Matriisit työkaluina

#

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarisessa yhtälöryhmässä ratkaistavat muuttujat esiintyvät lineaarisina termeinä, eli kerrottuna jollain vakiolla. Esimerkkejä epälineaarisista termeistä ovat , ja

Lineaarinen yhtälöryhmä on esimerkiksi jossa ratkaistavia muuttujia on kolme: ja

Yleisesti muuttujan ja yhtälönYhtälöryhmä voidaan ratkaista, jos lineaarinen yhtälöryhmä on missä ja ovat vakioita. Tämä voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä tai lyhyesti missä on -kerroinmatriisi ja on vakiovektori.

Ratkaistavana on siis vektori jonka komponentteina on yhtälöryhmän muuttujat.

Olkoon kääntyvä -matriisi. Yhtälöllä on tällöin yksikäsitteinen ratkaisu kaikilla vakiovektoreilla .

Neliömatriisille seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:

1. Matriisin sarakkeet ja rivit ovat lineaarisesti riippumattomat. 2. 3. on kääntyvä. 4. Yhtälöllä on (yksikäsitteinen) ratkaisu jokaiselle 5. Yhtälöllä on vain triviaaliratkaisu .

Esimerkki. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen.

#

Tärkeitä käsitteitä

#

Vektoriavaruus ja aliavaruus

Vektoriavaruutta voisi kuvata 12 tunnin kello. Minkä tahansa kahden kellonajan summa pysyy aina kellonaikojen 1-12 välillä. Esimerkkikellossamme on laskettu kellonajat 9+4 ja saatu 1. Vaikka laskennallisesti tulos menisikin avaruuden ulkopuolelle (9+4=13), se kuitenkin pyörähtää takaisin "kelloavaruuteen". Samoin, jos lisätään 9 tuntia 6 kertaa kellonaikaan 12, saamme 12+54=66. Kellossamme aika tällöin on kuitenkin 6. Kahdentoista tunnin kello toimii aliavaruutena 24 tunnin kellolle! (Tämä esimerkki on tehty äärelliseen tapaukseenAlkioiden määrä on pienempi kuin .. Yleensä vektoriavaruuksia käsitellään äärettöminä.)

Vektoriavaruus

Aliavaruus