.5cm); \fill[white](0,0) circle(1.5cm); \end{scope} % Circles outline \draw (0,0) circle(1.5cm); \draw (1.8,0) circle(1.5cm); % Set intersection label \node at (0.9,0) {$A\cap B$}; \end{tikzpicture}$

Kuvan perusteella $A \cup B = B \cup (A \setminus B)$ ja $B\cap (A\setminus B)=\emptyset,$ joten kohdan 3. perusteella $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(A\setminus B).$ Kun tämä yhdistetään kohdan 7. tulokseen, saadaan $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cup B).$

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis equal,no markers,hide axis,samples=100] \addplot+[domain=0:360, black,line width=1] ({1.3*cos(x)},{1.3*sin(x)}); \addplot+[domain=0:360, black,line width=1] ({1.3*cos(x)+1.5},{1.3*sin(x)}); \addplot+[domain=-55:55, black,line width=1.5,name path=A] ({1.29*cos(x)},{1.29*sin(x)}); \addplot+[domain=180-55:180+55,black,line width=1.5,name path=B] ({1.29*cos(x) + 1.5},{1.29*sin(x)}); \tikzfillbetween[of=A and B,line width=0]{red}; \node at (207,135) {$A\cap B$}; \node at (20,250) {$A$}; \node at (380,250) {$B$}; \end{axis} \end{tikzpicture}

Latex failed
This is XeTeX, Version 3.141592653-2.6-0.999995 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=xelatex)
 restricted \write18 enabled.
**entering extended mode
LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1
L3 programming layer <2024-01-22>

*
*
*
*(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cls
Document Class: standalone 2022/10/10 v1.3b Class to compile TeX sub-files stan
dalone
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/shellesc.sty)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifluatex.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xkeyval/xkeyval.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkeyval.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkvutils.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/keyval.tex))))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/standalone/standalone.cfg)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2023/05/17 v1.4n Standard LaTeX document class
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo)))
*(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
*(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)
*(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty)
*(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/dvisvgm.def)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeyslibraryfiltered
.code.tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-dvisvgm.def
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-svg.de
f)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.
tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.
tex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/mathcolor.ltx))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code
.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonomet
ric.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.cod
e.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison
.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.
tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code
.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.
tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerari
thmetics.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.te
x)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.
code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code
.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.te
x)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.c
ode.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformation
s.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.t
ex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing
.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.te
x)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.
tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.te
x)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.c
ode.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.
tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex))
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65
.sty)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18
.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex

(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers
.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibrarytopaths.code.tex)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgfplots/pgfplots.sty
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.revision.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscore.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/sys/pgfplotssysgeneric.code
.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgfplotslibrary.code.t
ex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/oldpgfcompatib/pgfplotsoldp
gfsupp_loader.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryfpu.code.tex
)
Package pgfplots: loading complementary utilities for your pgf version...

(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/oldpgfcompatib/pgfplotsoldp
gfsupp_pgfutil-common-lists.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotslists
tructure.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotslists
tructureext.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsarray
.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsmatri
x.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/numtable/pgfplotstableshare
d.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/liststructure/pgfplotsdeque
.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.code.te
x
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsbinary.data.co
de.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotsutil.verb.code
.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/pgflibrarypgfplots.sur
fshading.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolormap.code.
tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/util/pgfplotscolor.code.tex
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsstackedplots.code.t
ex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsplothandlers.code.t
ex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplothandler.cod
e.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsmeshplotimage.code.
tex)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.scaling.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotscoordprocessing.cod
e.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.errorbars.code.tex
) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.markers.code.tex
) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplotsticks.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfplots.paths.code.tex)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibrarydecorations.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.cod
e.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrary
decorations.pathmorphing.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrary
decorations.pathreplacing.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/tikzlibrarypgfplots.co
ntourlua.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryplotmarks.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.co
de.tex)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/tikzlibrarypgfplots.fi
llbetween.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfcontrib/tikzlibraryfillb
etween.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryintersections.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryintersection
s.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfcontrib/tikzlibrarydecor
ations.softclip.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/pgfcontrib/pgflibraryfillbe
tween.code.tex)))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgfplots/libs/tikzlibrarypgfplots.de
corations.softclip.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryshapes.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryshapes.geometric.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshape
s.geometric.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryshapes.misc.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshape
s.misc.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryshapes.symbols.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshape
s.symbols.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryshapes.arrows.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshape
s.arrows.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryshapes.callouts.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshape
s.callouts.code.tex))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
zlibraryshapes.multipart.code.tex
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshape
s.multipart.code.tex)))
*No file 9a8f62ba25f6c8e1f61e5227c3dc8e8fdda00fe1.aux.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/ts1cmr.fd)

Package pgfplots Warning: running in backwards compatibility mode (unsuitable t
ick labels; missing features). Consider writing \pgfplotsset{compat=1.18} into 
your preamble.
 on input line 0.


*
*(Please type a command or say `\end')
*
*(Please type a command or say `\end')
*
*
*(Please type a command or say `\end')
*
*
*Missing character: There is no ; ("3B) in font nullfont!

*(Please type a command or say `\end')
*
*
*
*(Please type a command or say `\end')
*
! Package pgfkeys Error: I do not know the key '/pgfplots/line width', to which
 you passed '0', and I am going to ignore it. Perhaps you misspelled it.

See the pgfkeys package documentation for explanation.
Type  H <return>  for immediate help.
 ...                                              
                                                  
<*> \end{axis}
              
No pages of output.
Transcript written on 9a8f62ba25f6c8e1f61e5227c3dc8e8fdda00fe1.log.

Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories
Fontconfig error: No writable cache directories

Klassinen todennäköisyys

Klassinen todennäköisyys kertoo meille todennäköisyyden tapahtumalle, kun meillä on äärellinen määrä tapahtumia, jotka tapahtuvat yhtä todennäköisesti. Tapahtumalle suotuisien alkeistapausten määrä n_a jaetaan kaikkien tapausten määrällä : $\mathbb{P}(A)=\frac{n_a}{n}.$ Tilastollisessa todennäköisyydessä alkeistapauksien lukumäärä on sen sijaan ääretön ja $\mathbb{P}(A)=\lim_{n\to\infty} \frac{n_a}{n},$ missä $n=\sum_{i=1}^{N}n_i$ on tapauksien lukumäärä ja n_a on tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärä :n tapauksen joukossa.

Esimerkki klassisesta todennäköisyydestä

Kuinka todennäköisesti tavallista noppaa heitettäessä saadaan ainakin kolmonen tai suurempi luku?

Nopassa on kuusi silmälukua, joten sen alkeistapausten joukko on $\Omega=\{ 1,2,3,4,5,6\}.$ Sopivien alkeistapauksien joukko on $A=\{3,4,5,6\},$ joten todennäköisyys saada suurempi silmäluku on $\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{4}{6}=\frac23,$ missä |A| on joukon mahtavuus eli alkioiden lukumäärä.

Ehdollinen todennäköisyys

Ehdollisen todennäköisyyden avulla voimme tarkastella miten toisen tapahtuman esiintyminen kokeessa voi vaikuttaa tutkimamme tapahtuman todennäköisyyteen.

Tapahtuman A todennäköisyys ehdolla, että B tapahtuu on: $\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)},$ missä $\mathbb{P}(B)>0.$

Tästä myös saadaan johdettua kertolaskusääntö, joka on hyödyllinen tulos myöhemmin esiteltävää Bayesin kaavaa ajatellen: $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(A|B).$ Tämä sääntö yleistää todennäköisyyksien kertolaskun tilanteisiin, jossa tapahtumien riippumattomuutta ei voi olettaa.

Esimerkki ehdollisesta todennäköisyydestä

Oheisessa taulukossa näkyy erään työselostuksen läpäisymääriä.

Mikä on todennäköisyys, että ei pääse läpi jos selostuksen pituus on yli kuusi sivua?

Olkoon $A=\text{Ei pääse läpi}$ ja $B=\text{Selostuksen pituus yli kuusi sivua}.$

Tällöin: $\mathbb{P}(A|B)=\frac{3}{17}$

Esimerkki ehdollisesta todennäköisyydestä 2

Olkoon $\mathbb{P}(A)=0{,}4,$ $\mathbb{P}(B)=0{,}2$ ja $\mathbb{P}(A\cap B)=0{,}1.$ Lasketaan $\mathbb{P}(A|B)$ ja $\mathbb{P}(B|A)$ :

$\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5$ ja $\mathbb{P}(B|A)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}=\frac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25.$

(Huomaa, että $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B\cap A)$ )

Tapahtumien riippumattomuus

Jos tapahtumille ja pätee $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B),$ niin silloin tapahtumat ovat riippumattomia (merk. $A{\perp\!\!\!\perp}B$ ). Riippumattomuus usein helpottaa laskujen tekemistä esimerkiksi oppilaslaboratoriossa. Jos esimerkiksi mitataan kahden vastuksen resistanssi samalla yleismittarilla ja haluamme selvittää kokonaisresistanssin virhettä, emme voi olettaa tulosten olevan riippumattomia toisistaan.

Huomaa, että jos tapahtumat ja ovat riippumattomia, niin tällöin ehdollisen todennäköisyyden kaava supistuu muotoon ¨ $\begin{align*}\mathbb{P}(A|B)&=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}\\&=\frac{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)}=\mathbb{P}(A).\end{align*}$

Korrelaatio

Jos $0<\mathbb{P}(A\cap B)-\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B),$ niin ja korreloivat positiivisesti. Vastaavasti erotuksen ollessa negatiivista määritellään negatiivinen korrelaatio. Tässä on tärkeää huomata, että korrelaatiosta ei seuraa kausaalisuutta. Tämä siis tarkoittaa, että emme tästä voi olettaa :n olevan syy tapahtumalle

Esimerkki riippumattomuudesta

Teemme kolme mittausta laboratoriossa. Olkoon $A=\text{Osa oikein ja osa epäonnistuu}$ ja $B=\text{Enintään yksi epäonnistuu}.$

Ovatko tapahtumat ja riippumattomia? Merkitään onnistunutta mittausta kirjaimella ja epäonnistunutta kirjaimella Tällöin mahdollisia alkeistapauksia tapahtumalle ovat (e,o,o),(e,e,o), (o,e,o), $(o,e,e), (e,o,e) \ \text{ja} \ (o,o,e)$ ja tapahtumalla $(o,o,o), (e,o,o), (o,e,o)\ \text{ja} \ (o,o,e).$

Eri vaihtoehtoja on yhteensä kahdeksan. Tällöin $\mathbb{P}(A\cap B)=\frac{3}{8},$ $\mathbb{P}(A)=\frac{6}{8}$ ja $\mathbb{P}(B)=\frac{4}{8},$ joten $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=\frac{6}{8}\cdot\frac{4}{8}=\frac{3}{8}.$

Määritelmän mukaan tapahtumat ja ovat siis riippumattomia.

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava

Jos joukot A_1, A_2,...,A_n muodostavat joukon $\Omega$ osituksen, niin tällöin mikä tahansa tapahtuma voidaan esittää osituksen tapahtumien avulla ja $\mathbb{P}(B)=\sum_{i=1}^n\overbrace{\mathbb{P}(B|A_i)\mathbb{P}(A_i)}^{\mathbb{P}(B\cap A_i)}.$ Tätä sanotaan kokonaistodennäköisyyden kaavaksi.

Mutta miksi?

voidaan kirjoittaa muodossa $B = B \cap \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \bigcup_{i=1}^{n} (A \cap B_i).$ Koska joukot A_i, $i=1, 2, \ldots ,n$ ovat erillisiä, myös joukot $B \cap A_i$ ovat erillisiä, on siis löydetty joukolle ositus, joten todennäköisyysfunktion ominaisuuksien nojalla $\begin{aligned}\mathbb{P} \left( \bigcup_{i=1}^{n} (B \cap A_i) \right) &= \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B \cap A_i) \\&=\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}(B|A_i).\end{aligned}$

(Huom. Viimeisessä välivaiheessa sovelletaan kertolaskusääntöä.)

Milloin tapahtumat muodostavat osituksen?

Tapahtumat $\{ A_1, A_2,...,A_n\}$ muodostavat joukon $\Omega$ osituksen, kun ne kattavat kaikki mahdolliset alkeistapaukset, mitä kuuluu koko joukkoon $\Omega,$ ja ovat erillisiä. Esimerkiksi nopanheitossa tapahtumat "tulee kuusi", "tulee viisi" ja "tulee korkeintaan neljä" muodostavat osituksen, koska ne ovat erillisiä eli ei ole olemassa alkeistapausta, joka olisi suotuisa useammalle osituksen muodostavalle tapahtumalle, ja ne kattavat kaikki mahdolliset tapahtumat nopanheitossa.

Kokonaistodennäköisyyden kaavasta ja kertolaskusäännöstä voimme suoraan johtaa Bayesin kaavan (engl. Bayes' rule): $\begin{align*}\mathbb{P}(A_i|B)&=\frac{\mathbb{P}(B|A_i)\mathbb{P}(A_i)}{\sum_{j=1}^n\mathbb{P}(B|A_j)\mathbb{P}(A_j)}\\&=\frac{\mathbb{P}(B\cap A_i)}{\mathbb{P}(B)}.\end{align*}$

Esimerkki kokonaistodennäköisyyden laskemisesta

Henkilö valitsee kolmesta automerkistä, joista merkin A hän valitsee 20% todennäköisyydellä, merkin B 30% todennäköisyydellä ja merkin C 50% todennäköisyydellä. Jos hän valitsee merkin A hän valitsee punaisen auton 40% todennäköisyydellä, jos hän valitsee merkin B hän valitsee punaisen auton 60% todennäköisyydellä ja merkin C valitessa hän ottaa punaisen auton 70% todennäköisyydellä.

Kuinka todennäköisesti henkilö valitsee punaisen auton?

Olkoon tapahtuma $R=\text{valitsee punaisen auton}.$ $\begin{align*} \mathbb{P}(R)=&\ \mathbb{P}(R|A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(R|B)\mathbb{P}(B)\\&+\mathbb{P}(R|C)\mathbb{P}(C) \\=&\ 0{,}4\cdot 0{,}2+0{,}3\cdot 0{,}6+0{,}5\cdot 0{,}7\\=&\ 0{,}61\end{align*}$ Tällöin siis henkilö valitsee punaisen auton 61% todennäköisyydellä.

Esimerkki Bayesin kaavan käytöstä

Laboratorioon tilataan yleismittareita kahdelta valmistajilta 1 ja 2. Valmistajalta 1 virheellisiä yleismittareita tulee 2% ja valmistajalta 2 tulee 3,5%. Valmistajalta 1 tilataan 70% laboratorion yleismittareista ja 30% valmistajalta 2. Jos satunnainen mittari osoittautuu virheelliseksi, millä todennäköisyydellä se on valmistajalta 2?

Olkoon $A=\text{virheellinen mittari}$ ja $B_j=\text{mittari tullut valmistajalta j}.$

$\begin{aligned}\mathbb{P}(B_2|A)&=\frac{\mathbb{P}(B_2\cap A)}{\mathbb{P}(A)}\\&=\frac{\mathbb{P}(A|B_2)\mathbb{P}(B_2)}{\mathbb{P}(A|B_1)\mathbb{P}(B_1)+\mathbb{P}(A|B_2)\mathbb{P}(B_2)}\\ &=\dfrac{0{,}035\cdot 0{,}30}{0{,}02\cdot 0{,}70+0{,}035\cdot 0{,}30}\\&=\dfrac{0{,}0105}{0{,}0245}\approx 0{,}429\end{aligned}$

Eli todennäköisyys, että viallinen mittari on valmistajalta 2, on 42,9%.