1. Lausekkeilla laskeminen

Ensimmäisessä kappaleessa käsitellään lausekkeita ja polynomeja. Käymme läpi polynomien peruskäsitteitä sekä lausekkeilla ja polynomeilla tehtäviä laskutoimituksia. Kappaleeseen liittyvät tehtävät ovat omalla sivullaan.


1.1 Lauseke ja polynomi


MAY1-kurssilla opittiin, että merkittyä laskutoimitusta tai pelkkää lukua kutsutaan lausekkeeksi. Lausekkeita ovat esimerkiksi

Lausekkeista osa luokitellaan polynomeiksi.

Polynomi


Polynomi on muuttujista ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla aikaansaatu lauseke.

Polynomin yhteenlaskettavia kutsutaan termeiksi. Jokainen termi koostuu kertoimesta ja muuttujaosasta.

Termin muuttujaosan eksponentti on termin asteluku. Jos eksponentti on nolla, niin termi on pelkkä luku eli vakiotermi. Polynomin asteluku määräytyy sen muuttujan mukaan, jolla on suurin eksponentti.

1.1.1 Esimerkki: polynomien peruskäsitteet


Polynomeja luokitellaan myös termien lukumäärän mukaan:

  • Jos termejä on yksi, polynomia sanotaan monomiksi.
  • Jos termejä on kaksi, polynomia sanotaan binomiksi.
  • Jos termejä on kolme, polynomia sanotaan trinomiksi.

Edellisen esimerkin polynomi oli siis trinomi. Jos termejä on enemmän kuin kolme, polynomilla ei ole erityistä nimeä.


Polynomeja nimetään yleensä isoilla kirjiamilla, usein kirjaimilla tai . Kun polynomin muuttujan paikalle asetetaan jokin lukuarvo, saadaan laskettua polynomin arvo.

1.1.2 Esimerkki: polynomin arvon laskeminen

1.1.3 Esimerkki: polynomin arvon laskeminen ohjelmistolla

1.2 Lausekkeiden ja polynomien laskutoimituksia


Suureet, joilla on sama yksikkö, voidaan laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Esimerkiksi voidaan laskea mutta ei .

Jos polynomin termien muuttujaosat ovat samat, ne voidaan yhdistää. Tällaisia termejä kutsutaan samanmuotoisiksi.

Polynomien yhteen- ja vähennyslasku


Yhteenlaskussa samanmuotoiset termit yhdistetään laskemalla termien kertoimet yhteen.


Vähennyslaskussa samanmuotoiset termit yhdistetään vähentämällä termien kertoimet toisistaan.


Muuttujaosa säilyy ennallaan.

1.2.1 Esimerkki: polynomien yhteen- ja vähennyslasku


Lausekkeiden ja polynomien kertolaskuissa sovelletaan MAY1-kurssilta tuttuja vaihdanta-, liitäntä- ja osittelulakeja.

Vaihdantalaki Liitäntälaki Osittelulaki


Lausekkeen kertominen luvulla


Kun lauseketta kerrotaan luvulla, jokainen termi kerrotaan luvulla erikseen ja saadut tulot lasketaan yhteen.

1.2.2 Esimerkki: geometrinen perustelu lausekkeen kertomiselle luvulla

1.2.3 Esimerkki: lausekkeen kertominen luvulla


Monomilla kertominen


Kahden monomin tulossa kertoimet kerrotaan keskenään ja muuttujaosat keskenään.


Monomin ja polynomin tulossa monomilla kerrotaan jokainen polynomin termi.

Muuttujaosien kertomisessa keskenään sovelletaan samankantaisten potenssien laskusääntöjä. Samankantaisten potenssien tulossa eksponentit lasketaan yhteen.

1.2.4 Esimerkki: monomilla kertominen


Kahden polynomin tulo


Kahden polynomin tulossa kerrotaan kertojapolynomin jokaisella termillä kerrottavan kaikki termit ja lasketaan saadut tulot yhteen.

1.2.5 Esimerkki: geometrinen perustelu kahden polynomin tulolle

1.2.6 Esimerkki: kahden polynomin tulo


Jos lasku sisältää useita eri laskutoimituksia, sievennettäessä täytyy noudattaa tuttua laskujärjestystä.

Laskujärjestys


  1. Lasketaan sulut.
  2. Lasketaan kerto- ja jakolaskut sekä potenssiin korotukset.
  3. Lasketaan yhteen- ja vähennyslaskut.

1.2.7 Esimerkki: useampia laskutoimituksia

1.3 Lausekkeet ongelmien ratkaisussa

1.3.1 Esimerkki: suorakulmion piiri

1.3.2 Esimerkki: päiväkodin ongelma

These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.