Sarjat

Lukujono

Johdanto. Mikä on lukujono?

Lukujonolla tarkoitetaan järjestettyä, päättymätöntä listaa alkioista. Lukujonoja ovat esimerkiksi

$0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \dots$
$0,\, 1,\, 0,\, 1,\, 0,\, 1,\, \dots$
$1,\, 3,\, 5,\, 7,\, \dots$
$1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 8,\, \dots$
$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$
$1,\, -3,\, 5,\, -7,\, \dots$

Lukujonoa merkitään $(a_n)= a_1, \, a_2, \, a_3, \dots,$ missä $a_1,\, a_2, \, a_3, \, \dots$ on nimeltään jonon "ensimmäinen, toinen, kolmas, $\dots$ ännäs" termi. Muita yleisesti käytössä olevia nimiä termille on alkio tai jäsen.

Usein lukujono noudattaa jotain tiettyä sääntöä, joka on helpohko keksiä. Sääntö kirjoitetaan usein yleisen termin a_n avulla.

Sääntö	Lukujono	Joukon nimi
	$1,\, 3,\, 5,\, \dots$	positiiviset parittomat kokonaisluvut
	$2,\, 4,\, 6,\, \dots$	positiiviset parilliset kokonaisluvut

Lukujonon suppeneminen ja hajaantuminen

Lukujono (a_n) suppenee, jos on jokin raja-arvo jota jonon alkiot a_n lähestyvät. Tätä merkitään $\lim_{n\to \infty} a_n = L.$ Jos lukujono ei suppene, se hajaantuu.

Esimerkki. Suppenevia ja hajaantuvia jonoja.

Jono $\left(\frac{1}{n}\right)$ suppenee, sillä $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0}.$
Jono $\left(\frac{2n}{n^2-1}\right)$ suppenee, sillä $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\frac{2n}{n^2-1}=0}.$
Jono $5,\, 5, \, 5, \, \dots$ suppenee (vakiojono), koska $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}5 = 5}.$
Jono $\left( \frac{n-1}{n} \right)$ suppenee, koska $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}}\frac{n-1}{n}=\lim_{n \to \infty}1-\frac{1}{n}=1.$
Jono $0,\, 1,\, 0,\, 1,\, \dots$ hajaantuu.
Jono $1,\, 3,\, 5,\,7,\, \dots$ hajaantuu.
Jono $\left(\frac{n}{2}\right)$ hajaantuu, sillä $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2}=\infty}.$

# aritmeettinen

Aritmeettinen jono ja sarja

Aritmeettinen jono on sellainen lukujono, jonka seuraava termi saadaan edellisen termin avulla lisäämällä siihen jokin vakio Esimerkiksi lukujono $(a_n) = 1,\, 4,\, 7,\, 10,\, \dots$

on aritmeettinen, sillä kunkin kahden peräkkäisen termin erotus $a_{n+1} -a_{n}$ $4-1, \, 7-4,\, 10-7$ on sama vakio.

Aritmeettisen jonon yleinen termi on a_n=a_1+(n-1)d, missä a_1 on aritmeettisen jonon ensimmäinen termi ja on kahden peräkkäisen termin erotus.

Mutta miksi?

Aritmeettisen jonon yleinen termi a_n saadaan johdettua seuraavasti $\begin{align*} a_1 &= a_1 \\ a_2 &= a_1 + d \\ a_3 &= a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2d \\ a_4 &= a_3+ d = a_1+2d+d = a_1 + 3d \\ & \vdots \\ a_n &= a_1+(n-1)d, \end{align*}$ missä a_1 on aritmeettisen jonon ensimmäinen termi ja on kahden peräkkäisen termin erotus.

Aritmeettisen sarjan osasumma S_n lasketaan kaavalla $\begin{align*} S_n &= \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2+...+a_n \\&= n \frac{a_1+a_n}{2}. \end{align*}$

Mutta miksi?

Tarkastellaan äärellistä aritmeettista sarjaa $(a_n)=1,\,2,\,3,\, \dots,\, 49.$ Mikä on näiden lukujen summa?

Ryhmitellään termit uudelleen ja lasketaan ensimmäinen ja viimeinen termi yhteen, sitten toinen ja toiseksi viimeinen ja jatketaan kunnes kaikki parit on laskettu yhteen.

$\begin{align*} a_1 + a_{49} = 1 +49 &= 50 = 25+ 25\\ a_2 + a_{48} = 2 +48 &= 50= 25+25 \\ a_3 + a_{47} = 3 +47 &= 50= 25+25\\ \vdots \\ a_{24} + a_{26} = 24 +26 &= 50= 25+25\\ a_{25} &= 25. \end{align*}$

Huomataan, että saadaan 49 kappaletta lukuja 25 eli $49\cdot 25.$

Toisin sanoen, jonon summa saadaan, kun lasketaan ensimmäinen ja viimeinen termi yhteen, jaetaan tämä kahdella ja lopuksi kerrotaan termien lukumäärällä. Siis $S_{49}=\frac{1+49}{2}\cdot 49 = 25\cdot 49 =1225,$ joka yleistyy kaavaksi $S_n = n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}.$

Esimerkki. Aritmeettisen jonon termi ja osasumma.

Ratkaise aritmeettisen jonon $(a_n) = -7,\, -2,\, 3,\, \dots$

1. termi.
1. ensimmäisen termin summa.

Ratkaisu.

Selvitetään ensin vakio $d = a_n - a_{n-1}= -2 -( -7) = 5.$
Nyt $\begin{align*}a_{35} &= a_1+(n-1)d=-7+34\cdot 5\\&=-7+170 = 163.\end{align*}$
Käytetään aritmeettisen sarjan osasumman kaavaa: $\begin{align*} S_{35} &= \sum_{k=1}^{35} a_k = 35\cdot \frac{-7+163}{2}\\&=35\cdot \frac{156}{2}=35\cdot 78= 2730. \end{align*}$

# geometrinen

Geometrinen sarja

Johdanto. Mikä on geometrinen sarja?

Geometrisesti kehittyvissä tapahtumissa kahden peräkkäisen vaiheen suhde on vakio. Esimerkiksi kun bakteerien määrä viljelmässä kaksinkertaistuu tietyllä aikavälillä tai kun pallo pomppii ja se nousee jokaisella pompulla $\frac{2}{3}$ korkeudelle edellisestä pompusta, niin on kyse geometrisestä kehityksestä. Ajan kuluessa bakteerien määrä kasvaa rajatta, kun taas pomppujen korkeus lähenee nollaa.

Geometrisella sarjalla voidaan kuvata pallon kulkemaa matkaa seuraavasti:

$\begin{aligned} \text{pallon kulkema matka} \ =&\ \text{pudotuskorkeus} \ \\&\ + \sum_{n=1}^{\infty}\left[2\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\cdot\text{pudotuskorkeus}\right]. \end{aligned}$

Yleisesti geometrinen sarja on muotoa $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n \quad \text{tai} \quad \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1},$ missä on kerroin ja on suhdeluku.

# geomsarjansumma

Geometrisen sarjan summa

Geometrisen sarjan summa on $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \dfrac{a}{1-r}, \text{ kun } -1<r<1.$

Mutta miksi?

Geometrisen sarjan osasumma S_n on $S_n = \sum_{k=0}^{n}ar^k = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}.$ Kerrotaan $S_n \ r$ :llä ja vähennetään tämä S_n :stä, jolloin saadaan $\begin{aligned} S_n - \red{rS_n} =&\ (a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}) \\&- (\red{ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n}})\\ S_n(1-r) =&\ a- \red{ar^n}\\ S_n =&\ \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}. \end{aligned}$ Kun r>1, niin r^n kasvaa rajatta, kun kasvaa rajatta ja

kun r<1, niin r^n lähestyy nollaa, kun kasvaa rajatta.

Tästä nähdään, että geometrinen sarja suppenee kun |r|<1 ja sen summa on $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \dfrac{a}{1-r}.$

Esimerkki. Pomppivan pallon kulkema matka.

Tiputetaan pallo yhden metrin korkeudelta ja oletetaan, että pallo pomppaa kimmoisasti $\frac{2}{3}$ edellisen pompun korkeudesta. Pallon kulkemaa matkaa voidaan kuvata seuraavasti $\begin{aligned}s &= 1 + 2\cdot\frac{2}{3} + 2\cdot\frac{4}{9} + 2\cdot\frac{8}{27} + \dots (\operatorname{m})\\ &= 1 + \frac{4}{3}\blue{\left(1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \dots\right)} (\operatorname{m}) \end{aligned}$ Nyt sulkeissa oleva osa voidaan esittää geometrisena sarjana, jossa kerroin on 1 ja suhdeluku on $\frac{2}{3}.$ Koska suhdeluku on pienempää kuin 1, niin sarja suppenee ja saadaan $\begin{align*} \blue{\left(1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \dots\right)} &= \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n \\&= \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = 3. \end{align*}$

Siten pallon kulkema matka on $s = 1\operatorname{m} + \frac{4}{3}\cdot 3 \operatorname{m}= 1\operatorname{m} + 4\operatorname{m} = 5 \operatorname{m}.$

Todellisuudessa pallon kulkema matka on hieman pienempi, sillä tässä ei otettu huomioon pallon kokoa ja laskettiin mukaan todella pieniä pomppuja joita ei oikeasti tapahdu.

Esimerkki. Fotonien lukumäärä Boltzmann-jakauman avulla.

Todennäköisyys, että tietyssä fotonimoodissa on fotonia, saadaan Bolzmann-jakaumasta $p_n = \frac{1}{Z} \exp{\left(-\frac{n\hbar\omega}{k_BT}\right)}.$

Merkitään tässä eksponenttifunktion sisällä olevaa osaa $x = \frac{\hbar \omega}{k_BT}.$ Jotta todennäköisyydet olisivat normitettuja, eli $\sum_np_n=1,$ niin normituskerroin eli partitiofunktio on muotoa $Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-nx}.$ Tämä on geometrinen sarja ja sarjan summaSijoituksella $r=e^{-x}$ on

$Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-nx} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{e^x}\right)^{n} = \frac{1}{1-e^{-x}}. \qquad \left(\frac{1}{e^x}< 1, \, \text{sillä } \text{kaikilla } x>0 \quad e^x>1 \right)$

Tiedetään, että hiukkasten lukumäärän odotusarvolle pätee $\bar{n} = -\frac{\operatorname{d}}{\dx}(\ln Z).$

Nyt sijoittamalla ja derivoimalla sekä lopputulosta laventamalla saadaan $\begin{align*} \bar{n} &= -\frac{\operatorname{d}}{\dx}\ln\left(\frac{1}{1-e^{-x}} \right)= \frac{\operatorname{d}}{\dx}\ln({1-e^{-x}})\\ &= \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} =\frac{\red{e^x}\cdot e^{-x}}{\red{e^x} \cdot 1 -\red{e^{x}}\cdot e^{-x}} =\frac{1}{e^x-1} \\ &= \frac{1}{e^{\tfrac{\hbar \omega}{k_BT}}-1}, \end{align*}$ joka on fotonien lukumäärän keskiarvo.

Esimerkki. Partitiofunktion sarjaesitys kemiassa ja fysiikassa.

Molekulaarinen partitiofunktio on muotoa

$Z = \sum_{n=0}^{\infty} \exp \left(\frac{-E_n}{k_B T}\right),$

missä kaksiatomisen värähtelijän energiatilat ovat muotoa $E_n = h\nu\left(n+\frac{1}{2}\right).$

Geometrinen summa saadaan laskettua sijoituksella $x = \frac{h\nu}{k_B T}$ $\begin{align*} Z &= \sum_{n=0}^{\infty} \exp \left(\frac{-h\nu\left(n+\frac{1}{2}\right)}{k_B T}\right) \\&= \sum_{n=0}^{\infty} e^{-x\left(n+\frac{1}{2}\right)} = \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{e^{-\tfrac{x}{2}}}_{a} \cdot \underbrace{e^{-x^n}}_{r^n} \\&= \sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \dfrac{a}{1-r} = \frac{e^{-\tfrac{x}{2}}}{{1-e^{-x}}}\\ &= \frac{e^{-\tfrac{h\nu}{2k_B T}}}{{1-e^{-\tfrac{h\nu}{k_B T}}}}. \end{align*}$ Sarja suppenee ja summa voidaan laskea, sillä $e^{-x}<1$ ja x >0.

# potenssisarja

Potenssisarjat

Funktiosarja on sarja, jonka termit ovat funktioita eivätkä vakioita. Potenssisarja on erikoistapaus funktiosarjasta, jossa termit ovat :n potensseja ja sen yleinen muoto on $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,$ missä luvut a_n ovat sarjan kertoimet ja x_0 on sarjan kehityskeskus. Potenssisarjat esitetään usein origon ympäristössä eli kehityskeskuksessa x_0=0, jolloin ne ovat muotoa $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.$

# potsarjasuppeneminen

Potenssisarjan suppeneminen

Suppenemisväli ja suppenemissäde.

Potenssisarjan suppeneminen riippuu pisteen arvosta. Niiden pisteiden joukkoa, jolla sarja suppenee, kutsutaan suppenemisväliksi. Jos potenssisarja suppenee

vain pisteessä niin suppenemisväli on $[x_0,\, x_0]$
kaikilla reaaliluvuilla, niin suppenemisväli on $]-\infty, \, \infty[$
jollakin -keskisellä rajoitetulla välillä, niin suppenemisväli on $\begin{align*}&[x_0 - R,\, x_0 + R] \ \text{tai} \ ]x_0 - R, \, x_0 + R] \\&\ \text{tai} \ [x_0 - R,\, x_0 + R[ \ \text{tai} \ [x_0 - R,\, x_0 + R]\end{align*}$ ja lukua kutsutaan suppenemissäteeksi.

Suhdetesti ja juuritesti. Suppenemissäteen selvittäminen.

Potenssisarjan suppenemisäde voidaan selvittää suhdetestin tai juuritestin avulla.

Suhdetesti

Jos raja-arvo $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$ on olemassa tai $\infty,$ niin suppenemissäde on $R = \frac{1}{L}.$

Jos L=0, niin $R=\infty$ ja jos $L=\infty,$ niin R=0.

Juuritesti

Vastaavasti jos raja-arvo $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$ on olemassa tai $\infty,$ niin suppenemissäde on $R = \frac{1}{L}.$

Jos L=0, niin $R=\infty$ ja jos $L=\infty,$ niin R=0.

Esimerkki. Selvitä milloin sarja $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^n(\sin{(x)})^n}$ suppenee.

Sarja $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^n(\sin{(x)})^n}$ ei ole potenssisarja, mutta tekemällä muuttujanvaihto $\sin{(x)}=\blue y$ saadaan sarja muutettua potenssisarjaksi $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^n\blue y^n.$ Potenssisarjan kertoimet ovat a_n = (-1)^n2^n ja kehityskeskus on y_0=0.

Selvitetään sarjan suppenemissäde suhdetestin avulla $\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}2^{n+1}}{(-1)^n2^n}\right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left|-2\cdot\frac{(-1)^{n}2^{n}}{(-1)^n2^n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|-2\right| = 2. \end{aligned}$ Siten suppenemissäde on $R = \frac{1}{L} = \frac{1}{2}.$ Eli potenssisarja $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^ny^n$ suppenee kun $|y|<\frac{1}{2}.$ Tällöin alkuperäinen sarja $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^n(\sin{(x)})^n$ suppenee kun $|\sin{(x)}|<\frac{1}{2}$ eli kun $-\frac{\pi}{6} + n\pi < x < \frac{\pi}{6} + n\pi.$ Välin päätepisteissä sarja hajaantuu vuorottelevana sarjana.

# potenssisarjaesitys

Potenssisarjaesitys

Jos potenssisarja suppenee ja sen suppenemisväli on niin se määrää funktion f(x) joukossa ja $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n.$ Tätä potenssisarjaa sanotaan funktion f(x) potenssisarjaesitykseksi.

Esimerkki. Funktion $f(x)=\frac{1}{1-x}$ potenssisarjaesitys.

Potenssisarja $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ suppenee geometrisena sarjana, kun |x|<1 eli sen suppenemissäde on R=1, ja tällöin sen summa on $\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}.$ Siten potenssisarja $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ on funktion $f(x)=\frac{1}{1-x}$ potenssisarjaesitys ja $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$ kun |x|<1.

# potenssisarjaominaisuudet

Potenssisarjojen ominaisuuksia

Summa ja Cauchyn tulo.

Summa $\sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$
Cauchyn tulo $\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n,$ missä $c_n = \sum_{j=0}^n a_j b_{n-j}.$

Derivaatta ja integraali.

Olkoon $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ funktion f(x) potenssisarjaesitys. Tällöin potenssisarjaa voidaan derivoida ja integroida termeittäin ja derivaatta- ja integraalisarjoilla on sama suppenemisväli kuin alkuperäisellä sarjalla.

Derivaatta $\begin{align*} f'(x) &= \frac{\text{d}}{\dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right) \\&= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\text{d}}{\dx}( a_n x^n) = \sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{n-1} \end{align*}$
Integraali $\begin{align*} \int f(x)\dx &= \int \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\dx \\&= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\int a_n x^n\dx\right) \\&= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} \end{align*}$

Esimerkki. Funktion $f(x)=\frac{1}{(1+x)^3}$ potenssisarjaesitys origossa.

Huomataan, että $\begin{align*} \frac{2}{(1+x)^3} &= \frac{\text{d}}{\dx}\left(\frac{-1}{(1+x)^2}\right) \\&= \frac{\text{d}}{\dx}\left(\frac{\text{d}}{\dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)\right) \\&= \frac{\text{d}^2}{\dx^2}\left(\frac{1}{1+x}\right). \end{align*}$ Käyttämällä funktion $\frac{1}{1-x}$ potenssisarjaesitystä saadaan $\begin{align*} \frac{1}{1+x} &= \frac{1}{1-(\red{-x})} = \sum_{n=0}^{\infty}(\red{-x})^n \\&= \sum_{n=0}^{\infty}(\red{-1})^nx^n. \end{align*}$

Nyt derivoimalla termeittäin ja indeksiä siirtämälllä saadaan $\begin{aligned} \frac{\text{d}^2}{\dx^2}\left(\frac{1}{1+x}\right) &= \frac{\text{d}^2}{\dx^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\right) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\text{d}^2}{\dx^2}\left(x^n\right) \\ &= \sum_{\red{n=2}}^{\infty}(-1)^n\blue n\green{(n-1)}x^{\red{n-2}}&&\Big|\ \text{indeksin siirto} \\ &= \sum_{\red{n=0}}^{\infty}(-1)^n\green{(n+1)}\blue{(n+2)}x^{\red{n}}, \end{aligned}$ kun |x|<1.

Koska f(x) on jatkuva pisteessä x=1, niin funktion f(x) potenssisarjaesitys origossa on $\frac{1}{(1+x)^3} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)(n+2)}{2}x^{n},$ kun $1<x\leq 1.$

Esimerkki. Funktion $f(x)=\ln(1+x)$ potenssisarjaesitys origossa.

Muistetaan, että $\int \frac{1}{x}\dx = \ln{x}$ ja $\begin{align*} \frac{1}{1+x} &= \frac{1}{1-(\red{-x})} \\&= \sum_{n=0}^{\infty}(\red{-x})^n = \sum_{n=0}^{\infty}(\red{-1})^nx^n \end{align*}$ kun |x|<1.

Tällöin saadaan

$\begin{aligned} \ln(1+\blue x) &= \int_{0}^{\blue x}\frac{1}{1+y}\dy \\&= \int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^ny^n\right)\dy \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}y^n\dy \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}, \end{aligned}$ kun |x|<1.

Pisteessä x=-1 sarja hajaantuu ja pisteessä x=1 sarja suppenee arvoon $\ln(2)$ eli funktion f(x) potenssisarjaesitys origossa on $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n},$ kun $1<x\leq 1.$