Matriisit

# merkitys

Matriiseista yleisesti

Matriisit on matemaattinen tapa esittää joukko lukuja kaaviona. Erityisesti lineaarikuvaukset eli tietynlaiset funktiot kirjoitetaan usein matriisien avulla.

Fysiikassa matriisit kuvaavat esimerkiksi kvanttimekaanisia operaattoreita, jotka vastaavat systeemin mitattavia ominaisuuksia.

Kemiassa kiertomatriiseja voidaan soveltaa esimerkiksi molekyylien symmetriaa tarkasteltaessa.

Matriiseja voi käyttää myös yhtälöryhmien ratkaisemiseen tai vektorijoukon esittämiseen.

Esimerkiksi vektorit voidaan esittää rivivektoreina matriisissa Joskus matriiseille käytetään myös kaarisulkeita Sen sijaan merkintä pystyviivoilla tarkoittaa matriisin determinanttia.

# alkiot

Alkiot, rivit ja sarakkeet

Matriisi koostuu alkioista, jotka on jaettu riveihin ja sarakkeisiin. Merkitään edellistä matriisia kirjaimella siis Tässä rivejä on kaksi:

Sarakkeita taas on kolme:

Yleisesti matriiseista sanotaan, että ne ovat "rivi kertaa sarake" -matriiseja. Tämä matriisi on siis -matriisi, jota usein merkitään alaindeksillä tai toisinaan matriisin alaindeksinä

Matriisin alkion eli luvun sijainti merkitään alaindeksillä, joista ensimmäinen osoittaa alkion rivin ja toinen sen sarakkeen. Yllä olevassa -matriisissa esimerkiksi ja

Yleisen -matriisin muoto on

Lyhyesti voidaan kirjoittaa

missä ja viittaavat rivillä ja sarakkeessa olevaan matriisin alkioon.

# neliomatriisi

Neliömatriisi

Luonnontieteissä käsiteltävät matriisit ovat pääosin neliömatriiseja. Matriisi on neliömatriisi, jos siinä on yhtä monta riviä kuin saraketta. Tällöin matriisi on muotoa Esimerkiksi \end{align*} ovat - ja -neliömatriiseja.

# laskusaannot

Matriisien laskusääntöjä ja määritelmiä

Isokokoisten (ja miksei pientenkin) matriisien laskemiseen kannattaa yleensä käyttää jotakin valmista ohjelmistoa. On kuitenkin hyvä tietää, miten matriiseilla lasketaan ja kun sitä on muutaman kerran harjoitellut voi turvautua vaikka internetistä löytyviin matriisilaskennan työkaluihin. Esimerkiksi Matrix Calculator on hyvä paikka aloittaa.

# yhteenlasku

Matriisien yhteen- ja vähennyslasku

Matriiseille , ja sekä reaaliluvuille ja on voimassa:

Esimerkki. Matriisin yhteenlasku.

Yleisesti matriisien ja yhteen- ja vähennyslasku määritellään

Huom! Vain samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen. Esimerkiksi -matriisia ja -matriisia ei voida laskea yhteen.

# kertolasku

Matriisien kertolasku

Matriisien kertolasku on määritelty, kun matriisin rivien määrä on sama kuin matriisin sarakkeiden määrä.

Matriisien ja kertolaskulle, kun se voidaan laskea, sekä reaaliluvulle on voimassa:

Huom! Matriisien kertolaskussa yleensä eli kertolasku ei ole vaihdannainen. Tällöin sanotaan, että matriisit eivät kommutoi.

Matriisien ja tulo voidaan laskea pistetulona "rivi kertaa sarake" -periaatteella. Tulomatriisi on -matriisi.

Matriisien tulo voidaan kirjoittaa yleisesti tulomatriisin :nnen rivin :nnen sarakkeen alkion avulla:

Muista! Matriisin kertolasku ei yleensä ole vaihdannainen, eli . Esimerkiksi Epäyhtälön vasen puoli on -matriisi ja oikea puoli on -matriisi! Vaihdannaisuus ei yleensä päde myöskään neliömatriiseille.

Esimerkki. Matriisien kertolasku pistetulon avulla.

# erityisia

Erityisiä matriiseja

# diagonaalimatriisi

Diagonaalimatriisi

Neliömatriisi on diagonaalimatriisi, jos kaikki sen nollasta poikkeavat alkiot sijaitsevat vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan kulkevalla lävistäjällä eli diagonaalilla. Toisin sanoen aina kun . Diagonaalimatriisin muoto on