Joukko-opin perusteet

Mihin joukko-oppia tarvitaan?

Joukko-oppi ei itsessään ole kaikista tärkein matematiikan osa-alue esimerkiksi fysiikassa tai kemiassa, mutta sen tulokset helpottavat esimerkiksi todennäköisyyslaskennan ja moniulotteiseisen integroinnin ymmärtämistä. Varsinkin joukkojen yhdisteet ja leikkaukset sekä tieto joukkojen erillisyydestä ovat todennäköisyyslaskennan kannalta tärkeitä tuloksia.

Joukon reunan käsite on oleellinen avoimia ja suljettuja joukkoja määriteltäessä. Todennäköisyyslaskennassa kaksiulotteisen jatkuvan jakauman tiheysfunktiosta saadaan todennäköisyysfunktio integroimalla Borel-joukon, kuten esimerkisi suljetun tai avoimen joukon, yli. Lisäksi joukon reunan käsitettä tarvitaan muun muassa moniulotteisessa integroinnissa Stokesin lauseen yhteydessä.

Joukko ja alkiot

Joukko on kokoelma olioita, joita kutsutaan joukon alkioiksi. Nämä alkiot voivat käytännössä olla mitä tahansa, mutta matemaattisessa mielessä haluamme yleensä tarkastella tietyllä säännönmukaisuudella tai rajoituksella määriteltyä joukkoa.

Jos alkio kuuluu joukkoon merkitään tällöin $a\in A.$

Joukko voidaan esittää sen alkioiden avulla hyödyntäen kaarisulkeita. Esimerkiksi kolmen alkion, a,b ja :n, muodostama joukko voidaan kirjoittaa seuraavalla tavalla: $A=\{a,b,c\}.$

Joukossa voi olla äärellinen tai ääretön määrä alkioita.

Joukolle on olemassa myös seuraava esitys: $A=\{x\; :\; P(x)\},$ joka tarkoittaa kaikkien niiden alkioiden joukkoa, jotka toteuttavat ehdon P(x).

Tyhjä joukko ei sisällä yhtäkään alkiota. Sitä merkitään $\emptyset=\{\}.$

Esimerkkejä joukoista ja niiden määrittelemisestä

Yleisimpiä joukkoja ovat:

Luonnollisten lukujen joukko: $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ (Huom. vähän vaihtelee sisältyykö nolla tänne vai ei)
Kokonaislukujen joukko: $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots\}$
Rationaalilukujen joukko: $\mathbb{Q}=\{\frac{n}{m}\;:\;n,m\in\mathbb{Z},\; m\ne 0\}$
Reaalilukujen joukko: $\mathbb{R}$
Kompleksilukujen joukko: $\mathbb{C}=\{a+bi\;:\; a,b\in\mathbb{R}\}.$

Huom. Näitä joukkoja yleensä merkitään näillä omilla symboleilla, mutta muuten joukoista puhutaan yleensä esimerkiksi joukkoina A,B,C jne.

Parillisten lukujen joukko voidaan määritellä seuraavasti:

$A=\{2n\;:\; n\in \mathbb{Z}\}.$

Joukko $B=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots\}$ on kaikkien lukujen $\frac{1}{n}$ joukko, kun käy läpi luonnolliset luvut

Yleisesti on hyödyllistä merkata joukkoja mahdollisimman tarkasti määriteltynä, koska välillä äärettömästä joukosta on vaikeaa ymmärtää mitä joukkoa tarkalleen ottaen tarkoitetaan.

Joukosta $A=\{2,4,8,\dots\}$ ei saa selvää mitä joukkoa sillä täsmälleen tarkoitetaan. Se voisi olla esimerkiksi joukko $A=\{2^k\;:\; k\in\mathbb{N}\}$ tai joukko joka koostuu positiivisista parillisista alkioista, jotka eivät ole jaollisia numerolla kuusi.

Joukon alkiona voi olla myös toinen joukko: $D=\{1,2,3,\{4,5\},\{\alpha\}\}.$ on joukko, jonka alkiot $\{4,5\}$ ja $\{\alpha\}$ ovat myös joukkoja.

# osajoukko

Joukkojen yhtäsuuruus ja osajoukot

Joukot ovat keskenään yhtä suuret, jos ne koostuvat täsmälleen samoista alkioista. Tällöin ei ole merkitystä alkioiden järjestyksellä tai onko jokin alkio listattu useampaan kertaan, vaan esimerkiksi $\{1,2,3\}=\{3,1,2\}=\{1,1,3,2,3\}.$ Yhtäsuuria joukkoja ja merkitään A=B.

Joukko on toisen joukon osajoukko, jos sen jokainen alkio sisältyy toiseen joukkoon. Osajoukko on aito osajoukko, jos se ei ole yhtä suuri joukon kanssa, josta se on osajoukko. Jos on :n osajoukko, sitä merkitään $B\subset A.$

Joukot ja ovat erilliset, jos niillä ei ole yhteisiä alkioita eli $A\cap B=\emptyset$

$\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 3cm, fill=white}] \node[draw, circle, minimum size =5cm, fill=white, label=$A$] (circle1.5cm) at (0,0){}; % Set B \node[set,label={45:$B$}] (B) at (0,0) {}; % Circles outline \draw[black,fill=red] (0.5,0) circle (8ex); \node[] at (0,-3) {Joukko $B$ on joukon $A$ aito osajoukko}; \end{tikzpicture}$

Esimerkki osajoukoista

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.$ Osajoukkoihin pätee transitiivisuus, eli tässä tapauksessa, koska luonnolliset luvut ovat kokonaislukujen osajoukko ja kokonaisluvut ovat rationaalilukujen osajoukko, niin luonnolliset luvut ovat myös rationaalilukujen osajoukko. Sama pätee muihinkin yleisesti.

Joukko $A=\{1,2,3\}$ on osajoukko joukolle $B=\{-1,1,2,3,5,7\},$ koska sen jokainen alkio sisältyy joukkoon Toisaalta $B\not\subset\mathbb{N},$ koska sen alkio $-1\notin\mathbb{N}.$

Välit

Väli on osajoukko järjestetystä joukosta. Yleisimmin välejä käsitellään reaalilukujen tapauksessa. Välit voivat olla suljettuja, avoimia tai puoliavoimia. Jos on järjestetty joukko ja $a,b\in X$ siten, että a<b, niin tällöin saamme seuraavia välejä:

Suljettu väli: $[a,b]=\{x\in X\; :\; a\le x\le b\},$ eli väli sisältää päätepisteensä.
Avoin väli: $\mathopen]a,b\mathclose[=\{x\in X\; :\; a< x< b\},$ eli väli ei sisällä päätepisteitään.
Puoliavoin väli: $\mathopen]a,b\mathclose]=\{x\in X\; :\; a< x\le b\}{,}$ tai $\mathopen[a,b\mathclose[=\{x\in X\; :\; a\le x< b\}{,}$ eli väli sisältää toisen päätepisteensä.

Esimerkkejä väleistä reaaliluvuilla: $\begin{aligned}&[-1,3]=\{x\in \R\; :\; -1\le x\le 3\}\\&\mathopen]1,2\mathclose[=\{x\in \R\; :\; 1< x< 2\}\\ &\mathopen[0,2\mathclose[=\{x\in \R\; :\; 0\le x< 2\}\\&\mathopen]0,2\mathclose]=\{x\in \R\; :\; 0< x\le 2\}\end{aligned}$

Joukko-operaatiot

Joukoille ja on määriteltävissä seuraavat operaatiot. Operaatiot toimivat joukkojen välisinä laskutoimituksina.

# yhdiste

Yhdiste sisältää kaikki joukkojen ja alkiot: $A\cup B=\{x\;:\; x\in A\text{ tai }x\in B\}$

$\begin{tikzpicture} % Set A \node [circle, fill=red, minimum size =3cm, label={135:$A$}] (A) at (0,0){}; % Set B \node [circle, fill=red, minimum size =3cm, label={45:$B$}] (B) at (1.8,0){}; % Circles outline \draw[black] (0,0) circle(1.5cm); \draw[black] (1.8,0) circle(1.5cm); % Union text label \node[black] at (0.9,1.8) {$A\cup B$}; \end{tikzpicture}$

# leikkaus

Leikkaus sisältää alkiot, jotka sisältyvät molempiin joukkoihin ja : $A\cap B=\{x\;:\; x\in A\text{ ja }x\in B\}$

$\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 3cm, fill=white}] % Set A \node[set,label={135:$A$}] (A) at (0,0) {}; % Set B \node[set,label={45:$B$}] (B) at (1.8,0) {}; % Intersection \begin{scope} \clip (0,0) circle(1.5cm); \clip (1.8,0) circle(1.5cm); \fill[red](0,0) circle(1.5cm); \end{scope} % Circles outline \draw (0,0) circle(1.5cm); \draw (1.8,0) circle(1.5cm); % Set intersection label \node at (0.9,0) {$A\cap B$}; \end{tikzpicture}$

# erotus

Joukon erotus :stä sisältää alkiot, jotka kuuluvat joukkoon mutta eivät joukkoon $A\setminus B=\{x\;:\; x\in A\text{ ja }x\notin B\}.$

$\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 3cm, fill=white}] \node[draw, circle, minimum size =3cm, fill=red, label=$A$] (circle1.5cm) at (0,0){}; % Set B \node[set,label={45:$B$}] (B) at (1.8,0) {}; % Intersection \begin{scope} \clip (0,0) circle(1.5cm); \clip (1.8,0) circle(1.5cm); \fill[white](0,0) circle(1.5cm); \end{scope} % Circles outline \draw (0,0) circle(1.5cm); \draw (1.8,0) circle(1.5cm); % Set setminus label \node at (-0.4,0) {$A\setminus B$}; \end{tikzpicture}$

Yleistys useammalle joukolle

Samat tulokset pätevät kolmelle tai useammalle joukolle:

$A\cup B\cup C=\{x\;:\; x\in A\text{ tai }x\in B\text{ tai }x\in C\},$ $A\cap B\cap C=\{x\;:\; x\in A\text{ ja }x\in B\text{ ja }x\in C\}.$

Useamman (tai äärettömän) joukon tapauksessa käytetään merkintää: $\begin{align*}\bigcup_{i=1}^nA_i&=A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n\\&=\{x\;:\; x\in A_i\text{ jollakin }i=1,2,\dots,n\}\end{align*}$ ja $\begin{align*}\bigcap_{i=1}^nA_i&=A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n\\&=\{x\;:\; x\in A_i\text{ kaikilla }i=1,2,\dots,n\}.\end{align*}$

Esimerkkejä operaatioista

Olkoon $A=\{1,2,3,\alpha\},$ $B=\{-1,2,3,\beta\},$ $C=\{-1,1,\alpha,\beta\}$

Tällöin $A\cup B=\{-1,1,2,3,\alpha,\beta\}=A\cup C,$ $C\cap A=\{1, \alpha\}$ ja $A\cap B\cap C=\emptyset.$

Karteesinen tulo

Joukkojen ja karteesinen tulo määrää tulojoukon. $A\times B=\{(a,b)\; :\; a\in A,\; b\in B\}$

Esimerkkejä karteesisista tuloista

$\R^2,$ eli xy-taso, on karteesinen tulo $\R\times\R=\{(x,y)\; :\; x,y\in\R\}.$

Joukkojen $A=\{0,1\}$ ja $B=\{\alpha,\beta\}$ karteesinen tulo $A\times B$ on $\{(0,\alpha), (1,\alpha), (0,\beta), (1,\beta)\}.$

Reaalilukujen välien avulla voidaan määritellä karteesinen tulo: $\mathopen]0,1\mathclose[\times \mathopen[2,4\mathclose[=\{(x,y)\in\R^2\; :\; 0<x<1,\; 2\le y<4\}.$

Komplementti

Olkoon perusjoukko (esimerkiksi $X=\R$ tai $X=\R^n$ ). Tällöin joukon komplementti on $A^c=X\setminus A,$ jos on joukon osajoukko.

Komplementin kannalta on tärkeää, että tiedämme mistä perusjoukko koostuu. Tämä johtuu siitä, että komplementti tehdään aina tarkasteltavan osajoukon perusjoukon suhteen.

$\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 3cm, fill=red}] \node[draw, circle, minimum size =5cm, fill=red, label=$X$] (circle1.5cm) at (0,0){}; \node[draw, circle, minimum size =2cm, fill=white, label=$A$] (circle1.5cm) at (0.5,-0.2){}; \end{tikzpicture}$

Esimerkki komplementista

Olkoon joukko $A=\{-2,-1,0,1,2\}$ ja $B\subset A$ siten, että $B=\{-1,0,1\}.$ Tällöin $B^c=\{-2,2\}.$

Olkoon $D=[0,1]\subset \R.$ Tällöin $\begin{align*}D^c&=\mathopen]-\infty, 0\mathclose[ \;\cup\;\mathopen]1,\infty\mathclose[\\&=\{x\in\R\; :\; -\infty<x<0\text{ tai }1<x<\infty\}.\end{align*}$

de Morganin lait

Komplementin, yhdisteen ja leikkauksen avulla saamme de Morganin lait:

Olkoon perusjoukko ja joukot ja sen osajoukkoja. Tällöin

$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ ja $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c.$

Nämä ovat hyödyllisiä todennäköisyyslaskennan ja logiikan kannalta.

Nämä lait ovat perusteltavissa näyttämällä esimerkiksi, että $(A\cup B)^c\subset A^c\cap B^c$ ja $(A\cup B)^c\supset A^c\cap B^c.$ Käydään läpi ensimmäisen de Morganin lain perustelu.

$\begin{align*}x\in (A\cup B)^c\;& \Leftrightarrow\;x\notin (A\cup B)\; \\&\Leftrightarrow\; x\notin A\mbox{ ja }x\notin B\; \\&\Leftrightarrow\; x\in A^c\mbox{ ja }x\in B^c \\&\Leftrightarrow\; x\in A^c\cap B^c.\end{align*}$

Tämän päättelyketjun läpikäydessä molempiin suuntiin huomataan, että $(A\cup B)^c\subset A^c\cap B^c$ ja $(A\cup B)^c\supset A^c\cap B^c,$ jolloin siis $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c.$

Tästä kannattaa piirtää kuva Venn-diagrammien avulla, niin idea tulee parhaiten esille.

Joukkojen mahtavuus

Joukkojen mahtavuudella tarkoitetaan niiden suuruutta, eli kuinka monta alkiota joukossa on. Joukon alkioiden lukumäärää kuvaa kardinaaliluku. Äärellisen joukon mahtavuutta kuvaa aina luonnollinen kardinaaliluku ja äärettömän joukon tapauksessa mahtavuutta kuvaa ääretön kardinaaliluku.

Joukon mahtavuutta merkitään |A|. Jos joukoissa ja on yhtä paljon alkioita, niin silloin sanotaan että joukot ovat yhtä mahtavat |A|=|B|.

Esimerkki joukkojen mahtavuudesta

Olkoon $A=\{a,b,c,d\}$ ja $B=\{x,y,z\}.$ Tällöin |A|=4, |B|=3 ja |B|<|A|.

Numeroituva ja ylinumeroituva joukko

Joukko, jonka kaikki alkiot ovat lueteltavissa, sanotaan numeroituvaksi joukoksi. Numeroituva joukko on äärellinen tai sitten se on numeroituvasti ääretön. Joukkoa, jolle tämä ei päde, sanotaan ylinumeroituvaksi joukoksi. Ylinumeroituva joukko on aina ääretön.

Toisin sanoen joukko $\mathbb{A}$ on numeroituva, jos on olemassa injektio $f: \mathbb{A}\rightarrow\mathbb{N}$ joukolta $\mathbb{A}$ luonnollisille luvuille $\mathbb{N}.$ Jos taasen joukossa on "enemmän" alkioita kuin luonnollisten lukujen joukossa, niin se on ylinumeroituva.

Esimerkkejä numeroituvista ja ylinumeroituvista joukoista

$\mathbb{N},$ $\mathbb{Z},$ $\mathbb{Q}$ ovat numeroituvia, kun taas $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ ja $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ovat ylinumeroituvia joukkoja.

Huom. $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ on irrationaalilukujen joukko.

Joukon ositus

Kokoelma joukon osajoukkoja $A_1,A_2,\dots ,A_n$ muodostavat joukon äärellisen osituksen, jos

Joukot $A_1,A_2,\dots ,A_n$ ovat erillisiä, eli $A_i\cap A_j=\emptyset$ kaikilla $i\ne j$ ja
$\displaystyle\bigcup_{i=1}^nA_i=B,$ eli osajoukkojen yhdiste sisältää kaikki joukon alkiot.

Sama idea pätee äärettömälle ositukselle.

Ositusta tarvitaan esimerkiksi joidenkin todennäköisyyslaskennan tulosten, kuten kokonaistodennäköisyyden kaavan, yhteydessä.

Esimerkki osituksesta

Joukot $\mathbb{Z}_+,\mathbb{Z}_-,$ ja $\{0\}$ muodostavat osituksen kokonaislukujen joukolle $\mathbb{Z},$ sillä positiivisten ja negatiivisten kokonaislukujen joukot ovat erillisiä keskenään ja joukon $\{0\}$ kanssa ja niiden yhdiste on $\{0\}\cup\mathbb{Z}_+\cup\mathbb{Z}_-=\{x\; :\; x\in\mathbb{Z}_+\text{ tai }\; x\in\mathbb{Z}_- \; \text{tai}\;x\in\{0\} \}=\mathbb{Z}.$

Olkoon $A=\{-1,1,2,3,4,5\},$ $B=\{-1,2,4\},$ $C=\{1,5\}$ ja $D=\{1,3,5\}.$

Joukot ja eivät ole joukon ositus, koska niiden yhdiste ei ole koko joukko Joukot ja eivät ole myöskään ositus, koska ne eivät ole edes erillisiä joukkoja. Joukot ja muodostavat :n osituksen, koska ne ovat erillisiä ja niiden yhdiste sisältää kaikki joukon alkiot.

Avoimet ja suljetut joukot

Joukon reuna on niistä pisteistä koostuva joukko, joita voidaan lähestyä sekä joukkoon kuuluvia pisteitä pitkin että joukkoon kuulumattomia pisteitä pitkin. Huomaa, että itse pistettä ei tarvitse saavuttaa, vaan riittää päästä miten lähelle tahansa halutaankaan. Näitä pisteitä sanotaan reunapisteiksi. Joukon reunapisteiden joukkoa merkitään yleensä $\partial A.$

Joukon sisäpisteitä ovat ne pisteet, jotka kuuluvat joukkoon, mutta eivät kuulu joukon reunaan. Joukko on avoin, jos se sisältää vain sisäpisteensä. Joukko on suljettu, jos se sisältää myös kaikki reunapisteensä. Joukko ei välttämättä ole avoin eikä suljettu, sillä se voi sisältää vain osan reunapisteistään.

# reuna

Esimerkki avoimista ja suljetuista joukoista

Tarkastellaan reaalilukujen osajoukkoja: $[-1,3]=\{x\in \R\; :\; -1\le x\le 3\}$ on suljettu joukko, koska se sisältää reunapisteensä ja Kaikki joukon $\{x\in \R\; :\; -1< x< 3\}$ pisteet ovat tämän osajoukon sisäpisteitä.

$\begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[very thick] (-1,0) -- (3,0); \path [draw=black, fill=black] (-1,0) circle (2pt); \path [draw=black, fill=black] (3,0.0) circle (2pt); \draw[latex-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) ; \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,0pt) -- (0pt,-3pt) node[below] {$\x$}; \end{tikzpicture}$

$\mathopen]1,2\mathclose[=\{x\in \R\; :\; 1< x< 2\}$ on avoin joukko, koska se ei sisällä reunapisteitään ja Se koostuu siis ainoastaan sisäpisteistään.

$\begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[very thick] (1,0) -- (2,0); \path [draw=black, fill=white, thick] (1,0) circle (2pt); \path [draw=black, fill=white, thick] (2,0.0) circle (2pt); \draw[latex-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) ; \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,0pt) -- (0pt,-3pt) node[below] {$\x$}; \end{tikzpicture}$

$\mathopen]0,1\mathclose]=\{x\in \R\; :\; 0< x\le 1\}$ on puoliavoin väli. Tällöin se ei ole siis suljettu, eikä avoin joukko, sillä siihen sisältyy reunapiste mutta reunapiste ei sisälly.

$\begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[very thick] (0,0) -- (1,0); \path [draw=black, fill=white, thick] (0,0) circle (2pt); \path [draw=black, fill=black, thick] (1,0.0) circle (2pt); \draw[latex-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) ; \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,0pt) -- (0pt,-3pt) node[below] {$\x$}; \end{tikzpicture}$

Olkoon $\begin{align*}A&=[-2,3]\times[-2,2]\\&=\{(x,y)\in\R^2\; :\; -2\le x\le 3,\; -2\le y\le 2\}.\end{align*}$

Tällöin on suljettu joukko $\R^2$ :ssa, sillä se sisältää reunansa.

$\begin{tikzpicture} \draw[help lines, color=gray, dashed] (-4,-4) grid (4,4); \draw[->,ultra thick] (-4,0)--(4,0) node[right]{$x$}; \draw[->,ultra thick] (0,-4)--(0,4) node[above]{$y$}; \draw[->,ultra thick, color=red, fill=red] (-2,-2) rectangle (3,2) node [text=black,above] {$A$}; \end{tikzpicture}$

Olkoon $B=\{(x,y)\in\R^2\; :\; x^2+y^2<1\}.$ Tällöin on avoin joukko, koska se ei sisällä sen reunapisteitä $\partial B=\{(x,y)\in\R^2\; :\; x^2+y^2=1\}.$

$\begin{tikzpicture} \draw[help lines, color=gray, dashed] (-3,-3) grid (3,3); \draw[->,ultra thick] (-3,0)--(3,0) node[right]{$x$}; \draw[->,ultra thick] (0,-3)--(0,3) node[above]{$y$}; \node[draw, circle, minimum size =2cm, fill=yellow, dashed](circle1.5cm) at (0,0){}; \node at (0.8,1) {$B$}; \end{tikzpicture}$

Borel-joukot

Kokoelma $\Gamma$ joukon $\Omega$ osajoukkoja on $\sigma$ -algebra joukossa $\Omega,$ jos

$\emptyset\in\Gamma$ ja $\Omega\in\Gamma$
Jos $A\in\Gamma,$ niin $A^c\in\Gamma$
Jos $A_1, A_2, ...\in\Gamma,$ niin $\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in\Gamma$

$\sigma$ -algebra on siis suljettu komplementin ja yhdisteen suhteen. Huomaa, että tämä pätee myös äärellisen monen joukon yhdisteelle $\bigcup_{i=1}^k A_i,$ sillä voidaan valita $A_i=\emptyset,$ kun i>k, jolloin $\bigcup_{i=1}^k A_i=\bigcup_{i=1}^\infty A_i.$

Pienin mahdollinen $\sigma$ -algebra, joka sisältävät avoimet joukot, on Borel-joukkojen $\sigma$ -algebra $\mathcal{B}(\Omega).$ Borel-joukkojen $\sigma$ -algebra on siis kokoelma joukkoja, joita kutsutaan Borel-joukoiksi.

Esimerkki joukon $\Omega$ $\sigma$ -algebroista

Laajimman mahdollisen $\sigma$ -algebran joukossa $\Omega$ muodostavat $\Omega$ :n kaikki osajoukot. Pienin mahdollinen $\sigma$ -algebra joukossa $\Omega$ on joukko $\{\Omega, \emptyset\}.$ Myös esimerkiksi joukko $\{\Omega, \emptyset, A, A^c\},$ missä $A\subseteq\Omega,$ on $\sigma$ -algebra joukossa $\Omega.$

Esimerkkejä Borel-joukoista

$\mathcal{B}(\R)$ on pienin avaruuden $\R$ $\sigma$ -algebra, joka sisältää kaikki avoimet välit ]a,b[, missä $-\infty<a<b<\infty.$ Jos taasen $\Omega=[0,1],$ niin $\mathcal{B}([0,1])$ sisältää sekä joukot $\{0\}$ ja $\{1\}$ että kaikki avoimet välit ]a,b[, missä $0\leqslant a<b\leqslant1.$

Avaruuden $\R^n=\underbrace{\R\times\R\times\R\times...\times\R}_{n\text{ kpl}}$ avoimet ja suljetut joukot ja siten myös niiden numeroituvat yhdisteet (äärellisen ja äärettömättömän monen joukon) ja komplementit ovat avaruuden $\R^n$ Borel-joukkoja eli ne kuuluvat joukkoon $\mathcal{B}(\R^n).$ Lisäksi myös niiden numeroituvat leikkaukset (äärellisen ja äärettömättömän monen joukon) ovat Borel-joukkoja, sillä de Morganin lakien perusteella $\bigcap_{i=1}^\infty A_i={\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i^c\right)}^c.$

Valinta-aksiooma:

Jos on jokin indeksijoukko ja joukot $E_\alpha,$ missä $\alpha\in I,$ ovat epätyhjiä, niin kaikista joukoista $E_\alpha$ voidaan valita alkio $x_\alpha\in E_\alpha.$

Voidaan siis muodostaa kuvaus, jolla valitaan alkio $x_\alpha$ kustakin joukosta $E_\alpha.$ Jos joukkoja $E_\alpha$ on äärettömän monta, ei välttämättä voida muodostaa sääntöä, jolla alkiot valitaan, mutta valinta-aksiooman mukaan kuvauksen olemassa olo riittää. Valinta-aksioomaa käyttäen voidaan muodostaa joukkoja, jotka eivät ole Borel-joukkoja.

Esimerkki joukosta, joka ei ole Borel-joukko

Muodostetaan joukko valitsemalla yksi alkio kustakin joukon [0,1] ekvivalenssiluokasta $[y]=\{ x\in [0,1] :x-y\in \mathbb{Q}\},$ missä $y\in[0,1].$ Nyt joukko ei ole Borel-joukko, mutta perustelua miksi näin on ei käydä tässä läpi.