Dimensioanalyysi

Mars-mönkijän rajanopeus osa 1

Nasan Marsiin lähettämä mönkijä tarvitsee laskuvarjon laskeutumisen hidastamista varten. Haluamme suunnitella laskuvarjon, joka hidastaa mönkijän rajanopeuden 90 metriin sekunnissa.

Mönkijän rajanopeus riippuu erittäin monesta erilaisesta muuttujasta: mönkijän ja lämpökilven massa, useampi muuttuja laskuvarjon muotoilussa, kuten sen materiaali, pallomaisen osan halkaisija ja köysien lukumäärä.

Tämän esimerkin vuoksi oletetaan, että ainoa ominaisuus selvitettäväksi on laskuvarjon halkaisijan selvittäminen. Eli haluamme tehdä mahdollisimman pienen halkaisijan laskuvarjolla siten, että se silti hidastuu haluttuun rajanopeuteen.

Selvästikään emme voi mennä marsiin tekemään kokeellisia töitä selvittääksemme tätä ongelmaa. Miten voimme saada merkityksellisiä tuloksia maassa siten, että voimme hyödyntää niitä marsiin pääsemiseen? Mitä muuttujia meidän pitää huomioida? Dimensioanalyysin avulla on mahdollista ratkaista tällainen ongelma.

Dimensiot ja konkreettiset luvut

Luonnontieteissä mittauksiatulokset esitetään konkreettisen numeron ja mittaustuloksen dimensiota vastaavan yksikön avulla. Esimerkiksi objektin paikan dimensio on $\{x\}=\text{L}$ ja yksikkö on $[x]=\text{m}.$ Usein mitattava suure koostuu useammasta suureesta. Esimerkiksi nopeus saadaan paikan ja ajan osamääränä.

Yleisimmät dimensiot ovat massa $\text{M},$ pituus $\text{L},$ aika $\text{T},$ lämpötila ja varaus. Jokaisen suureen dimensio koostuu näiden dimensioiden tuloista, osamääristä ja potensseista.

Dimensioanalyysin tehtävänä on selittää fysikaalisten suureiden välisiä suhteita. Dimensioanalyysin avulla on kätevää tarkastella johdannesuureiden järkevyyttä.

Tarkasteltavan ominaisuuden dimensio ja yksikkö voivat vaikuttaa samalta asialta, mutta dimensio on aina yksiköstä riippumaton. Esimerkiksi kappaleen massaa voi kuvata monella eri yksiköllä, kuten gramma ja kilogramma, mutta sen dimensio on aina massa.

Mars mönkijän rajanopeus osa 2

Jatketaan mönkijän laskuvarjon halkaisijan selvittämistä. Ensimmäinen vaihe on tunnistaa kaikki muuttujat, jotka vaikuttavat laskuvarjon suunnitteluun pakonopeuden säätämiseksi.

Riippuvainen muuttuja on mönkijän pakonopeus koska haluamme rajoittaa tätä nopeutta muokkaamalla mönkijää ja sen laskeutumisominaisuuksia.

Riippumattomia muuttujia ovat laskuvarjon halkaisija mönkijän massa putoamiskiihtyvyys ilmakehän tiheys $\rho$ ja ilmakehän viskositeetti $\mu.$ Tässä esimerkissä ilmakehän viskositeetin vaikutus on niin pieni, että sitä ei tarvitse huomioida.

Laskuvarjon pinta-alaa ei tarvitse ottaa huomioon, koska sen voi esittää laskuvarjon halkaisijan funktiona. Se ei siis ole riippumaton muuttuja. Tässä tapauksessa voisimme valita muuttujaksi laskuvarjon pinta-alan tai halkaisijan, mutta jatkamme esimerkkiä halkaisijalla.

Dimensioanalyysin onnistumisen kannalta on tärkeää löytää kaikki riippumattomat muuttujat, jotka vaikuttavat tutkittavaan systeemiin.

Tässä vaiheessa pakonopeus riippuu neljästä muuttujasta ja haluamme esittää sen näiden muuttujien funktiona, jolloin

$v=f(d,m,g,\rho).$

Tämän funktion määrittäminen vaatisi kuitenkin uskomattoman määrän töitä erilaisten kokeiden ja datan sovitusten kanssa. Eritysesti ongelmana on, että emme tiedä mikä funktio $\text{f}$ on.

Ainoa asia mitä tiedämme on se, että funktion pitää tuottaa pakonopeuden dimensio $\{v\}=\frac{\text{L}}{\text{T}}.$

Seuraavassa osassa pääsemme muuntamaan muuttujamme dimensiottomiksi muuttujiksi.

Esimerkki suureista ja dimensioista

Tarkastellaan johdannaissuuretta liikemäärä p=mv. Nopeuden $v=\frac{s}{t}$ dimensio on $\{v\}=\frac{\text{L}}{\text{T}}$ ja massan dimensio on $\{m\}=\text{M},$ joten liikemäärän dimensio on $\{p\}=\{m\}\{v\}=\dfrac{\text{ML}}{\text{T}}.$ Myös liikemäärän yksikkö voidaan johtaa, kun nopeuden ja massan yksiköt tunnetaan. SI-järjetelmässä $[m]=\text{kg}$ ja $[v]=\text{m/s},$ jolloin $[p]=[m][v]=\frac{\text{kg}\cdot \text{m}}{s}.$

Dimensioiden käytös yhteen- ja vähennyslaskussa

Yleisesti dimensioiden kanssa yhteen- ja vähennyslasku onnistuu silloin, kun termien dimensiot ja tensoriaaliset luonteet ovat samat. Tämä tarkoittaa, että suureiden tulee olla keskenään dimensiohomogeeniset eli ei ole järkevää verrata esimerkiksi yhden tunnin pituutta kilometriin.

Tensoriaalisella luonteella viitataan siihen onko kyseessä esimerkiksi skalaarisuureSuure, jonka kuvailuun riittää vain yksi luku. Esimerkiksi massa tai korkeus merenpinnasta., kuten vaikkapa lämpötila, tai vektori, kuten esimerkiksi nopeusvektori. (Huomaa, että myös muun tyyppisiä tensoreita, kuten esimerkiksi metrisiä tensoreita, on olemassa.)

Dimensiot kerto- ja jakolaskussa

Kerto- ja jakolaskuissa dimensiot käyttäytyvät seuraavasti:

Olkoon $\{a\}=A$ ja $\{b\}=B.$ Tällöin $\{ab\}=\{a\}\{b\}=AB$ ja $\left\{\frac{a}{b}\right\}=\frac{\{a\}}{\{b\}}=\frac{A}{B}.$

Myös yksiköt käyttäytyvät vastaavalla tavalla:

[ab]=[a][b] ja $\left[\frac{a}{b}\right]=\frac{[a]}{[b]}.$

Lisäksi kerto- ja jakolaskuissa käytettävien suureiden tulee olla myös tensoriaaliselta luonteeltaan yhteensopivat. Esimerkiksi vektorin voi jakaa skalaarillaSuure, jonka kuvailuun riittää vain yksi luku. Esimerkiksi massa tai korkeus merenpinnasta., mutta ei toisella vektorilla. Myöskään matriisien kertolasku ei onnistu, mikäli matriisien rivien ja sarakkeiden lukumäärät eivät ole yhteensopivat.

Dimensiot varustettuna kertolaskulla muodostavat ryhmän. Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen dimensio kerrottuna toisella dimensiolla on myös dimensio eli ryhmä on suljettu kertolaskun suhteen. Lisäksi laskutoimituksen tulee olla assosiatiivinen, jokaiselle dimensiolle on oltava olemassa käänteisalkio ja dimensioiden muodostamaan ryhmään pitää kuulua myös neutraalialkio. Esimerkiksi pituuden dimension $\text{L}$ käänteisalkio on $\frac{1}{\text{L}}=\text{L}^{-1},$ jolloin $\text{L}\cdot\text{L}^{-1}=1$ toimii neutraalialkiona.

Itseasiassa dimensioiden kertolasku on kommutatiivinen laskutoimitus, joten dimensioiden muodostama ryhmä on Abelin ryhmä. Kommutatiivisuus tarkoittaa, että laskujärjestystä voidaan muuttaa.

Dimensioiden avulla voidaan tarkastaa, onko jokin johdannaissuure järkevä. Yleisesti laskuja laskiessa on kannattavaa katsoa mikä on vastauksen dimensio, josta voidaan päätellä onko lasku varmasti järkevä.

Esimerkki lopputuloksen yksiköiden tarkastamisesta

Tiedetään, että työ on voima kertaa matka, eli $W=F\cdot s.$ Voiman yksikkö on newton eli $[F]=\text{N}=\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2}$ ja matkan yksikkö on metri eli $[s]=\text{m},$ joten tällöin $[W]=[F]\cdot [s]=\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\text{m}=\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^2}.$ Toisaalta tiedetään, että työn yksikkö on joule $\text{J}=\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^2},$ joten lasku vaikuttaa menneen oikein.

Dimensiot derivoitaessa ja integroitaessa

Derivoimalla jonkin dimension suhteen voimme johtaa uusia suureita. Klassinen esimerkki tästä on, että nopeus on paikan aikaderivaatta ja kiihtyvyys on taas tämän aikaderivaatta.

Voimme myös integroida dimensioiden suhteen. Esimerkki tästä on voimakentän tekemä työ, kun kappale liikkuu tietyn matkan kentässä. Tehty työ voidaan laskea integroimalla kentä voima etäisyyden suhteen.

Olkoon $\{f(b)\}=A$ ja $\{b\}=B.$ Tällöin $\{\text{d}b\}=\{b\}=B,$ joten $\left\{\frac{\text{d}}{\text{d}b}f(b)\right\}=\frac{\{f(b)\}}{\{b\}}=\frac{A}{B},$ $\left\{\frac{\text{d}^2}{\text{d}b^2}f(b)\right\}=\frac{\{f(b)\}}{\{b\}^2}=\frac{A}{B^2}$ ja $\left\{\int f(b)\text{d}b\right\}=\{f(b)\}\{b\}=AB.$ Myös yksiköt käyttäytyvät derivoitaessa ja integroitaessa vastaavalla tavalla kuin dimensiot. Lisäksi kannattaa huomata, että deltafunktion yksikkö on $[\delta(x)]=\frac{1}{\text{m}}$ ja kolmessa ulottuvuudessa vastaavasti $[\delta(\vec{x})]=\frac{1}{\text{m}^3}.$ Tällöin esimerkiksi $\begin{align*}\bigg[\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)&f(x) \, \text{d}x\bigg] = [f(y)][\delta(x)][x]\\&=[f(y)]\frac{\text{m}}{\text{m}}=[f(y)],\end{align*}$ kuten deltafunktion ominaisuuksien perusteella voi odottaakin.

Esimerkkejä dimensioiden käytöksestä derivoitaessa ja integroitaessa

Kappaleen tasaisella kiihtyvyydellä $a\in\R$ kulkeman matkan funktio ajan suhteen on $s(t)=\frac12at^2.$ Mikä on kappaleen nopeus ajanhetkellä $t=20\text{ s},$ jos kiihtyvyys on $a=30\text{ m/s}^2$ ?

Nopeus on matkan aikaderivaatta, joten:

$v(t)=s'(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}s(t)=at.$

$v(20)=30\cdot20\text{ m/s}^2\cdot\text{s}=600\text{ m/s}.$

Lasku vaikuttaa järkevältä, sillä nopeuden dimensio on $\{v\}=\frac{\text{L}}{\text{T}}.$

Ajanhetkeen $t=2 \text{ s}$ asti kappale liikkuu nopeudella $20\text{ m/s},$ minkä se alkaa kiihdyttämään kiihtyvyydellä $a=40\text{ m/s}^2.$ Tällöin nopeuden funktio ajan suhteen on $v(t)=a(t-2)+20 \text{ m/s},$ kun $2\leq t\leq 10.$ Paljonko kappale on liikkunut kymmenessä sekunnissa, jos se on liikkunut 40 metriä aikavälillä $0\text{ s}-2 \text{ s}$ ?

Matka saadaan integroimalla nopeutta ajansuhteen:

$\begin{align*} s(t)=&\displaystyle\int_2^{10} v(t)\text{d}t=\bigg/_{\!\!\! 2}^{\,10}a\left(\frac12t^2-2t\right)+20t\\=&\left( 40\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot10^2-2\cdot10\right)+20\cdot10\right)\text{ m}\\&-\left(40\cdot \left(\frac12\cdot2^2-2\cdot 2\right)+20\cdot2\right) \text{ m}\\=\ &1440 \text{ m} \end{align*}$ Lisätään vielä matka, jonka kappale kerkesi kulkea ennen kuin se alkoi kiihtymään, jolloin kappaleen kokonaisuudessaan kulkema matka on $1480\text{ m.}$

Tämäkin lasku vaikuttaa järkevältä, sillä $\displaystyle\left\{\int v(t)\text{d}t\right\}=\{v(t)\}\{t\}=\frac{\text{L}}{\text{T}}\cdot\text{T}=\text{L}.$

Perussuureiden joukko PSJ

Jokainen fysiikan teoria koostuu joukosta Q_T suureita, joista osa riippuu toisistaan. Teorian perussuureiden joukkoa (PSJ) merkitään Q_T^*. Se sisältää teorian määrittämättömmät suureet, joiden avulla määritetään teorian muut suureet eli johdannaissuureet.

Teorian perussuureiksi voidaan valita esimerkiksi massa matka ja aika jolloin niiden avulla voidaan määritellä muun muassa nopeus $v=\frac{s}{t},$ kiihtyvyys $a=\frac{v}{t}$ ja voima F=ma. Vaihtoehtoisesti perussuureiksi voistaisiin valita esimerkiksi voima matka ja aika jolloin nopeus ja kiihtyvyys määriteltäisiin kuten edellä ja massa määritelmä olisi $m=\frac{F}{a}.$

Mars mönkijän rajanopeus osa 3

Jatketaan mönkijän laskuvarjon halkaisijan selvittämistä. Nyt haluamme muuntaa muuttujamme dimensiottomiksi.

Ensimmäisenä vaiheena esitämme pakonopeuden ja siihen vaikuttavat suureet ajan, pituuden ja massan dimensioiden kombinaatioina.

$\{v\}=\dfrac{L}{T},$ $\{d\}=\text{L},$ $\{m\}=\text{M},$ $\{g\}=\dfrac{\text{L}}{\text{T}^2}$ ja $\{\rho\}=\dfrac{\text{M}}{\text{L}^3}.$

Toisessa vaiheessa esitetään massan, ajan ja pituuden dimensiot suureiden avulla:

$\text{M}=\{m\},$ $\text{L}=\left\{\left(\dfrac{m}{\rho}\right)^{\frac13}\right\}$ ja $\text{T}=\left\{\dfrac{v}{g}\right\}.$

Aika, pituus ja massa voidaan myös esittää monella erilaisella tavalla näiden suureiden avulla. Lopputuloksen kannalta ei ole oleellista mitä valintaa käytetään. Myöhemmin katsotaan, miltä tämä tehtävä näyttää, jos olisimme tässä tehneet valinnat erilaisella tavalla.

Käydään vaihe kolme läpi seuraavassa osassa.

Bridgmanin Aksiooma (BA)

Yleisesti dimensiot määritellään Bridgmanin aksiooman mukaan. Aksiooman mukaan suureen S=f(M) kahden arvon ja S'' mittalukujen suhde ei muutu, vaikka niiden perussuureiden M_i, missä $1\leq i \leq n,$ yksikköjä muutetaan $\lambda_i^{-1}$ kertaisiksi, kun $\lambda_i>0.$

Tällöin siis

$\frac{S'}{S''}=\frac{f(M')}{f(M'')}= \frac{f(\lambda_1M'_1, \lambda_2M'_2,\dots,\lambda_nM'_n)}{f(\lambda_1M''_1,\lambda_2M''_2,\dots,\lambda_nM''_n)}$ on sama kertoimien $\lambda_i>0$ valinnasta huolimatta. Toisin sanoen vertailtavien arvojen suhteet eivät muutu millään kertoimella. Matka Jyväskylästä Helsinkiin on 1{,}8 kertaa niin suuri, kuin matka Jyväskylästä Tampereelle sama millä luvulla me kerromme matkojen pituuksia.

Bridgemanin aksiooman mukaan ei kuitenkaan ole järkevää tehdä lämpötilamuutosta celsiuksista fahrenheitteihin, koska näiden yksikköjen nollakohdat siirtyvät joten niiden suhteet eivät pysy samana. On siis tärkeää, että yksikönmuunnoksessa nollan paikka ei siirry mittaasteikolla.

Mars mönkijän rajanopeus osa 4

Viimeksi selvitimme miten ajan, pituuden ja massan dimensiot esitetään rajanopeuden ja siihen vaikuttavien suureiden avulla. Nyt rajanopeus ja siihen vaikuttavat suureet muutetaan dimensiottomaan muotoon. Määritellään dimensioton rajanopeus v^* jakamalla rajanopeus suureella $\left(\dfrac{m}{\rho}\right)^{\frac13} \dfrac{g}{v},$ sillä osassa 3 tehtyjen laskujen perusteella $\left\{\left(\dfrac{m}{\rho}\right)^{\frac13} \dfrac{g}{v}\right\}=\dfrac{\text{L}}{\text{T}}.$ Tällöin $v^*=v\cdot \left(\frac{\rho}{m}\right)^{\frac13} \frac{v}{g}= \frac{v^2}{g} \left(\frac{\rho}{m}\right)^{\frac13}.$

Samanlaisella idealla selvitetään muiden suureiden dimensiottomat versiot:

$d^*=d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13},$ $m^*=\dfrac{m}{m}=1,$ $g^*=\dfrac{v^2}{g}\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}$ ja $\rho^*=\rho\cdot\dfrac{m}{\rho}\dfrac{1}{m}=1.$

Nyt voimme siis esittää pakonopeuden funktion kokonaan dimensiottomien suureiden avulla:

$v=f(d,m,g,\rho)\rightarrow v^*=\phi(d^*, m^*, g^*, \rho^*).$

Kun huomataan, että v^*=g^*, voidaan todeta että nopeus v^* ei voi riippua putoamiskiihtyvyydestä g^*. Lisäksi $m^*=\rho^*=1,$ joten nopeus v^* ei riipu myöskään niistä. Tällöin dimensioton rajanopeuden funktio riippuu vain dimensiottomasta laskuvarjon halkaisijasta, joten $v^*=\phi(d^*).$ Saimme siis rajoitettua rajanopeuden vaan yhteen muuttujaan alkuperäisestä neljästä muuttujasta. Esimerkin seuraavassa osassa tarkastellaan, miten selvitämme minkälainen funktio on $\phi.$

Esimerkki yksikkömuunnoksesta

Kilometrit voidaan muuttaa metreiksi kertoimen $\lambda=1000$ avulla ja tunnit sekunneiksi kertoimen $\mu=3600$ avulla. Tarkemmin sanottuna $1 \text{ km} = \lambda \text{ m}$ ja $1\text{ h}= \mu \text{ s}.$

Tällöin esimerkiksi nopeuden $v=\frac{s}{t}$ arvojen $v'_1=40 \text{ km/h}$ ja $v''_1=60 \text{ km/h}$ suhde ei muutu, kun nopeuden yksiköksi vaihdetaan $\text{m/s}.$ Merkitään nopeuksia, joiden yksikkö on $\text{m/s}$ symboleilla v'_2 ja v''_2, jolloin $v'_1=\frac{s'_1}{t'_1}=\frac{\lambda s'_2}{\mu t'_2}=\frac{\lambda}{\mu}v'_2$ ja $v''_1=\frac{s''_1}{t''_1}=\frac{\lambda s''_2}{\mu t''_2}=\frac{\lambda}{\mu}v''_2.$ Nyt $\frac{v'_2}{v''_2}=\frac{v'_1\frac{\mu}{\lambda}}{v''_1\frac{\mu}{\lambda}}=\frac{v'_1}{v''_1}=\frac{40 \text{ km/h}}{60 \text{ km/h}}=\frac{2}{3}.$

Dimensiohomogeenisyys

Dimensiohomogeenisyyden mukaan fysiikalisen suureen mittaluvun yhtälö ei muutu vaikka sen perussuureita $\text{M}_j,$ missä $1\leq j \leq m,$ skaalataan luvulla $\lambda_j^{-1},$ missä $\lambda_j>0.$ Eli jos suuret $\text{X}_i,$ missä $1\leq i \leq n,$ sitovat yhtälöä siten, että $f(\text{X}_1,\dots,\text{X}_n)=0,$ niin tällöin myös

$\displaystyle f\left(\prod_{j=1}^m\lambda_j^{a_{1 j}}\text{X}_1,\dots,\prod_{j=1}^m\lambda_j^{a_{nj}}\text{X}_n\right)=0,$ missä kertoimet $a_{ij}$ määräytyvät ehdosta $\{X_i\}=\left\{\prod_{j=1}^m M_j^{a_{ij}}\right\},$ pätee kaikilla $\lambda\in\R^m.$

Dimensiohomogeenisuuden periaate on siis, että minkään fysikaalisen luonnonlain ilmiö ei saa riippua sen yksiköistä vaan se on invariantti yksikönmuunnosten suhteen. Tämä siis vaatii, että fysikaalisten suureiden summassa dimensioiden pitää olla samat.

Buckinghamin Pi-teoreema

Olkoon fysikaalisen teorian suureet $\text{X}_1,\dots,\text{X}_n$ siten, että ne toteuttavat dimensiohomogeenisen yhtälön $f(\text{X}_1,\dots,\text{X}_n)=0,$ ja perussuureet $\text{M}_1,\dots,\text{M}_m$ siten, että dimensiomatriisin aste on Tällöin meillä on yhteensä p=n-m vapaata dimensiotonta muotoa $\pi_k=\prod_{i=1}^{n} X_i^{a_{ki}}$ olevaa potenssituloa $\pi_1,\dots,\pi_p,$ sekä kuvaus $F:\R^p\rightarrow \R$ siten, että $f(\text{X}_1,\dots,\text{X}_n)=0$ täsmälleen silloin, kun $F(\pi_1,\dots\pi_p)=0.$

Lukuja $\pi_k,$ missä $1\leq k \leq p,$ kutsutaan $\pi$ -luvuiksi. Jos m=n, suureet $\text{X}_i$ eivät riipu toisistaan, eikä voida muodostaa yhtään $\pi$ -lukua.

Pi-teoreema antaa tehokkaan työkalun vähentää fysikaalisen järjestelmän suureita, jolloin ilmiöitä on helpompi mallintaa. Sen todistus on varsin suoraviivainen lineaarialgebran tehtävä.

Mars mönkijän rajanopeus osa 5

Viimeksi saimme dimensiottoman yhtälön muotoon $v^*=\phi(d^*),$ missä $v^*= \dfrac{v^2}{g} \left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}$ ja $d^*=d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}.$ Koska $v^*=\phi(d^*)$ on dimensioton, se voi olla mikä tahansa reaaliarvoinen funktio.

Sijoitetaan v^* ja d^* yhtälöön $v^*=\phi(d^*)$ ja ratkaistaan :

$\begin{aligned}\dfrac{v^2}{g}& \left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}=\phi\left(d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}\right) \\&\iff v^2=g\left(\dfrac{m}{\rho}\right)^{\frac13}\phi\left(d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}\right) \\&\iff v=\sqrt{g\left(\dfrac{m}{\rho}\right)^{\frac13}\phi\left(d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}\right)}\end{aligned}$

Tämä on meidän rajanopeuden funktio, joka toimii sekä Marsin, että Maan pinnalla. Voimme vielä varmistaa, että saamme oikean dimension ulos funktiosta valitsemalla funktion $\phi$ järkevällä tavalla. Olkoon $\phi$ identtinen kuvaus. Tällöin $\phi\left(d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}\right)=d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}.$ Huomaa, että tässä kohtaa vaikuttaa aiemmin tehdyt valinnat dimensioiden ratkaisuista, mikä funktio kannattaa valita. Nyt yhtälö supistuu muotoon $v=\sqrt{g\left(\dfrac{m}{\rho}\right)^{\frac13}d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}}=\sqrt{gd},$ missä on putoamiskiihtyvyys ja on laskuvarjon halkaisija.

Tarkastetaan vielä, että täsmääkö $v=\sqrt{gd}$ dimensioidensa puolesta:

$\{v\}=\sqrt{\dfrac{\text{L}}{\text{T}^2}\text{L}}=\dfrac{\text{L}}{\text{T}}.$

Dimensiot ovat niin kuten pitääkin, joten laskut ovat siis onnistuneet.

Saimme funktion, jonka avulla voimme tutkia laskuvarjon halkaisijan suuruutta saavuttaaksemme haluamamme raja-nopeuden. Huomaa, että tämä ei kuitenkaan voi olla lopullinen tulos, vaan seuraavassa osassa esimerkkiä näemme, miten tästä päästäisiin kokeellisesti eteenpäin kohti ratkaisua ja mitä mahdollisia rajoituksia dimensioanalyysille on.

Mars mönkijän rajanopeus osa 6

Viimeksi löysimme rajanopeuden funktion $v=\sqrt{g\left(\dfrac{m}{\rho}\right)^{\frac13}\phi\left(d\left(\dfrac{\rho}{m}\right)^{\frac13}\right)},$ joka toimii Marsin ja Maan pinnalla (ja itseasiassa minkä tahansa planeetan pinnalla, missä vaikuttaa samat fysiikan lait).

Miten selvitämme funktion $\phi$ arvon? Kokeellisesti maan pinnalla!

Tiedämme maan putoamiskiihtyvyyden, ilmakehän tiheyden ja mönkijän painon, joten voimme mitata rajanopeutta laskuvarjon halkaisijan funktiona. Tällöin voimme skaalata mitatun datan dimensiottomiin muuttujiin v^* ja d^*. Kun tehdään yksinkertaisin mahdollinen oletus eli oletetaan, että $\phi( d^*) = C d^*,$ missä on vakio, voidaan saatuihin datapisteisiin sovittaa suora, jonka kulmakerroin antaa vakion arvon.

Tämän jälkeen voimme palata koordinaatistoon missä tutkitaan rajanopeutta laskuvarjon halkaisijan funktiona, mutta tällä kertaa putoamiskiihtyvyydelle, ilmakehän tiheydelle ja mönkijän painolle asetetaan niiden arvot Marsissa. Seuraavaksi etsimme laskuvarjon halkaisijan arvon, jossa nopeus saa arvon $90\text{ m/s}.$ Nyt olemme valmiita mönkijän lähettämiseen (ainakin näillä oletuksilla).

On huomattava, että esimerkin toisessa osassa oletettiin, ettei rajanopeus riipu viskositeetista. Todellisuudessa näin ei kuitenkaan ole, vaan viskositeetti, joka määrittää mönkijään kohdistuvan vastusvoiman, riippuu kaasukehän tiheydestä. Tämä käy ilmi kokeellisista mittauksista.

Dimensioanalyysi antaa mahdollisuuden yksinkertaistaa ongelmia, jossa tuntuu olevan liikaa tarkasteltavia muuttujia. Se vaatii kuitenkin aina kokeellisia mittauksia, joiden avulla saadusta yhtälöstä saadaan tuntematon funktio tai vakio selvitettyä.

Pi-teoreeman käyttö

Näin käytät Pi-teoreemaa, kun haluat muodostaa funktion jollekin suureelle ja tiedät mistä suureista funktion tulisi riippua

Listaa ongelmaan liittyvät kpl suureita (sekä suure, jonka funktion haluat selvittää, että suureet, joista funktion tulisi riippua)
Listaa suureiden dimensiot ja selvitä niiden pohjalta tarvittavien perusdimensioiden lukumäärä
Valitse $m\leq r$ kappaletta toistuvia parametreja eli maksimaalinen joukko suureita siten, että ne eivät muodosta $\pi$ -lukua. Numeroidaan myös loput suureet $q_{m+1}, q_{m+2},...,q_n.$

Huomaa, että suuretta jonka funktion haluat muodostaa, ei kannata valita toistuvaksi parametriksi.
Muodosta $\pi$ -luvut eli dimensiottomat kombinaatiot $\pi_k=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\cdot ... \cdot q_m^{a_m}q_{m+k}^{a_{m+k}},$ missä $1\leq k \leq n-m.$ Niitä tulisi löytyä kappaletta. Potenssit $a_{m+k}$ voidaan valita mielivaltaisesti, tyypillisesti $a_{m+k}=1.$
Tarkista, että $\pi$ -luvut todella ovat dimensiottomia.
Muodosta funktio $\pi_{j-m}=\phi(\pi_1,\pi_2,...,\pi_{j-m-1},\pi_{j-m+1},...,\pi_{n-m}).$

Esimerkki $\pi$ -teoreeman käytöstä: tuulimyllyn teho

Selvitetään tuulimyllyn tehon funktio, kun tuulimyllyn teho riippuu ainoastaan myllyn siiven pituudesta ilman tiheydestä $\rho,$ tuulen nopeudesta siipien kulmanopeudesta $\omega$ ja siipien lukumäärästä

$P=f(R,\rho,v,\omega,l)$ eli
$\{P\}=\frac{\text{ML}^2}{\text{T}^3},$ $\{R\}=\text{L},$ $\{\rho\}=\frac{\text{M}}{\text{L}^3},$ $\{v\}=\frac{\text{L}}{\text{T}},$ $\{\omega\}=\frac{1}{\text{T}}$ ja $\{l\}=1$ eli
Valitaan ja toistuviksi parametreiksi $\rho$ ja sillä tällöin on maksimaalinen ja yhtälö $\{R^{a}\rho^bv^c\}=\frac{\text{L}^{a-3b+c}\text{M}^b}{\text{T}^c}=\text{L}^0\text{M}^0\text{T}^0$ toteutuu ainoastaan, kun
\[\begin{cases} a-3b+c=0\\b=0\\c=0\end{cases}\]
eli
Yhtälö $\begin{align*}\{\pi_1\}&=\{R^{a}\rho^bv^cP\}\\&=\frac{\text{L}^{a-3b+c+2}\text{M}^{b+1}}{\text{T}^{c+3}}=\text{L}^0\text{M}^0\text{T}^0\end{align*}$ toteutuu, kun ja joten $\pi_1=\frac{P}{R^2\rho v^3}.$

Yhtälö $\begin{align*}\{\pi_2\}&=\{R^{a}\rho^bv^c\omega\}\\&=\frac{\text{L}^{a-3b+c}\text{M}^{b}}{\text{T}^{c+1}}=\text{L}^0\text{M}^0\text{T}^0\end{align*}$ toteutuu, kun ja joten $\pi_2=\frac{\omega R}{v}.$

Yhtälö $\begin{align*}\{\pi_3\}&=\{R^{a}\rho^bv^cl\}\\&=\frac{\text{L}^{a-3b+c}\text{M}^{b}}{\text{T}^{c}}=\text{L}^0\text{M}^0\text{T}^0\end{align*}$ toteutuu, kun joten $\pi_3=l.$
Saadut $\pi$ -luvut todella ovat dimensiottomia, sillä esimerkiksi $\{\pi_1\}=\left\{\frac{P}{R^2\rho v^3}\right\}=\frac{\frac{\text{ML}^2}{\text{T}^3}}{\text{L}^2\frac{\text{M}}{\text{L}^3} {\left(\frac{\text{L}}{\text{T}}\right)}^3}=1.$ Muiden $\pi$ -lukujen dimensiottomuuden tarkastus jätetään lukijalle.
Nyt $\frac{P}{R^3\rho v^3}=\phi\left(\frac{\omega R}{v},l\right)$ eli $P=R^3\rho v^3\phi\left(\frac{\omega R}{v},l\right).$

Eliminointitekniikka

Kun haluat selvittää miten suure z_1 riippuu suureista z_2,z_3,...,z_n eli haluat selvittää funktion f(z_2,z_3,...,z_n), jolle pätee z_1=f(z_2,z_3,...,z_n), voit edellä esitellyn tekniikan sijaan käyttää myös eliminointitekniikkaa.

Eliminointi tekniikassa dimensiot D_1,D_2,...,D_r, joista suureen z_1 dimensio riippuu, eliminoidaan yksi kerrallaan:

Asetetaan
Valitaan suureista yksi suure jolle pätee $\{z_l\}=\prod_{j=1}^r D_j^{b_{lj}},$ missä $b_{lk}\neq 0.$
Vaihdetaan kaikkien suureiden missä $1\leq i \leq n$ ja joille pätee $i\neq l$ ja $\{z_i\}=\prod_{j=1}^r D_j^{c_{ij}},$ missä $c_{ik}\neq 0,$ tilalle suure $z_iz_l^{-\frac{c_{ik}}{b_{lk}}}.$ Merkitään suureita, joista osa on vaihdettu, $z_{k_1},z_{k_2},...,z_{k_{n}}.$
Poistetaan suure $z_{k_l}$ muiden suureiden joukosta ja merkitään jäljelle jääviä suureita $z_{k_1},z_{k_2},...,z_{k_{n-1}}.$ Nyt $z_{k_1}=f_k(z_{k_2},z_{k_3},...,z_{k_{n-1}})$
Kasvatetaan :n arvoa yhdellä. Jos $k\leq r,$ niin toistetaan vaiheet 2-5 käyttäen suureita $z_{k_1},z_{k_2},...,z_{k_{n-1}}$ suureiden sijaan.

Esimerkki eliminointitekniikan käytöstä: heilurin kulmataajuus

Selvitetään funktio heilurin kulmataajuudelle $\omega,$ kun kulmataajuus riippuu punnuksen massasta langan pituudesta $\ell$ ja putoamiskiihtyvyydestä Toisin sanoen $\omega=f(m,\ell,g),$ missä $\{\omega\}=\frac{1}{\text{T}},$ $\{m\}=\text{M},$ $\{\ell\}=\text{L}$ ja $\{g\}=\frac{\text{L}}{\text{T}^2}.$

Eliminoidaan kulmataajuuden dimensiossa esiintyvä ajan dimensio jakamalla kulmataajuus $\sqrt{g}$ :llä, sillä $\{\sqrt{g}\}=\frac{\sqrt{\text{L}}}{\text{T}}.$ Tällöin $\frac{\omega}{\sqrt{g}}=f_1(m,\ell),$ missä $\left\{\frac{\omega}{\sqrt{g}}\right\}=\frac{1}{\sqrt{\text{L}}}.$ Seuraavaksi on siis tarpeen eliminoida pituuden dimension neliö. Tämä tapahtuu kertomalla kulmataajuutta $\sqrt{\ell}$ :llä, jolloin $\omega\sqrt{\frac{\ell}{g}}=f_2(m).$ Koska $\omega\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ on jo dimensioton, lopuksi eliminoidaan massa jakamalla kulmataajuus m^0 :lla, jolloin $\omega\sqrt{\frac{\ell}{g}}=C,$ missä on vakio. Lopputulokseksi saadaan siis $\omega=C\sqrt{\frac{g}{\ell}}.$

Huomioidaan tällä kertaa myös heilurin lähtökorkeus jonka dimensio on $\{h\}=\text{L}.$ Nyt $\omega=f_1(m,\ell, g, h).$ Aloitetaan jälleen jakamalla putoamiskiihtyvyyden neliöllä, jolloin $\frac{\omega}{\sqrt{g}}=f_1(m,\ell,h).$ Tässäkin tapauksessa seuraaksi eliminoidaan pituuden dimension neliö. Tällä kertaa on kuitenkin huomattava, että $\{\ell\}=\{h\}=\text{L},$ joten $\omega\sqrt{\frac{\ell}{g}}=f_2\left(m,\frac{h}{\ell}\right).$ Koska $\omega\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ ja $\frac{h}{\ell}$ ovat jo dimensiottomia, massan dimensio eliminoidaan jakamalla kulmataajuus m^0 :lla. Näin saadaan $\omega\sqrt{\frac{\ell}{g}}=f_3\left(\frac{h}{\ell}\right)$ eli $\omega=\sqrt{\frac{g}{\ell}}f_3\left(\frac{h}{\ell}\right).$

Mitä muuta dimensioanalyysilla saadaan aikaan?

Fysiikassa määritellään useita erilaisia dimensiottomia lukuja eli $\pi$ -lukuja, joiden avulla voimme kuvata fysikaalisen järjestelmän tilaa. Virtausmekaniikassa käytettyjä dimensiottomia lukuja ovat esimerkiksi Mach-luku $\text{Ma},$ Reynoldsin luku $\Re,$ Eulerin luku $\text{Eu}$ ja Sherwoodin luku $\text{Sh}.$

Kuten tämän sivun mars mönkijä -esimerkeistä saattaaa huomata, monimutkaisten fysikaalisten ongelmien ratkaiseminen analyyttisesti on vaikeaa (tai mahdotonta), koska tarkasteltavaan järjestelmään voi vaikuttaa hyvin monta muuttujaa. Näiden dimensiottomien lukujen avulla voimme suoraviivaistaa ongelmanratkaisua.

# reynolds

Reynoldsin luku

Reynoldsin luku on tärkeä dimensioton luku. Sitä hyödynnetään virtausmekaniikassa rajakerrosvirtauksia tarkasteltaessa. Tarkemmin sanottuna kappaleen ohi kulkevassa virtauksessa viskositeetin vaikutus keskittyy usein lähellä kappaleen pintaa sijaitsevaan rajakerrokseen. Kauempana rajakerroksen ulkopuolella virtauksen voidaan olettaa olevan kitkatonta. Reynoldsin luku saadaan jakamalla fluidiosaseen vaikuttava inertiavoima osasen muodonmuutosta vastustavilla voimilla ja se on määritettävissä seuraavalla yhtälöllä:

$\Re=\dfrac{vL\rho}{\mu}=\dfrac{vL}{\nu},$ missä on virtauksen nopeus, on virtauksen karakterisoiva pituus, $\rho$ on fluidin tiheys, $\mu$ on fluidin viskositeetti ja $\nu$ on fluidin kinemaattinen viskositeetti.

Putkivirtauksen karakterisoiva pituus on putken halkaisija joten putkivirtauksen Reynoldsin luku on $\Re=\dfrac{Dv\rho}{\mu}.$

Reynoldsin luvun ollessa pieni virtaus on laminaarinen, eli se on tasaista ja vakaata sekä pysyy hyvin koossa eikä rajakerros irtoa kappaleen pinnalta. Tällöin virtausnopeus vaihtelee ainoastaan tarkasteltaessa tilannetta makroskooppisella tasolla, eikä virtaukseen synny rakenteita, jotka ovat pienempiä kuin tarkasteltavan tilanteen makroskooppinen mittakaava, vaan kitkavoimat vaimentavat ne.

Suurilla Reynoldsin luvuilla virtaus muuttuu turbulenttiksi eli siihen alkaa muodostua pyörteitä ja rajakerros alkaa irrota kappaleen pinnalta. Virtaukseen muodostuu makroskooppista mittakaavaa pienempiä rakenteita, joille siirtyy konvektion vaikutuksesta yhä enemmän energiaa. Lopulta kaikkein pienempien rakenteiden liike-energia muuttuu lämmöksi.

Esimerkkejä Reynoldsin luvusta

Selvitä Reynoldsin luku öljyn virtaukselle putkessa. Putken halkaisija on $50\text{ mm},$ öljyn tiheys on $920\text{ kg/m}^3,$ tilavuus virta on $56\text{ l/min}$ ja öljyn dynaaminen viskositeetti on $56\cdot10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.$

Määritetään ensiksi virtauksen keskimääräinen nopeus: $\begin{align*}v&=\dfrac{4Q}{\pi D^2}=\dfrac{4\cdot 56\cdot 10^{-3}\cdot 1/60}{\pi\cdot (50\cdot 10^{-3})^2}\text{ m/s} \\&=0{,}476\text{ m/s}.\end{align*}$

Nyt voimme laskea Reynoldsin luvun: $\begin{align*}\Re&=\dfrac{Dv\rho}{\mu}=\dfrac{50\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}467\cdot 920}{40\cdot 10^{-3}}\\&=547.\end{align*}$

Laske veden keskimääräinen nopeus putkessa, kun Reynoldsin luku on 3000, putken halkaisija on $10\text{ mm}$ ja veden kinemaattinen viskositeetti on $1{,}01\cdot 10^{-6}\text{ m}^2\text{/s}.$

Koska kinemaattinen viskositeetti määritellään $\nu=\dfrac{\rho}{\mu},$ veden keskimääräinen nopeus voidaan ratkaista yhtälöstä $\Re=\dfrac{Dv}{\nu},$ jolloin $\begin{align*}v&=\dfrac{\nu\Re }{D}=\dfrac{1{,}01\cdot 10^{-6}\cdot 3000}{10\cdot 10^{-3}}\text{ m/s}\\&=0{,}303\text{ m/s}.\end{align*}$

# mach

Machin luku

Machin luku $\text{Ma}$ on dimensioton luku, jota hyödynnetään kokoonpuristuvia virtauksia tarkasteltaessa esimerkiksi aerodynamiikassa. (Jos $\text{Ma}\ll 1,$ niin virtausta voidaan pitää kokoonpuristumattomana.) Machin luku kuvaa virtauksen nopeuden suhdetta äänennopeuteen käytetyssä väliaineessa ja määritellään seuraavasti:

$\text{Ma}=\dfrac{v}{a}=\dfrac{v}{\sqrt{\frac{B}{\rho}}},$ missä on väliaineen kokoonpuristuvuuskerroin ja $\rho$ on väliaineen tiheys. Ideaalikaasun tapauksessa Machin luku voidaan kirjoittaa muodossa $\text{Ma}=\dfrac{v}{\sqrt{\gamma RT}},$ missä on virtauksen nopeus, $\gamma=\dfrac{c_p}{c_V}$ on lämpökapasiteettien suhde, on kaasuvakio ja on kaasun lämpötila.

Virtaukset voidaan jaotella Machin luvun perusteella:

$\text{Ma}<1$ : kysymyksessä on aliäänivirtaus eli alisooninen virtaus,
$\text{Ma}=1$ : virtaus on sooninen ja
$\text{Ma}>1$ : kysymyksessä on yliäänivirtaus eli ylisooninen virtaus

# eulerluku

Eulerin luku

Eulerin lukua hyödynnetään erityisesti virtausmekaniikan ongelmissa, jossa tarkastellaan vapaata nestepintaa. Se kertoo virtauksessa tapahtuvasta energiahäviöstä. Jos virtauksessa ei ole kitkaa eli siinä ei ole myöskään kitkasta aiheutuvia energiahäviöitä, niin $\text{Eu}=0.$

Eulerin luku määritellään paineen suhteena inertiaan. Käytännössä se voidaan määritellä ylävirrassa ja alavirrassa sijaitsevien pisteiden välisen paine-eron $\Delta p$ avulla, jolloin $\text{Eu}=\dfrac{\Delta p}{\rho v^2},$ missä $\rho$ on nesteen tiheys ja on virtauksen nopeus. Kun $\Delta p=p-p_v,$ missä p_v on höyryn paine, lukua $\text{Ca}=\dfrac{p-p_v}{\rho v^2}$ kutsutaan kavitaatiovakioksi. Kavitaatiossa nesteen paine putoaa hyörynpaineen alapuolelle nesteessä tapahtuvan virtauksen vuoksi ja nesteeseen syntyy kuplia. Kavitaatiovakio kuvaa tämän ilmiön esiintyvyyttä.

Muita vapaan nestepinnan tarkastelussa käytettäviä dimensiottomia lukuja ovat Frouden luku $\text{Fr}=\dfrac{v^2}{gL},$ missä on virtausnopeus, putoamiskiihtyvyys ja virtauksen karakterisoiva pituus, ja Weberin luku $\text{We}=\dfrac{\rho v^2L}{\sigma},$ missä on virtauksen nopeus, $\rho$ nesteen tiheys, virtauksen karakterisoiva pituus ja $\sigma$ on pintajännitys.

# sherwood

Sherwoodin luku

Sherwoodin lukua käytetään tarkasteltaessa virtauksen mukana tapahtuvaa aineen siirtymistä ja se kuvaa konvektoitumalla ja diffuusion avulla tapahtuvan aineensiirron suhdetta. Sherwoodin luvun määrittää yhtälö

$\text{Sh}=\dfrac{Lh}{D},$ missä on konvektioon liittyvä aineensiirtokerroin, on diffuusiokerroin ja on virtauksen karakterisoiva pituus. Lämmön siirtymistä tarkasteltaessa vastaava dimensioton luku on Nusseltin luku $\text{Nu}=\frac{hL}{k},$ missä on konvektioon liittyvä lämmönsiirtokerroin, on virtauksen karakterisoiva pituus ja on fluidin lämmönjohtavuus. Jos $\text{Nu}=1,$ niin lämpö siirtyy ainoastaan johtumalla.

# similaarisuus

Similaarisuus

Laivojen, lentokoneiden ja muiden suurien koneiden suunnittelussa hyödynnetään pienoismalleja, koska kustannukset testikappaleiden rakentamiseen olisivat muuten liian suuria. Dimensioanalyysi auttaa meitä löytämään tarvittavat yhteydet pienoismallin ja prototyypin väliltä, jotta saamme merkittävää tietoa kokeista ennen prototyypin rakentamista.

Dimensioanalyysin käyttö perustuu yksikönmuutosinvarianssiin, mutta tässä esimerkissä toimitaan "väärin päin" verrattuna aiempiin esimerkkeihin. Emme muuta yksilöitä, vaan perussuureiden arvoja samassa suhteessa, jolloin pienoismallin ja prototyypin $\pi$ -lukut ovat samat. Tällöin pienoismallin ja prototyypin sanotaan olevan similaarisia. Käytännössä virtausmekaniikan ongelmissa riittää tarkastella similaarisuutta geometrian, kinematiikan ja dynamiikan näkökulmista.

Esimerkki similaarisuudesta: pienoismalli

Tarkastellaan laivaan kohdistuvaa vastusvoimaa ja oletetaan sen riippuvan laivan nopeudesta mitasta (tähän kelpaa laivan pituus tai leveys), laivan syväyksestä putoamiskiihtyvyydestä nesteen tiheydestä $\rho$ ja nesteen viskositeetista $\nu.$

Tällöin laivaan kohdistuvaa vastusvoimaa sitoo jokin yhtälö:

$W=(U, d, h, g, \rho, \nu).$

Näin ollen tavittavat dimensiot ovat ajan, paikan ja massan dimensiot. Tällöin meillä on siis yhteensä 7-3=4 $\pi$ -lukua. Valitaan näiksi luvuiksi Reynoldsin luku $\Re,$ Frouden luku $\text{Fr}$ sekä luku $\dfrac{W}{\rho U^2hd},$ joka on verrannollinen vastuskertoimeen $C_w=\dfrac{W}{P_{st}A},$ missä $P_{st}=\dfrac{\rho U^2}{2}$ on patopaine ja on laivan poikkipinta-ala. Tällöin saadaan $C_w=f\left(\Re, \text{Fr}, \frac{d}{h}\right).$

Lähdetään määrittämään laivan vastuskerrointa. Tähän on ehtona, että prototyypin ja pienoimallin $\pi$ -luvut ovat samat. Luku $\frac{d}{h}$ on sama mikäli prototyyppi ja malli ovat samanmuotoiset. Lisäksi voimme olettaa, että putoamiskiihtyvyys on sama molemmille eli g_m=g_p.

Frouden lukujen ja Reynoldsin lukujen on oltava yhtä suuret, jolloin saadaan ehto $\left(\dfrac{U_m}{U_p}\right)^2=\dfrac{d_m}{d_p}.$ Lisäksi myös Reynoldsin lukujen on oltava yhtä suuret, jolloin $\dfrac{U_m}{U_p}=\dfrac{\nu_m}{\nu_p}\dfrac{d_p}{d_m}.$

Nämä kaksi ehtoa eivät toteudu, jos mallikappaleen kokeet tehdään vedessä rakentamatta mallia prototyypin kokoiseksi. Kokeet voitaisiin siis tehdä jossain muussa nesteessä, kuin vedessä, jolloin $\dfrac{\nu_m}{\nu_p}=\left(\dfrac{d_m}{d_p}\right)^{3/2}.$

Oletetaan, että rakennamme pienoismallin mittakaavassa 1:20, jolloin

$\dfrac{\nu_m}{\nu_p}=\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3/2}=0{,}011.$

Emme voi löytää sellaista nestettä joka toteuttaisi tämän ehdon viskositeetille ilman että pienoismalli olisi kohtuuttoman iso. Tässä siis pelkkä dimensioanalyysi ei riittänyt ratkaisemaan ongelmaa. Tämä ongelma on mahdollista ratkaista jakamalla vastusvoima Reynoldsin luvusta riippuvaan virtausvastukseen ja Frouden luvusta riippuvaan aaltovastukseen, joita voidaan käsitellä rajapintateorian ja kokeellisten mittauksien avulla.