Fyysikon matemaattiset valmiudet kandidaattivaiheessa

Sanotaan, että fysiikan äidinkieli on matematiikka. Näin on, koska fysiikka, niin teoreettinen kuin kokeellinenkin, on kvantitatiivinen tiede. Tämän johdosta fysiikan alan opintoihin ja pätevyyteen välttämättä sisältyy matematiikan sekä matemaattisten ja numeeristen menetelmien opiskelua.

Vaikka suurin osa fyysikon LuK-vaiheessa tarvitsemasta matematiikasta on tarjolla varsinaisilla matematiikan kursseilla, osa siitä on käytännön syistä opittava ja opetettava fysiikan kursseilla. Fyysikko ei tavallisesti tarvitse matemaattisia tuloksia yleisimmissä muodoissa, joissa ne voidaan todistaa, koska fysiikan ongelmissa esiintyvät funktiot ovat yleensä 'sileitä ja siistejä', jolloin monille tuloksille riittää käytännön tarpeisiin fysiikan kursseilla esitetty geometrinen perustelu.

Alle on koottu opiskelijoille ja kurssien opettajille tietoa opintojen eri vaiheissa opetettavista ja tarvittavista matemaattisista valmiuksista. Lisäksi

Kullakin fysiikan kurssilla opittavia/opetettavia matematiikan asioita on listattu täällä.
- Tämä erityisesti fysiikan perus- ja aineopinto kurssien opettajille!
Opettamisessa, opiskelussa ja kertaamisessa auttaa matikkapakki.

1. Matematiikan opintojen ajoitus

JY:ssä fysiikan laitos ja matematiikan laitos ovat rakentaneet yhteistyökuvion, jossa fyysikon matematiikan opinnot etenevät fysiikan opintojen kanssa koordinoidusti rinnakkain siten, että fyysikon tarvitsemat keskeiset matemaattiset valmiudet kehittyvät sitä mukaa kuin niitä tarvitaan - kunhan matematiikan kurssit suoritetaan opinto-oppaassa olevan aikataulun mukaisesti! Puuttuvat palat täydennetään fysiikan kursseilla.

Fyysikon pakolliset matematiikan opinnot etenevät seuraavasti (kurssikuvaukset: jyu.fi/ops):

vuosi
- S1,S2,K1: differentiaali- ja integraalilaskentaa 1D:ssä
  - kurssit MATP211,212,213
- K2: tavalliset differentiaaliyhtälöt
  - kurssi MATA114
vuosi
- S1,S2: differentiaali- ja integraalilaskentaa 2D:ssä ja 3D:ssä
  - kurssit MATA181,182
- S2,K1: lineaarialgebraa
  - kurssit MATP121 ja MATA122

Huomautus Matemaatikot opiskelevat lineaarialgebraa jo 1. vuotena. Joitakin lineaarialgebran tietoja tarvitaankin differentiaaliyhtälöitä ja useampiulotteista differentiaalilaskentaa opiskeltaessa, mutta tältä osin mahdolliset puutteet fyysikoiden esitiedoissa paikataan matematiikan kurssien MATA114, MATA181 ja MATA182 yhteydessä. Fysiikan opiskelijat voivat siis suorittaa matematiikan kurssit yllä esitetyssä järjestyksessä!

Huomautus Halutessaan ja mikäli voimavarat antavat mahdollisuuden, fysiikan opiskelija voi noudattaa matematiikan opinnoissaan matematiikan opiskelijoiden suositusaikataulua ja/tai 'calculus-linjan' sijasta opiskella 'analyysi-linjan' mukaisesti. Tällaisista valinnoista on aihetta keskustella fysiikan laitoksen opintoneuvojan kanssa.

Huomautus Lähes kaikkea yllä mainituilla matematiikan kursseilla opetettavaa tarvitaan fysiikan opinnoissa. Siksi matematiikan kurssit tulee ottaa tosissaan ja on syytä asettaa tavoitteeksi vähintään 'hyvät tiedot' (3/5). Fyysikon on myös pidettävä 'matemaattinen koneistonsa hyvin öljyttynä' (esimerkiksi matikkapakin avulla), jotta fysiikan kursseilla voi keskittyä fysiikkaan ilman että fysiikka hukkuu matemaattisiin komplikaatioihin.

2. Matemaattisten menetelmien tarpeet fysiikan kursseilla

LuK-vaiheessa fysiikan teoriaopinnot etenevät seuraavasti:

vuosi
- S1,S2,K1,K2: fysiikan perusopintokurssit eli klassista fysiikkaa
  - kurssit FYSP1010,1020,1040,1050
vuosi
- S1,S2: moderni fysiikka
  - kurssit FYSA2001,2002
- K1,K2: klassinen sähkömagnetismi ja klassinen mekaniikka
  - kurssit FYSA2010,2020
vuosi
- S1,S2: kvanttimekaniikkaa
  - kurssit FYSA2031,2032
- K1,K2: statistista fysiikkaa
  - kurssit FYSA2041,2042

Seuraavassa käsitellään näillä kursseilla erityisesti tarvittavia matemaattisia valmiuksia, joiden tarpeesta niin opiskelijoiden kuin fysiikan kurssien opettajienkin on hyvä olla tietoisia.

Tämä sivu on jäsennetty matematiikan aiheiden mukaan.
Fysiikan eri kursseilla opetettavista matematiikan asioista on tietoa täällä.

Huomautus Lähes kaikilla LuK-vaiheen fysiikan tulee vastaan matematiikkaa, jota ei pakollisilla matematiikan kursseilla opeteta (joko lainkaan tai ajoissa) tai jota tarvitaan eri muodossa tai yleistettynä. Siksi nämä aiheet vaativat huomiota ja aikaa fysiikan kurssien opetuksessa. Lista tällaisista aiheista löytyy tästä linkistä.

2.1 Vektorit

Suositusaikataulun mukaisesti edettäessä vektorit käsitellään matematiikan kursseilla vasta 2. opiskeluvuoden syksyllä kurssilla Lineaarinen algebra ja geometria 1. Siksi vektoreista 1. vuotena tarvittavat asiat esitetään fysiikan peruskursseilla fysikaalisiin tilanteisiin liittyen havainnollisesti.

2.2 Derivointi ja integrointi 1D:ssä

Derivoinnin ja integroinnin perusasiat on opittu lukiossa ja niitä tarvitaan heti fysiikan perusopintojen alusta alkaen. Käsitys niistä syvenee 1. vuoden matematiikan kursseilla Calculus 1-3, joilla opitaan myös monia fyysikolle tarpeellisia menetelmiä.

2.3 Useampiulotteinen differentiaali- ja integraalilaskenta

Tämän aiheen perusteet opitaan 2. vuoden syksyllä matematiikan kursseilla Vektoricalculus 1-2 ja niiden sovelluksia on vastassa kaikilla fysiikan aineopintokursseilla. Fysiikan kurssien opetuksessa on huomattava seuraavat asiat, joihin liittyen valmiuksissa on usein puutteita:

Fysiikan perusopintokurssit: Sähköopin perusteissa ja sähkömagnetismin perusteissa tarvitaan useampiulotteista integraalilaskentaa erityisesti Maxwellin lakien integraalimuotojen yhteydessä. Nämä esitetään kurssilla havainnollisesti geometristen tulkintojen kautta eivätkä edellytä Vektoricalculus-kurssien suorittamista. Vektorikentät ja tasapotentiaalipinnat ovat käsitteellisesti haasteellisia.
Sähkömagnetismi: Käyräviivaisista koordinaatistoista ei matematiikan kursseilla olla opittu kaikkia fyysikon tarvitsemia asioita, joten tarvitaan kertausta ja täydennystä. Kurssilla on osattava kirjoittaa derivointioperaattoreita ja käsitellä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä (katso §2.4 alla) erityisesti käyräviivaisissa koordinaatistoissa.
Sähkömagnetismi ja Mekaniikka: Pakollisilla matematiikan kursseilla ei yksityiskohtaisesti käsitellä potentiaaliteoriaa.
Mekaniikka: Kurssilla lasketaan usein differentiaaleja ja käytetään paljon osittaisderivaattojen ketjusääntöä; laskusäännöt kerrataan kurssilla.
Kvanttimekaniikka: Lasketaan joitakin epäoleellisia 3D integraaleja.
Statistinen fysiikka: Käytetään paljon useampiulotteista differentiaalilaskentaa ja lasketaan moniulotteisia integraaleja. Erityisesti osittaisderivaattojen laskusäännöt tilanteissa, joissa pidetään jokin suure vakiona tilanyhtälön sitoessa muuttujia toisiinsa, aiheuttavat haasteita; menetelmien opettaminen kuuluu kurssin sisältöön. Legendren muunnokset opitaan kurssilla.
Havainto: Polkuintegraalien ja pintaintegraalien käytännön laskeminen tuottaa vaikeuksia.

2.4 Differentiaaliyhtälöt

Useimmat fysiikan perusteoriat esitetään LuK-vaiheessa joko tavallisina differentiaaliyhtälöinä tai osittaisdifferentiaaliyhtälöinä ja teorioiden soveltaminen käytäntöön on tällaisten yhtälöiden ratkaisemista kulloiseenkin tilanteeseen liittyvillä alkuehdoilla tai reunaehdoilla. Oleellisimmat asiat tavallisista differentiaaliyhtälöistä opitaan Differentiaaliyhtälöt-kurssilla 1. vuoden keväällä. Osittaisdifferentiaaliyhtälöt sekä ominaisarvotehtävät tulevat vastaan 2. ja 3. vuoden fysiikan kursseilla eikä näihin tarpeisiin soveltuvaa matematiikan kurssia ole ohjelmassa.

Fysiikan pakollisten kurssien kannalta tämä aihe näyttää seuraavalta:

Fysiikan perusopintokurssit: Esimerkiksi näytetään Newtonin 2. laista seuraava harmonisen värähtelijän liikeyhtälö ja annetaan ilmeinen ratkaisu ilman muodollista ratkaisumenetelmää.
Moderni fysiikka, osa A: Esitetään ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö 1D:ssä ja 3D:ssä. Annetaan niiden tiedetyt ratkaisut kulloisenkin esimerkin yhteydessä; varsinaisesti ei siis vaadita osattavaksi yhtälöiden ratkaisemista. On kuitenkin opetettava, mitä tarkoittaa reuna-arvo- ja ominaisarvotehtävä sekä mitä tarkoittaa sellaisen ratkaisu.
Sähkömagnetismi: Vain osa tarkasteltavista tilanteista palautuu 1D tapaukseen ja on opetettava osittaisdifferentiaaliyhtälöiden käsittely käyräviivaisissa koordinaatistoissa sekä separointi. Näitä tekniikoita ei opita pakollisilla matematiikan kursseilla, joten niihin on varattava tarpeeksi aikaa kurssin Sähkömagnetismi yhteydessä ja tarpeen mukaan muilla fysiikan kursseilla.
Mekaniikka: Erityisesti on opittava differentiaaliyhtälöiden ja differentiaaliyhtälöryhmien ratkaiseminen yritteillä, joiden kautta differentiaaliyhtälöt muuttuvat algebrallisiksi yhtälöiksi. Eulerin-Lagrangen yhtälöiden (ELY) käsittely opetetaan ajan kanssa yksityiskohtaisesti tällä kurssilla, koska sentyyppisiä yhtälöitä ei pakollisilla matematiikan kursseilla opeteta. Laskutehtävissä voidaan pitää vastaan tulevat differentiaaliyhtälöt varsin yksinkertaisina (käytännössä separoituvina) sekä sallia differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen symbolisen tai numeerisen matematiikan ohjelmistoilla.
Kvanttimekaniikka: Ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen 1D:ssä ja 3D:ssä. Huomautus: Läheskään kaikki kurssilaiset eivät suorita kurssia Sähkömagnetismi, joten osittaisdifferentiaaliyhtälöt vaativat tälläkin kurssilla erityistä huomiota.
Yleistä 1: Keskeiset asiat differentiaaliyhtälöistä on fysiikan kursseilla syytä kerrata ainakin esimerkkien yhteydessä ja tarvittaessa opettaa, esimerkiksi matikkapakkia hyödyntäen. Kokemus osoittaa, että differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu ovat käsitteelliselläkin tasolla haasteellisia, samoin ratkaisujen yleisyys ja yksikäsitteisyys.
Yleistä 2: Fysiikan tavallisimmat osittaisdifferentiaaliyhtälöt kuten Laplace-yhtälö, Poisson-yhtälö, aaltoyhtälö, diffuusioyhtälö, Navier-Stokes-yhtälö eivät tavallisesti ole opiskelijoille tuttuja. Myös niiden ratkaiseminen integraalimuunnoksilla on monille uutta (muistutus: fysiikan menetelmäkurssi Integraalimuunnokset on nykyään valinnainen).

2.5 Kompleksiluvut

Kompleksiluvuista tarvitaan fysiikan aineopintokursseilla perusominaisuudet, peruslaskutoimitukset sekä Eulerin kaava; muita kompleksimuuttujan funktioita kuin kompleksinen eksponenttifunktio ei tarvita. Tarvittavia asioita ei pakollisilla matematiikan kursseilla opita ja niistä on matikkapakissa tiivis esitys, jota on syytä käydä läpi seuraavilla fysiikan aineopintokursseilla:

Moderni fysiikka, osa A: Varsinaista laskemista kompleksiluvuilla ei kurssilla vaadita, mutta pitää ymmärtää mitä tarkoittaa $e^{\pm ikx}$ .
Mekaniikka: Sinimuotoiset värähtelyt esitetään usein funktioiden $e^{\pm i\omega t}$ avulla. Varsinaista laskemista kompleksiluvuilla ei tehtävissä tarvita.
Kvanttimekaniikka: Edellisten lisäksi kompleksilukujen peruslaskutoimituksia pitää osata itse tehdä. Lineaarialgebraa (katso §2.6 alla) tarvitaan myös kompleksisessa tapauksessa, mikä ei ole tuttua pakollisilta matematiikan kursseilta.

Huomautus Fyysikolle riittää LuK-vaiheessa aiheesta yllä mainitut perustiedot (joko matematiikan valinnaisen kesäkurssin Kompleksilaskenta aivan alkuosa tai matikkapakin esitys), varsinaista kompleksianalyysiä (analyyttisten funktioiden teoriaa tai residylaskentaa) ei tarvita. Matematiikan syventävien opintojen kurssi Kompleksianalyysi tai samanniminen fysiikan laitoksen kurssi ovat tarpeen teoreettiseen fysiikkaan erikoistuville.

2.6. Lineaarialgebra

Matematiikan kurssien Lineaarinen algebra ja geometria 1,2 (LAG) sisältöjä tarvitaan seuraavilla fysiikan aineopintokursseilla (syventävilläkin kursseilla sekä monissa fysiikan numeerisissa menetelmissä):

Mekaniikka: Reaalisten symmetristen matriisien ominaisarvotehtävät tulevat vastaan käsiteltäessä jäykän kappaleen pyörimistä ja kytkettyjä värähtelyjä. Tästä johtuen kurssi Mekaniikka on aikataulussa vasta kurssin LAG2 jälkeen. Kurssilla ominaisarvotehtäviä esiintyy sekä LAG2:ista tutussa muodossa $Ax=\lambda x$ että muodossa $Ax=\lambda Bx$ . Kurssin teorian ja tehtävän ratkaisemisen kannalta jälkimmäinen muoto palautuu edelliseen (matriisit ja ovat symmetrisiä ja on kääntyvä, mutta kurssin tehtävissä ei tarvitse :tä kääntää). Kummankin tehtävämuodon käsittelyn laskennalliset yksityiskohdat käydään kurssilla läpi.
Kvanttimekaniikka: Kurssilla lineaarialgebraa tarvitaan kompleksisten vektoriavaruuksien tapauksessa, mikä ei ole tuttua LAG:sta (mutta käsitellään valinnaisella matematiikan kesäkurssilla Matriisilaskenta). Siten sisätulo kompleksisessa tapauksessa ja hermiittisten operaattoreiden ominaisuudet ja ominaisarvotehtävät pitää opettaa kurssilla erikseen. Lisäksi LAG:ssa ei (enää) käsitellä funktioavaruuksia, mikä aihe on kurssilla käytännössä opetettava.

2.7 Muita fysiikkaan liittyviä matematiikan aiheita

Kurssilla Statistinen fysiikka on iloa todennäköisyysteorian osaamisesta, erityisesti matematiikan laitoksen kursseista Todennäköisyyslaskenta 1-2. Ne samaten kuin tilastotieteen kurssit ovat hyödyksi myös fysiikan kokeellisten mittausten tuloksia analysoitaessa ja siten matematiikan valinnaisina kursseina fyysikolle suositeltavia. Tn-laskentaa suositellaan opettajiksi opiskeleville.

Kvanttimekaniikassa tarvittavaa matematiikkaa tulisi varsinaisissa matematiikan opinnoissa eteen vasta matematiikan syventävien opintojen kursseilla (esimerkiksi Funktionaalianalyysi), joten sitä on käytännössä opetettava fyysikoille aineopintokurssilla Kvanttimekaniikka. Kvanttimekaniikassa ja yleensäkin teoreettisessa fysiikassa hyödyllisiä matematiikan kursseja ovat kurssit Algebra 1,2 sekä Lien ryhmät, jotka fyysikon näkökulmasta liittyvät erityisesti symmetrioihin.

Klassisessa mekaniikassa vastaan tulevan variaatiolaskennan perusideat opetetaan fysiikan aineopintokurssilla Mekaniikka. Tähän liittyy valinnainen matematiikan kurssi Variaatiolaskenta. Matematiikan syventävä kurssi Johdatus dynaamisiin systeemeihin liittyy klassisen mekaniikan moderniin tutkimukseen.

Mallintamiseen liittyviä matematiikan kursseja ovat stokastiikan kurssit. Suhteellisuusteorian ja jatkuvan aineen mekaniikan kannalta relevantteja ovat differentiaaligeometrian kurssit.

Huomautus Pakollisten matematiikan opintojen edetessä matematiikasta vähitellen muodostuu yhtenäinen kuva muunakin kuin vain fyysiikan menetelmäkokoelmana siten, että LuK-opintojen jälkeen fyysikko kykenee sen pohjalta jouheasti hankkimaan (itsenäisesti tai erikoiskursseilla) lisää matemaattisia taitoja erikoistumisensa tueksi. Teoreettiseen fysiikkaan erikoistuvat opiskelevat matematiikkaa tyypillisesti huomattavasti enemmän kuin tutkinnon edellyttämän minimimäärän.

Reunahuomautus Fysiikassa käytetään joskus sellaista matematiikkaa, jota matemaatikkojen näkökulmasta katsoen ei oikeastaan vielä ole. Tätä ei pidä säikähtää. Esimerkiksi fyysikot ovat puoli vuosisataa sujuvasti laskeneet fysiikan kannalta oikeita eli kokeellisesti vahvistettuja tuloksia kenttäteorioista, joiden matematiikkaan edelleen liittyy avoimia kysymyksiä. Vastaavia tilanteita löytyy fysiikan ja matematiikan historiasta pitkältä ajalta. Einsteinin artikkeli (1905) Brownin liikkeestä merkitsi alkua matematiikan alalle, joka nykyään tunnetaan nimellä stokastiikka jne. Iso osa tunnetuista matemaattisista menetelmistä on alun alkaen keksitty juuri fysiikassa intuition tai plausiibeliargumenttien perusteella ja matemaatikot ovat jälkikäteen kehittäneet niihin liittyvät teoreettiset rakenteet - kelvollista fysiikkaa on silloin seurannut eksakti matematiikka, toisaalta yleistetyistä matemaattisista tuloksista on vastavuoroisesti seurannut uutta fysiikkaa.

$\,$ Esitys yllä on laadittu osana fysiikan laitoksen opetussuunnitelmatyötä ja on tässä avuksi opiskelijoille, opintoneuvojille sekä pakollisten fysiikan ja matematiikan kurssien opettajille.