Fourier'n sarja

Taylorin sarjaa käytetään approksimoimaan funktiota jonkun pisteen läheisyydessä, kun funktio on jatkuva tässä pisteessä. Joskus tulee kuitenkin vastaan epäjatkuvia funktioita, jolloin Taylorin sarjan käyttö ei ole mahdollista.

Epäjatkuvia funktioita tai funktioita, joiden kuvaajassa on teräviä kulmia, kuten f(x)=|x| ei voida approksimoida Taylorin sarjan avulla, mutta niitä voidaan approksimoida Fourier'n sarjan avulla.

Fourier'n sarjalla approksimoidaan funktiota jaksollisilla funktioilla. Erityisesti Fourier'n sarjalla approksimoidaan jaksollisia funktioita koko reaalilukuakselilla tai suljetulla välillä määriteltyä funktiota, joka voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi koko reaalilukuakselille.

FFT (A fast Fourier transformation) on numeerinen menetelmä, jossa diskreettiä mittausdataa käsitellään Fourier-analyysin avulla. Kokeellisessa fysiikassa sitä käytetään usein esimerkiksi signaalin käsittäelyssä ja tutkittaessa monimutkaisen järjestelmän värähtelyjä. Tällöin signaalista otetaan näytteitä tietyin väliajoin ja saatu mittausdata esitetään diskreetin Fourier-analyysin avulla ajan sijaan taajuuden funktiona.

# reaalinenfourier

Reaalinen Fourier'n sarja

-jaksollisen funktion f(x) Fourier'n sarja on $\begin{aligned} F(x) =&\ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\bigg[a_k\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right) \\&\ +b_k\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\bigg]\end{aligned},$ missä $a_k = \frac{1}{L}\int\displaylimits_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx$ ja $b_k = \frac{1}{L}\int\displaylimits_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx$ ovat Fourier'n sarjan kertoimet.

Esimerkki. Määritä funktion $f(x)=\begin{cases}1, & 0\leq x\leq \pi\\ -1, & -\pi\leq x<0\end{cases}$ Fourier'n sarja.

Ratkaisu.

Koska funktio on määritelty välillä $[-\pi, \, \pi],$ niin sen jakso on $2\pi$ ja siten $L=\pi.$

Lasketaan sitten Fourier'n sarjan kertoimet

$a_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)\dx$ ja $b_k = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)\dx.$

Koska f(x) on pariton funktio ja $\cos(kx)$ on parillinen funktio, niin niiden tulo $f(x)\cos(kx)$ on pariton funktio. Koska parittoman funktion integraali symmetrisen välin yli on nolla, niin $a_k = 0 \quad \text{kaikilla} \ k.$

Puolestaan koska $\sin(kx)$ on pariton funktio, niin tulo $f(x)\sin(kx)$ on parillinen funktio. Tällöin saadaan $\begin{aligned} b_k &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(kx)\dx\\ &= \frac{2}{\pi k}\intsub{0}{\pi}-\cos(kx)\\ &= \frac{2}{\pi k}(-\underbrace{\cos(k\pi)}_{= \ (-1)^k}+\cos(0))\\ &= \frac{2}{\pi k}\left((-1)^{k+1}+1\right). \end{aligned}$ Siten funktion f(x) Fourier'n sarja on $F(x)= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\pi k}\left((-1)^{k+1}+1\right)\sin(kx).$

Koska $\left((-1)^{k+1}+1\right)= \begin{cases} 2, & k \ \text{pariton}\\ 0, & k \ \text{parillinen}, \end{cases}$ niin Fourier'n sarja voidaan kirjoittaa myös muodossa $F(x)= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}\sin((2k+1)x).$

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle, samples=300, restrict y to domain=-2:2,xtick={-pi,-(1/2)*pi,0,(1/2)*pi, pi}, xticklabels={$-\pi$,$-\frac{\pi}{2}$,,$\frac{\pi}{2}$,$\pi$}, xlabel=$x$,xlabel=$x$,ylabel=$y$, legend pos = outer north east] \addplot [color=red, thick, domain=-pi:0] {-1}; \addplot [color=red, thick, domain=0:pi] {1}; \addplot [color=blue, thick, domain=-pi:pi] {(4/pi)*sin(deg(x))+(4/(3*pi))*sin(3*deg(x))+(4/(5*pi))*sin(5*deg(x))+(4/(7*pi))*sin(7*deg(x))}; \legend{$f(x)$, ,Fourier $k=7$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

Esimerkki. Määritä funktion $f(x)=x^2, \ x\in[-\pi, \pi]$ Fourier'n sarja.

Ratkaisu.

Koska funktio on määritelty välillä $[-\pi, \, \pi],$ niin sen jakso on $2\pi$ ja siten $L=\pi.$ Lasketaan seuraavaksi sarjan keroimet a_k ja b_k.
Koska funktio f(x) on parillinen, niin tulo $f(x)\sin(kx)$ on pariton ja siten sen integraali yli symmetrisen välin on nolla eli $b_k = 0, \ \text{kaikilla} \ k.$ Kun k=0, niin $\begin{aligned} a_0 &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\dx = \frac{2}{\pi}\intsub{0}{\pi}\frac{1}{3}x^3 \\&= \frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{3}\pi^3 = \frac{2\pi^2}{3}. \end{aligned}$ Kun $k\neq 0,$ niin $a_k = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(kx)\dx.$ Valitaan u=x^2 ja $v'=\cos(kx),$ jolloin osittaisintegroimalla $\left(\int uv' = uv-\int u'v\right)$ saadaan $\begin{aligned} a_k =&\ \frac{2}{\pi}\underbrace{\intsub{0}{\pi}x^2\cdot\frac{1}{k}\sin(kx)}_{= \ 0} \\&-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{2x}{k}\sin(kx)\dx \\ =& -\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{2x}{k}\sin(kx)\dx. \end{aligned}$ Valitaan nyt $u=\frac{2x}{k}$ ja $v'=\sin(kx),$ jolloin uudestaan osittaisintegroimalla $\left(\int uv' = uv-\int u'v\right)$ saadaan $\begin{aligned} a_k =& -\frac{2}{\pi}\intsub{0}{\pi}\frac{2x}{k}\cdot\frac{-1}{k}\cos(kx) \\&+\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{2}{k}\cdot\frac{-1}{k}\cos(kx)\dx \\ =& -\frac{2}{\pi}\left[\frac{-2\pi}{k^2}\underbrace{\cos(k\pi)}_{= (-1)^k} +\frac{2}{k^3}\underbrace{\intsub{0}{\pi}\sin(kx)}_{= \ 0}\right] \\ =&\ \frac{4}{k^2}(-1)^k. \end{aligned}$ Siten funktion f(x) Fourier'n sarja on $F(x)= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k\cos(kx).$

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle, samples=300, restrict y to domain=-2:10 ,xtick={-pi,-(1/2)*pi,0,(1/2)*pi, pi}, xticklabels={$-\pi$,$-\frac{\pi}{2}$,,$\frac{\pi}{2}$,$\pi$}, xlabel=$x$,xlabel=$x$,ylabel=$y$, legend pos = outer north east] \addplot [color=red, thick, domain=-pi:pi] {x^2}; \addplot [color=blue, thick, domain=-pi:pi] {pi^2/3-4*cos(deg(x))+cos(2*deg(x))-(4/9)*cos(3*deg(x))+(1/4)*cos(4*deg(x))-(4/25)*cos(5*deg(x))}; \legend{$f(x)$,Fourier $k=5$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

Esimerkki. Laske sarjojen $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ ja $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}$ summa Fourier'n sarjan avulla.

Ratkaisu.

Käytetään hyödyksi funktion $f(x)=x^2, \ x\in[-\pi,\pi]$ Fourier'n sarjaa $F(x)=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k\cos(kx).$ Funktio f(x) totetuttaa Dirichlet'n ehdot, sillä se on jatkuva välillä $[-\pi,\pi],$ sillä on vain kaksi ääriarvoa ja $\pi^2$ ja se on integroituva $\int_{-\pi}^{\pi}|x^2|\dx = \frac{2\pi^3}{3} < \infty.$ Koska f(x) totetuttaa Dirichlet'n ehdot välillä $[-\pi,\pi],$ niin sen Fourier'n sarja F(x) suppenee funktioon f(x) avoimella välillä $]-\pi,\pi[$ ja päätepisteissä f(x) :n päätepisteiden arvojen keskiarvoon $\begin{aligned} F(-\pi)&=F(\pi)=\frac{f(-\pi)+f(\pi)}{2} \\&= \frac{\pi^2 + \pi^2}{2} = \pi^2. \end{aligned}$ Lasketaan sarjan $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ summa. Tutkitaan Fourier'n sarjan F(x) arvoa päätepisteessä $x=\pi.$ $\begin{aligned} \pi^2 &= F(\pi) \\&= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k\underbrace{\cos(k\pi)}_{=(-1)^k}\\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}\underbrace{(-1)^k(-1)^k}_{=(-1)^{2k}=1}\\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2},\end{aligned}$ joten saadaan, että $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}.$

Siten sarjan $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ summa on $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.$
Lasketaan seuraavaksi sarjan $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}$ summa. Tarkastellaan Fourier'n sarjan arvoa pisteessä x=0. $\begin{aligned} 0 &= f(0) \\&= F(0) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k\cos(k\cdot 0)\\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k\cdot 1\\ &= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k,\end{aligned}$ joten saadaan, että $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k = - \frac{\pi^2}{3}.$

Siten sarjan $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}$ summa on $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2} = -\frac{\pi^2}{12}.$

# kompleksinenfourier

Kompleksinen Fourier'n sarja

Usein laskujen kannalta on helpompi käyttää kompleksista versiota Fourier'n sarjasta ja joskus tämä on myös käsiteltävän funktion kannalta kätevämpi versio.

-jaksollisen funktion f(x) kompleksinen Fourier'n sarja on $F(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{\tfrac{ik\pi x}{L}}$ missä $c_k = \frac{1}{2L}\int\displaylimits_{-L}^{L}f(x)e^{-\tfrac{ik\pi x}{L}}\dx.$

Huomautus. Kompleksinen ja reaalinen Fourier'n sarja ovat ekvivalentit.

Lähdetään liikkeelle kompleksisesta Fourier'n sarjasta. $\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{\tfrac{ik\pi x}{L}} = \sum_{k=0}^{\infty}c_ke^{\tfrac{ik\pi x}{L}} + \sum_{k=-\infty}^{-1}c_ke^{\tfrac{ik\pi x}{L}}.$ Tehdään jälkimmäiseen sarjaan muuttujanvaihto k=-k, jolloin saadaan $\begin{aligned} \sum_{k=0}^{\infty}c_k&e^{\tfrac{ik\pi x}{L}} + \sum_{k=1}^{\infty}c_{(-k)}e^{-\tfrac{ik\pi x}{L}}\\ \\&= c_0 + \sum_{k=1}^{\infty}\left[c_ke^{\tfrac{ik\pi x}{L}}+c_{(-k)}e^{-\tfrac{ik\pi x}{L}}\right]. \end{aligned}$ Käyttämällä Eulerin kaavaa $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ yllä olevan yhtälön oikea puoli voidaan kirjoittaa muodossa $\begin{aligned} c_0& + \sum_{k=1}^{\infty}\bigg[\left(c_k+c_{(-k)}\right)\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\\ & +i\left(c_k-c_{(-k)}\right)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\bigg]. \qquad (*) \end{aligned}$ Lasketaan seuraavaksi $c_k+c_{(-k)}$ ja $i\left(c_k-c_{(-k)}\right)$ : käyttämällä tietoa $\cos(x)=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$ saadaan, että $\begin{aligned} c_k+c_{(-k)} =&\ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-\tfrac{ik\pi x}{L}}\dx \\&\ + \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{\tfrac{ik\pi x}{L}}\dx\\ =&\ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\left(e^{-\tfrac{ik\pi x}{L}}+e^{\tfrac{ik\pi x}{L}}\right)\dx\\ =&\ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)2\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx\\ =&\ \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx = a_k. \end{aligned}$ Vastaavasti käyttämällä tietoa $\sin(x)=\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-xi}\right)$ saadaan $\begin{aligned} i\left(c_k-c_{(-k)}\right) &=i\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\left(e^{-\tfrac{ik\pi x}{L}}-e^{\tfrac{ik\pi x}{L}}\right)\dx\\ &= \frac{i}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)(-2i)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx \qquad\Big| \ -i^2=1\\ &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx = b_k. \end{aligned}$ Lisäksi $\begin{aligned} c_0 &= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-\tfrac{i\cdot 0\cdot\pi x}{L}}\dx\\ &= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\dx \\&= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\underbrace{\cos\left(\frac{0\cdot\pi x}{L}\right)}_{= \ 1}\dx\\ &= \frac{a_0}{2}. \end{aligned}$ Sijoittamalla lasketut tulokset yhtälöön (*) saadaan $\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{\tfrac{ik\pi x}{L}} = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right) +b_k\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\right].$ Eli kompleksinen ja reaalinen Fourier'n sarja ovat ekvivalentit.

Esimerkki. Määritä funktion $f(x)=\begin{cases}x+\pi, & -\pi\leq x < 0\\ -x, & 0\leq x\leq\pi.\end{cases}$ Fourier'n sarja.

Ratkaisu.

Funktio f(x) on määritelty välillä $[-\pi, \pi]$ eli sen jakso on $2\pi$ ja siten $L=\pi.$ Lasketaan sarjan kertoimet c_k. $\begin{aligned} c_k =&\ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-\tfrac{ik\pi x}{L}}\dx\\ =&\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}\dx\\ =&\ \frac{1}{2\pi}\bigg[\int_{-\pi}^{0}(x+\pi)e^{-ikx}\dx \\&\ + \int_{0}^{\pi}-xe^{-ikx}\dx\bigg]\\ =&\ \frac{1}{2\pi}\bigg[\int_{-\pi}^{0}\pi e^{-ikx}\dx + \int_{-\pi}^{0}xe^{-ikx}\dx \\&\ - \int_{0}^{\pi}xe^{-ikx}\dx\bigg]. \end{aligned}$

Lasketaan ensin integraali $\int xe^{-ikx}\dx.$ Valitaan $\begin{aligned} u&=x \qquad v=-\frac{1}{ik}e^{-ikx} \\ u'&=1 \qquad v'=e^{-ikx}. \end{aligned}$ Tällöin osittaisintegroimalla $\left(\int uv' = uv - \int u'v\right)$ saadaan $\begin{aligned} \int xe^{-ikx}\dx &= -\frac{x}{ik}e^{-ikx} - \int -\frac{1}{ik}e^{-ikx}\\ &= -\frac{x}{ik}e^{-ikx} - \frac{1}{(ik)^2}e^{-ikx}&&\Big| \ i^2=-1\\ &= \left(-\frac{x}{ik} + \frac{1}{k^2}\right)e^{-ikx}. \end{aligned}$ Siten $\begin{aligned} c_k =&\ \frac{1}{2\pi}\bigg[\intsub{-\pi}{0}\left(-\frac{\pi}{ik} -\frac{x}{ik}+ \frac{1}{k^2}\right)e^{-ikx} \\&\ - \intsub{0}{\pi}\left(-\frac{x}{ik}+ \frac{1}{k^2}\right)e^{-ikx}\bigg]\\ =&\ \frac{1}{2\pi}\bigg[\left(-\frac{\pi}{ik}+ \frac{1}{k^2}\right) - \frac{1}{k^2}e^{ik\pi} \\&\ -\left(-\frac{\pi}{ik}+ \frac{1}{k^2}\right)e^{-ik\pi}+ \frac{1}{k^2}\bigg] \\ =&\ \frac{1}{2\pi}\bigg[ -\frac{\pi}{ik}+ \frac{2}{k^2} - \frac{1}{k^2}e^{ik\pi} \\&\ +\left(\frac{\pi}{ik}- \frac{1}{k^2}\right)e^{-ik\pi}\bigg]. \end{aligned}$ Eulerin kaavalla saadaan $\begin{aligned} e^{\pm ik\pi} &= \cos(\pm k\pi) + i\underbrace{\sin(\pm k\pi)}_{= \ 0} \\ &= \cos(k\pi) = (-1)^k. \end{aligned}$ Sijoitetaan tämä yllä olevaan yhtälöön. $\begin{aligned} c_k =&\ \frac{1}{2\pi}\bigg[ -\frac{\pi}{ik}+ \frac{2}{k^2} - \frac{1}{k^2}(-1)^k \\&\ +\left(\frac{\pi}{ik}- \frac{1}{k^2}\right)(-1)^k\bigg]&&\quad\Bigg|\quad \frac{1}{i}=-i, (-1)^k \ \text{yhteiseksi tekijäksi} \\ =&\ \frac{1}{2\pi}\left[\frac{i\pi}{k}+ \frac{2}{k^2}-\left(\frac{i\pi}{k}+\frac{2}{k^2}\right)(-1)^k\right] &&\quad\Bigg|\quad \left(\frac{2}{k^2}+\frac{i\pi}{k}\right) \ \text{yhteiseksi tekijäksi}\\ =&\ \frac{1}{2\pi}\left[\left(\frac{2}{k^2}+\frac{i\pi}{k}\right)\left(1-(-1)^k\right)\right]\\ =&\ \left(\frac{1}{\pi k^2}+\frac{i}{2k}\right)\left(1-(-1)^k\right). \end{aligned}$ Siten funktion f(x) Fourier'n sarja on $F(x)=\sum_{\mathclap{\substack{k=-\infty\\k\neq 0}}}^{\infty} \left(\frac{1}{\pi k^2}+\frac{i}{2k}\right)\left(1-(-1)^k\right)e^{ikx}.$ Vaikka saatu Fourier'n sarja on kompleksisessa muodossa, niin se on silti reaaliarvoinen, sillä funktio f(x) on reaaliarvoinen.

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle, samples=300, restrict y to domain=-4:4,xtick={-pi,-(1/2)*pi,0,(1/2)*pi, pi}, xticklabels={$-\pi$,$-\frac{\pi}{2}$,,$\frac{\pi}{2}$,$\pi$}, xlabel=$x$,xlabel=$x$,ylabel=$y$, legend pos = outer north east] \addplot [color=red, thick, domain=-pi:0] {x+pi}; \addplot [color=red, thick, domain=0:pi] {-x}; \addplot [color=blue, thick, domain=-pi:pi] {(4/pi)*cos(deg(x))-2*sin(deg(x))+(4/(9*pi))*cos(3*deg(x))-(2/3)*sin(3*deg(x)) +(4/(25*pi))*cos(5*deg(x))-(2/5)*sin(5*deg(x))}; \legend{$f(x)$, ,Fourier $k=5$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

# fouriersuppeneminen

Fourier'n sarjan suppeneminen

Fourier'n sarjan suppenemisen selvittäminen eroaa Taylorin sarjasta ja potenssisarjasta. Taylorin ja potenssisarjan tapauksessa tutkitaan muodostetun sarjan kertoimien käyttäytymistä, kun sarjan termien määrä kasvaa rajatta. Fourier'n sarjan tapauksessa puolestaan tutkitaan toteuttaako kyseinen funktio tietyt ehdot suppenemiselle. Näitä ehtoja sanotaan Dirichlet'n ehdoiksi.

Dirichlet'n ehdot

Funktio f(x) toteuttaa Dirichlet'n ehdot, jos

1. sillä on äärellinen määrä hyppäysepäjatkuvuuksia x_k eli $\lim_{x\to x_k^-}f(x) \neq \lim_{x\to x_k^+}f(x).$
2. sillä on äärellinen määrä ääriarvoja.

3. se on integroituva eli $\int_{-L}^{L}\left|f(x)\right|\dx < \infty.$

Jos funktio f(x), joka on määritelty välillä $[-L,\,L]$ totetuttaa Dirichlet'n ehdot, niin sen Fourier'n sarja F(x) suppenee. Sarja suppenee f(x) :ään kaikkialla, missä funktio f(x) on jatkuva. Epäjatkuvuuskohdissa x_k sarja suppenee toispuolisten raja-arvojen keskiarvoon $F(x_k) = \frac{\displaystyle \lim_{x\to x_k^-}f(x) + \lim_{x\to x_k^+}f(x)}{2}.$ Päätepisteissä j ja sarja suppenee funktion f(x) päätepisteiden arvojen keskiarvoon $F(-L)=F(L)=\frac{f(-L)+f(L)}{2}.$

Esimerkki. Dirichlet'n ehtojen toteutuminen.

Funktio $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$ ei toteuta Dirichlet'n ehtoja välillä $[-L,\,L],$ koska sillä on ääretön määrä ääriarvoja. Kun lähestyy nolla niin f(x) oskilloi 1 ja -1 välillä äärettömän monta kertaa.

Funktio $g(x)=\frac{1}{x}$ ei myöskään toteuta Dirichlet'n ehtoja, sillä $\begin{aligned} \int_{-L}^{L}|g(x)|\dx &= \int_{-L}^{L}\left|\frac{1}{x}\right|\dx = 2\int_{0}^{L}\frac{1}{x}\dx\\ &= 2\intsub{0}{L}\ln(x) \\&= 2\left(\ln(L)-\underbrace{\ln(0)}_{= -\infty}\right) = \infty. \end{aligned}$
Puolestaa funktio $h(x)=\begin{cases}1, & 0\leq x\leq \pi\\ -1, & -\pi\leq x<0\end{cases}$ totettaa Dirichlet'n ehdot, koska sillä on vain yksi epäjatkuvuuskohta x=0, sillä on vain kaksi ääriarvoa -1 ja 1 ja $\int_{-L}^{L}|f(x)|\dx = \int_{0}^{L}2 \dx = 2L < \infty.$

# fouriersinikosini

Fourier'n sini- ja kosinisarja

Pariton ja parillinen funktio

Muistetaan, että parittoman funktion integraali yli symmetrisen välin on nolla.

Jos funktio f(x) on parillinen eli f(-x)=f(x), niin tulo $f(x)\sin(\frac{k\pi x}{L})$ on pariton ja siten $b_k = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx = 0.$ Eli parillisen funktion Fourier'n sarja voidaan kirjoittaa pelkästään kosinien avulla $F(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right).$

Jos funktio f(x) on pariton eli f(-x)=-f(x), niin tulo $f(x)\cos(\frac{k\pi x}{L})$ on pariton ja siten $a_k = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx = 0.$ Eli parittoman funktion Fourier'n sarja voidaan kirjoittaa pelkästään sinien avulla. $F(x) = \sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right).$

Kosinisarja.

Tarkastellaan funktiota f(x) joka on määritelty välillä [0, L] ja toteuttaa Dirichlet'n ehdot.

Jatketaan funktio f(x) parilliseksi välille [-L, L]. Parillinen jatke muodostetaan seuraavasti $f_e(x) = \begin{cases} f(x), & 0\leq x \leq L\\ f(-x), & -L\leq x < 0. \end{cases}$ Funktion f(x) Fourier'n kosinisarja saadaan muodostamalla funktion f_e(x) Fourier'n sarja. Koska funktio f_e(x) on parillinen, niin funktion f(x) kosinisarja on $C(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right),$ missä $a_k = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx.$

Välillä [0, L] määritellyn funktio f(x) kosinisarja suppenee sen parilliseen jatkeeseen f_e(x) välillä [-L, L].

Sinisarja.

Tarkastellaan funktiota f(x) joka on määritelty välillä [0, L] ja toteuttaa Dirichlet'n ehdot.

Jatketaan funktio f(x) parittomaksi välille [-L, L]. Pariton jatke muodostetaan seuraavasti $f_o(x) = \begin{cases} f(x), & 0\leq x \leq L\\ -f(-x), & -L\leq x < 0. \end{cases}$ Funktion f(x) Fourier'n sinisarja saadaan muodostamalla funktion f_o(x) Fourier'n sarja. Koska funktio f_o(x) on pariton, niin funktion f(x) sinisarja on $S(x) = \sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right),$ missä $b_k = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\dx.$

Välillä [0, L] määritellyn funktio f(x) sinisarja suppenee sen parittomaan jatkeeseen f_o(x) välillä [-L, L].

Esimerkki. Määritä funktion $f(x)=x, \ x\in[0, \pi]$ Fourier'n sini- ja kosinisarjat.

funktion f(x)=x kosinisarja

Muodostetaan funktion f(x) parillinen jatke $\begin{aligned} f_e(x) &= \begin{cases} f(x), & 0\leq x\leq\pi\\ f(-x), & ä\pi\leq x<0 \end{cases} \\&= \begin{cases} x, & 0\leq x\leq\pi \\ -x, & ä\pi\leq x<0. \end{cases} \end{aligned}$

Muodostetaan funktion f_e(x) Fourier'n sarja. Koska f_e(x) on parillinen funktio, niin tarvitsee vain laskea kertoimet a_k. $\begin{aligned} a_0 &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\dx \\ &= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\pi^2= \pi. \end{aligned}$
$\begin{aligned} a_k &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(kx)\dx \\ &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(kx)\dx. \end{aligned}$ Valitaan u=x ja $v'=\cos(kx),$ jolloin osittaisintegroimalla $\left(\int uv' = uv-\int u'v\right)$ saadaan $\begin{aligned} a_k &= \frac{2}{\pi}\left[\underbrace{\intsub{0}{\pi}\frac{x}{k}\sin(kx)}_{= \ 0} -\int_{0}^{\pi}\frac{1}{k}\sin(kx)\dx\right] \\ &= \frac{2}{\pi}\left[\intsub{0}{\pi}\frac{1}{k^2}\cos(kx)\right]\\ &= \frac{2}{\pi k^2}\left[\cos(k\pi) - \cos(0) \right]\\ &= \frac{2}{\pi k^2}\left((-1)^k -1\right). \end{aligned}$ Siten funktion f(x) kosinisarja on $C(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\pi k^2}\left((-1)^k -1\right)\cos(kx)$ ja se suppenee funktion f_e(x) Fourier'n sarjaan.

funktion f(x)=x sinisarja

Muodostetaan funktion f(x) pariton jatke $\begin{aligned} f_o(x) &= \begin{cases} f(x), & 0\leq x\leq\pi\\ -f(-x), & ä\pi\leq x<0 \end{cases} \\&= \begin{cases} x, & 0\leq x\leq\pi \\ -(-x)=x, & ä\pi\leq x<0. \end{cases} \end{aligned}$

Muodostetaan funktion f_o(x) Fourier'n sarja. Koska f_o(x) on pariton funktio, niin tarvitsee vain laskea kertoimet b_k. $\begin{aligned} b_k &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(kx)\dx \\ &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(kx)\dx. \end{aligned}$ Valitaan u=x ja $v'=\sin(kx),$ jolloin osittaisintegroimalla $\left(\int uv' = uv-\int u'v\right)$ saadaan $\begin{aligned} b_k =&\ \frac{2}{\pi}\bigg[\intsub{0}{\pi}-\frac{x}{k}\cos(kx) \\&\ -\int_{0}^{\pi}-\frac{1}{k}\cos(kx)\dx\bigg] \\ =&\ \frac{2}{\pi}\intsub{0}{\pi}\left[-\frac{x}{k}\cos(kx)+\frac{1}{k^2}\sin(kx)\right]\\ =&\ \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\pi}{k}\cos(k\pi)\right]\\ =&\ \frac{2}{k}(-1)^{k+1}. \end{aligned}$ Siten funktion f(x) sinisarja on $S(x) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}(-1)^{k+1}\sin(kx)$ ja se suppenee funktion f_o(x) Fourier'n sarjaan.

funktion f(x)=x ja kosini-ja sinisarjojen kuvaajat

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle,axis equal, samples=300, xtick={-pi,-(1/2)*pi,0,(1/2)*pi, pi}, xticklabels={$-\pi$,$-\frac{\pi}{2}$,,$\frac{\pi}{2}$,$\pi$}, xlabel=$x$,xlabel=$x$,ylabel=$y$, legend pos = outer north east] \addplot [color=blue, opacity=1.0, thick, domain=-pi:pi] {pi/2-(4/pi)*cos(deg(x))-(4/(9*pi))*cos(3*deg(x))-(4/(25*pi))*cos(5*deg(x))}; \addplot [color=orange, thick, domain=-pi:pi] {2*sin(deg(x))-sin(2*deg(x))+(2/3)*sin(3*deg(x))-(1/2)*sin(4*deg(x))+(2/5)*sin(5*deg(x))}; \addplot [color=green!70!black, thick, domain=0:pi] {x}; \addplot [color=red, thick, dashed, domain=-pi:0] {-x}; \addplot [color=black, thick, dashed, domain=-pi:0] {x}; \legend{$C_5(x)$,$S_5(x)$,$f(x)$,$f_e(x)$,$f_o(x)$} \end{axis} \end{tikzpicture}$

Yllä olevasta kuvasta nähdään, että kosinisarja antaa paremman approksimaation funktiolle f(x) pienemmällä kertaluvulla kuin sinisarja.

# parseval

Parsevalin lause

Olkoon funktio f(x) määritelty välillä [-L, L] ja se toteuttaa Dirichlet'n ehdot tällä välillä.

Tällöin $\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\left|f(x)\right|^2\dx = \sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2$ ja $\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\left|f(x)\right|^2\dx = \left(\frac{a_0}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2 + b_k^2\right),$ missä c_k on kompleksisen Fourier'n sarjan keroimet ja a_k, b_k ovat reaalisen Fourier'n sarjan keroimet.

Esimerkki. Laske sarjan $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}$ summa Parsevalin lauseen avulla.

Ratkaisu.

Aikaisemmin laskettiin funktion f(x)=x^2 Fourier'n sarja välillä $[-\pi,\pi]$ ja huomattiin, että sen kertoimet ovat verrannollisia $\frac{1}{k^2}$ kanssa. Koska Parsevalin lauseessa käsitellään Fourier'n sarjan kertoimien neliöitä, niin käyttämällä funktion Fourier'n sarjaa saadaan kertoimia jotka ovat verrannollisia $\frac{1}{k^4}$ kanssa. f(x) :n Fourier'n sarja on $F(x)= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}(-1)^k\cos(kx).$ Lasketaan nyt integraali $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)\right|^2\dx.$ $\begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)\right|^2\dx &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\dx\\ &= \frac{1}{2\pi}\intsub{\-\pi}{\pi}\frac{1}{5}x^5\\ &= \frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{5}\pi^5-\frac{1}{5}(-\pi)^5\right)\\ &= \frac{\pi^4}{5}. \end{aligned}$ Lasketaan seuraavaksi $\left(\frac{a_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2 + b_k^2\right).$ $\left(\frac{a_0}{2}\right)^2 = \left(\frac{\pi^2}{3}\right)^2 = \frac{\pi^4}{9}$ ja $\begin{aligned} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2 + b_k^2\right) &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\left(\frac{4}{k^2}(-1)^k\right)^2 + 0^2\right)\\ &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16}{k^4}\\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{k^4}. \end{aligned}$ Koska funktio f(x)=x^2 toteuttaa Dirichlet'n ehdot välillä $[-\pi,\pi],$ niin Parsevalin lauseen nojalla $\begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)\right|^2\dx &= \left(\frac{a_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k^2 + b_k^2\right)\\ \iff \quad & \frac{\pi^4}{5} = \frac{\pi^4}{9} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{k^4}\\ \iff \quad & \sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{k^4} = \frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9} = \frac{4\pi^4}{45}\\ \iff \quad & \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4} = \frac{\pi^4}{90}. \end{aligned}$ Siten sarjan $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}$ summa on $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4} = \frac{\pi^4}{90}.$

# fourierpython

Fourier'n approksimointi graafisesti (Python)

Python-ohjelma Fourier'n sarjalle.

# fourierpy