Matriisit

Matriiseista yleisesti

Matriisit on matemaattinen tapa esittää joukko lukuja kaaviona. Erityisesti lineaarikuvaukset eli tietynlaiset funktiot kirjoitetaan usein matriisien avulla.

Fysiikassa matriisit kuvaavat esimerkiksi kvanttimekaanisia operaattoreita, jotka vastaavat systeemin mitattavia ominaisuuksia.

Kemiassa kiertomatriiseja voidaan soveltaa esimerkiksi molekyylien symmetriaa tarkasteltaessa.

Matriiseja voi käyttää myös yhtälöryhmien ratkaisemiseen tai vektorijoukon esittämiseen.

Esimerkiksi vektorit $\begin{aligned} \ve{\red a}&=\i+3\j+5\k &&= (\red 1,\, \red 3,\, \red 5)\quad\text{ja}\\ \ve{\blue b}&=2\i+7\j &&= (\blue 2, \, \blue 7,\,\blue 0) \end{aligned}$ voidaan esittää rivivektoreina matriisissa $\begin{align*} \begin{bmatrix} \ve {\red a}\\ \ve {\blue b} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \red 1 & \red 3 &\red 5 \\ \blue 2 &\blue 7 &\blue 0 \end{bmatrix}. \end{align*}$ Joskus matriiseille käytetään myös kaarisulkeita $\begin{pmatrix}\quad\end{pmatrix}.$ Sen sijaan merkintä pystyviivoilla $\begin{vmatrix}\quad\end{vmatrix}$ tarkoittaa matriisin determinanttia.

# alkiot

Alkiot, rivit ja sarakkeet

Matriisi koostuu alkioista, jotka on jaettu riveihin ja sarakkeisiin. Merkitään edellistä matriisia kirjaimella siis $\begin{align*} A= \begin{bmatrix} \red 1 & \red 3 &\red 5 \\ \blue 2 &\blue 7 &\blue 0 \end{bmatrix}. \end{align*}$ Tässä rivejä on kaksi:

$\begin{align*} \begin{bmatrix} \red 1&\red 3&\red 5 \end{bmatrix} \text{ ja } \begin{bmatrix} \blue 2 & \blue 7 &\blue 0 \end{bmatrix}. \end{align*}$

Sarakkeita taas on kolme: $\begin{align*} \begin{bmatrix} \red 1\\ \blue 2 \end{bmatrix}\text,\, \begin{bmatrix} \red 3 \\ \blue 7 \end{bmatrix} \text{ ja } \begin{bmatrix} \red 5 \\ \blue 0 \end{bmatrix}. \end{align*}$

Yleisesti matriiseista sanotaan, että ne ovat "rivi kertaa sarake" -matriiseja. Tämä matriisi on siis $2\times 3$ -matriisi, jota usein merkitään alaindeksillä $A_{2\times3}$ tai toisinaan matriisin alaindeksinä $A= \begin{bmatrix} \red 1 & \red 3 &\red 5 \\ \blue 2 &\blue 7 &\blue 0 \end{bmatrix}_{2\times 3}.$

Matriisin alkion eli luvun sijainti merkitään alaindeksillä, joista ensimmäinen osoittaa alkion rivin ja toinen sen sarakkeen. Yllä olevassa $2\times 3$ -matriisissa esimerkiksi $a_{11}=\red 1,$ $a_{12}=\red 3$ ja $a_{21}=\blue 2.$

Yleisen $m \times n$ -matriisin $A=A_{m \times n}$ muoto on $\begin{align*} A= \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \end{bmatrix}. \end{align*}$

Lyhyesti voidaan kirjoittaa

$A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix},$ missä $i=1,\, \dots,\, m$ ja $j=1,\, \dots,\, n$ viittaavat rivillä ja sarakkeessa olevaan matriisin alkioon.

# neliomatriisi

Neliömatriisi

Luonnontieteissä käsiteltävät matriisit ovat pääosin neliömatriiseja. Matriisi on neliömatriisi, jos siinä on yhtä monta riviä kuin saraketta. Tällöin matriisi on muotoa $n\times n.$ Esimerkiksi $\begin{align*} A = \begin{bmatrix} 2 &7 \\ 1 &5 \end{bmatrix}\quad \text{ ja } \quad B = \begin{bmatrix} 8 &-3 &1 \\ 1 &5 &7 \\ 14 &21 &-4 \end{bmatrix}\ \end{align*}$ \end{align*} ovat $2\times 2$ - ja $3\times 3$ -neliömatriiseja.

# laskusaannot

Matriisien laskusääntöjä ja määritelmiä

Isokokoisten (ja miksei pientenkin) matriisien laskemiseen kannattaa yleensä käyttää jotakin valmista ohjelmistoa. On kuitenkin hyvä tietää, miten matriiseilla lasketaan ja kun sitä on muutaman kerran harjoitellut voi turvautua vaikka internetistä löytyviin matriisilaskennan työkaluihin. Esimerkiksi Matrix Calculator on hyvä paikka aloittaa.

# yhteenlasku

Matriisien yhteen- ja vähennyslasku

Matriiseille $A_{m\times n}$ , $B_{m\times n}$ ja $C_{m\times n}$ sekä reaaliluvuille ja on voimassa:

Esimerkki. Matriisin yhteenlasku.

Matriisien yhteen- ja vähennyslasku suoritetaan paikkakohtaisesti komponenteittain. Esimerkiksi $\begin{align*} \red{\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 2 &5 \end{bmatrix}} + \blue{\begin{bmatrix} 3 &-1 \\ 0 &-8 \end{bmatrix}} &= \begin{bmatrix} \red1+\blue3 &\red0+(\blue{-1}) \\ \red2+\blue0 &\red5+(\blue{-8}) \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 4 &-1 \\ 2&-3 \end{bmatrix}. \end{align*}$

Yleisesti matriisien ja yhteen- ja vähennyslasku määritellään

$A \pm B=\begin{bmatrix}a_{ij} \pm b_{ij}\end{bmatrix}.$

Huom! Vain samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen. Esimerkiksi $3\times 2$ -matriisia ja $2 \times 3$ -matriisia ei voida laskea yhteen.

# kertolasku

Matriisien kertolasku

Matriisien kertolasku on määritelty, kun matriisin rivien määrä on sama kuin matriisin sarakkeiden määrä.

Matriisien $A, \, B$ ja kertolaskulle, kun se voidaan laskea, sekä reaaliluvulle on voimassa:

Huom! Matriisien kertolaskussa yleensä $AB\ne BA,$ eli kertolasku ei ole vaihdannainen. Tällöin sanotaan, että matriisit eivät kommutoi.

Matriisien $A=A_{\red m\times \green n}$ ja $B=B_{\green n\times \blue p}$ tulo voidaan laskea pistetulona "rivi kertaa sarake" -periaatteella. Tulomatriisi on $\red m \times \blue p$ -matriisi.

Matriisien tulo voidaan kirjoittaa yleisesti tulomatriisin :nnen rivin :nnen sarakkeen alkion avulla: $\begin{align*} [AB]_{ij}&=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{in}b_{nj}\\&=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}. \end{align*}$

Muista! Matriisin kertolasku ei yleensä ole vaihdannainen, eli $AB \neq BA$ . Esimerkiksi $A_{1\times 3}B_{3\times 1} \neq B_{3\times 1}A_{1\times 3}.$ Epäyhtälön vasen puoli on $1\times1$ -matriisi ja oikea puoli on $3\times3$ -matriisi! Vaihdannaisuus ei yleensä päde myöskään neliömatriiseille.

Esimerkki. Matriisien kertolasku pistetulon avulla.

Olkoot

$\begin{align*} A_{\red 2\times \green 3} = \begin{bmatrix} \red 4 &\red 3 &\red 2 \\ \red 1 &\red 9 &\red 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \ve {\red a}_1 \\ \ve {\red a}_2 \end{bmatrix} \end{align*}$ ja $\begin{align*} B_{\green 3\times \blue 2} = \begin{bmatrix} \blue 2 &\blue 1 \\ \blue 1 &\blue 0 \\ \blue 3 &\blue 5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \ve {\blue b}_1 & \ve {\blue b}_2 \end{bmatrix}. \end{align*}$ Tällöin tulomatriisin alkiot saadaan pistetuloina $\begin{align*} AB&=\begin{bmatrix} \ve {\red a}_1 \cdot \ve {\blue b}_1 & \ve {\red a}_1 \cdot \ve {\blue b}_2 \\ \ve {\red a}_2 \cdot \ve {\blue b}_1 & \ve {\red a}_2 \cdot \ve {\blue b}_2 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \red 4 \cdot \blue 2 + \red 3\cdot \blue 1 + \red 2 \cdot \blue 3 & \red 4 \cdot \blue 1 + \red 3\cdot \blue 0 + \red 2 \cdot \blue 5\\ \red 1 \cdot \blue 2 + \red 9\cdot \blue 1 + \red 0 \cdot \blue 3 & \red 1 \cdot \blue 1 + \red 9\cdot \blue 0 + \red 0 \cdot \blue 5 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 17 &14\\ 11 &1 \end{bmatrix}_{\red 2\times \blue 2}. \end{align*}$

# erityisia

Erityisiä matriiseja

# diagonaalimatriisi

Diagonaalimatriisi

Neliömatriisi $D_{n \times n}$ on diagonaalimatriisi, jos kaikki sen nollasta poikkeavat alkiot sijaitsevat vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan kulkevalla lävistäjällä eli diagonaalilla. Toisin sanoen $d_{ij}=0$ aina kun $i\neq j$ . Diagonaalimatriisin muoto on $\begin{align*} D = \begin{bmatrix} d_{11} &0 &\cdots &0 \\ 0 &d_{22} &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 &\cdots &\cdots &d_{nn} \end{bmatrix}, \end{align*}$ eli kaikki nollasta poikkeavat alkiot sijaitsevat matriisin diagonaalilla.

Matriisin diagonaalilla sijaitsevaa alkiota kutsutaan diagonaalialkioksi. Matriisin A alkio $a_{ij}$ on diagonaalialkio, kun i=j. Diagonaalimatriisi voidaan kirjoittaa myös $D= \operatorname{diag}(d_{11},\, d_{22},\,\dots, \,d_{nn}).$

Diagonaalimatriisin determinantti $\det(D)$ on sen diagonaalialkioiden tulo: $\det (D) = d_{11}\cdot d_{22}\cdots d_{nn} .$

Diagonaalimatriisin käänteismatriisi $D^{-1}$ saadaan diagonaalialkioiden käänteislukujen avulla: $\begin{align*} \quad D^{-1}= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{d_{11}} &0 &\cdots &0 \\ 0 &\dfrac{1}{d_{22}} &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 &\cdots &\cdots &\dfrac{1}{d_{nn}} \end{bmatrix}. \end{align*}$

Diagonaalimatriisi on symmetrinen, eli D^T=D, koska diagonaalialkiot eivät muutu transpoosissa. Diagonaalimatriisin ominaisarvot ovat yksinkertaisesti matriisin diagonaalialkiot.

Esimerkki. Diagonaalimatriiseja.

Matriisit $D_1= \operatorname{diag}(8,\, 2,\, 1)$ ja $D_2= \operatorname{diag}(-5,\, -2)$ ovat diagonaalimatriiseja: $\begin{align*} D_1 = \begin{bmatrix} 8 &0 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}, \quad D_2 = \begin{bmatrix} -5 &0\\ 0 &-2 \end{bmatrix}. \end{align*}$

Esimerkki. Diagonaalimatriisin determinantti.

Olkoon neliömatriisi diagonaalimatriisi $D=\operatorname{diag}(1,\, 8,\, -1,\, 4,\, 2)$ : $D= \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &8 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &4 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &2 \end{bmatrix},$ tällöin sen determinantti on $\det (D) = 1\cdot 8\cdot (-1)\cdot 4 \cdot 2 = -64$ .

Esimerkki. Diagonaalimatriisin käänteismatriisi.

Olkoon $D = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 &5 \end{bmatrix}$ , tällöin $D^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{8} & 0 \\ 0 &\frac{1}{5} \end{bmatrix}$ , sillä $8\cdot \frac{1}{8}=1$ ja $5\cdot \frac{1}{5}=1$ .

# yksikkomatriisi

Yksikkömatriisi

Yksikkömatriisi on neliömatriisi $\begin{align*} I_{n\times n} = \begin{bmatrix} 1 &0 &\cdots &0 \\ 0 &1 &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 &\cdots &\cdots &1 \end{bmatrix}_{n\times n} . \end{align*}$

Yksikkömatriisissa on ykkösiä paikoilla, joissa rivi- ja sarakenumerot ovat samat, ja muut alkiot ovat nollia. Se on siis diagonaalimatriisi, jossa diagonaalilla on ykkösiä. Yksikkömatriisin koko vaihtelee tilanteen mukaan.

Yksikkömatriisille käytetään myös nimeä identiteettimatriisi, josta yksikkömatriisin lyhenne tulee.

Neliömatriisille pätee AI=A=IA.

Lisäksi sen käänteismatriisille $A^{-1}$ pätee $AA^{-1}=I=A^{-1}A,$ jos se on olemassa.

Esimerkki. Yksikkömatriiseja.

$\begin{align*} I_{3\times 3} = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}, \quad I_{2\times 2} = \begin{bmatrix} 1 &0\\ 0 &1 \end{bmatrix}. \end{align*}$

# kaanteismatriisi

Käänteismatriisi

Neliömatriisi $A_{n \times n}$ on kääntyvä, jos on olemassa neliömatriisi $C_{n \times n}$ siten, että AC = CA = I. Tällöin merkitään $C=A^{-1}$ ja sanotaan, että on matriisin käänteismatriisi.

Kaikilla matriiseilla ei ole olemassa käänteismatriisia. Yksikkömatriisin käänteismatriisi on matriisi itse, koska $I\cdot I=I,$ josta seuraa, että $I=I^{-1}.$

Milloin matriisi sitten on kääntyvä?

Neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sen determinantti ei ole nolla eli $\det(A)\neq 0.$

$2 \times 2$ -matriisi $A= \begin{bmatrix} a &b\\ c &d \end{bmatrix}$ on kääntyvä jos ja vain jos sen determinantti eroaa nollasta eli
$\det (A)=ad -bc \neq 0$ ja tällöin sen käänteismatriisi on $A^{-1}= \frac{1}{\det (A)} \begin{bmatrix} d &-b\\ -c &a \end{bmatrix}.$

Esimerkki. Käänteismatriisin toteaminen.

Matriisin $\begin{align*} A = \begin{bmatrix} 2 &4 \\ 0 &2 \end{bmatrix} \end{align*}$ käänteismatriisi on $\begin{align*} A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} &-1 \\ 0 &\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{align*}$ sillä $AA^{-1}=I,$ $\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 &4 \\ 0 &2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{2} &-1 \\ 0 &\frac{1}{2} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot 0 &2\cdot (-1)+4\cdot \frac{1}{2} \\ 0\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 0 &0\cdot (-1)+2\cdot \frac{1}{2} \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix} \end{align*}$

ja vastaavasti todetaan, että $A^{-1}A= I,$

$\begin{align*} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} &-1 \\ 0 &\frac{1}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 &4 \\ 0 &2 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\cdot 2 + (-1)\cdot 0 &\frac{1}{2}\cdot 4 + (-1)\cdot 2 \\ 0\cdot 2 +\frac{1}{2}\cdot 0 &0\cdot 4 +\frac{1}{2}\cdot 2 \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}. \end{align*}$

Esimerkki. Käänteismatriisin laskeminen.

Laske matriisin $A= \begin{bmatrix} 5 &-1\\ 2 &3 \end{bmatrix}$ käänteismatriisi.

Varmistetaan ensin, että matriisi on kääntyvä eli lasketaan sen determinantti. Nyt $\det (A) = 5\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 15+2=17 \neq 0,$ joten on kääntyvä, jolloin sen käänteismatriisi on $\begin{align*} A^{-1}&=\frac{1}{\det (A)} \begin{bmatrix} 3 &1\\ -2 &5 \end{bmatrix} \\&= \frac{1}{17} \begin{bmatrix} 3 &1\\ -2 &5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{17} &\frac {1}{17} \\ -\frac{2}{17} &\frac{5}{17} \end{bmatrix}. \end{align*}$

# transpoosi

Matriisin transpoosi

Matriisin $A_{\red m \times \blue n}$ transpoosi on $\blue n \times \red m$ -matriisi A^T , jolle $\begin{bmatrix}A^T\end{bmatrix}_{ij} = \begin{bmatrix}A\end{bmatrix}_{ji}.$

Matriisin rivit ja sarakkeet siis vaihtavat paikkaa. Toisin sanoen matriisi A^T saadaan peilaamalla matriisin alkiot diagonaalin suhteen.

Sanotaan, että neliömatriisi $A_{n\times n}$ on symmetrinen, jos A=A^T .

Esimerkki. Matriisin transpoosi.

Matriisin $A = \begin{bmatrix} \red 1 &\red 2 &\red 3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix}$ transpoosi on $A^T = \begin{bmatrix} \red 1 &4\\ \red 2 &5 \\ \red 3 &6 \end{bmatrix}$ .

Esimerkki. Symmetrinen matriisi.

Matriisi $A=\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &5 &-1 \\ 3 &-1 &0 \end{bmatrix}$ on symmetrinen eli A= A^T .

# jalki

Matriisin jälki

Neliömatriisin $A_{n \times n}$ jälki $\operatorname{tr}(A)$ on sen diagonaalialkioiden $a_{ii}$ summa: $\operatorname{tr} (A) = a_{11}+a_{22}+ \cdots + a_{nn}.$

Esimerkki. Matriisin jälki.

Matriisin $A= \begin{bmatrix} \red 7 &0 &0 &1 &0 &-4\\ 7 &\red{-6} &4 &0 &0 &0\\ 0 &0 &\red{-5} &-3 &91 &0\\ 0 &0 &0 &\red{3} &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 &\red 8 &0\\ 23 &0 &0 &0 &0 &\red 1 \end{bmatrix}$ jälki $\operatorname{tr} (A)= \red{7 + (-6)+(-5)+3+8+1}= 8$ .

Näille sivuille inspiraatiota on haettu pääasiassa alla olevista lähteistä:

Petri Juutinen: Lineaarinen algebra ja geometria 1. Luentomoniste, 2019.
Petri Juutinen: Lineaarinen algebra ja geometria 2. Luentomoniste, 2020.
Emma Leppälä: Matriisilaskenta. Luentomoniste, 2019.
Juha Merikoski: Lineaarialgebra. Luentodiat, 2016.