5. Potenssi ja juuri

5.1 Potenssi

Potenssi on kertolaskun lyhennetty merkitsemistapa silloin, kun samaa lukua kerrotaan itsellään useamman kerran.

Potenssi

Olkoon positiivinen kokonaisluku ( n=1, 2, 3, ... ). Luvun :s potenssi (Lue: " potenssiin ") on tulo $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{$n$ kappaletta}}$

Lukua kutsutaan kantaluvuksi ja lukua eksponentiksi. Lisäksi a^1=a .

5.1.1 Esimerkki

Laske

neliön, jonka sivun pituus on pinta-ala.

kuution, jonka särmän pituus on tilavuus.

Ratkaisu:

Neliön pinta-ala saadaan kannan ja korkeuden tulona, joka voidaan ilmaista potenssin avulla:

$A=6^2=6\cdot6=36$
Kuution tilavuus saadaan särmien tulona, joka voidaan ilmaista potenssin avulla: $V=2^3=2\cdot2\cdot2=8$

Luvun toista potenssia kutsutaan luvun neliöksi ja kolmatta luvun kuutioksi.

5.1.2 Esimerkki

Eetu voitti veikkaamalla 6 000 euroa, jotka hän päätti sijoittaa indeksirahastoihin. Asiantuntija arvioi, että Eetu saisi $6,5\%$ :n vuotuisella korolla voittoa. Kuinka paljon Eetun rahaston arvo on vuoden kuluttua jos oletetaan, että vuotuinen korko säilyy?

Ratkaisu:

Indeksirahasto tuottaa vuodesa $6,5\%$ pääomasta, joten rahaston arvo kasvaa $106,5\%$ :iin. Rahaston arvo kasvaa siis vuodessa 1,065 -kertaiseksi, joten yhden vuoden kuluttua Eetun pääoman arvo voidaan laskea:

$1,065\cdot6000$ (euroa)

Korkoprosentti säilyy vakiona, joten vastaavasti myös kahden vuoden kuluttua rahaston arvo kasvaa 1,065 -kertaiseksi:

$\underbrace{1,065\cdot 1,065}_{\text{$2$ kappaletta}}\cdot6000=1,065^2\cdot6000$

Vastaavasti kolmen vuoden kuluttua rahaston arvo on

$\underbrace{1,065\cdot 1,065\cdot1,065}_{\text{$3$ kappaletta}}\cdot6000=1,065^3\cdot6000$

20:n vuoden kuluttua rahaston arvo on

$\underbrace{1,065\cdot 1,065\cdot ... \cdot 1,065}_{\text{$20$ kappaletta}}\cdot6000=1,065^{20}\cdot6000$ = $21141,87038\approx21141,87$ (euroa)

Vastaus: :n vuoden kuluttua Eetun rahaston arvo on 21141,87 euroa.

Rahalaskut pyöristetään aina sentin tarkkuudella ellei toisin mainita.

Jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on

parillinen, niin potenssin arvo on positiivinen
pariton, niin potenssin arvo on negatiivinen

5.1.3 Esimerkki

Laske

$(-1)^{2500}$

Ratkaisu:

$(-3)^2=\underbrace{(-3)\cdot(-3)}_{2\text{ kpl, parillinen}}=9$
$(-2)^3=\underbrace{(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)}_{3\text{ kpl, pariton}}=-8$
$-5^2=-5\cdot5=-25$ (Kyseessä ei ole negatiivisen luvun potenssi, vaan positiivisen luvun potenssi)
$(-1)^{2500}=\underbrace{(-1)\cdot(-1)\cdot ... \cdot(-1)}_{2500\text{ kpl, parillinen}}=1$

Suuria lukuja on tapana ilmaista ns. kymmenpotenssimuodossa. Esimerkiksi, kun syötetään laskimeen luku $5^{16}$ , niin laskin antaa sen mitä todennäköisimmin muodossa $5^{16}=152587890625\approx1 \underbrace{50000000000}_{11\text{kpl}}=1,5\cdot10^{11}$ , koska luku on liian suuri laskimen näytölle.

Kymmenpotenssimuoto (suuret luvut)

Suuri luku voidaan merkitä kymmenpotenssimuodossa $a\cdot10^n$ , missä $1 \leq a<10$ ja on positiivinen kokonaisluku.

5.1.4 Esimerkki

Ilmaise kolmen numeron tarkkuudella kymmenpotenssimuodossa

Suomen väkiluku 5 518 000
maapallon ympärysmitta km
valon nopeus tyhjiössä 299 792 458 m/s

Ratkaisu:

a) $\begin{align*} &5 \underbrace{518 000}_{6\text{kpl}} && \text{Siirretään pilkkua 6 numeroa vasemmalle} \\ &= 5,518 000 \cdot 10^6\ && \text{Pyöristetään kolmen numeron tarkkuuteen}\\ &\approx 5,52 \cdot 10^6 && \\ \end{align*}$

b) $\begin{align*} &4 \underbrace{0000}_{4\text{kpl}} && \text{Siirretään pilkkua 4 numeroa vasemmalle} \\ &= 4,0000 \cdot 10^6\ && \text{Pyöristetään kolmen numeron tarkkuuteen}\\ &\approx 4,00 \cdot 10^4 \text{(km)}&& \\ \end{align*}$

c) $\begin{align*} &2 \underbrace{99 792 458}_{8\text{kpl}} && \text{Siirretään pilkkua 8 numeroa vasemmalle} \\ &= 2,99792458 \cdot 10^8\ && \text{Pyöristetään kolmen numeron tarkkuuteen}\\ &\approx 3,00 \cdot 10^8 \text{(m/s)} && \\ \end{align*}$

Tehtäviä

5.2 Potenssin laskusääntöjä

5.2.1 Esimerkki

Sievennä

$4^2\cdot4^3$
$3a^4\cdot(-2a^3)$

Ratkaisu:

$4^2\cdot4^3=\underbrace{4\cdot 4}_{\text{$2$ kappaletta}} \cdot \underbrace{4\cdot 4\cdot4}_{\text{$3$ kappaletta}}=4^{2+3}=4^5$
$a^2a^4=\underbrace{a\cdot a}_{\text{$2$ kappaletta}} \cdot \underbrace{a\cdot a\cdot a \cdot a}_{\text{$4$ kappaletta}}=a^{2+4}=a^6$
$3a^4\cdot(-2a^3)=\underbrace{3\cdot(-2)}_{-6}\cdot \underbrace{a^4a^3}_{a^7}=-6a^{4+3}=-6a^7$

Saman kantaluvun potenssien tulo on yhtä suuri kuin saman kantaluvun potenssi, jonka eksponentti on eksponenttien summa.

Samankantaisten potenssien tulo

$a^ma^n=a^{m+n}$

5.2.2 Esimerkki

Sievennä

$\dfrac{4^5}{4^2}=\dfrac{4\cdot4\cdot4\cdot\cancel{4}\cdot\cancel{4}}{\cancel{4}\cdot\cancel{4}}=4^{5-2}=4^3$
$\dfrac{(-3)^7}{(-3)^5}=\dfrac{(-3)\cdot(-3)\cdot\cancel{(-3)}\cdot\cancel{(-3)}\cdot\cancel{(-3)}\cdot\cancel{(-3)}\cdot \cancel{(-3)}} {\cancel{(-3)}\cdot\cancel{(-3)}\cdot\cancel{(-3)}\cdot\cancel{(-3)}\cdot\cancel{(-3)}}=(-3)^{7-5}=(-3)^2$
$\dfrac{y^7}{y^3}=\dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot \cancel{y}\cdot \cancel{y}\cdot \cancel{y}}{\cancel{y}\cdot \cancel{y}\cdot \cancel{y}}=y^{7-3}=y^4$

Saman kantaluvun potenssien osamäärä on yhtä suuri kuin saman kantaluvun potenssi, jonka eksponentti on eksponenttien erotus.

Samankantaisten potenssien osamäärä $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

, missä $a\neq0$ , sillä nollalla jakoa ei ole määritetty reaaliluvuilla.

Entäs jos $\boldsymbol{n=m}$ eli miten tulkitaan potenssilauseke, missä eksponentti on ?

Tarkastellaan jakolaskua $\dfrac{a^n}{a^n}$ ( $a\neq0$ ) kahdella eri tavalla:

Samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännön nojalla:

$\dfrac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$

Supistamalla saadaan:

$\dfrac{a^n}{a^n}=\dfrac{\overbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot ... \cdot \cancel{a}}^{n \text{ kappaletta}}}{\underbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot ... \cdot \cancel{a}}_{n \text{ kappaletta}}} =1$

Merkitsemällä yhtälöt 1) ja 2) yhtäsuuriksi saadaan määritettyä eksponentti :

Eksponenttina nolla

${a^0}=1$

, missä $a\neq0$ .

Entäs jos $\boldsymbol{n>m}$ eli miten tulkitaan potenssilauseke, missä eksponentti on negatiivinen luku?

Tarkastellaan jakolaskua $\dfrac{a^m}{a^n}$ ( $a\neq0$ ja n>m ) kahdella eri tavalla. Lisäksi merkitään p=n-m :

Samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännön nojalla:

$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}=a^{-(n-m)}=a^{-p}$

Supistamalla saadaan ():

$\dfrac{a^m}{a^n}=\dfrac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{m \text{ kappaletta}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n \text{ kappaletta}}} =\dfrac{\overbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot ... \cdot \cancel{a}}^{m \text{ kappaletta}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{p \text{ kappaletta}}\cdot \underbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot ... \cdot \cancel{a}}_{m \text{ kappaletta}}} =\dfrac{1}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{p \text{ kappaletta}}}=\dfrac{1}{a^{p}}$

Merkitään yhtälöiden 1) ja 2) oikeat puolet yhtäsuuriksi, niin saadaan määritettyä negatiivinen eksponentti:

Eksponenttina negatiivinen kokonaisluku

${a^{-p}}=\frac{1}{a^{p}}$

, missä $a\neq0$ . Erityisesti $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$ . Eli luvun käänteislukua voidaan merkitä muodossa $a^{-1}$ .

5.2.3 Esimerkki

Laske tai sievennä

$4^{-3}$
$\dfrac{3^2}{3^4}$
$\dfrac{5x^2}{y^4}$ , $y\neq0$
$(1,43\cdot10^{999})^0$

Ratkaisu:

$4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}=\dfrac{1}{64}$
$\dfrac{3^2}{3^4}=3^{2-4}=3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$
$\dfrac{5x^2}{y^4}=5\cdot x^2 \cdot \dfrac{1}{y^4}=5x^2y^{-4}$
$(1,43\cdot10^{999})^0=1$

Erityisesti luonnontieteissä pieniä lukuja on tapana ilmaista kymmenpotenssimuodossa negatiivisen eksponentin avulla. Esimerkiksi:

$0,0003=3\cdot0,0001=3\cdot \dfrac{1}{10000}=3\cdot \dfrac{1}{10^4}=3\cdot10^{-4}$

Kymmenpotenssimuoto (pienet luvut)

Pieni luku voidaan merkitä kymmenpotenssimuodossa $a\cdot10^{-n}$ , missä $1 \leq a<10$ ja on positiivinen kokonaisluku.

5.2.4 Esimerkki

Kirjoita standardimuodossa

protonin massa $1,672 621 64 \cdot 10^{-27}$ kg
elektronin massa $9,109 382 15 \cdot 10^{-31}$ kg

Ratkaisu:

Luvussa $10^{-27}=\dfrac{1}{10^{27}}$ on desimaalipilkun jälkeen nollaa ennen ykköstä.

$1,672 621 64 \cdot 10^{-27}$ kg

= $1,67262164 \cdot 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001$ kg

= 0,000 000 000 000 000 000 000 000 00167262164 kg

Luvussa $10^{-31}=\dfrac{1}{10^{31}}$ on desimaalipilkun jälkeen nollaa ennen ykköstä.

$9, 109 382 15 \cdot 10^{-31}$ kg

= $9, 109 382 15 \cdot 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1$ kg

= 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 9 109 382 15 kg

5.2.5 Esimerkki

Sievennä

Ratkaisu:

$(3^2)^4=\underbrace{3^2\cdot 3^2\cdot 3^2 \cdot 3^2}_{\text{$4$ kappaletta}}=3^{2\cdot4}=3^8$
$(y^3)^2=\underbrace{y^3\cdot y^3}_{\text{$2$ kappaletta}}=y^{3\cdot2}=y^6$

Kun potenssi korotetaan potenssiin, niin eksponentiksi tulee eksponenttien tulo:

Potenssin potenssi $(a^{m})^n=a^{mn}$

5.2.6 Esimerkki

Laske tai sievennä

$(4\cdot3)^2$

Ratkaisu:

$(4\cdot 3)^2=(4\cdot 3)\cdot (4\cdot 3) = 4\cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 =4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 =4^2\cdot3^2=16\cdot9=144$
$(ax)^3=ax\cdot ax \cdot ax =aaa\cdot xxx =a^3x^3$
$(ax^3y)^2=ax^3y\cdot ax^3y =aa\cdot x^3x^3 \cdot yy =a^2x^6y^2$

Tulon potenssi on tulon tekijöiden potenssien tulo:

Tulon potenssi (ab)^n=a^nb^n

5.2.7 Esimerkki

Laske tai sievennä

$(\dfrac{12}{3})^2$
$(\dfrac{x}{6})^2$
$(\dfrac{a}{b})^3$

Ratkaisu:

$(\dfrac{12}{3})^2=\dfrac{12}{3}\cdot\dfrac{12}{3}=\dfrac{12\cdot12}{3\cdot3}=\dfrac{12^2}{3^2}=\dfrac{144}{9}=16$
$(\dfrac{x}{6})^2=\dfrac{x}{6}\cdot\dfrac{x}{6}=\dfrac{xx}{6\cdot6}=\dfrac{x^2}{36}$
$(\dfrac{a}{b})^3=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{aaa}{bbb}=\dfrac{a^3}{b^3}$

Osamäärän potenssi on jaettavan ja jakajan potenssien osamäärä:

Osamäärän potenssi

$\Big(\frac{a}{b}\Big)^n=\frac{a^n}{b^n}$

, missä $b\neq0$ .

Tehtäviä

5.3 Neliö- ja kuutiojuuri

5.3.1 Esimerkki

Olkoon neliön pinta-ala . Mikä on neliön sivun pituus?
Olkoon neliönmuotoisen lattian pinta-ala m. Mikä on lattian sivun pituus?

Ratkaisu:

Neliön pinta-ala saadaan sivun neliönä, eli nyt tulee pohtia sitä, että mikä luku toteuttaa yhtälön .

Tiedämme, että 3^2=9 ja toisaalta (-3)^2=9 . Siispä x=3 tai x=-3 . Kuitenkin, sivun pituus ei voi olla negatiivinen luku, joten vain x=3 kelpaa nyt yhtälön ratkaisuksi.

Vastaus: Sivun pituus on .

Vastaavasti kuin edellä, mutta nyt otamme myös yksiköt huomioon vastauksessa. Mikä luku toteuttaa yhtälön m. Tiedämme, että m) m ja toisaalta m $\text{m}^2$ , joten m tai m. Negatiivinen sivun pituus ei kelpaa.

Vastaus: Sivun pituus on m.

Toisin kuin fysiikassa, matematiikassa sallitaan myös ilman yksiköitä laskeminen, kunhan lopulliseen vastaukseen ilmoittaa yksiköt. Olisimme siis voineet tutkia suoraan yhtälöä ja ratkaista (tai ). Tämän jälkeen tulee lopulliseen ratkaisuun ilmoittaa m.

5.3.2 Esimerkki

Ratkaise yhtälö

Ratkaisu:

tai , sillä tai
tai , sillä
Ei ratkaisua, sillä luvun eksponentti on nyt parillinen luku . Tiedämme, että reaaliluku korotettuna parilliseen potenssiin on positiivinen reaaliluku.
, sillä

Neliöjuuri

Neliöjuuri vastaa kysymykseen, minkä ei-negativisen luvun neliö on ei-negatiivinen luku . Lukua kutsutaan $\textit{juurrettavaksi}$ ja luvun neliöjuuri merkitään $\sqrt{a}$ .

$(\sqrt{a})^2=a$

, missä $a\geq 0$ ja $\sqrt{a}\geq 0$ .

Miksi $a\geq0$ ?

Tiedämme, ettei minkään $^{*)}$ reaaliluvun parillinen potenssi voi olla negatiivinen luku, kuten esimerkin . c)-kohdassa huomasimme.

Miksi $\sqrt{a}\geq 0$ ?

Voisimme siis määritellä, että esimerkiksi $\sqrt{9}=3$ tai $\sqrt{9}=-3$ , sillä 3^2=(-3)^2=9 . Kuitenkin, neliöjuuren ( $^{*)}$ reaaliluvuilla) määritelmässä on tehty valinta, että neliöjuuri on vain ja ainoastaan ei-negatiivinen ratkaisu. Tämä valinta on tehty siksi, että neliöjuuri olisi yksikäsitteinen, eli voidaan sanoa yksikäsitteisesti esimerkiksi, että $\sqrt{9}=3$

*) Kompleksilukujen joukossa on määritelty ns. $\textit{imaginääriyksikkö}$ i^2=-1 . Tällöin kompleksilukualueella yhtälön x^2=-4 ratkaisu olisi x=2i tai x=-2i . Kompleksiluvut eivät kuulu lukion opetussuunnitelman perusteisiin, joten oletamme jatkossa lukujen olevan reaalilukuja.

5.3.3 Esimerkki

Neliön pinta-ala on m. Laske neliön sivun pituus.

Ratkaisu:

Olkoon "neliön sivun pituus (m)". Tällöin voidaan suoraan neliöjuuren avulla laskea

$x=\sqrt{15}=3,872983\approx3,9$ (m)

Vastaus: Neliön sivun pituus on noin 3,9 m.

Neliöjuurien tulo

Neliöjuurien tulo voidaan laskea tulojen neliöjuurena

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

, missä $a\geq 0$ ja $b\geq 0$ .

Todistus: Olkoot $a\geq0$ ja $b\geq0$ . Tällöin tulon potenssin laskusäännön nojalla

$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=ab$ .

$\sqrt{a}$ ja $\sqrt{b}$ ovat ei-negatiivisiä, joten $\sqrt{a}\sqrt{b}$ on neliöjuuren määritelmän mukainen luku, joka korotettuna toiseen on $ab=(\sqrt{ab})^2$ .

Neliöjuurien osamäärä

Neliöjuurien osamäärä voidaan laskea osamäärän neliöjuurena

$\dfrac{\sqrt{a}}{{\sqrt{b}}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

, missä $a\geq 0$ ja b > 0 .

Todistus: Olkoot $a\geq0$ ja b>0 . Tällöin osamäärän potenssin laskusäännön nojalla

$\Big(\dfrac{\sqrt{a}}{{\sqrt{b}}}\Big)^2=\dfrac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}=\dfrac{a}{b}$ .

$\sqrt{a}$ ja $\sqrt{b}$ ovat ei-negatiivisiä, joten $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ on neliöjuuren määritelmän mukainen luku, joka korotettuna toiseen on $\dfrac{a}{b}=\Big(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\Big)^2$ .

5.3.4 Esimerkki

Sievennä

$\sqrt{8}\sqrt{2}$
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}$
$\sqrt{4\cdot2}$
$\sqrt{1000}$

Ratkaisu:

$\sqrt{8}\sqrt{2}=\sqrt{8\cdot2}=\sqrt{16}=4$
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$
Jos juuri on irrationaalinen (jaksoton ja päättymätön luku), niin neliöjuuri sievennetään muotoon, missä yksittäisenä juurrettavana on mahdollisimman pieni kokonaisluku.

$\sqrt{4\cdot2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

$\sqrt{1000}=\sqrt{100}\sqrt{10}=10\sqrt{10}$

5.3.5 Esimerkki

Sievennä

$\sqrt{9}+\sqrt{16}$
$\sqrt{9+16}$
$\sqrt{\sqrt{25}+\sqrt{81}-5}$
$\sqrt{5}(3\sqrt{2}-4\sqrt{6})$

Ratkaisu:

$\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$
$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
$\sqrt{\sqrt{25}+\sqrt{81}-5}=\sqrt{5+9-5}=\sqrt{9}=3$
$\sqrt{5}(3\sqrt{2}-4\sqrt{6})=3\sqrt{5}\sqrt{2}-4\sqrt{5}\sqrt{6}=3\sqrt{5\cdot2}-4\sqrt{5\cdot6}=3\sqrt{10}-4\sqrt{30}$

5.3.6 Esimerkki

Olkoon kuution pinta-ala . Mikä on kuution särmän pituus?
Olkoon arpakuution tilavuus cm. Mikä on arvan särmän pituus?

Ratkaisu:

Kuution pinta-ala saadaan särmän kuutiona, eli nyt tulee pohtia sitä, että mikä luku toteuttaa yhtälön .

Tiedämme, että 4^3=64 . Siispä x=4 .

Vastaus: Särmän pituus on .

Vastaavasti kuin edellä, mutta nyt otamme myös yksiköt huomioon vastauksessa. Mikä luku toteuttaa yhtälön cm. Tiedämme, että cm) cm, joten cm

Vastaus: Särmän pituus on cm.

Kuutiojuuri

Kuutiojuuri vastaa kysymykseen, minkä luvun kuutio on luku . Luvun kuutiojuuri merkitään $\sqrt[3]{a}$ .

$(\sqrt[3]{a})^3=a$

Kuutiojuuren määritelmässä kelpaa kaikki reaaliluvut eli voi olla myös negatiivinen luku. Tämä siksi, että kuutiojuuri on myös näin määriteltynä yksikäsitteinen, koska parittoman negatiivisen luvun kuutio on negatiivinen ja vastaavasti parittoman positiivisen luvun kuutio on positiivinen. Edellä johdetut neliöjuuren laskusäännöt pätevät myös kuutiojuurella myös kun a<0 tai b<0 .

5.3.7 Esimerkki

Laske

$\sqrt[3]{27}$
$\sqrt[3]{-16}$
$-\sqrt[3]{-216}$
$\sqrt[3]{3}$ (likiarvo laskimella kahden desimaalin tarkkuudella)

Ratkaisu:

$\sqrt[3]{27}=3$ , sillä $3\cdot3\cdot3=27$
$\sqrt[3]{-16}=-2$ , sillä $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-16$
$-\sqrt[3]{-216}=-(-6)=6$ , sillä $-(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)=-(-216)=216$
$\sqrt[3]{3}\approx 1,44$

Tehtäviä

5.4 Potenssiyhtälö

5.4.1 Esimerkki

Ratkaise yhtälö

Ratkaisu

Yhtälön ratkaisu on luvun neliöjuuri, $\sqrt{4}=2$ , sillä . Kuitenkin, myös luvun vastaluku toteuttaa yhtälön, sillä .

Vastaus: x=2 tai x=-2

Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä ei ole olemassa reaalilukua, jonka toinen potenssi olisi negatiivinen luku.

Vastaus: Ei ratkaisua

Yhtälön ratkaisu on luvun kuutiojuuri, $\sqrt[3]{8}=2$ , sillä . Yhtälöllä ei ole muita ratkaisuja, sillä pariton potenssi säilyttää aina etumerkkinsä.

Vastaus: x=2

Yhtälön ratkaisu on luvun kuutiojuuri, $\sqrt[3]{-8}=-2$ , sillä . Yhtälöllä ei ole muita ratkaisuja, sillä pariton potenssi säilyttää aina etumerkkinsä.

Vastaus: x=-2

Neliöyhtälön ratkaiseminen

Neliöyhtälön x^2=a juurten lukumäärä riippuu luvusta .

Jos , niin yhtälön ratkaisut ovat

$x=\sqrt{a} \text{ tai } x=-\sqrt{a}.$

Jos , niin yhtälön ratkaisu on

x=0.

Jos , niin yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Jos $a \geq 0$ , niin neliöyhtälö voidaan ratkaista ottamalla puolittain neliöjuuri huomioiden ratkaisujen etumerkit.

5.4.2 Esimerkki

Ratkaise yhtälö 2x^2+3=17

Ratkaisu:

Vastaavasti kuin ensimmäisen asteen yhtälöissä, muokataan yhtälö muotoon, missä toisella puolella on muuttuja ja toisella vakio. Tämän jälkeen voidaan ottaa puolittain neliöjuuri, kun huomioidaan myös negatiivinen ratkaisu:

$\begin{align*} 2x^2+3 & = 17 && | -3 \\ 2x^2 & = 14 && | : 2 \\ x^2 & = 7 && | \sqrt{} \\ x &= \pm \sqrt{7} \end{align*}$

Vastaus: $x=\sqrt{7}$ tai $x=-\sqrt{7}$

5.4.3 Esimerkki

Amerikan standardimittaisen Coca-Cola tölkin pohjaympyrän pinta-ala on noin cm. Laske tölkin pohjaympyrän säteen pituus.

Ratkaisu:

Ympyrän pinta-ala saadaan kaavalla $A=\pi r^2$ , missä $r=\text{ympyrän säteen pituus}$ . Muodostetaan tehtävänannon tiedoista yhtälö:

$\begin{align*} \pi r^2 & = 92 && | : \pi \\ r^2 & = \dfrac{92}{ \pi } && | \sqrt{} \\ r &= \pm \sqrt{\dfrac{92}{\pi}} \end{align*}$

Pituus ei voi olla negatiivinen, joten huomioimme vain positiivisen ratkaisun:

$r=\sqrt{\dfrac{92}{\pi}}=5,411516380\approx5,4$ (cm).

Vastaus: Pohjaympyrän säde on noin 5,4 cm.

Kuutioyhtälön ratkaiseminen

Kuutioyhtälö x^3=a

ratkaisu on $x=(\sqrt[3]{a})$ .

Neliöjuuresta poiketen, kuutioyhtälön ratkaisu on yksikäsitteinen, sillä positiivisen luvun kuutio on positiivinen luku ja negatiivisen luvun kuutio on negatiivinen luku.

5.4.4 Esimerkki

Ratkaise yhtälö 3x^3+7=-4 .

Ratkaisu:

Vastaavasti kuin neliöyhtälössä, muokataan yhtälö muotoon, missä toisella puolella on muuttuja ja toisella vakio. Tämän jälkeen voidaan ottaa puolittain kuutiojuuri, mutta nyt ratkaisuja on vain yksi:

$\begin{align*} 3x^3+7 & = -4 && | -7 \\ 3x^3 & = -11 && | : 3 \\ x^3 & = -\dfrac{11}{3} && | \sqrt[3]{} \\ x &= \sqrt[3]{-\dfrac{11}{3}}=- \sqrt[3]{\dfrac{11}{3}} \end{align*}$

Vastaus: $x=- \sqrt[3]{\dfrac{11}{3}}$

5.4.5 Esimerkki

Vuoden 2018 jalkapallon mm-kisojen kisapallo oli Adidas Telstar. Telstarin tilavuus on noin 5,6 litraa. Mikä on Telstarin halkaisijan pituus senttimetreinä?

Ratkaisu:

Pallon tilavuus saadaan kaavalla $V=\dfrac{4\pi r^3}{3}$ , missä $r=\text{pallon säteen pituus}$ . Muodostetaan tehtävänannon tiedoista yhtälö ja ratkaistaan pallon säde:

$\begin{align*} \dfrac{4\pi r^3}{3} & = 5,6 && | \cdot 3 \\ 4\pi r^3 & = 3\cdot 5,6 && | : 4\pi \\ r^3 & = \dfrac{3\cdot 5,6}{4\pi} && | \sqrt[3]{} \\ r &= \sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 5,6}{4\pi}} \text{ (dm)} \end{align*}$

Pallon halkaisija on kaksi kertaa säteen suuruinen, joten

$h=2\cdot\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 5,6}{4\pi}} \text{ dm } = 2,203246733 \text{ dm }\approx 22$ cm

Vastaus: Pallon halkaisija on noin cm.

Tehtäviä