1. Luvut ja laskutoimitukset

Ensimmäisessä kappaleessa käsitellään lukuja sekä niillä tehtäviä laskutoimituksia. Käymme läpi lukualueet sekä palautamme mieleen yläkoulusta tutut merkkisäännöt ja laskulait. Lisäksi kerrataan murtoluvuilla tehtävät laskutoimitukset. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.


 
 

1.1 Lukualueet

Matematiikassa luvut muodostavat perustan laskutoimituksille. Nykyinen lukukäsite on pitkällisen, vuosituhansia kestäneen kehityksen tulosta, eikä pystytä sanomaan, onko tämä kehitys jo päättynyt.

Jo ensimmäisellä peruskoulun vuosiluokalla opimme lukumäärää ilmaisevat luonnolliset luvut. Miksi näitä on sitten lähdetty laajentamaan kohti reaalilukuja? Esimerkiksi Rene Descartesin oli vaikea hyväksyä lukualueen laajennusta luonnollisista luvuista kokonaisluvuiksi ja hän kutsuikin negatiivisia lukuja "vääriksi luvuiksi". Yksi lähestymistapa lukulaajennuksille on yhtälöopillinen: Millainen yhtälö on ratkeamaton kyseisellä lukualueella, jota haluamme laajentaa? Esimerkiksi luonnollisten lukujen tapauksessa yhtälö on ratkeamaton, sillä ei kuulu luonnollisiin lukuihin. Lisäämällä negatiiviset luvut luonnollisten lukujen joukkoon saamme muun muassa edellä mainitun yhtälön ratkeavaksi.

Lukualueen laajentaminen on näin edennyt luonnollisista luvuista aina reaalilukuihin asti. Uudet käyttöön otetut luvut on liitetty entisiin, jolloin uusi lukujoukko sisältää aikaisemmat lukujoukot.

Lukualueet


  • Luonnolliset luvut
  • Kokonaisluvut
  • Rationaaliluvut
  • Reaaliluvut on rationaalilukujen lukulaajennus, joka saadaan lisäämällä irrationaalilukujen joukko rationaalilukuihin. Irrationaaliluvut ovat lukuja, joita ei voida esittää kahden kokonaisluvun osamääränä esim. , ja jaksoton desimaaliluku . Käytännössä katsoen reaalilukuja ovat siis kaikki ne luvut, joita on peruskoulun matematiikassa käytetty.
 
 

1.1.1 Esimerkki: lukualueet

1.2 Laskulait

Palautetaan mieleen tutut merkkisäännöt ja laskulait. Kerto- ja jakolaskussa kahden samanmerkkisen luvun laskutoimitus on positiivinen ja kahden erimerkkisen negatiivinen. Tämän seurauksena kerto- ja jakolaskun tulos on positiviinen, kun negatiivisten tekijöiden lukumäärä on parillinen. Vastaavasti kerto- ja jakolaskun tulos on negatiivinen, kun negatiivisia tekijöitä on pariton määrä.

Merkkisäännöt


  1. ja
  2. ja

1.2.1 Esimerkki: merkkisäännöt


Laskujärjestys noudattaa tuttua kaavaa.

Laskujärjestys


  1. Lasketaan sulut
  2. Lasketaan kerto- ja jakolaskut
  3. Lasketaan yhteen- ja vähennyslaskut

1.2.2 Esimerkki: laskujärjestys


Oheiselta videolta löytyy tarvittaessa lisää esimerkkejä laskujärjestyksestä sekä negatiivisilla luvuilla laskemisesta.


Peruslaskutoimituksista yhteenlasku ja kertolasku noudattavat seuraavia laskulakeja.

Laskulait


Olkoon . Tällöin ovat voimassa seuraavat laskulait:


Vaihdanta- ja liitäntälakien takia luvut voidaan laskea yhteen tai kertoa missä järjestyksessä tahansa. Sulkumerkit voidaan siis jättää pois ja merkitä vain ja . Sopivalla ryhmittelyllä laskutehtävä saadaan usein yksinkertaistettua.

1.2.3 Esimerkki: laskulait


Vastaluku ja käänteisluku


Kahta lukua, joiden summa on nolla, sanotaan toistensa vastaluvuiksi. Luvun vastaluku on koska . Jokaisella reaaliluvulla on vastaluku.


Kahta lukua, joiden tulo on yksi, sanotaan toistensa käänteisluvuiksi. Luvun käänteisluku on koska . Kaikilla muilla reaaliluvuilla paitsi nollalla on käänteisluku.

1.2.4 Esimerkki: vasta- ja käänteisluku

1.3 Itseisarvo


Reaaliluvun itseisarvo määritellään paloittain, erikseen ei-negatiivisille ja negatiivisille luvuille.

Itseisarvo


Reaaliluvun itseisarvo on

Positiivisen luvun ja nollan itseisarvo on siis luku itse. Esimerkiksi ja

Negatiivisen luvun itseisarvo on sen vastaluku. Esimerkiksi


Geometrisesti tulkittuna itseisarvo kertoo sen etäisyyden lukusuoralla luvusta . Tätä on havainnollistettu oheisella appletilla. Liikuttamalla sinistä pistettä näet, kuinka mustalla palkilla kuvattu itseisarvo muuttuu. Koska kyseessä on etäisyys, niin kaikilla :n arvoilla.

1.3.1 Esimerkki: luvun itseisarvo


Itseisarvolle pätee seuraavat ominaisuudet.

Itseisarvon ominaisuuksia


1.3.2 Esimerkki: itseisarvolausekkeiden sieventämistä

1.4 Murtoluvut

Kerrataan murtolukuihin liittyvät nimitykset ja laskutoimitukset.


Colorado Phet -simulaatiot
Colorado Phet -simulaatiot


Murtoluku on kahden kokonaisluvun osamäärä , missä jaettavaa sanotaan osoittajaksi ja jakajaa nimittäjäksi, ja osoittaja ei ole jaollinen jakajalla. Murtoluku on siis rationaaliluku, joka ei supistu kokonaisluvuksi.


Sekaluvut ovat murtoluvun vaihtoehtoinen esittämistapa. Jotta murtoluku voidaan esittää sekalukuna, nimittäjän tulee olla suurempi kuin osoittaja. Esimerkiksi murtoluku voidaan esittää sekalukuna .

1.4.1 Esimerkki: murtolukujen suuruusjärjestys

1.4.2 Esimerkki: sekaluvut


Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku




1.4.3 Esimerkki: yhteen- ja vähennyslasku murtoluvuilla


Murtolukujen kertolasku


1.4.4 Esimerkki: kertolasku murtoluvuilla


Murtolukujen jakolasku


1.4.5 Esimerkki: jakolasku murtoluvuilla

1.4.6 Esimerkki: pizzan jakaminen


Murtoluvut on tapana sieventää muotoon, jossa osoittajana ja nimittäjänä on mahdollisimman pienet kokonaisluvut. Tämän voi allekirjoittaneen mielestä tehdä helpoiten niin, että jakaa ensin osoittajan sekä nimittäjän alkutekijöihin, jonka jälkeen supistaa yhteiset tekijät pois.

Luvun jakamisella alkutekijöihinsä tarkoitetaan sen kirjoittamista alkulukujen tulona. Alkuluku on lukua suurempi luonnollinen luku, joka on jaollinen vain ja ainoastaan itsellään ja luvulla .

Esimerkiksi on alkuluku, koska se ei ole jaollinen muilla kokonaisluvuilla kuin ja , mutta ei ole alkuluku, sillä se on jaollinen myös luvuilla ja .

1.4.7 Esimerkki: murtolukujen sieventäminen alkulukujen avulla

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.