Determinantti

Mikä se on?

Matriisin determinantti on luku, joka on geometrisesti sarakevektoreiden virittämän suunnikkaan pinta-ala ( $2\times2$ -matriisille) tai särmiön tilavuus ( $3\times3$ -matriisille).

# laskukaavat

Determinantin laskukaavat

Laskukaavat $n\times n$ matriiseille.

# 2x2

Determinantti 2 x 2 -matriisille

Determinantti $2\times 2$ -matriisille on luku $\det \begin{bmatrix} \red a & \red b \\ \blue c &\blue d \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} \red a &\red b\\ \blue c &\blue d \end{vmatrix} = \red a\blue d-\red b\blue c.$ Geometrisesti $2\times2$ -matriisin determinantti on sen sarakevektoreiden virittämän suunnikkaan pinta-ala. Katso esimerkki alla.

Esimerkki. Determinantin laskeminen $2\times 2$ -matriisille.

Matriisin $A= \begin{bmatrix} \red 1 & \red 6 \\ \blue {-2} &\blue 8 \end{bmatrix}$ determinantti on $\det (A)= \red 1 \cdot \blue 8 - (\red 6\cdot (\blue{-2}))=20.$

Determinantin voi tulkita geometrisesti sarakevektoreiden virittämän suunnikkaan pinta-alana. Tämän suunnikkaan virittää vektorit $\ve{\color{red}a}= \begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}$ ja $\ve{\color{blue}b}= \begin{pmatrix} 6\\ 8 \end{pmatrix}$ .

$\begin{tikzpicture}[scale=0.5] % vektorit \filldraw[fill=blue!20, draw=white] (0,0)--(1,-2)-- (7,6)--(6,8)--cycle node [midway, xshift=7, yshift=-13] {A\,=\,20};; \draw [->, ultra thick](0,0)--(1,-2) node [midway, xshift=-3, yshift=-7] {$\vec{\color{red}a}$}; \draw [->, ultra thick](0,0)--(6,8) node [midway, above] {$\vec{\color{blue}b}$};; \draw[->, thick] (-0.5,0)--(9.5,0) node[right]{$x$}; \draw[->, thick] (0,-2.5)--(0,8.5) node[above]{$y$}; \draw[step=1.0,gray!50,thin] (-0.5,-2.5) grid (9.5,8.5); \end{tikzpicture}$

# 3x3

Determinantti 3 x 3 -matriisille

Determinantti $3\times 3$ -matriisille on $\begin{align*} \det (A) &= \begin{vmatrix} \red a &\red b &\red c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{vmatrix}\\&= \red a \cdot \begin{vmatrix} e &f \\ h &i \end{vmatrix} - \red b \cdot \begin{vmatrix} d &f \\ g &i \end{vmatrix} + \red c \cdot \begin{vmatrix} d &e \\ g &h \end{vmatrix} \end{align*}$ laskettuna ensimmäisen rivin suhteen. Huomaa toisen termin miinusmerkki! Geometrisesti $3\times3$ -matriisin determinantti on sen sarakevektoreiden virittämän särmiön tilavuus. Katso esimerkki alla.

Esimerkki. Determinantin laskeminen $3\times 3$ -matriisille.

Matriisin $A= \begin{bmatrix} \red 5 &\red 2 &\red 0 \\ \blue 6 &\blue 2 &\blue{-2} \\ \green 3 &\green 4 &\green 1 \end{bmatrix}$ determinantti on $\begin{align*} \det (A) =&\ \red 5\cdot \det \begin{bmatrix} \blue 2 &\blue{-2} \\ \green 4 &\green 1 \end{bmatrix}- \red 2\cdot \det \begin{bmatrix} \blue 6 &\blue{-2} \\ \green 3 &\green 1 \end{bmatrix} + \red 0 \cdot \det \begin{bmatrix} \blue 6 &\blue 2 \\ \green 3 &\green 4 \end{bmatrix}\\ =&\ 5\cdot (2\cdot 1 - (-2)\cdot 4) -2\cdot (6\cdot 1 - (-2)\cdot 3)+0\\ =&\ 5\cdot (2+8)-2\cdot (6+6) \\ =&\ 50-24 \\ =&\ 26. \end{align*}$

Matriisin A determinantti on vektorien $\ve{\color{red}a}=\begin{pmatrix} 5\\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}, \ve{b}=\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \text{ ja } \ve{\color{blue}c}=\begin{pmatrix} 0\\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ virittämän särmiön tilavuus: $\det(A)=V=26.$

$\begin{tikzpicture} \coordinate (P1) at (6,3,5); \coordinate (P2) at (2,4,2); \coordinate (P3) at (-2,1,0); \coordinate (O) at (0,0,0); \coordinate (P4) at (-6,-3,-5); \filldraw[fill=blue!20] (O)--(P3)-- ++(P2)-- (P2)--cycle; \filldraw[fill=blue!25] (O)--(P1)-- ++(P2)-- (P2)--cycle; \filldraw[fill=blue!10] (P2)--++(P1)--++(P3)--++(P4)--cycle; %akselit \draw[->, thick] (O) --(0,0,2.5) node[below]{$x$}; \draw[->, thick] (O) --(4.5,0,0) node[below]{$y$}; \draw[->, thick] (O) --(0,5.5,0) node[right]{$z$}; \draw [->, ultra thick] (O) -- (P1) node[midway, below]{$\vec{\color{red}a}$}; \draw [->, ultra thick] (O) -- (P2) node[midway, right, yshift=15, xshift=6]{$\vec{b}$}; \draw [->, ultra thick] (O) -- (P3) node[midway, below]{$\vec{\color{blue}c}$}; \draw [dashed] (P3)-- +(P1)-- (P1)-- +(P2); \draw [dashed] (P2)-- ++(P1)-- ++(P3); \draw [dashed] (P3)-- ++(P2)-- ++(P1); \draw [dashed] (P2)-- ++(P3); \draw [dashed] (P1)++(P3)-- ++(P2) node[midway, yshift= -30, xshift=20]{$V=26$}; \end{tikzpicture}$

Merkitään nyt matriisin alkioita niiden sijainnin mukaan alaindeksein: $A= \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33}. \end{bmatrix}$

Havainnollistetaan kuvan avulla miten determinantti lasketaan: $\begin{bmatrix} %\red a_{\red{11}} &\gray {a}_{\gray{12}} &\gray a_{\gray{13}} \\ \red a_{\red{11}} & & \\ %\gray a_{\gray{21}} &\blue{a}_{\blue{22}} &\blue a_{\blue{23}} \\ &\blue{a}_{\blue{22}} &\blue a_{\blue{23}} \\ %\gray a_{\gray{31}} &\blue a_{\blue{32}} &\blue a_{\blue{33}} &\blue a_{\blue{32}} &\blue a_{\blue{33}} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} %\gray {a}_{\gray{11}} &\red a_{\red{12}} &\gray a_{\gray{13}} \\ &\red a_{\red{12}} &\\ %\blue{a}_{\blue{21}} &\gray a_{\gray{22}} &\blue a_{\blue{23}} \\ \green{a}_{\green{21}} & &\green a_{\green{23}} \\ %\blue a_{\blue{31}} &\gray a_{\gray{32}} &\blue a_{\blue{33}} \green a_{\green{31}} & &\green a_{\green{33}} \end{bmatrix},$ $\begin{bmatrix} %\gray {a}_{\gray{11}} &\gray a_{\gray{12}} &\red a_{\red{13}} \\ & &\red a_{\red{13}} \\ %\blue a_{\blue{21}} &\blue{a}_{\blue{22}} &\gray a_{\gray{23}} \\ \blue a_{\blue{21}} &\blue{a}_{\blue{22}} & \\ %\blue a_{\blue{31}} &\blue a_{\blue{32}} &\gray a_{\gray{33}} \blue a_{\blue{31}} &\blue a_{\blue{32}} & \end{bmatrix}$

$\begin{align*} \det (A) =&\ \red{a_{11}} \cdot \begin{vmatrix}\blue{a_{22}}&\blue{a_{23}}\\ \blue{a_{32}}& \blue{a_{33}}\end{vmatrix} - \red{a_{12}} \cdot \begin{vmatrix}\green{a_{21}}&\green{a_{23}}\\ \green{a_{31}}& \green{a_{33}}\end{vmatrix} + \red{a_{13}} \cdot \begin{vmatrix}\blue{a_{21}}&\blue{a_{22}}\\ \blue{a_{31}}& \blue{a_{32}}\end{vmatrix} \end{align*}$

Detereminantti voidaan siis kirjoittaa muodossa $\begin{align*} \det(A) =&\ \red{a_{11}} \det (\blue{A_{11}}) - \red{a_{12}} \det (\green{A_{12}}) + \red {a_{13}}\det (\blue{A_{13}}) \end{align*}$

Missä $\blue{A_{11}},$ $\green{A_{12}}$ ja $\blue{A_{13}}$ ovat matriisin alimatriiseja, jotka saadaan poistamalla alaindeksin osoittamat rivi ja sarake.

# alimatriisi

Alimatriisi

Esimerkiksi matriisin $A=A_{3\times3}=\begin{bmatrix} \red 3 & \overset{\red a_{\red{12}}}{\overset{\downarrow}{\red 4}} &\red 1 \\ \blue 5 &\red 2 &\blue 0 \\ \blue 6 &\red 7 &\blue 2 \end{bmatrix}$ alimatriisi $\blue{A_{\red{12}}}= \begin{bmatrix} \blue 5 &\blue 0 \\ \blue 6 &\blue 2 \end{bmatrix}$ saadaan poistamalla $\red{\text{ensimmäinen rivi}}$ ja $\red{\text{toinen sarake}}$ .

Muita matriisin alimatriiseja ovat esimerkiksi $A_{11}= \begin{bmatrix} \red 2 &\blue 0 \\ \red 7 &\blue 2 \end{bmatrix}, \quad A_{23}= \begin{bmatrix} \red 3 &\red 4 \\ \blue 6 &\red 7 \end{bmatrix}\quad \text{ja} \quad A_{31}= \begin{bmatrix} \red 4 &\red 1 \\ \red 2 &\blue 0 \end{bmatrix}.$

Alimatriisien avulla voidaan helpottaa determinantin merkitsemistä. Esimerkiksi $3\times 3$ -matriisin determinantiksi saadaan $\det (A) = a_{11} \det (A_{11}) - a_{12} \det (A_{12} )+ a_{13}\det (A_{13}).$

Yleisesti matriisin $A_{n\times m}$ alimatriisi $A_{ij}$ on $(n-1)\times (m-1)$ -matriisi, joka saadaan matriisista poistamalla siitä rivi ja sarake .

Determinantti muiden rivien tai sarakkeiden suhteen

Determinantti voidaan laskea minkä rivin tai sarakkeen suhteen tahansa ilman, että sen arvo muuttuu. Determinantti kannattaa siis laskea sen rivin tai sarakkeen suhteen, missä on eniten nollia. Determinantin laskemisessa on muistettava alimatriisien determinanttien etumerkit. Avuksi voi olla seuraava merkkikaavio.

$\text{Alimatriisien merkkikaavio determinantin laskemiseen:}$ $\begin{bmatrix}+ &- &+ &\cdots \\ - &+ &- & \\ + &- &+ \\ \vdots &&&\ddots\end{bmatrix}$

Determinantti muiden rivien tai sarakkeiden suhteen

Esimerkiksi toisen sarakkeen suhteen kehitettynä determinantti on $\begin{bmatrix} &\red {b} & \\ \blue {d}& &\blue {f} \\ \blue {g} & &\blue {\vphantom{f}i} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \green{a} & &\green {c} \\ & \red{e} & \\ \green {\vphantom{f}g} & &\green {\vphantom{f}i} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \blue {a} & &\blue {c} \\ \blue {\vphantom{f}d}& &\blue {f} \\ &\red {\vphantom{f}h} & \end{bmatrix},$ $\det (A) = -\red{b} \cdot \begin{vmatrix}\blue{d}&\blue{f}\\ \blue{g}& \blue{i}\end{vmatrix} + \red e \cdot \begin{vmatrix}\green{a}&\green{c}\\ \green{g}& \green{i}\end{vmatrix} - \red h \cdot \begin{vmatrix}\blue{a}&\blue{c}\\ \blue{d}& \blue{f}\end{vmatrix}.$

Alimatriisin determinantin $\det(A_{ij})$ merkki saadaan edellä olevasta merkkikaaviosta riviltä sarakkeesta

Etumerkki on miinus, jos poistettujen rivin ja sarakkeen indeksien summa i+j on pariton. Toisin sanoen alimatriisin determinantin kerroin on $(-1)^{i+j}.$ Esimerkiksi poistettaessa rivi ja sarake saadaan $(-1)^{2+3} = -1.$

Determinantti $3\times3$ -matriisille muiden rivien tai sarakkeiden suhteen

Rivien 2 ja 3 suhteen laskettuna determinantti on: $\det (A) = -a_{21} \det (A_{21}) + a_{22} \det (A_{22}) - a_{23}\det (A_{23})$ $\det (A) = a_{31} \det (A_{31}) - a_{32} \det (A_{32}) + a_{33}\det (A_{33}).$

Determinantti voidaan laskea myös minkä tahansa sarakkeen avulla: $\det (A) = a_{11} \det (A_{11}) - a_{21} \det (A_{21}) + a_{31}\det (A_{31})$ $\det (A) = -a_{12} \det (A_{12}) + a_{22} \det (A_{22}) - a_{32}\det (A_{32})$ $\det (A) = a_{13} \det (A_{13}) - a_{23} \det (A_{23}) + a_{33}\det (A_{33}).$

Esimerkki. Determinantin laskeminen 3. sarakkeen suhteen.

Lasketaan matriisin $A= \begin{bmatrix} \blue 3 &\blue 4 &\red 1 \\ \blue 5 &\blue 2 &\red 0 \\ \blue 6 &\blue 7 &\red 2 \end{bmatrix}$ determinantti 3. sarakkeen suhteen.

Poimitaan muistitaulukosta etumerkit kohdilleen:

$\begin{align*} \det (A) &= a_{13} \det (A_{13})-a_{23} \det (A_{23})+a_{33} \det (A_{33})\\ &= \red 1 \cdot \det \begin{bmatrix} \blue 5 &\blue 2 \\ \blue 6 &\blue 7 \end{bmatrix}- \red 0 \cdot \det \begin{bmatrix} \blue 3 &\blue 4 \\ \blue 6 &\blue 7 \end{bmatrix}+ \red 2 \cdot \det \begin{bmatrix} \blue 3 &\blue 4 \\ \blue 5 &\blue 2 \end{bmatrix}\\ &= 1\cdot (5\cdot 7-2\cdot 6) -0 + 2 \cdot (3\cdot 2 - 4 \cdot 5) \\ &= 23 -28 =-5. \end{align*}$

# nxn

Determinantti n x n -matriisille

Determinantti $n\times n$ -matriisille

Jos $A=A_{n\times n}$ on neliömatriisi, missä $n\geq 2$ , niin determinantti on luku $\begin{align*} \det (A) =&\ a_{11}\det (A_{11})-a_{12}\det (A_{12})\\&\ +\dots+ (-1)^{1+n} a_{1n}\det (A_{1n})\\ =&\ \sum_{k=1}^n (-1)^{1+k}a_{1k}\det (A_{1k}). \end{align*}$

Minkä tahansa neliömatriisin tapauksessa determinantti voidaan kehittää minkä tahansa rivin tai sarakkeen suhteen. Yleinen kehityssääntö rivien suhteen on $\begin{align*} \det (A) =&\ (-1)^{i+1}a_{i1} \det (A_{i1})\\&\ + (-1)^{i+2}a_{i2} \det (A_{i2})\\&\ + \cdots + (-1)^{i+n} a_{in} \det (A_{in}) \\ =&\ \sum_{k=1}^n (-1)^{i+k} a_{ik} \det (A_{ik}) \end{align*}$ ja sarakkeiden suhteen $\begin{align*} \det (A) =&\ (-1)^{1+j}a_{1j} \det (A_{1j})\\&\ + (-1)^{2+j}a_{2j} \det (A_{2j})\\&\ + \cdots + (-1)^{n+j} a_{nj} \det (A_{nj}) \\ =&\ \sum_{k=1}^n (-1)^{k+j} a_{kj} \det (A_{kj}). \end{align*}$

Hyvä muistisääntö alimatriisin etumerkille on seuraava merkkikaavio $\begin{align*} \begin{bmatrix} + &- &+ &- &\cdots \\ - &+ &- &+&\cdots \\ + &- &+ &- &\cdots \\ \vdots \end{bmatrix}, \end{align*}$ josta nähdään kunkin alimatriisin determinantin etumerkki eli $(-1)^{i+j}$ .

$\textbf{Huom!}$ Erikoistapauksessa $1 \times 1$ -matriisin A=[a] determinantti on $\det (A) = a$ .

Näille sivuille inspiraatiota on haettu pääasiassa alla olevista lähteistä:

Petri Juutinen: Lineaarinen algebra ja geometria 1. Luentomoniste, 2019.
Petri Juutinen: Lineaarinen algebra ja geometria 2. Luentomoniste, 2020.
Emma Leppälä: Matriisilaskenta. Luentomoniste, 2019.
Juha Merikoski: Lineaarialgebra. Luentodiat, 2016.