2. Yhtälö


Tässä kappaleessa käsitellään yhtälöitä. Keskitymme ensimmäisen asteen yhtälöiden sekä yhtälöparien ratkaisemiseen. Kappaleeseen liittyvät tehtävät omat omalla sivullaan.

Aluksi palautetaan mieleen yhtälön käsite alla olevan yhtälövaa'an avulla. Vie muuttujia kuvaavia laatikoita ja ilmapalloja vaa'alle ja pyri saamaan vaaka tasapainoon ohessa olevan yhtälön mukaan.

Kun vaa'an molempien puolien sisältö painaa yhtä paljon, vaaka on tasapainossa. Vaaka säilyttää tasapainonsa, jos sen molemmilta puolilta poistetaan tai molemmille puolille lisätään samanpainoiset kappaleet. Myös yhtälölle voidaan tehdä vastaavat toimenpiteet.

2.1 Peruskäsitteitä


Merkittyä laskutoimitusta tai pelkkää lukua kutsutaan lausekkeeksi. Lausekkeita ovat esimerkiksi


Kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi, muodostuu yhtälö. Yhtälöitä ovat esimerkiksi


Yhtälöissä esiintyy yleensä yksi tai useampia muuttujia, joita merkitään kirjaimilla. Yllä olevissa yhtälöissä muuttujia ovat , ja . Niitä muuttujan arvoja, jotka toteuttavat yhtälön, sanotaan yhtälön ratkaisuiksi tai yhtälön juuriksi.

2.1.1 Esimerkki: onko kysytty luku yhtälön ratkaisu


2.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö


Ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan saattaa muotoon

jossa .

Ensimmäisen asteen yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu.

2.2.1 Todistus: ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu

2.2.2 Esimerkki: ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen


Jos ensimmäisen asteen yhtälö halutaan ratkaista , piirretään suora ja katsotaan kuvaajasta kohta, jossa suora leikkaa akselin. Siinä kohdassa

2.2.3 Esimerkki: ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen graafisesti


Yhtälön ratkaiseminen perustuu siihen, että yhtälölle tehtävät toimenpiteet pitävät yhtälön yhtäpitävänä eli yhtälön ratkaisut pysyvät samoina. Yllä olevissa esimerkeissä jo jaoimme ja vähensimme yhtälöä puolittain. Yleiset yhtälön ratkaisun toimenpiteet ovat esitelty kertauksen vuoksi alapuolella.

Yhtälön ratkaiseminen


1) Puolittain lisääminen tai vähentäminen



2) Puolittain kertominen ja jakaminen nollasta eroavalla luvulla



3) Yhtälön puolien vaihtaminen keskenään

Näiden ominaisuuksien avulla voimme johtaa yhtälön ratkaistuun muotoon, missä yhtälön toisella puolella on ratkaistavissa oleva muuttuja ja toisella lukuarvo. Näin saadaan määritettyä yhtälön kaikki juuret.


Huom! Yhtäpitävyyttä merkitään ekvivalenssinuolella . Ekvivalenssinuolta tulee käyttää, jos keskenään yhtäpitävät yhtälöt kirjoitetaan rinnakkain. Tässä kirjassa yhtälöitä ratkaistaan pääsääntöisesti allekkain ja ekvivalenssinuolet jätetään merkitsemättä.

2.2.4 Esimerkki: yhtälön ratkaiseminen ja ratkaisun tarkistus

2.2.5 Esimerkki: ratkaisuja ei yhtään tai ääretön määrä


Huom! Esimerkin 3.2.3 yhtälöt eivät voi olla ensimmäisen asteen yhtälöitä, sillä ensimmäisen asteen yhtälöllä on aina täsmälleen yksi ratkaisu.

Ristiin kertominen


Olkoon ja . Tällöin voidaan sieventää

Eli voidaan kertoa ristiin tällaista muotoa olevat yhtälöt.

2.2.6 Esimerkki: murtoyhtälöiden ratkaisemista

2.3 Yhtälö sovelluksissa


Usein matemaattisten ongelmien ratkaisemissa käytetään hyväksi yhtälöä. Nyt erona edellisiin esimerkkeihin yhtälö on laadittava itse. Ennen yhtälön laatimista täytyy vielä valita muuttuja. Muuttujaksi kannattaa yleensä valita tehtävänannossa kysytty seikka.

2.3.1 Esimerkki: ongelmanratkaisu yhtälön avulla

2.3.2 Esimerkki: kesätyöpalkan ratkaiseminen

2.4 Yhtälöpari


Yhtälöpari


Yhtälöpari muodostuu kahdesta yhtälöstä, esimerkiksi

\[\begin{cases} 2x-y+3=0 \\ -4x+2y+1=0 \end{cases}\]


Yhtälöparin ratkaisu on lukupari , joka toteuttaa molemmat yhtälöt. Muuttujia voidaan merkitä myös muilla kirjaimilla.

Yhtälöparin ratkaisemisessa käsin voidaan käyttää joko sijoitus- tai yhteenlaskukeinoa. Nämä menetelmät esitellään seuraavissa esimerkeissä.

2.4.1 Esimerkki: yhtälöparin ratkaiseminen sijoituskeinolla

2.4.2 Esimerkki: yhtälöparin ratkaiseminen yhteenlaskukeinolla

2.4.3 Esimerkki: yhtälöparin ratkaiseminen Geogebralla


Yhtälöparin graafinen tarkastelu saattaa auttaa hahmottamaan paremmin tilanteen ja ratkaisujen lukumäärän. Yhtälöparin ratkaisuja ovat ne pisteet, jotka ovat kummankin yhtälön kuvaajalla.


# V7


Piirretään edellisten esimerkkien yhtälöpari koordinaatistoon. Yhtälöiden kuvaajat ovat suoria ja niiden piirtämisen helpottamiseksi ratkaistaan yhtälöt muuttujan suhteen.


 
 


Suorien leikkauspiste on ainoa piste, joka toteuttaa molemmat yhtälöt, joten se on yhtälöparin ainoa ratkaisu.

2.4.4 Esimerkki: yhtälöparilla ei ratkaisua

2.4.5 Esimerkki: yhtälöparin ratkaisuna kaikki suoran pisteet

2.4.6 Esimerkki: yhtälöpari sovelluksessa

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.