Determinantti

Mikä se on?

Matriisin determinantti on luku, joka on geometrisesti sarakevektoreiden virittämän suunnikkaan pinta-ala ( -matriisille) tai särmiön tilavuus ( -matriisille).

# laskukaavat

Determinantin laskukaavat

Laskukaavat matriiseille.

# 2x2

Determinantti 2 x 2 -matriisille

Determinantti -matriisille on luku Geometrisesti -matriisin determinantti on sen sarakevektoreiden virittämän suunnikkaan pinta-ala. Katso esimerkki alla.

Esimerkki. Determinantin laskeminen -matriisille.

# 3x3

Determinantti 3 x 3 -matriisille

Determinantti -matriisille on laskettuna ensimmäisen rivin suhteen. Huomaa toisen termin miinusmerkki! Geometrisesti -matriisin determinantti on sen sarakevektoreiden virittämän särmiön tilavuus. Katso esimerkki alla.

Esimerkki. Determinantin laskeminen -matriisille.

Merkitään nyt matriisin alkioita niiden sijainnin mukaan alaindeksein:

Havainnollistetaan kuvan avulla miten determinantti lasketaan:

Detereminantti voidaan siis kirjoittaa muodossa

Missä ja ovat matriisin alimatriiseja, jotka saadaan poistamalla alaindeksin osoittamat rivi ja sarake.

# alimatriisi

Alimatriisi

Alimatriisi

Determinantti muiden rivien tai sarakkeiden suhteen

Determinantti voidaan laskea minkä rivin tai sarakkeen suhteen tahansa ilman, että sen arvo muuttuu. Determinantti kannattaa siis laskea sen rivin tai sarakkeen suhteen, missä on eniten nollia. Determinantin laskemisessa on muistettava alimatriisien determinanttien etumerkit. Avuksi voi olla seuraava merkkikaavio.

Determinantti muiden rivien tai sarakkeiden suhteen

Determinantti -matriisille muiden rivien tai sarakkeiden suhteen

Esimerkki. Determinantin laskeminen 3. sarakkeen suhteen.

# nxn

Determinantti n x n -matriisille

Determinantti -matriisille


Näille sivuille inspiraatiota on haettu pääasiassa alla olevista lähteistä:

  1. Petri Juutinen: Lineaarinen algebra ja geometria 1. Luentomoniste, 2019.
  2. Petri Juutinen: Lineaarinen algebra ja geometria 2. Luentomoniste, 2020.
  3. Emma Leppälä: Matriisilaskenta. Luentomoniste, 2019.
  4. Juha Merikoski: Lineaarialgebra. Luentodiat, 2016.

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.