"Ensiksikin tietysti pukemista ja harjausta", vastasi valekilpikonna, "ja sitten neljä eri laskutapaa: ylöslaskua, lähennystä, tarinoimalaskua ja takomista."

"En ole koskaan kuullut tarinoimalaskusta", rohkeni Liisa huomauttaa. "Mitä se on?" Aarnikotka kohotti molemmat käpälänsä kummastuneena pystyyn. "Mitä! Et ole koskaan kuullut tarinoimalaskusta!" se huudahti. "Etkö tiedä mitä tarinoida merkitsee?"

"Kyllä", vastasi Liisa arvelevasti, "se merkitsee kertomista."

"Niin", jatkoi aarnikotka, "jollet siis ymmärrä mitä tarinoimalasku on, olet kuin oletkin pöllö."

Liisa ei uskaltanut sen enempää kysellä, hän kääntyi siis valekilpikonnan puoleen kysyen: "Mitä muuta opitte?"

- Lewis Carroll: Liisan seikkailut ihmemaassa (suomennos Anni Swan)

Tämä on Helsingin yliopiston Ympäristö- ja elintarviketalouden kandiohjelman Matematiikka 1:n (YET-034a) kurssimateriaali.

Kysymykset ja kommentit: Jarmo Jääskeläinen jarmo.jaaskelainen@helsinki.fi (Taloustieteen osasto, Helsingin yliopisto)

Kurssin aiheet ovat

Reaaliluvuilla laskemista
Yhtälöistä ja epäyhtälöistä
Funktioista
Yhtälöparit

Aihepiireihin liittyviä harjoitustehtäviä on koottu lukujen loppuun.

Materiaali perustuu kirjaan

Sydsæter, Knut; Hammond, Peter J.; Strøm, Arne; Carvajal, Andrés, Essential mathematics for economic analysis (Fifth edition), Harlow, United Kingdom: Pearson Education, 2016.
Kirja on saatavilla Helkassa.
Alla kirjaan viitataan seuraavasti [EMEA, kohta].

Apuna on käytetty myös Pauli Lapin Matematiikkaa taloustieteilijöille I -kurssin luentomonistetta ja virikkeitä on saatu Emma Leppälän ja Anni Laitisen peruskurssien luennoista Jyväskylän yliopistossa.

TIMin käytöstä 👈

Oranssit palkit: Tekstin oikeassa laidassa on oransseja palkkeja niissä kohdissa, joita et ole vielä lukenut. Ne auttavat sinua näkemään, missä olet menossa. Voit hävittää palkkeja klikkaamalla niitä sitä mukaan kun luet materiaalia.
Keltaiset palkit: Mikäli kappale muuttuu sen jälkeen kun olet sen lukenut (eli klikannut oranssin palkin pois), ilmestyy sen laitaan keltainen palkki. Sen vieressä on painike, josta voit tarkistaa mitä tekstissä on muuttunut.
- Jos koet palkit turhiksi, klikkaa vasemmalla ylhäällä hammasrattaan kuvaa. Sitten paina Merkitse kaikki luetuksi, jolloin palkit häviävät koko sivulta.
Kommentti: Jos jokin asia jää epäselväksi tai epäilet, että materiaalissa on virhe, voit klikata kappaleen oikeassa reunassa C-merkkiä, josta saa lisättyä kommentin. Kommentin voi asettaa näkymään vain itselle tai sitten kaikille, jolloin opettaja voi lukea kommentin ja vastata siihen.
"Sulkeutuvat kappaleet", kuten tämä, aukeavat painamalla -merkkiä tai kappaleen otsikkoa.

Alla olevan materiaalin joukkoon on laitettu lyhyitä videoita auttaaan itseopiskelussa. Nämä löytyvät -symbolilla.

Materiaalin seassa on myös pieniä tehtäviä, joiden oikeat vastaukset saa näkyviin saman tien. Tehtävillä voi harjoitella peruslaskutaitoa tai tarkastaa ymmärrystään opiskeltavasta aiheesta. Nämä tehtävät eivät vaikuta kurssisuorituksen pistemäärään. Osa tehtävistä on niin kutsuttuja STACK-tehtäviä. Suurin osa STACK-tehtävistä on Toni Hosiaisluoman käsialaa.

STACK-tehtävistä 👈

Osa näistä tehtävistä on niin kutsuttuja STACK-tehtäviä. STACK-tehtävät ovat taustaltaan sinisiä . Osa STACK-tehtävistä on satunnaistettuja eli saman tyylisiä harjoituksia voi tehdä useita - uuden tehtävän saa arvottua itselleen painikkeella Arvo uusi tehtävä, kunhan entiseen on vastattu jotakin. Vanhoja tehtäviä ja vastauksia voi selata ja kokeilla uudelleen. STACK-tehtävät on suunniteltu siten, että tehtävä lasketaan kynällä ja paperilla - ja vastaus tarkistetaan tietokoneella. STACK-tehtävien vastausten syöttäminen muistuttaa graafisen laskimen käyttämistä.

Peruslaskutoimitusten syöttäminen onnistuu seuraavasti:

Operaatio	Merkki
Yhteenlasku	+
Vähennyslasku	-
Kertolasku	*
Jakolasku	/
Potenssiin korotus	^ tai **
Sulut (ryhmittely)	()

Sulkujen avulla määritellään mihin lausekkeeseen laskutoimitukset kohdistuvat. Esimerkiksi $2^{1 + x}$ kirjoitetaan 2^(1 + x), jotta potenssiin korotus kohdistuu oikeaan lausekkeeseen.

# 1

1. Reaaliluvuilla laskemista

Tässä osassa käsitellään seuraavia asioita

reaaliluvut
- laskusäännöt
- järjestys
potenssien laskusääntöjä
- kymmenpotenssimuoto
pyöristäminen ja merkitsevät numerot
prosenttilaskentaa

Osiota vastaa [EMEA, 2.1-2.6].

1.1 Reaaliluvut

Reaaliluku on luku, jolla on desimaaliesitys. Esimerkiksi $-3,\!148$ ja sekä $12,\!3837569$ ovat reaalilukuja. Reaalilukuihin sisältyvät esimerkiksi kokonaisluvut, rationaaliluvut ja irrationaaliluvut.

Kokonaisluvut ovat $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ Kokonaislukuja merkitään symbolilla $\Z$ .
Rationaaliluvut ovat luvut, jotka voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna: esimerkiksi $-\frac{32}{11}, \qquad \frac{1}{2}, \qquad \frac{13}{5}.$ Nimittäjä ei kuitenkaan saa koskaan olla nolla!
Esimerkiksi $\dfrac{2}{1} = 2$ ; vastaavasti nähdään, että kaikki kokonaisluvut ovat myös rationaalilukuja. Rationaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla $\Q$ .
Irrationaaliluvut ovat lukuja, joita ei voi esittää kahden kokonaisluvun osamääränä: esimerkiksi $\sqrt{2}$ ja $\pi$ ('pii') ovat irrationaalilukuja.
Reaaliluvut on kaikkien rationaali- ja irrationaalilukujen joukko, siis 'kaikki lukusuoran luvut'. Reaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla $\R$ .

$\begin{tikzpicture} \draw[-latex] (-3.5,0) -- (8,0) ; %edit here for the axis \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} % edit here for the vertical lines \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-32/11,-1,0,1,1/2,13/5,4,5,6,7} % edit here for the numbers \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,0pt) -- (0pt,-3pt) node[below] {$\x$}; \end{tikzpicture}$

Desimaaliesitys tarkoittaa, että reaaliluku on muotoa $m,\! a_1 a_2 a_3 \ldots$ missä on jokin kokonaisluku ja missä kukin luvuista desimaalipilkun jälkeen ( a_1 , a_2 , a_3 ja niin edelleen) on jokin kokonaisluvuista , , , , , , , , , .

Rationaalilukujen desimaaliesitys on päättyvä tai jaksollinen ja irrationaaliluvut taas ovat lukuja, joilla ei ole päättyvää tai jaksollista desimaaliesitystä. Esimerkiksi luvulla $-2,\!909090\ldots$ on jaksollinen desimaaliesitys, jossa 90 toistuu 'ikuisesti'. Tämä onkin rationaaliluku $-\frac{32}{11}$ . Katsotaan seuraavassa esimerkissä, miten tällaisia päättymättömiä ja jaksollisia desimaalilukuja voidaan muuttaa murtolukumuotoon.

Esimerkki

Muutetaan päättymätön desimaaliluku $0{,}222\ldots$ murtoluvuksi. Merkitään $x=0{,}222\ldots$ . Kertomalla edellistä puolittain luvulla kymmenen saadaan $10x=2{,}222\ldots$ . Vähentämällä sitten äskeiset yhtälöt puolittain saadaan $10x - x = 2{,}222\ldots - 0{,}222\ldots$ eli , josta saadaan edelleen $x=\dfrac{2}{9}$ . Eli $\dfrac{2}{9} = 0{,}222\ldots$ .
Muutetaan päättymätön desimaaliluku $2{,}909090\ldots$ murtoluvuksi. Merkitään $x=2{,}909090\ldots$ . Kertomalla edellistä puolittain luvulla sata saadaan $100x = 290{,}909090\ldots$ . Vähentämällä sitten äskeiset yhtälöt puolittain saadaan $100x - x = 290{,}909090\ldots - 2{,}909090\ldots$ eli , josta saadaan edelleen $x=\dfrac{288}{99}=\dfrac{32}{11}$ . Eli $\dfrac{32}{11} = 2{,}909090\ldots$ .

Huomaa, että ensimmäisessä tilanteensa kerrottiin luvulla kymmenen, koska "jakson" pituus päättymättömässä desimaaliluvussa $0{,}222\ldots$ on yhden numeron mittainen. (Numero 2 toistuu.) Sen sijaan jälkimmäisessä tilanteessa kerrottiin luvulla sata, koska jakson pituus päättymättömässä desimaaliluvussa $2{,}909090\ldots$ on kahden numeron mittainen. (Numerosarja 90 toistuu.)

Ongelma: Mitä on tällä päättelyllä $0{,}999\ldots$ ?

Huomautus

Kotimaisten kielten keskus: "Suomenkielisissä teksteissä käytetään desimaalilukujen merkinnöissä pilkkua (standardi SFS 4175 vuodelta 2006), mutta monissa laskentaohjelmissa ja digitaalisissa mittareissa desimaalin erottimena on automaattisesti piste. Desimaalipistettä ei kuitenkaan suositella suomenkielisiin teksteihin."

Desimaalipistettä käytetään muun muassa englannin kielisissä kirjoissa ja tutkimusartikkeleissa, R- ja Python-kielissä sekä MATLABissa.

Lukusuoralla nollan oikealla puolella olevia lukuja kutsutaan positiivisiksi luvuiksi ja vasemmalla puolella olevia negatiivisiksi. Nolla ei ole positiivinen eikä negatiivinen.

1.2 Laskusääntöjä

Seuraavat tutut ominaisuudet ovat voimassa mille tahansa reaaliluvuille.

# reaalilaskut

1.2.1 Sääntöjä

Olkoon , ja reaalilukuja. Tällöin

1. $\;$ $a+(b+c) =(a+b)+c \quad$ ja $\quad a(bc) =(ab)c\quad$	(liitännäisyys)
2. $\;$ $a+b = b+ a \quad$ ja $\quad ab = ba$	(vaihdannaisuus)
3. $\;$	(osittelu)
4. $\;$	( on luvun vastaluku)
5. $\;$ Kun $a \neq 0$ ( ei ole nolla), $a \cdot \frac{1}{a} = 1$	$\quad$ ( $\frac{1}{a}$ on luvun käänteisluku)
6. $\;$ Kun , niin silloin tai	(tulon nollasääntö)

Kertolaskua osoittava piste $\cdot$ (tai tähti *) jätetään usein kirjoittamatta, kun ainakin toinen kerrottavista on niin kutsuttu muuttuja (esimerkiksi lukiosta tuttu ). Joskus kertomerkki kuitenkin kirjoitetaan selkeyden vuoksi (eli kaikki seuraavat tarkoittavat samaa: * , $2 \cdot x$ , ).

Tuloa $a \cdot \frac{1}{b}$ merkitään yleensä lyhyemmin jakolaskuna (osamääränä) $\frac{a}{b}$ , a/b tai a: b .

1.2.2 Murtolukujen laskusäännöt

Olkoon , , ja kokonaislukuja ja $b \neq 0$ ja $d \neq 0$ . Tällöin

$\;$ $\displaystyle\frac{a\cdot d}{b \cdot d} =\frac{a}{b}$
$\;$ $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{b} =\frac{a+c}{b}$
$\;$ $\displaystyle\frac{a}{b} -\frac{c}{b} =\frac{a-c}{b}$
$\;$ $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$
$\;$ $\displaystyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-cb}{bd}$
$\;$ $\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
$\;$ $\displaystyle\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ , $\quad$ kun myös $c \neq 0$ .

Huomautus

Sääntö 1. on tuttu murtoluvun supistaminen.
Säännöt 4. ja 5. ovat tuttu murtolukujen laventaminen samannimimisiksi (ja ne saadaan säännöistä 2. ja 3. säännön 1. avulla)

Esimerkki

Lasketaan murtolukujen $\dfrac{1}{3}$ ja $\dfrac{2}{3}$ tulo.

Laskusäännön $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ mukaisesti viivojen päällä olevat osoittajat kerrotaan keskenään ja viivojen alla olevat nimittäjät kerrotaan keskenään. $\begin{align*} \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} \end{align*}$ Saatu tulos voidaan perustella visuaalisesti seuraavalla kuviolla. Suorakulmio on jaettu pystysuunnassa kolmeen yhtä suureen osaan, joista yksi on väritetty punaisella. Tämä kuvastaa murtolukua $\dfrac{1}{3}$ .

Vaakasuunnassa taas suorakulmio on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kaksi on väritetty sinisellä. Tämän kuvastaa murtolukua $\dfrac{2}{3}$ .

Tällöin syntyy yhteensä yhdeksän pienempää suorakulmiota, joista kaksi on väritetty sekä punaisella että sinisellä. Tämä kuvastaa kertolaskun tulosta $\dfrac{2}{9}$ .

Alla olevalla sovelmalla voit tarkastella murtolukujen kertolaskua visuaalisesti samalla tavalla kuin äskeisessä esimerkissä.

# geo2taso11

Esimerkki

$\begin{align*} \dfrac{\frac{20}{27}}{\frac{55}{18}} = \dfrac{20}{27} : \dfrac{55}{18} = \dfrac{20}{27} \cdot \dfrac{18}{55} = \dfrac{20 \cdot 18}{27 \cdot 55} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 9}{3 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 11} = \dfrac{4 \cdot 2}{3 \cdot 11} = \dfrac{8}{33}\end{align*}$

Esimerkki

$\begin{align*} \frac{1}{2}-\frac{12}{7}:\frac{1}{3} &=\frac{1}{2}-\frac{12}{7}\cdot\frac{3}{1}=\frac{1}{2}-\frac{36}{7} = \frac{7}{7}\cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{2}\cdot\frac{36}{7} = \frac{7}{14} - \frac{72}{14} =\frac{7-72}{14}=-\frac{65}{14}. \end{align*}$

Kertaa murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskua STACK-tehtävillä.

# stack1

# stack2

# stack3

1.3 Lukujen järjestys

Kahdesta luvusta lukusuoralla oikean puoleisin on suurempi.

$\begin{tikzpicture} \draw[-latex] (-3.5,0) -- (8,0) ; %edit here for the axis \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} % edit here for the vertical lines \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} % edit here for the numbers \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,0pt) -- (0pt,-3pt) node[below] {$\x$}; \end{tikzpicture}$

merkintä	näin luet	esimerkkejä
	on aidosti pienempi kuin	$3 < 7 \quad -1 < 0$
	on aidosti suurempi kuin	$7 > 3 \quad -1 > -3$
$a \leq b$	on pienempi tai yhtä suuri kuin	$3 \leq 7 \quad 1 \leq 1$
$a \geq b$	on suurempi tai yhtä suuri kuin	$7 \geq 3 \quad 1 \geq 1$

1.3.1 Järjestyssääntöjä

Olkoot , ja reaalilukuja. Tällöin

1. $\;$ Jos ja , niin .	kahden positiivisen luvun tulo on positiivinen
2. $\;$ Jos ja , niin	positiivisen ja negatiivisen luvun tulo on negatiivinen
3. $\;$ Jos ja , niin .	kahden negatiivisen luvun tulo on positiivinen
4. $\;$ Jos , niin .	luvun lisääminen molempiin ei muuta järjestystä
5. $\;$ Jos ja , niin .	positiivisella luvulla kertominen ei muuta järjestystä
6. $\;$ Jos ja , niin .	negatiivisella luvulla kertominen kääntää järjestyksen

Lisää harjoitusta luvuista ja laskusäännöistä voi etsiä myös Kisällioppinen-sivustolta.

1.4 Potenssit

1.4.1 Kokonaislukupotenssit

Esimerkki

Tarkastellaan pilaantuvaa elintarviketta, jossa bakteereja on alunperin tuhat kappaletta. Jos bakteerien määrä elintarvikkeessa kaksinkertaistuu tunnin välein, niin paljonko bakteereja on 10 tunnin kuluttua?

Ratkaisu

Tunnin kuluttua meillä on $2 \cdot 1000 = 2000$ bakteeria. Kahden tunnin jälkeen määrä on $2\cdot 2 \cdot 1000 = 4000$ bakteeria. 10 tunnin jälkeen baktreereja on siis $\underbrace{2\cdot 2\cdots 2}_{10 \text{ kpl}} \cdot 1000= 2^{10} \cdot 1000=1024 \cdot 1000=1\, 024\, 000$

eli noin miljoona kappaletta.

Myös seuraava ongelma on eräs esimerkki tilanteesta, missä kokonaislukupotensseja käytetään.

# osakesalkku

Ongelma

Osakesalkun arvo on alussa 1000 euroa ja salkun arvo kasvaa vuodessa $5\%$ . Mikä on salkun arvo 15 vuoden kuluttua?

Ratkaisu

Yksi prosentti ( $1 \%$ ) luvusta on $A\cdot 1/100$ . Näin ollen $5 \%$ luvusta 1000 on $1000\cdot 5/100 = 1000\cdot 0,\!05= 50$ .

Salkun alkupääoma on 1000 euroa ja pääomalle maksetaan prosentin korko kerran vuodessa, pääoma on siis vuoden vuoden kuluttua $1000 + 1000\cdot 0,\!05 = 1000(1 + 0,\!05) = 1050 \text{\,(euroa)}$ ja kahden vuoden kuluttua $1050 + 1050\cdot 0,\!05 = 1050\cdot(1 + 0,\!05) + 1000(1 + 0,\!05)\cdot (1 +0,\!05) = 1000(1 + 0,\!05)^2 = 1102,\!50 \text{\,(euroa)}.$ Viidentoista vuoden kuluttua pääomaa on kertynyt $K=1000\left(1+\frac{5}{100}\right)^{15}\approx 2078,\!90 \text{\, (euroa)}.$

Olkoon reaaliluku ja positiivinen kokonaisluku (eli joku luvuista $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ ). Reaaliluvun potenssia merkitään a^n .

merkinnässä on kantaluku ja eksponentti

Mitä potenssimerkintä tarkoittaa?

$\; a^n = a \cdot \ldots \cdot a \quad$ ( kpl)
$\; a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $\,$ kun $a \neq 0$
$\; a^0 = 1$ kaikilla $a \in \mathbb R \quad$ (myös, kun ; pelkkä sopimus!)

# laskusaannot

1.4.2 Potenssin laskusäännöt

Olkoon reaaliluku sekä ja kokonaislukuja (eli joitain luvuista $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ ).

$\; a^m a^n = a^{m+n}$
$\, (a^m)^n = a^{mn}$
$\; (ab)^n = a^n b^n$
$\; (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Huomaa

$\frac{a^m}{a^n} = a^m \cdot \frac{1}{a^n} = a^m a^{-n} = a^{m-n}$
muodot ja eivät yleensä sievene!
samanmuotoisten termien yhdistäminen kuitenkin onnistuu: esimerkiksi $\, a^n + a^n = 2a^n$

Esimerkkejä

$\aligned (2^5 \cdot 2^3)^2 \cdot 2^{-13} &= (2^{5+3})^2 \cdot 2^{-13} = (2^8)^2 \cdot 2^{-13} = 2^{8\cdot2} \cdot 2^{-13} \\ &= 2^{16}\cdot 2^{-13} = 2^{16-13} = 2^3 = 8 \endaligned$
$\frac{3^2 \cdot (2 \cdot 3)^3}{4 \cdot 3^4} = \frac{3^2 \cdot 2^3 \cdot 3^3}{4 \cdot 3^4} = \frac{2^3 \cdot 3^{2+3}}{2^2 \cdot 3^4} = \frac{2^3 \cdot 3^5}{2^2 \cdot 3^4} = 2 \cdot 3 = 6$
$(a^6)^{10}-a^{80}/a^{10}= a^{6 \cdot 10} - a^{80 - 10} = a^{60}-a^{70}$

# stack10

# stack11

1.4.3 Muistisäännöt

$\begin{align*} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2, \\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2, \\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2. \end{align*}$

Alla olevalla sovelmalla perustellaan visuaalisesti muistikaava (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 . Lähtökohtana on neliö, jonka sivun pituus on a+b .

Ideana on lausua neliön pinta-ala kahdella tavalla. Korottamalla neliön sivun pituus toiseen potenssiin saadaan pinta-alaksi (a+b)^2 . Toisaalta taas pinta-ala voidaan lausua myös pienempien suorakulmioiden pinta-alojen summana, jolloin saadaan a^2+2ab+b^2 . Koska siis sekä (a+b)^2 että kuvaavat molemmat yhden ja saman neliön pinta-alaa, tulee niiden olla yhtä suuria eli (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 .

# geo2taso12

Harjoittele muistikaavoja STACK-tehtävillä.

# stack12

# stack13

# stack14

# stack15

# stack16

# stack17

# stack18

# 10-potenssit

1.4.4 Kymmenpotenssimuoto

Kymmenpotenssimuodolla tarkoitetaan muotoa $a \cdot ⋅ 10^m$ , missä on kokonaisluku 1 ja 10 välissä ja on kokonaisluku.

Luvun kymmenpotenssimuodossa luku siis ilmaistaan kertoimen () ja luvun 10 potenssin avulla.

Kymmenpotenssiesityksestä päästään niin kutsutuun normaalimuotoon seuraavasti: Jos luvun 10 eksponentti on

positiivinen, siirretään desimaalipilkkua oikealle
negatiivinen, siirretään desimaalipilkkua vasemmalle

eksponentin osoittama määrä.

Esimerkki

$4,\!2 \cdot 10^4 = 42\, 000$ ja $2,\!34 ⋅ 10^{−7} = 0,\!000000234$ .

Joillakin suurilla luvuilla on omat nimensä. Esimerkiksi

nimitys	nollien lukumäärä	kymmenpotenssi
miljoona	6
miljardi	9
biljoona	12	$10^{12}$
triljoona	18	$10^{18}$

Huomaa

Biljoona on Suomessa $10^{12}$ , mutta Yhdysvälloissa .
Triljoona on Suomessa $10^{18}$ , mutta Yhdysvalloissa $10^{12}$ .

Yleisesti käytetään niin kutsuttuja kerrannaisyksiköiden etuliitteitä, joille on valittu omat tunnukset, esimerkisi kilo on 10^3 . Näytä käytetään usein kymmenpotenssimuotojen sijaan. Tällöin kertojana coi olla suurempia lukuja kuin kymmenen ja pienempiä kuin ykkönen.

Esimerkkejä kerrannaisyksiköistä

nimi	tunnus	kerroin
giga	G	$10^{9}$
mega	M	$10^{6}$
kilo	k	$10^{3}$
hehto	h	$10^{2}$
deka	da	$10^{1}$
desi	d	$10^{-1}$
sentti	c	$10^{-2}$
milli	m	$10^{-3}$
mikro	$\mu$	$10^{-6}$
nano	n	$10^{-9}$

Esimerkki

Ribosomin halkaisija on noin $2 \cdot 10^{-6}$ cm. Mikä halkaisija on

metreinä?
millimetreinä?
mikrometreinä?
nanometreinä?

Ratkaisu

$2 \cdot 10 ^{-6}\; {\color{red}{\text{c}}}\text{m} = 2 \cdot 10 ^{-6} \cdot {\color{red} 10^{-2}} \;\text{m} = 2 \cdot 10 ^{-8} \; \text{m}$

Käytetään lopuissa perusyksikkönä metriä ja muutetaan metrit milli-, mikro- ja nanometreiksi.

$2 \cdot 10 ^{-8}\; \text{m} = 2 \cdot 10 ^{-8} \cdot 10^{3 - 3} \;\text{m} = 2 \cdot 10 ^{-8} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-3}\; \text{m} = 2 \cdot 10^{-5} \;\text{mm}$

$2 \cdot 10 ^{-8}\; \text{m} = 2 \cdot 10 ^{-8} \cdot 10^{6 - 6} \;\text{m} = 2 \cdot 10 ^{-8} \cdot 10^{6} \cdot 10^{-6}\; \text{m} = 2 \cdot 10^{-2} \;\text{$\mu$m} = 0,\!02 \; \text{$\mu$m}$

$2 \cdot 10 ^{-8}\; \text{m} = 2 \cdot 10 ^{-8} \cdot 10^{9 - 9} \;\text{m} = 2 \cdot 10 ^{-8} \cdot 10^{9} \cdot 10^{-9}\; \text{m} = 2 \cdot 10^{1} \;\text{nm} = 20 \; \text{nm}$

1.4.5 Potenssit

Aina eksponenttina ei ole kokonaisluku. Ilmiöitä tutkiessa törmätään jatkuvasti otuksiin ja ominaisuuksiin, joiden selittämisessä tarvitaan eksponenttia, joka on rationaaliluku; esimerkiksi taloustieteessä Cobb-Douglas-tuotantofunktiolla voisimme mallintaa kokonaistuotantoa pääoman ja työn avulla vaikkapa kaavalla $K^{\frac{1}{4}}L^{\frac{3}{4}}$ . Myös eliökunnassa ilmenee rationaalieksponentillisia suureita esimerkiksi Kleiberin laissa.

Esimerkki

Kleiberin lain mukaan eläimen aineenvaihdunnan nopeuden (merkitään q_0 ) ja massan (merkitään ) välillä on yhteys $q_0 = c \;m^{3/4},$ missä on jokin vakio.

Jos eläin on 16 kertaa toista painavampi, kuinka monin kertainen sen aineenvaihdunnan nopeus on Kleiberin lain mukaan?

Ratkaisu

Nyt yhden eliön massa on ja toinen on sitä kertaa painavampi eli sen massa on $16\cdot m$ .

Aineenvaihduntojen nopeudet ovat Kleiberin lain mukaan vastaavasti $c\cdot m^{3/4}$ ja $c \cdot (16\cdot m)^{3/4}$

Nyt aineenvaihduntojen nopeuksien suhde on $\frac{c \cdot (16\cdot m)^{3/4}}{c\cdot m^{3/4}} = \frac{c\cdot 16^{3/4} \cdot m^{3/4}}{c\cdot m^{3/4}} = 16^{3/4} = (16^{1/4})^3 = 2^3 = 8$ eli vaikka eliö on kertaa painavampi sen aineenvaihdunnan nopeus on vain -kertainen.

# potenssin-maaritelma

1.4.6 Potenssin määritelmä

Kun reaaliluku on positiivinen ja on positiivinen kokonaisluku, määrittelemme :n juuren $a^{\frac{1}{n}}$ tarkoittamaan sitä ei-negatiivista reaalilukua , jonka :s potenssi on luku .

Siis $a^{\frac{1}{n}} = x$ , missä $x \geq 0$ ja x^n=a .

Jos n=2 , saadaan neliöjuuri $a^{\frac{1}{2}}$ , jota merkitään lyhyemmin $\sqrt{a}$ . Esimerkiksi $\sqrt{4}=2$ , koska 2^2=4 .

Merkitsemme yleistä :ttä juurta $a^{\frac{1}{n}}$ myös $\sqrt[n]{a}$ tai $a^{1/n}$ .

kun parillinen: $\sqrt[n]{a}$ on se $x \geq 0$ , jolle ; tällöin on oltava $a \geq 0$
kun pariton: $\sqrt[n]{a}$ on se , jolle $\;x^n=a$

Myös merkinnällä $\sqrt[3]{a}$ on oma nimi: kuutiojuuri.

Esimerkiksi $\sqrt[4]{81}=3$ , koska 3^4=81 , ja $\sqrt[3]{-1}= -1$ , koska (-1)(-1)(-1) = -1 . Esimerkiksi luvulla ei ole neliöjuurta, koska on negatiivinen.

1.4.7 Sääntöjä

Seuraavat kaavat ovat voimassa:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Huomaa

Kun on reaaliluku, potenssilauseke a^r toteuttaa vastaavat potenssinlaskussäännöt 1.4.2 kuin aiemminkin, kunhan kantaluku on positiivinen.

Esimerkki

Sievennä $\frac{x^{1/5}y^{1/3} + y^{1/3 + 1}x^{-4/5}}{x^{-4/5}y^{1/3}} \; : \; (x^2 - y^2)$

# V1

Esimerkki

$\begin{align*} \frac{\sqrt{x}\sqrt[4]{ax}}{(ax^{-2})^{1/4}}&=\frac{\sqrt{x}\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{x}}{a^{1/4}x^{-2\cdot(1/4)}}=\frac{\sqrt{x}\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{a}x^{-1/2}}=\sqrt{x}\sqrt[4]{x}x^{1/2}=x\sqrt[4]{x} \end{align*}$

Harjoittele potenssin sieventämistä STACK-tehtävillä.

# stack45

# stack5

Harjoittele neliöjuurilaskuja STACK-tehtävillä.

# stack41

# stack42

# stack43

# stack44

Lisää harjoitusta potensseista voi etsiä myös Kisällioppinen-sivustolta.

1.5 Pyöristäminen ja merkitsevät numerot

Luvun pyöristyksessä tarkastellaan viimeistä poisjäävää numeroa ja sen jälkeistä numeroa. Jos poisjäävä numero on 5 tai suurempi, pyöristetään ylöspäin. Jos se on alle 5, pyöristetään alaspäin.

Esimerkki

Luku $456,\!7$ ( $45\vert 6,\!7$ ) on kahden merkitsevän numeron tarkkuudella $456,\!7 \approx 460$ , mutta luku $454,\!8$ ( $45\vert 4,\!8$ )on samalla tarkkuudella $454,\!8 \approx 450$ .

1.5.1 Merkitsevät numerot

Luvun merkitseviksi numeroiksi katsotaan kaikki muut numerot paitsi desimaaliluvun alussa ja kokonaisluvun lopussa olevat nollat. Joissakin tapauksissa kokonaisluvun lopussakin olevat nollat voivat olla merkitseviä, katso seuraava esimerkki.

Esimerkki

Desimaaliluvussa 3,14159 on kuusi merkitsevää numeroa.
Desimaaliluvussa 0,00720 on kolme merkitsevää numeroa.
Desimaaliluvussa 87,50 on neljä merkitsevää numeroa.
Kokonaisluvussa 4 000 000 on yksi merkitsevä numero.
Kokonaisluvut mahdollistavat myös poikkeuksen: pyöristä summa kahden merkitsevät numeron tarkkuudelle. Nyt , joka on kahden numeron tarkkuudella $1020 \approx {\bf 10} 00$ .

1.5.2 Pyöristämisestä

Käytännössä laskujen vastaukset esitetään yleensä korkeintaan yhtä monen desimaalin tarkkuudella kuin epätarkimmat lähtöarvot. Epätarkinta arvoa käytetään, jotta tuloksen esitysmuoto ei antaisi kuvaa tarkemmista mittauksista kuin on käytettävissä.

Esimerkki

Läppäri maksaa noin 1000 euroa ja The Economist -lehti 9,50 euroa. Paljonko rahaa pitää varata kauppamatkaa varten?

Nyt 1000 + 9,50 = 1009,50 (euroa). Koska läppärin hintaa ei ole annettu eurojen tarkkuudella vastaus pyöristetään epätarkimman hinnan (eli läppärin yhdeen merkitsevän numeron tarkkuudella) eli mukaan varataan (noin) 1000 euroa.

Tietokoneet muuttavat reaaliluvut niin kutsutuiksi liukuluvuiksi (floating point). Koska liukuluvun numeroille on varattu vain rajallinen määrä paikkoja (bittejä), liukuluku on vain approksimaatio reaaliluvulle ja tietokoneella laskettaessa mukaan tulee pyöristysvirheitä. Esimerkiksi tämän takia pyöristämistä ja merkitseviä numeroita tarvitaan.

Esimerkki

Jos varataan numeroille vain kaksi bittiä, niin

Kertolasku $120 \cdot 34 = 4080$ . Kahden numeron tarkkuudella tuloksemme pyöristyy . Pyöristysvirhe on .
Jakolasku: Luku $1/3 = 0,\!333\ldots$ on kahden desimaalin tarkkuudella $0,\!33$ . Tarkan tuloksen ( $0,\!333\ldots$ ) ja pyöristetyn tuloksen välinen ero on $0,\!333\ldots - 0,\!33 = 0,\!00333\ldots$ .

Laskimella laskiessä älä pyöristä tehtävissä välituloksia. Vasta lopputulos pyöristetään, jotta pyöristysvirheet eivät kasaannu.

1.6 Prosenttilaskentaa

Prosentteja käytetään ilmaisemaan suhteellisia osuuksia. Yksi prosentti on yksi sadasosa, eli $1 \%= \frac{1}{100} =0,\!01$ . Prosentteja nähtiin jo osakesalkkuongelmassa.

Esimerkki

3% luvusta 200 on 6, koska $\frac{3}{100} \cdot 200 = \frac{3 \cdot 200}{100} = \frac{600}{100} =6$ .

Esimerkki

Montako prosenttia on 15 luvusta 60?

Lasketaan $\frac{15}{60} = 0,\!25 = 25\%,$ joten 15 on 25% luvusta 60.

Esimerkki

Jäätelöpallo maksaa 5 euroa ja hintaa nostetaan 7%. Paljonko on jäätelöpallon uusi hinta?

7 prosenttia 5 eurosta on $0,\!07 \cdot 5 = 0,\!35$ , joten uusi hinta on 5 + 0,35 = 5,35 euroa.

Toinen tapa on laskea suoraan $1,\!07 \cdot 5 = 5,\!35$ .

Esimerkki

Paidan hintaa alennetaan 85 eurosta 60 euroon. Kuinka suuri on prosentuaalinen alennus?

Alennettu hinta on $\frac{60}{85} = 0,\!7058\ldots = 70,\!58\ldots \%$ alkuperäisestä, joten alennus on $1 - 0,\!7058\ldots = 0,\!2941\ldots$ tai $100\% - 70,\!58\ldots\% \approx 29$ prosenttia.

Esimerkki

Meillä on kaksi hiekkakuormaa. Ensimmäisessä hiekkakuormassa on hiekan lisäksi hietaa 45 prosenttia. Toisessa kuormassa on hiekan lisäksi soraa 35 prosenttia. Ensimmäinen hiekkakuorma on kaksi kertaa suurempi kuin toinen.

Hiekkakuormat yhdistetään. Laske yhdistetyn hiekkakuorman hiekkapitoisuus.

Merkitään toisen kuorman kokoa llä. Tällöin ensimmäinen kuorma on kooltaan .

Yhdistetyn hiekkakuorman koko on 2x + x = 3x ja hiekkaa kuormissa on $(1 - 0,\!45)\cdot 2x + (1 - 0,35)\cdot x.$

Nyt hiekkapitoisuus on $\frac{(1 - 0,\!45)\cdot 2x + (1 - 0,35)\cdot x}{3x} = {1,\!10x + 0,\!65x}{3x} = \frac{1,75x}{3x} = \frac{1,75}{3} = 0,\!58333\ldots \approx 58 \%.$

Yhdistetyn kuorman hiekkapitoisuus on noin 58%.

Ongelma

Tuotteen hintaa alennettiin ensin 5%, sitten 10% ja lopulta vielä 25%. Kuinka monta prosenttia tuotteen hintaa oli lopulta alennettu?

Ratkaisuidea

Alkuperäinen hinta (euroa) laskee ensin $(1 - 0,05) \cdot a$ (euroon), joka laskee vielä kaksi kertaa. Ensin $(1 - 0,10) \cdot ((1 - 0,05) \cdot a)$ (euroon) ja sitten vielä $(1 - 0,25) \cdot [(1 - 0,10) \cdot ((1 - 0,05) \cdot a)]$ (euroon).

Lopulta alennettu hinta on $0,\!75 \cdot [ 0,\!90 \cdot (0,\!95 \;a)] = 0,\!64125\; a$ (euroa) eli hintaa on alennettu $1 - 0,\!64125 \approx 36\%$ .

1.6.1 Prosenttiyksikkö

Prosenttilukujen erotus ilmaisee muutoksen prosenttiyksikköinä - ei prosentteina!

Esimerkki

Puolueiden kannatusprosentit HS-gallupissa, joka on Kantarin tekemä, vuoden 2023 kesäkuussa ja heinäkuussa:

puolue	kesäkuu	heinäkuu	muutos (prosenttiyksikköä)	muutos (%)
Kok	21,3%	22,0%	+0,7	$\approx +3$
Ps	20,9%	19,8%	-1,1	$\approx -5$
Sdp	19,2%	19,4%	+0,2	$\approx +1$
Kesk	10,2%	9,8%	-0,4	$\approx -4$
Vas	8,0%	8,1%	+0,1	$\approx +1$
Vihr	7,7%	8,0%	+0,3	$\approx +4$
Rkp	4,4%	4,5%	+0,1	$\approx +2$
Kd	4,0%	3,9%	-0,1	$\approx -3$
Muut	2,3%	2,4%	+0,1	$\approx +4$
Liik	2,0%	2,1%	+0,1	$\approx +5$

Esimerkiksi kokoomuksen kannatus on gallupin mukaan noussut 0,7 prosenttiyksikköä ja vihreiden 0,3 prosenttiyksikköä. Vihreiden kannatus on kasvanut kuitenkin suhteellisesti enemmän, koska lähtötaso on ollut matalampi: kokoomuksen muutos on 22,0 - 21,3 = 0,7 (prosenttiyksikköä) ja suhteellinen muutos on tällöin $\frac{0,\!7}{21,\!3} = 0,\!03286\ldots$ eli noin 3 prosenttia ja vihreillä vastaavasti 8,0 - 7,7 = 0,3 (prosenttiyhksikköä) ja $\frac{0,\!3}{7,\!7} = 0,\!03896\ldots$ eli noin 4 prosenttia.

Lisää harjoitusta prosenttilaskennasta voi etsiä myös Kisällioppinen-sivustolta.

Tehtäviä

1. Laske $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6}.$
2. Kolmen rinnankytketyn vastuksen kokonaisresistanssi saadaan kaavasta $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3},$ missä , ja ovat yksittäisten vastusten resistanssit.
  Laske , kun , ja .

1. Reaalikorko lasketaan Fisherin kaavalla seuraavasti $r = \frac{1 + i}{1 + m},$ missä on nimelliskorko ja inflaatio. Jos nimelliskorko on $7\%$ (eli $i = 0,\!07$ ) ja inflaatioksi arvioidaan $3\%$ (eli $m = 0,\!03$ ), mikä on tällöin reaalikorko?
2. Joustoa voidaan arvioida mikrotaloustieteessä niin sanotulla keskipistemenetelmällä: $\left(\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_2 + Q_1)/2}\right)\bigg/\left(\frac{P_2 - P_1}{(P_2 + P_1)/2}\right).$ Laske arvio joustolle, kun ja sekä $P_1 = 3,\!5$ ja $P_2 = 8,\!5$ . Tässä on uusi määrä ja uusi hinta sekä vastaavasti on vanha määrä ja vanha hinta.

1. Kuinka monta prosenttia on 20 luvusta 80?
2. Puolueen kannatus oli ensin 12,4% ja seuraavassa mittauksessa 13,1%. Kuinka monta prosenttiyksikköä kannatus nousi? Entä kuinka monta prosenttia? Voit käyttää laskinta. Anna tulos kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
3. Erään tuotteen hintaa korotetaan ensin 10% ja myöhemmin alennetaan 10%. Miten tuotteen hinta muuttui kokonaisuudessaan?
4. 279,38 euron suuruista opintorahaa leikataan ensin 10% ja sen jälkeen korotetaan 10%. Mikä on opintorahan suuruus muutosten jälkeen? Voit käyttää laskinta. Muista pyöristää tulos oikeaan tarkkuuteen.

Laske/sievennä potenssin laskusääntöjen avulla.
1. $\displaystyle{\left(\frac{2^3 \cdot 2^{11} \cdot 2^{-3}}{2^{13}}\right)^4 \cdot 2^{-6}}$
2. $\displaystyle{(2a)^3+2a^3}$

Sievennä lausekkeet.
1. $\frac{4y + 6xy}{2xy} + \frac{x^{1/5 - 1}\, y^{2/3}}{x^{1/5} \,y^{2/3 - 1}}$
2. $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$

Sievennä lausekkeet.
1. $\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. $\frac{a}{a - bx} + \frac{b}{b - ax^{-1}}$

Alla on lisätehtäviä harjoittelua varten. Tehtävät ovat avustettuja: jos jäät jumiin ratkaisussa, voit klikata itsellesi tiedon, mitä seuraavaksi kannattaa tehdä, "Seuraava vaihe"-napista". Samantyylisiä tehtäviä eri lukuarvoilla saa "Uusi tehtävä"-napista. Geogebra Copyright © International GeoGebra Institute, 2013

# geo2taso8

# geo2taso9

# geo2taso13

# geo2taso2

# 2

2. Yhtälöistä ja epäyhtälöistä

Tässä osassa käsitellään seuraavia asioita

lauseke
- sieventäminen
yhtälö ja epäyhtälö
- ratkaiseminen
- yksikkömuunnokset
itseisarvo

Osiota vastaa [EMEA, 3.1-3.5, 2.6 ja 2.7].

2.1 Lauseke

Lauseke on "järkevä" yhdistelmä lukuja, muuttujia ja operaatioita (muun muassa , , $\cdot$ , , potenssit, juuret) sekä tarvittaessa sulkuja.

Esimerkki

Lausekkeita ovat esimerkiksi

$8 - 3\cdot 2 - 1 + 1$
$pq - \frac{1}{2}cq^2$
$Rx(1 - \frac{x}{K})$
$-\frac{1}{6}Q + \frac{19}{6}$
$\frac{1}{6}Q + \frac{5}{6}$

Matematiikassa yhtälön muuttujia merkitään usein kirjaimilla , ja ; taloustieteessä muuttujina käytetään yleensä 'kuvaavia' kirjaimia - esimerkiksi tai määrälle ('quatity') ja tai hinnalle ('price').

Taloustieteen lausekkeissa on myös kirjaimilla merkittyjä vakioita, niin kutsuttuja parametreja. Nämä parametrit ovat annettuja reaalilukuja. Esimerkiksi lausekkeen $Rx(1 - \frac{x}{K})$ kuvatessa kalakannan (muuttuja ) logistista kasvuvauhtia, on annettu kasvuparametri (eli kyky lisääntyä) ja on ekosysteemin kantokyky (eli annettu luonnon tasapaino).

lauseketta voi muokata tai sieventää käyttämällä tuttuja laskusääntöjä sekä laventamista ja supistamista
- muista sieventäessä:

Laskujärjestys

sulut sisimmistä alkaen
potenssit uloimmasta alkaen
tulot/osamäärät vasemmalta oikealle
summat/erotukset vasemmalta oikealle

Potenssi vaikuttaa ainoastaan juuri sitä edeltävään lukuun tai symboliin!

Ongelma

Lisää lausekkeeseen sulut siten, että seuraavalle riville saadaan lauseke, jonka laskutoimituksen tulos on $8 - 3 \cdot 2 - 1 + 1.$

Voit käyttää kokeiluun seuraavaa Maxima-laskinta.

# maxima1

Kertaa lausekkeiden sieventämistä STACK-tehtävän avulla.

# stack19

# stack20

# stack21

# stack27

# stack28

# stack6

2.2 Yhtälö

Muodostuu kahdesta lausekkeesta ja niiden välisestä yhtäsuuruusmerkistä.
- lauseke1 = lauseke2

Esimerkki

Yhtälöitä ovat esimerkiksi

$-\frac{1}{6}Q + \frac{19}{6} = \frac{1}{6}Q + \frac{5}{6}$

Yhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien niiden tuntemattomien muuttujien arvojen etsimistä, joilla yhtälö toteutuu.

Käytännössä toiselle puolelle -merkkiä muuttuja ja toiselle kaikki muut.

Esimerkki

Esimerkiksi x=6 on yhtälön x-1=5 (ainoa) ratkaisu, koska 6 - 1 = 5 ja jos :n paikalle sijoittaa minkä tahansa muun luvun, niin yhtälö ei pidä paikkaansa.

Yhtälöä ratkaistaessa sitä voi muokata käyttämällä tuttuja laskusääntöjä ja muun muassa

sieventämällä lausekkeita yhtälön eri puolilla
lisäämällä/vähentämällä puolittain jotain
kertomalla/jakamalla puolittain jollain (paitsi ei nollalla!)
korottamalla molemmat puolet potenssiin, kun molemmat puolet ovat positiivisia

# leikkaus

Esimerkki

Ratkaise yhtälö -x+4 =4x-2 .

$\begin{align*} \qquad &-x+4=4x-2 \\ \Longleftrightarrow\qquad &-x+4 {\color{red}-4x-4}=4x-2{\color{red}-4x-4} \\ \Longleftrightarrow\qquad &-5x=-6 \\ \Longleftrightarrow\qquad &{\color{red}\frac{1}{-5}}(-5)x={\color{red}\frac{1}{-5}}(-6)\\ \Longleftrightarrow\qquad &x=\frac{6}{5}. \end{align*}$ Siis yhtälön ratkaisu on $x = \frac{6}{5}$ .

Esimerkki

Meillä on 2 litraa 9 prosenttista suolaliuosta. Lisätään liuokseen litraa suolatonta vettä. Kuinka monta litraa () vettä on lisättävä, jotta saadun liuoksen (jota on lisäyksen jälkeen x + 2 litraa) suolapitoisuus on 3 prosenttia?

Suolaa lioksessamme on 9% eli $2 \cdot 0,\!09 \text{ (litraa)}.$ Jotta suolaa on lopussa 3 prosenttia, niin $\frac{2 \cdot 0,\!09}{x + 2} = \frac{3}{100}.$

Nyt $\frac{2 \cdot 0,\!09}{x + 2}\cdot{\color{red} (x + 2)} = \frac{3}{100}\cdot {\color{red} (x + 2)}$ joten $2 \cdot 0,\!09 = 0,\!03(x+2).$ Tehtävänämme on siis ratkaista kyseinen yhtälö. Nyt $\begin{align*} \qquad &2 \cdot 0,\!09 = 0,\!03(x+2) \\ \Longleftrightarrow\qquad & 0,\!18 = 0,\!03x + 0,\!03 \cdot 2\\ \Longleftrightarrow\qquad & 0,\!18 = 0,\!03x + 0,\!06\\ \Longleftrightarrow\qquad & 0,\!18 {\color{red} - 0,\!06}= 0,\!03x + 0,\!06 {\color{red} - 0,\!06}\\ \Longleftrightarrow\qquad & {\color{red}\frac{1}{0,\!03}} \cdot 0,\!12 = {\color{red}\frac{1}{0,\!03}} \cdot 0,\!03x\\ \Longleftrightarrow\qquad & 4 = x. \end{align*}$ Siis vettä pitää lisätä 4 litraa.

# markkinatasapaino

Ongelma

Olkoot jäätelön markkinakysyntä ( $D_{\text{Market}}$ ) $-\frac{1}{6}Q + \frac{19}{6}$ euroa ja markkinatarjonta ( $S_{\text{Market}}$ ) $\frac{1}{6}Q + \frac{5}{6}$ euroa. Tässä muuttuja on jäätelön määrä.

Mikä on jäätelömyynnin markkinatasapaino (eli millä jäätelön määrällä kysyntä ja tarjonta ovat yhtä suuret)?

# yksikkomuunnokset

2.2.1 Yksikkömuunnokset

Yksikkömuunnoksiin törmäsimme pikaisesti jo kerrannaisyksiköiden yhteydessä. Tyypillisiä yksikkömuunnoksia ovat pituuden, pinta-alan ja tilavuuden muutokset.

Sovelluksissa yksiköiden kanssa ei tarvitse kantaa huolta, jos laskee aina pelkästään niin kutsutuilla SI-yksiköillä (Wikipedia).

Pituuden SI-yksikkö on metri. Yleisesti käytettyjä pituuden yksiköitä ovat

nimi	tunnus	perusyksikössä
kilometri	km	1000 m
hehtometri	hm	100 m
dekametri	dam	10 m
metri	m	1 m
desimetri	dm	0,1 m
senttimetri	cm	0,01 m
millimetri	mm	0,001 m

Yksikkömuunnoksia voi tehdä yhtälöratkaisumenetelmin.

Esimerkki

Paljonko on 123 000 cm kilometreinä?

Yksiköiden muuntaminen on yhtälön ratkaisua.

Tiedämme, että $1\, \text{cm} = 0,\!01\, \text{m}$ ja, koska $1\, \text{km} = 1000\, \text{m}$ , niin $1\, \text{m} = \frac{1}{1000}\, \text{km}$ .

Siis $1\, \text{cm} = 0,\!01\, {\color{red}\text{m}} = 0,\!01 \cdot {\color{red}\frac{1}{1000}\, \text{km}}$ .

Nyt $x\; \text{cm} = x \cdot 0,\!01 \cdot \frac{1}{1000}\, \text{km}$ eli $123\, 000\, \text{cm} = 123\, 000 \cdot 0,\!01 \cdot \frac{1}{1000}\, \text{km}= 1,\!23 \, \text{km}$ .

Tyypilliset pinta-alan yksiköt ovat

nimi	tunnus	perusyksiköissä
neliökilometri	$\text{km}^2$	1000000 $\text{m}^2$
hehtaari	$\text{ha}$	10000 $\text{m}^2$
aari	$\text{a}$	100 $\text{m}^2$
neliömetri	$\text{m}^2$	1 $\text{m}^2$
neliödesimetri	$\text{dm}^2$	0,01 $\text{m}^2$
neliösenttimetri	$\text{cm}^2$	0,0001 $\text{m}^2$
neliömillimetri	$\text{mm}^2$	0,000001 $\text{m}^2$

Esimerkki

Suomessa maanviljelyskelpoinen maa maksaa noin 9 000 euroa per hehtaari. Paljonko neliökilometri tällöin maksaa?

100 hehtaari (ha) = neliökilometriä ja hinta on 9 000 euroa/ha. Nyt $\text{ha} = \frac{1}{100} \, \text{km}^2,$ joten $9\, 000\, \text{e/ha} = 9\, 000\, \text{e}/\left(\frac{1}{100} \, \text{km}^2\right) = 9\,000 \cdot \frac{100}{1} \, \text{e}/\text{km}^2 = 900\,000 \, \text{e}/\text{km}^2.$

Neliökilometri maksaa 900 000 euroa.

Tilavuuden perusyksikkö on kuutiometri m^3 . Tyypilliset yksiköt menevät vastaavasti kuin pituuden ja pinta-alan tapauksessa. Pituudessa suhde yksiköiden välillä oli 10 ja pinta-alassa 100. Tilavuudessa suhde on 1 000.

Tilavuuteen liittyy myös yleisesti käytetty yksikkö litra (merkitään l). Litran ja SI-yksikön välinen yhteys on

litra

1 $\text{l}$

1 $\text{dm}^3$

Esimerkki

Paljonko 5 300 kuutiosenttimetriä on litroina?

1 000 kuutiosenttimetriä = 1 kuutiodesimetri, joten $x \, \text{cm}^3 = x \cdot \frac{1}{1000} \, \text{dm}^3 = x \cdot \frac{1}{1000} \, \text{l}.$ Siis 5 300 kuutiosenttimetriä on 5 300/1 000 litraa eli 5,3 litraa.

Esimerkki

Suolaliuoksen suolapitoisuus on 12%. Kuinka paljon siinä on suolaa grammoina, kun liuoksen kokonaismäärä on 2,5 kg?

Suolaa on $0,\!12 \cdot 2,\!5 \, \text{kg} = 0,\!3 \, {\color{red}\text{kg}} = 0,\!3 \cdot {\color{red}1000 \, \text{g}} = 300 \, \text{g}.$

Liuoksessa on suolaa 300 g.

Muutkin yksikkömuutokset menevät vastaavilla yhtälöratkaisumenetelmillä. Esimerkiksi tippalaskut (tippa = gutta = gtt).

Esimerkki

Nuhatippojen pitoisuus on 0,5 mg/ml. Annostus on 1 tippa kumpaankin sieraimeen kolme kertaa vuorokaudessa. Kuinka paljon vaikuttavaa ainetta kyseisellä annostuksella saadaan vuorokaudessa? Tässä 1 gtt = 20 ml.

Vuorokaudessa tippoja laitetaan $2 \cdot 3 = 6 \text{ tippaa},$ joka vastaa ( $x \, \text{gtt} = x \cdot 20 \, \text{ml}$ ) $6 \cdot 20 \, \text{ml} = 120 \, \text{ml}.$ Joten vaikuttavaa ainetta saadaan $0,5\, \text{mg/ml} \cdot 120 \, \text{ml} = 60 \, \text{mg}.$

Ongelma

Silmätippapipetissä on 0,3 ml nestettä. Montako tippaa on yhdessä annospipetissä, kun 1 ml on 33 gtt.

Ratkaisuidea

1 ml = 33 gtt, joten $x \, \text{ml} = x \cdot 33 \,\text{gtt}$

STACK-harjoituksia yksikkömuunnoksista.

Lisää harjoitusta yksikkömuunnoksista voi etsiä myös Kisällioppinen-sivustolta (2.1-2.4).

Jos haluat vielä kerrata yksikkömuunnosten ideoita, voit katsoa esimerkiksi opetus.tv:n videot.

2.2.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö on muotoa ax + b = 0, missä ja ovat reaalilukuja ja $a \neq 0$ . Ensimmäisen asteen yhtälö voidaan ratkaista suoraan muokkaamalla yhtälöä. Ratkaisu on $x = -\frac{b}{a}.$

Edeltävät yhtälöesimerkit ovat ensimmäisen asteen yhtälöitä.

Esimerkki

Ratkaise yhtälö $-\frac{x}{3} = 2x - 1.$

# V22

Ongelma

Astiassa on $0,\!25$ litraa 10-prosenttista rikkihappoa. Kuinka paljon vettä on lisättävä, jotta rikkihappo laimenisi 8-prosenttiseksi?

Vastaus

0,0625 litraa

Esimerkki

Kuinka paljon olisi pitänyt tallettaa vuotta sitten, jotta nyt tilillä olisi 700 euroa, kun tilille maksetaan prosentin korko kerran vuodessa?

Vastaavasti kuin 1000 euron osakesalkkuongelmassamme, saamme $700 =A\left(1+\frac{4}{100}\right)^{6}.$ 700 vastaa ongelman ta ja osakesalkun alkupääomaa 1000 .

Ratkaistaan yhtälöstä . $\begin{align*} \qquad &A\left(1+\frac{4}{100} \right)^6=700 \\ \Longleftrightarrow \qquad &A\left(1+\frac{4}{100} \right)^6{\color{red}\left(1+\frac{4}{100} \right)^{-6}}=700{\color{red}\left(1+\frac{4}{100} \right)^{-6}} \\ \Longleftrightarrow \qquad &A{\color{blue}\left(1+\frac{4}{100} \right)^{6-6}}=700\left(1+\frac{4}{100} \right)^{-6} \\ \Longleftrightarrow \qquad &A\cdot {\color{blue}1}=700\left(1+\frac{4}{100} \right)^{-6} \\ \Longleftrightarrow \qquad &A=700\left(1+\frac{4}{100} \right)^{-6} \end{align*}$

Laskimella voi selvittää likiarvon talletukselle : $A \approx 553,\!2$ euroa.

Esimerkki

Jos yhtälössä on muuttujan lisäksi parametreja, niin yhtälö ratkaistaan muuttujan suhteen. Tällöin parametreja käsitellään yllä olevilla reaalilukuihin liittyvillä säännöillä.

Esimerkiksi ratkaistaan yhtälö a+bx =x+2 muuttujan suhteen (tässä ja ovat parametreja). Tämä tarkoittaa, että haluamme toiselle puolelle -merkkiä vain n.

Jos $b\neq 1$ , niin $\begin{align*} \qquad &a+bx=x+2 \\ \Longleftrightarrow\qquad &a+bx{\color{red}-x-a}=x+2{\color{red}-x-a} \\ \Longleftrightarrow\qquad &(b-1)x=2-a \\ \Longleftrightarrow\qquad &{\color{red}\frac{1}{b - 1}}(b-1)x = {\color{red}\frac{1}{b - 1}}(2 - a)\\ \Longleftrightarrow\qquad &x=\frac{2-a}{b-1}. \end{align*}$

Saatu ratkaisu kannattaa aina sijoittaa takaisin alkuperäiseen yhtälöön ja tarkastaa, että yhtälö toteutuu. Esimerkiksi, kun yhtälöön sijoitetaan väitetty ratkaisu $x=\frac{2-a}{b-1}$ ja $b\neq 1$ , saadaan $\begin{align*} \qquad &a+b\left(\frac{2-a}{b-1}\right)=\frac{2-a}{b-1}+2 \\ \Longleftrightarrow\qquad &\frac{a(b-1)}{b-1} + \frac{b(2-a)}{b-1} = \frac{2-a}{b-1} + \frac{2(b-1)}{b-1} \\ \Longleftrightarrow\qquad &\frac{ab-a}{b-1} + \frac{2b-ab}{b-1} = \frac{2-a}{b-1} + \frac{2b-2}{b-1} \\ \Longleftrightarrow\qquad &\frac{ab-a + 2b - ab}{b-1} = \frac{2-a + 2b - 2}{b-1}\\ \Longleftrightarrow\qquad &\frac{-a + 2b}{b-1} = \frac{-a + 2b}{b-1}, \end{align*}$ jossa molemmat puolet -merkistä ovat yhtä suuret, joten x=(2-a)/(b-1) on tosiaan kyseisen yhtälön ratkaisu, kun $b\neq 1$ .

Ongelma

Mitä edellisessä esimerkissä tapahtuu, jos b=1 ? Mikä on yhtälön ratkaisu?

# stack22

# stack29

# stack36

2.2.3 Toisen asteen yhtälö

# ratkaisukaava

2.2.4 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälö ax^2 + bx + c = 0, missä , ja ovat reaalilukuja ja $a \neq 0$ , ratkeaa 2. asteen yhtälön ratkaisukaavalla: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Lukua kutsutaan diskriminantiksi.
- Ratkaisut ovat reaalilukuja, jos $b^2-4ac\geq 0$ .
- Jos diskriminantti on negatiivinen, yhtälön ratkaisut ovat niin kutsuttuja kompleksilukuja. Tällä kurssilla voi todeta, että yhtälöllä ei ole tällöin (reaalisia) ratkaisuja.

Esimerkki

Esimerkiksi yhtälön x^2-x-6=0 ratkaisut ovat ratkaisukaavan mukaan (huomaa, että $x^2-x-6 = {\color{red}1}\cdot x^2 + {\color{blue}(-1)}\cdot x + {\color{orange}(-6)}$ ) $x=\frac{-{\color{blue}(-1)}\pm \sqrt{{\color{blue}(-1)}^2-4\cdot {\color{red}1}\cdot {\color{orange}(-6)}}}{2\cdot {\color{red}1}}=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}.$ Siis ratkaisut ovat x=-2 ja x=3 .

Toisen asteen yhtälöllä voi olla myös vain yksi ratkaisu. Milloin näin tapahtuu?

Esimerkiksi yhtälöllä x^2 - 2x + 1 = 0 on ratkaisuna vain x = 1 .

Esimerkki

Ratkaise 2. asteen yhtälö 2x^2 - 1 = -x.

# V3

Toisen asteen yhtälöt, jotka ovat muotoa ax^2+c=0 tai ax^2+bx=0 , ovat vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä. Nämäkin voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, mutta vaihtoehtoisesti voidaan käyttää muita menetelmiä, joita seuraava esimerkki havainnollistaa.

Esimerkki

Ratkaistaan vaillinainen toisen asteen yhtälö . Aloitetaan ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisun hengessä saattamalla yhtälö muotoon, jossa on yksinään toisella puolella. Lisäämällä molemmille puolille luvun 20 ja jakamalla puolittain luvulla 5 saadaan . Kun otetaan puolittain neliöjuuri, saadaan $x=\pm\sqrt{4}$ eli $x=\pm 2$ .
Ratkaistaan vaillinainen toisen asteen yhtälö . Aloitetaan ottamalla yhteiseksi tekijäksi, jolloin saadaan . Nyt tulon nollasäännön nojalla saadaan tai .

Muotoa x^2=a olevaa yhtälöä kutsutaan joskus neliöyhtälöksi. Ratkaisujen lukumäärä määräytyy seuraavalla tavalla:

Jos , yhtälöllä on kaksi ratkaisua $x=\pm \sqrt{a}$ .
Jos , yhtälöllä on yksi ratkaisu .
Jos , yhtälöllä ei ole (reaalista) ratkaisua.

Alla olevalla sovelmalla voit tarkastella graafisesti neliöyhtälön ratkaisuja.

# geo2taso14

# voitto-on-nolla

Ongelma

Mallinnetaan yrityksen voittoa lausekkeella $pq - \frac{1}{2}cq^2.$

Muuttujana on tuotantomäärä . Parametreinä meille on annettu lopputuotteen hinta ja , joka antaa yritykselle lankeavan kustannuksen $\frac{1}{2}cq^2$ , kun tuotantomäärä on .

Millä tuotantomäärällä voitto on nolla?

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt ovat esimerkkejä yleisestä polynomiyhtälöstä. Astetta oleva polynomiyhtälö on $a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_0=0,$ missä kertoimet $a_0, a_1, \ldots$ ovat reaalilukuja ja $a_{n}\neq 0$ .

Kun $n\geq 3$ , yhtälön ratkaiseminen on yleisesti ottaen vaikeaa käsin. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille voidaan johtaa samantapaiset ratkaisukaavat kuin toisen asteen yhtälöllekin. Viidennen ja sitä korkeamman asteen yhtälöille ratkaisukaavaa ei ole olemassa! Joskus ratkaiseminen eksplisiittisesti kuitenkin onnistuu.

Esimerkki

Esimerkiksi astetta 8 olevan yhtälön x^8 + 9x^7 - 10 x^6= 0 ratkaisut koostuvat yhtälöiden $x^6=0, \quad x-1=0, \quad \text{ja} \quad x+10=0$ ratkaisuista (miksi?).

Ne ovat x=0 , x=1 ja x=-10 .

Vastaus, miksiin

Edellä saadaan kaikki ratkaisut, koska x^8 + 9x^7 - 10 x^6 = x^6(x-1)(x+10) ja tulon nollasäännön (katso Sääntöjä 1.2.1 kohta 6) perusteella x^6(x-1)(x+10) = 0 ainoastaan silloin, kun ainakin jokin tulon tekijöistä on nolla.

Esimerkki

Esimerkiksi yhtälön $\frac{(x^2-4)}{x^{100}+x^{43}+1}=0$ ratkaisut ovat samat kuin yhtälön x^2-4=0 (miksi?).

Ratkaisut ovat siis x=2 ja x=-2 (toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan 2.2.4 perusteella).

Tässä on oleellista sijoittaa väitetyt ratkaisut takaisin alkuperäiseen yhtälöön, jotta emme vahingossa tulisi tilanteeseen, jossa jakaisimme nollalla.

# stack23

# stack24

Harjoittele lisää toisen asteen yhtälöiden ratkaisemista STACK-tehtävien avulla.

# stack25

# stack26

# stack39

2.3 Epäyhtälö

Epäyhtälössä kahden lausekkeen välissä on epäyhtälömerkki (, , $\leq$ tai $\geq$ ).

Epäyhtälöihin törmätään esimerkiksi taloustieteessä tämän tästä, sillä optimia yritetään etsiä jatkuvasti. Optimoinnissa etsitään parasta ratkaisua kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta; epäyhtälöillä voidaan rajoittaa mahdollisten ratkaisujen joukkoa.

Esimerkiksi budjettirajoite () kertoo mihin on varaa: $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$ missä on käytettävissä oleva tulo ja sekä ovat kahden hyödykkeen (, ) hinnat.
Kalastuskiintiöissä esimerkiksi voidaan antaa suurin sallittu saalis (TAC 'Total allowable catches'), jonka alle saaliiden tulee jäädä.
Usein on myös taloudellisesti mielekästä tutkia vain positiivisia lukuja (esimerkiksi tuotantomäärä). Tämäkin esitetään epäyhtälöllä .

Kun ratkaiset epäyhtälöä, ole tarkkana epäyhtälömerkin kanssa:

kun lisäät (tai vähennät) puolittain minkä tahansa luvun, merkki säilyy samoin päin
kun kerrot (tai jaat) puolittain positiivisella luvulla, merkki säilyy samoin päin
kun kerrot (tai jaat) puolittain negatiivisella luvulla, merkki kääntyy

Ensimmäisen asteen epäyhtälö ax + b < 0, (tai , $\leq$ , $\geq$ ), missä ja ovat reaalilukuja ja $a \neq 0$ , voidaan ratkaista suoraan muokkaamalla epäyhtälöä (muista huolehtia merkin kääntymisestä).

Esimerkki

Ratkaistaan epäyhtälö $-3x+9 \leq 0$

$\begin{align*} \qquad &-3x+9 \leq 0 \\ \Longleftrightarrow\qquad &-3x+9{\color{red}-9} \leq 0{\color{red}-9} \\ \Longleftrightarrow\qquad &-3x \leq -9 \\ \Longleftrightarrow\qquad &\frac{-3x}{{\color{red}-3}} {\color{red}\geq} \frac{-9}{{\color{red}-3}} \\ \Longleftrightarrow\qquad &x\geq 3. \end{align*}$ Tämän epäyhtälön ratkaisu koostuu siis luvusta ja sitä suuremmista luvuista.

Ongelma

Ratkaise seuraava 1. asteen epäyhtälö. $-\frac{x}{3} \leq 2x-1$

# V4

Esimerkki

Ratkaistaan yhtälö $\sqrt{2x-1}=x$ .

Neliöjuuri on määritelty vain, kun $2x - 1 \geq 0$ eli kun $x\geq 1/2$ .

Neliöjuuren määritelmän 1.4.6 perusteella saadaan 2x-1=x^2 . Tämän toisenasteen yhtälön ratkaisu on x=1 (toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan 2.2.4 perusteella).

Koska 1>1/2 , joka oli rajoitteemme neliöjuuren määrittelemiseksi, x = 1 on etsitty ratkaisu.

Toisen asteen epäyhtälön $ax^2 + bx + c < 0 \quad (a,b,c \in \mathbb R, \; a \neq 0)$ (tai , $\leq$ , $\geq$ ) voi ratkaista selvittämällä ensin vastaavan yhtälön ratkaisut (toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla 2.2.4) ja sitten käyttämällä merkkikaaviota tai mallikuvaa. Merkkikaaviosta on esimerkkejä [EMAE, 2.6].

# merkkikaavio

Esimerkki

Ratkaise 2. asteen epäyhtälö: $2x^2 - 1 \geq -x$

# V5

Esimerkki

Esimerkiksi epäyhtälö x^2-3x-4 < 0 voidaan ratkaista tutkimalla ensin yhtälön x^2-3x-4=0 ratkaisuja, ja päättelemällä niiden avulla annetun epäyhtälön ratkaisut.

Toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat x = -1 ja x = 4 (toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan 2.2.4 perusteella). Näillä, eikä millään muilla, muuttujan arvoilla lauseke x^2-3x-4 saa arvon nolla.

Näiden lukujen välissä lauseke saa negatiivisia arvoja ja muualla positiivisia (miksi?).

Näin ollen epäyhtälön ratkaisut koostuvat luvuista, jotka ovat aidosti suurempia kuin ja aidosti pienempia kuin eli x > -1 ja x < 4 .

Kaksoisepäyhtälö on lyhennysmerkintä kahden epäyhtälön yhdistelmälle.

Esimerkiksi $3 \leq 2x + 1 < 5$ tarkoittaa samaa kuin $3 \leq 2x + 1 \;\; \text{ja} \;\; 2x + 1 < 5$ .
Edellisen esimerkin ratkaisujoukko voidaan kirjoittaa myös .

Esimerkki

Milloin lauseke $\left(2x + \frac{x}{3} - 1\right)\left(2x^2 + x - 1\right)$ saa positiivisia arvoja?

# V6

Ongelma

Millä luvuilla epäyhtälö (x-1)(x+1)>0 on tosi?

Vastaus (mutta ei ratkaisu)

Kun $x>1 \quad \text{tai} \quad x<-1.$

# stack40

# itseisarvo

2.4 Itseisarvo

Merkintää |x| kutsutaan reaaliluvun itseisarvoksi. Se määritellään seuraavasti: $|x| = \begin{cases} x, & \text{kun } x \geq 0 \\ -x, & \text{kun } x < 0 \end{cases}$

Yllä oleva itseisarvon määritelmä on voimassa myös lausekkeille.

Esimerkki

Millä luvuilla yhtälö |x-3|=x on voimassa, eli mitkä ovat sen ratkaisut?

Määritelmän perusteella $|x-3|=\begin{cases} x-3,& \text{kun } x-3\geq 0,\\ -x+3,& \text{kun } x-3<0. \end{cases}$

Jos $x\geq 3$ , yhtälö on sama kuin yhtälö . Vähentämällä puolittain , saadaan . Tämä tarkoittaa, että tehtävän yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun $x\geq 3$ .
Jos taas , tehtävän yhtälö on . Tämän yhtälön ja siten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on $x=\frac{3}{2}$ .

Reaaliluvun itseisarvolle |x| pätee

$|x| \geq 0 \quad\quad\;$ kaikilla reaaliluvuilla.
$|x| = 0 \quad\quad\;$ jos ja vain jos
$|x| = \sqrt{x^2} \;\;\;$ kaikilla reaaliluvuilla
$|x| \,$ on luvun $\,x\,$ etäisyys nollasta lukusuoralla eli reaaliakselilla $\mathbb{R}$
on lukujen ja etäisyys toisistaan

Koska |x - y| on lukujen etäisyys toisistaan, edellisessä esimerkissä etsittiin sitä lukua, jonka etäisyys luvusta on yhtä suuri kuin luku itse. Kyseinen luku on juurikin $\frac{3}{2}$

$\begin{tikzpicture} \draw[-latex] (-3.5,0) -- (8,0) ; %edit here for the axis \foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} % edit here for the vertical lines \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {0,3/2,3} % edit here for the numbers \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,0pt) -- (0pt,-3pt) node[below] {$\x$}; \end{tikzpicture}$

Itseisarvo yhtälössä ja epäyhtälössä

Olkoon $c \geq 0$ .

$\begin{array}{ll} |x| = c &\quad \iff \; x = c \; \text{ tai } \, x = -c \\ |x| < c &\quad \iff \; -c < x < c \\ |x| > c &\quad \iff \; x < -c \; \text{ tai } \, x > c \end{array}$ (Tapaukset epäyhtälömerkeillä $\leq\,$ , $\geq$ menevät vastaavasti.)

Jos yllä olevia sääntöjä ei muista, itseisarvoepäyhtälön voi ratkaista myös jakamalla tarkastelun tapauksiin

Milloin itseisarvojen sisällä on suurempaa tai yhtäsuurta kuin ?
Milloin itseisarvojen sisällä on pienempää kuin ?

Näin päästään itseisarvomerkeistä eroon, kuten teimme edellisessä esimerkissä.

Harjoittele itseisarvolausekkeilla laskemista STACK-tehtävien avulla.

# stack7

# stack8

Tehtäviä

Ympäristöekonomian hengessä tarkastellaan alueellisen saasteen kulkeutumista joessa. Lauseke $0,\!5 x$ kuvaa tehtaan A päästöjen kulkeutumista tarkkailupisteeseen 1 ja lauseke $0,\!8 y$ tehtaan B päästöjen kulkeutumista tarkkailupisteeseen 1.
1. Tehtaan A päästöt ovat 800 yksikköä, millä tehtaan B päästöillä tarkkailupisteeseen 1 kulkeutuu yhtä paljon päästöjä molemmista tehtaista?
2. Tehtaan A päästöt ovat 800 yksikköä ja tarkkailupisteessä 1 havaitaan päästöjä 1200 yksikköä. Oletetaan, että kaikki loput havaitut päästöt ovat tehtaasta B. Mitkä ovat tehtaan B päästöt?

1. Ratkaise yhtälö $\frac{4x - 1}{5} = \frac{x + 1}{2}+ \frac{3 - x}{4}.$
2. Ratkaise muuttujan suhteen yhtälö $Rx\left(1 - \frac{x}{K}\right) = 0.$ Tässä ja ovat parametreja.

1. Ratkaise yhtälö
2. Ratkaise yhtälö

1. Ratkaise yhtälö
2. Tarkastellaan yhtälöä
  - Millä vakiolla , on yhtälön ratkaisu?
  - Onko yhtälöllä tällöin muita ratkaisuja?

1. Ratkaise epäyhtälö $10(x + 3) \geq 4x - 2.$
2. Milloin lauseke saa aidosti positiivisia arvoja?

1. Ratkaise
2. Ratkaise

# geo2taso6

# geo2taso3

# 3

3. Funktioista

Tässä osassa käsitellään seuraavia asioita

funktion käsite ja merkinnät
- sopimus määrittelyjoukosta
funktion kuvaaja
paloittain määritelty funktio
erityisiä funktiotyyppejä
- polynomit
  - lineaarinen funktio
    - suora
- potenssifunktio
funktioiden summa, erotus, tulo, osamäärä
- rationaalifunktiot
yhdistetty funktio

Osiota vastaa [EMEA, 4.1-4.4, 4.6-4.8, 5.1 ja 5.2].

Muuttujien välisiä riippuvuuksia esitetään funktioiden avulla.

Olemme nähneet muuttujien välisiä riippuvuuksia jo aiemmin: esimerksiksi osakesalkkumme, jonka alkupääoma oli 1000 euroa ja vuosittain maksettava korko prosenttia, pääoma riippuu kuluneesta ajasta (vuotta) seuraavasti: $K=1000\left(1+\frac{5}{100}\right)^{t}.$ Ongelmassamme aikana oli vuotta.

Esimerkki

Kysyntäfunktio kertoo kuinka jonkin hyödykkeen kysyttymäärä riippuu kyseisen hyödykkeen hinnasta. Kysyntäfunktio määritellään usein yhtälön avulla.

Jäätelön markkinakysyntä voisi olla Q = 19 - 6P , missä on kysytty määrä ja on hinta. Esimerkiksi, jos hyödykkeen hinta on , niin kysyttymäärä on $19 - 6\cdot 2 = 7$ .

Kysyntäfunktiota merkitään usein kirjaimella . Siten Q=D(P) , missä jäätelön markkinakysynnän funktiomme määritellään yhtälöllä D(P) = 19 - 6P .

Esimerkissä on sääntö, joka kuvaa hinnan markkinakysynnäksi Q = D(P) .

Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon täsmälleen yhden maalijoukon alkion.

Merkitään $f \; \colon A \longrightarrow B$ missä

$f \quad$ on funktion nimi
$A \quad$ on määrittelyjoukko
$B \quad$ on maalijoukko

Määrittelyjoukko on se joukko, jonka alkioita funktio kuvaa. Maalijoukko on sellainen joukko, joka sisältää kaikki nämä kuvat.

Esimerkki

Edellisessä jäätelön markkinakysynnässä funktion nimi on ja lausekkeena funktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Taloustieteellisesti lienee järkevää rajoittaa määrittelyjoukko ei-negatiivisiin hintoihin. Näin ollen määrittelyjoukko on ei-negatiiviset reaaliluvut eli $P \geq 0$ . Tätä joukkoa merkitään välillä $\R_+$ .

Kysytyt määrät ovat reaalilukuja, joten maalijoukoksi voidaan valita kaikki reaaliluvut. Siis $D \colon \R_+ \to \R, \qquad D(P) = 19-6P.$

Merkintä y=f(x) tarkoittaa funktion arvoa pisteessä . Edellä funktion arvo pisteessä on kysyntämäärä hinnalla eli Q = D(P) .

Tällä kurssilla käsitellään reaalifunktioita eli funktioita, joiden

määrittelyjoukko on $\mathbb{R}$ tai sen osajoukko
maalijoukko on $\mathbb{R}$

# valit

Esimerkiksi voi olla avoin väli (a,b) (tai ]a, b[ ), missä ja ovat reaalilukuja. Tässä merkintä (a,b) tarkoittaa kaikkia reaalilukuja, jotka ovat aidosti suurempia kuin mutta aidosti pienempiä kuin . Näin ollen ja eivät kuulu tähän joukkoon. Toisin sanottuna, avoin väli (a,b) tarkoittaa kaikkia niitä reaalilukuja, jotka toteuttavat epäyhtälöt a < x < b .

Muut välit määritellään vastaavasti: $\begin{array}{ll} \left[a,b\right] \qquad \text{eli reaaliluvut $x$, jotka toteuttavat epäyhtälöt $a \leq x \leq b$} \quad & (\text{``suljettu väli"}) \\[4pt] \left(a,b\right) \qquad \text{eli reaaliluvut $x$, jotka toteuttavat epäyhtälöt $a < x < b$} \quad & (\text{``avoin väli"}) \\[4pt] \left[a,b\right) \qquad \text{eli reaaliluvut $x$, jotka toteuttavat epäyhtälöt $a \leq x < b$} \quad & (\text{``puoliavoin väli"}) \\[4pt] \left(a,b\right] \qquad \text{eli reaaliluvut $x$, jotka toteuttavat epäyhtälöt $a < x \leq b$} \quad & (\text{``puoliavoin väli"}) \end{array}$

Sopimus määrittelyjoukosta

Usein funktio annetaan pelkän lausekkeen f(x) avulla. On sovittu, että tällöin funktion määrittelyjoukko on laajin mahdollinen (reaaliluku)joukko, jossa lauseke saa reaalilukuarvoja.

Käytännössä määrittelyjoukko löytyy ottamalla reaalilukujen joukosta $\mathbb R$ pois kaikki "ongelmalliset" kohdat:

nollalla ei voi jakaa
negatiivisesta luvusta ei voi ottaa parillista juurta
$\ldots$

Esimerkki

Jos muuta ei ole mainittu, niin funktion , missä $\, g(x) = x^2 \,$ , määrittelyjoukko on koko $\, \mathbb R$ , koska reaaliluvun toinen potenssi on aina määritelty.

Esimerkki

Jos muuta ei ole mainittu, niin funktion , missä h(x)=x^2+1/x , määrittelyjoukko on kaikki reaaliluvut paitsi , koska nollalla ei saa jakaa.

# maarjoukko

Funktion nollakohdalla tarkoitetaan sitä määrittelyjoukon lukua, jolla funktion arvo on nolla. Nollakohta ratkaisee siis yhtälön f(x)=0 .

Luvussa 2 mietittiin millä tuotantomäärällä yrityksen voitto on nolla:

Ongelma

Mallinnetaan yrityksen voittoa lausekkeella $pq - \frac{1}{2}cq^2.$

Muuttujana on tuotantomäärä . Parametreinä meille on annettu lopputuotteen hinta ja , joka antaa yritykselle lankeavan kustannuksen $\frac{1}{2}cq^2$ , kun tuotantomäärä on .

Millä tuotantomäärällä voitto on nolla?

Ongelmassa siis ratkaistiin funktion $\pi$ , $\pi(q) = pq - \frac{1}{2}cq^2$ , nollakohta.

# stack31

Lisää STACK-tehtäviä funktioista

# stack30

# stack32

# stack33

3.1 Funktion kuvaaja

Funktion kuvaaja on graafinen esitys, joka havainnollistaa funktion käytöstä. Kuvaaja on pisteiden (x,f(x)) joukko -tasossa, missä kuuluu funktion määrittelyjoukkoon.

Esimerkkejä

Funktion , missä , kuvaaja on suora ja määrittelyjoukko koko $\mathbb R$ .
Funktion $g : [0, 1] \to \mathbb R$ , $\;g(x) = x^2$ , kuvaaja on paraabelin se osa, jossa $x \in [0,1] \;$ (eli paraabelin pisteiden ja välinen osa).
Kuten jo aikaisemmin näimme, funktion , missä , määrittelyjoukko on kaikki reaaliluvut paitsi , koska nollalla ei saa jakaa.

Alta löydät näiden esimerkkien kuvaajat.

# g1

Paloittain määritelty funktio

Funktio voidaan määritellä myös paloittain eli antamalla määrittelyjoukon eri osissa eri sääntö.

Esimerkiksi itseisarvofunktio on paloittain määritelty:

Esimerkki

Funktiota , joka määritellään lausekkeella f(x) = |x| eli $f(x) = \begin{cases} x, & \text{kun } x \geq 0 \\ -x, & \text{kun } x < 0 \end{cases}\;,$ kutsutaan itseisarvofunktioksi. Funktion määrittelyjoukko on koko $\mathbb R$ .

# g2

Ongelma

Operaattorin peruskuukausimaksu on euroa. Yli Gt kulutuksesta operaattori laskuttaa $1,\!5$ euroa per Gt, mutta lisägigoista tulee enintään euron lasku.

Millä funktiolla kuvaisit liittymän hintaa kulutetun gigatavun suhteen?

3.2 Lineaarinen funktio

Lineaarisella funktiolla tarkoitetaan funktiota , jonka lauseke on muotoa f(x)=ax+b, jossa ja ovat annettuja reaalilukuja.

Lineaarinen funktio esiintyy esimerkiksi, kun mietitään, miten matkan riippuu nopeudesta, useamman juomatölkin hinta riippuu yhden tölkin hinnasta, sähkön hinta riippuu kulutuksesta...

Lineaarisista malleista lisää tietoa Kisällioppinen-sivustolta.

# suora

3.2.1 Suora

Lineaaristen funktioiden kuvaajat ovat suoria.

Jos (x_1,y_1) ja (x_2,y_2) ovat eri pisteitä, niiden kautta kulkee tasan yksi suora.

Jos $\,x_1 \neq x_2$ , niin suoran kulmakerroin on $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ja suoran yhtälö on y = k (x-x_1) + y_1. Jos $\,x_1 = x_2$ , suora on pystysuora ja sen yhtälö on x = x_1 .

Lineaarisen funktion kuvaajat ovat suoria, joiden kulmakerroin on luku .

Jos , suora nousee kuljettaessa vasemmalta oikealle.
Jos , suora laskee kuljettaessa vasemmalta oikealle.

Alla olevalla sovelmalla näytetään vaiheittain, miten suoran kulmakerroin määritetään graafisesti.

Vaihe 1: Luetaan suoralta kaksi pistettä.

Vaihe 2: Hahmotellaan suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat koordinaattiakselien suuntaisia.

Vaihe 3: Määritetään kateettien avulla muutokset -suunnassa (eli vaakasuunnassa) ja -suunnassa (eli pystysuunnassa).

Vaihe 4: Jaetaan -suuntainen (eli pystysuuntainen) muutos -suuntaisella (eli vaakasuuntaisella) muutoksella.

Lopuksi kannattaa vielä tarkistaa kulmakertoimen etumerkki: Nousevan suoran kulmakerroin on positiivinen, kun taas laskevan suoran kulmakerroin on negatiivinen.

# geo2taso13

Esimerkki

Esimerkiksi tarkastelemamme markkinakysyntäfunktion $D \colon \R_+ \to \R, \qquad D(P) = 19-6P.$ kulmakerroin on .

Huomautus

Suoran kuvaajasta yhtälön saa valitsemalla kaksi pistettä suoralta.

Tällöin kulmakertoimen ja suoran yhtälön saa yllä olevalla kaavalla.

Suoran yhtälöt kirjoitetaan yleensä normaalimuodossa eli y = a x + b tässä on kulmakerroin ja (0, b) on piste, missä suora leikkaa -akselin.

Taulukkolaskentaohjelmissa niin sanotun sovitetun suoran yhtälön kertoimet saa esimerkiksi komennoilla $\text{SLOPE} (y,x)$ (kulmakerroin ) ja $\text{INTERCEPT}(y,x)$ (leikkauspiste ).

Standardisuora on apuväline kemiassa, jonka avulla pystytään määrittelemään aineiden pitoisuuksia. Esimerkiksi havaintoihin sovitetun standardisuoran tapauksessa suoran yhtälö pitää usein selvittää. Tämä onnistuu edellisen huomautuksen kikoilla.

Lineaarisen mallin (esimerkiksi standardisuora) sovittamisesta mittaustuloksiin löytyy lisää tietoa Kisällioppinen-sivustolta.

Voit harjoitella kuvaajan ja suoran yhtälön välistä yhteyttä seuraavan STACK-tehtävän avulla.

# stack9

Ongelma

Ratkaisimme yllä olevassa esimerkissä yhtälön -x + 4 = 4x - 2.

Jos merkitään f(x) = -x + 4 ja g(x) = 4x - 2 , missä ylläolevan yhtälön ratkaisu näkyy funktioiden ja kuvaajissa?

Vastaus

Ratkaisu on kuvaajien leikkauspisteen -koordinaatti. Leikkauspisteen -koordinaatin saa sijoittamalla ratkaisun kumpaantahansa funktioon y = f(6/5) = g(6/5) .

# desmosAPIslider5

Ongelma

Miten löydät markkinatasapainon kuvaajien avulla?

Esimerkki

Jos meillä on budjetti (euroa) ja kaksi tuotetta, joiden hinnat ovat p_1 ja p_2 euroa kappaleelta, niin yhtälö p_1 q_1 + p_2q_2 = b määrittää niin kutsutun budjettisuoran. Tässä q_1 on ensimmäisen tuotteen määrä ja q_2 toisen tuotteen määrä.

Veeti Hipsteri leipoo. Hän käyttää joka viikko 40 euroa jauhoihin. Hänelle kelpaavat lähitilan luomu ruis- ja vehnäjauhot. Ruisjauhot maksavat 4e/kg ja vehnäjauhot maksavat 2e/kg. Selvitä budjettisuoran yhtälö. Mikä on sen kulmakerroin?

Budjettisuoran määrittää yhtälö 2 q_1 + 4 q_2 = 40, missä q_1 on ruisjauhojen määrä (kg) ja q_2 on vehnäjauhojen määrä (kg).

Ratkaistaan yhtälö q_2 suhteen: $q_2 = \frac{40 - 4 q_1}{2} = 20 {\color{red} \, - \, 2} q_1$

Jos muuttujana on ruisjauhojen määrä ( q_1 ), niin kulmakertoimena on ${\color{red} \, - \, 2}$ . Alla olevassa kuvassa -akselilla on ruisjauhot (eli x = q_1 ) ja -akselilla vehnäjauhot (eli y = q_2 ).

Ongelma

Ruisjauhot kallistuvat 10 prosenttia. Mikä on uuden hinnan mukaisen budjettisuoran kulmakerroin?

# desmosAPIslider6

Yllä olevassa kuvassa on budjetti, suora on budjetti suora, joka kertoo vehnäjauhojen määrän ruisjauhojen määrän funktiona, ja on ruisjauhojen hinnan muuttuminen :llä prosentilla.

# stack34

# stack35

3.3 Polynomi

Yllä mainittu lineaarinen funktio on yksi esimerkki polynomifunktiosta.

Polynomi (eli polynomifunktio) on funktio , jolla $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,$ missä $a_0, a_1, \dots , a_n \in \mathbb R$ ja $n \in \mathbb N \cup \{0\}$ ja $a_n \neq 0$ .

Polynomien määrittelyjoukko on koko $\mathbb R$ .

$\begin{array}{ll} n & \text{ polynomin aste } \\ a_0, a_1, \ldots , a_n & \text{ polynomin kertoimet} \\ a_j x^j & \text{ ($j$:nnen asteen) termi} \\ a_j & \text{ ($j$:nnen asteen termin) kerroin} \end{array}$

Esimerkki

Toinen tärkeä esimerkki on toisen asteen polynomifunktio , f(x)=ax^2+bx+c , jossa a,b ja ovat annettuja lukuja ja $a\neq 0$ . Sen kuvaaja on ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli.

Alla olevassa GeoGebra-esimerkissä voit tutkia, miten yhtälössä $\, f(x) = ax^2 + bx + c \,$ esiintyvät kertoimet vaikuttavat kuvaajan (paraabelin) muotoon. Geogebra Copyright © International GeoGebra Institute, 2013

# g3

# ylosvaialas

Esimerkki

Olemme mallintaneet yrityksen voittoa lausekkeella $pq-\frac{1}{2}cq^2.$ Tässä yrityksen kustannusfunktio on toisen asteen polynomi muuttujan suhteen, missä on yrityksen lopputuotemäärä: $C(q)=\frac{1}{2}cq^2.$

Funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä

Kun ja ovat funktioita ja kuuluu kummankin määrittelyjoukkoon, saadaan uudet funktiot

$\,(f+g)(x) = f(x) + g(x)\quad$	$\text{(summa)}$
$\,(f-g)(x) = f(x) - g(x)\quad$	$\text{(erotus)}$
$\,(fg)(x) = f(x) g(x)\quad\quad$	$\text{(tulo)}$

Lisäksi niille , joille $g(x) \neq 0$

$\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)\!(x) = \frac{f(x)}{g(x)}}$

$\phantom{\dfrac{f}{g}}\!\!\!\!\! \text{(osamäärä)}$

3.4 Rationaalifunktio

Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä: $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)},$ missä ja ovat polynomeja.

Rationaalifunktion määrittelyjoukon muodostavat kaikki $x \in \mathbb R$ , joilla nimittäjä $Q(x) \neq 0.$

Esimerkki

Eräs tärkeä rationaalifunktio on , $f(x) = \frac{1}{x}$ , missä funktion määrittelyjoukko on kaikki reaaliluvut paitsi nolla (eli $x \neq 0$ ).

3.5 Potenssifunktio

Esimerkki

Yrityksen voitto voidaan ilmaista myös tuotantopanosmäärän funktiona. Jos lopputuotteen hinta on , tuotantopanosmäärä on ja tuotantopanoksen hinta on , niin tuotantofunktio kertoo kuinka suuri on tuotettu määrä panoksella eli q=f(x) .

Nyt yrityksen voitto $\pi$ panosmäärän funktiona määritellään yhtälöllä $\pi(x)=pq-wx=pf(x)-wx.$

Jos esimerkiksi p=100 , $f(x)=x^{1/2}$ ja w=2 , niin $\pi(x)=100x^{1/2}-2x$ . Tämän funktion kuvaajaa, kun määrittelyjoukkona on reaaliluvut, joille $0 \leq x \leq 2500$ , voi tarkastella seuraavasta Geogebrasta.

# g4

Edellisessä esimerkissä sata kertaa neliöjuuri on eräs potenssifunktio.

Olkoon ja annettuja reaalilukuja. Potenssifunktio määritellään funktioksi lausekkeella f(x)=ax^r , missä x > 0 .

Huomautus

Kyseinen funktio on määritelty vain positiivisille luvuille , koska yleisellä reaaliluvulla ei voida taata, että lauseke on määritelty myös negatiiisilla luvuilla, esimerkiksi, kun $r = \frac12$ , $f(x) = a\sqrt{x}$ ja neliöjuurta ei ole määritelty negatiivisilla luvuilla .
Ensi viikolla perustelemme derivaatan avulla, että funktio , , on aidosti kasvava, kun , ja aidosti vähenevä, kun . Kyseessä on potenssifunktio, jossa on vain asetettu .

# g5

# yhdistetty_funktio

3.6 Yhdistetty funktio

Funktioiden $\,f\,$ ja $\,g\,$ yhdistetty funktio $\;f \circ g\;$ on funktio, jolla

$(f\circ g)(x) = f(g(x)).$

Merkintä tarkoittaa yhdistetyn funktion arvoa kohdassa , ja se lasketaan soveltamalla lukuun ensin funktiota ja sitten funktiota lukuun g(x) .

Yhdistetty funktio on määritelty niillä , joilla $\,g(x)\,$ on funktion $\,f\,$ määrittelyjoukossa.

yllä $\,g\,$ on sisäfunktio ja $\,f\,$ on ulkofunktio
yhdistäminen voidaan tehdä myös toisin päin, mutta $\;g \circ f\;$ on yleensä eri funktio kuin $\;f \circ g\;$

Esimerkki

Jos g(x)=x^4 ja f(x)=1+x+x^2 , niin $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^4)=1+x^4+(x^4)^2=1+x^4+x^8.$

Ongelma

Mikä on yhdistetyn funktion $g \circ f$ arvo pisteessä edellisen esimerkin funktioille?

Yhdistetyt funktiot ovat tärkeitä taloustieteessä. Yksinkertainen esimerkki on yhteys tuotantomäärän, tuotantopanosmäärän ja ajan välillä:

Esimerkki

Tuotantomäärä riippuu käytetystä tuotantopanoksen määrästä ja tuotantopanoksen määrä riippuu ajasta. Tätä tilannetta voidaan kuvata yhdistetyn funktion avulla, joka liittää jokaiseen ajanhetkeen yksikäsitteisen tuotantomäärän.

Jos tuotantopanosmäärä riippuu ajasta funktion mukaisesti eli x=g(t) ja tuotantomäärä tuotantopanosmäärästä funktion mukaisesti q=f(x) mukaisesti, niin tuotantomäärä riippuu ajasta yhdistetyn funktion $f\circ g$ mukaisesti eli $q=(f\circ g)(t)$ .

# stack37

Lisää harjoitusta yhdistetystä funktiosta STACKillä

# stack38

# siirtojapeilaus

3.7 Kuvaajan siirto, skaalaus ja peilaus

Yleesä tilanteen hahmottamisessa auttaa, jos on edes jonkinlainen käsitys siitä, miltä tutkittavan funktion kuvaaja näyttää. Tämä ymmärrys myös vähentää huolimattomuusvirheitä muissa laskuissa.

Kuvaajan hahmottamisessa auttaa siirtojen, skaalausten ja peilausten ymmärtäminen.

Funktion kuvaajan y = f(x) siirto yksikköä

oikealle: $\quad\quad\, y = f(x-c)$
vasemmalle: $\;y = f(x+c)$
ylös: $\quad\quad\quad\;\; y = f(x) + c$
alas: $\quad\quad\quad\;\; y = f(x) - c$

Alla voit kokeilla funktioiden ${\color{blue}f}$ , f(x) = x^3 , ja ${\color{red}g}$ , g(x) = x^2 , kuvaajien siirtämistä oikealle tai vasemmalle (liukuvalitsin ) tai ylös ja alas (liukuvalitsin ).

# desmosAPIslider

Funktion kuvaajan y = f(x) skaalaus -kertaiseksi

vaakasuunnassa: $\;y = f(\frac{x}{a})$
pystysuunnassa: $\;\,y = af(x)$

Funktion kuvaajan y = f(x) peilaus

-akselin suhteen: $\quad\quad\quad\;\, y = f(-x)$
-akselin suhteen: $\quad\quad\quad\; y = -f(x)$
suoran $\;y = x\;$ suhteen: $\;\;\;\, x = f(y)$

Alla voit kokeilla funktioiden ${\color{blue}f}$ , f(x) = x^3 , ja ${\color{red}g}$ , g(x) = x^2 , kuvaajien skaalausta muuttamalla n ja n arvoja. Kun arvot ovat negatiivisia tällöin myös peilataan akseli(e)n suhteen.

# desmosAPIslider2

3.7.1 Vinkkejä kuvaajan hahmottamiseen

Yleensä riittää tietää seuraavat kuvaajat

$y =1 \quad$ (vakiofunktio)	$y= \|x\|\;\;$ (itseisarvofunktio)
$y =x \quad$ (suora)	$y= \frac{1}{x} \quad$ (eräs tärkeä hyperbeli)
$y =x^2 \;\;$ (paraabeli)	$y= \sqrt{x}\,\,$ (neliöjuurifunktio)
$y =x^3 \quad$	$y= \sqrt{1-x^2}\quad$ (puoliympyrä)

sekä siirron, skaalauksen ja peilauksen vaikutukset kuvaajaan/lausekkeeseen.

Esimerkkejä

Funktion , missä $f(x) = \sqrt{3-x}$ , kuvaaja saadaan siirron ja peilauksen avulla funktion $g(x) = \sqrt{x}$ kuvaajasta. Alla olevassa laskimessa a = 3 (siirto) ja b = -1 (peilaus).

# desmosAPIslider3

Esimerkki

Funktion , missä $f(x) = \frac{2-x}{x-1} = \frac{1-(x-1)}{x-1} = \frac{1}{x-1}-1$ , kuvaaja saadaan funktion , $g(x) = \frac{1}{x}$ , kuvaajasta siirroilla (alla olevassa laskimessa a = -1 , b = -1 ).

# desmosAPIslider4

Lisää harjoitusta funktioista voi etsiä myös Kisällioppinen-sivustolta.

Tehtäviä

Piirrä jonkin sellaisen funktion kuvaaja, jonka määrittelyjoukko on suljettu väli ja jolla on seuraavat ominaisuudet: $f(0) = 3, \qquad f(1) = 0, \qquad f(2) \text{\; on välillä \;} [1,2[ \qquad \text{ja} \qquad f(-1) >0.$ Huomaa: funktiolle ei tarvitse keksiä lauseketta.

Selvitä annetun funktion () määrittelyjoukko. Funktion määrittelee lauseke $\begin{align*} &\text{(a) } f(x) = - x^2 + 3x + 1 &\text{(b) } g(x) = \sqrt{2x-7} \\ &\text{(c) } h(x) = \frac{1}{x-3} &\text{(d) } j(x) = \sqrt{4-x^2} \end{align*}$

Suora kulkee pisteiden ja kautta sekä leikkaa -akselin pisteessä . Mikä on ? Piirrä myös kuva.

Olkoot ja $g(x) = \sqrt{x-1}$ . Selvitä seuraavien funktioiden lausekkeet ja määrittelyjoukot. $\text{(a) } f+g \quad\quad\quad \text{(b) } fg \quad\quad\quad \text{(c) } \frac{f}{g} \quad\quad\quad \text{(d) } \frac{g}{f} \quad\quad\quad \text{(e) } f \circ g \quad\quad\quad \text{(f) } g \circ f$

1. Olkoot jäätelön markkinakysyntä $D_{\text{Market}}(Q) = -\frac{1}{6}Q + \frac{19}{6}$ (euroa) ja markkinatarjonta $S_{\text{Market}}(Q) = \frac{1}{6}Q + \frac{5}{6}$ (euroa). Tässä muuttuja on jäätelön määrä.
  - Mikä on jäätelömyynnin markkinatasapaino (eli millä jäätelön määrällä kysyntä ja tarjonta ovat yhtä suuret)?
  - Hahmottele funktioiden $D_{\text{Market}}$ ja $S_{\text{Market}}$ kuvaajat.
2. Selvitä funktioiden ja kuvaajien leikkauspisteet sekä graafisesti että algebrallisesti (eli "piirtämällä ja laskemalla"). Piirtämisessä voit tarvittaessa käyttää konetta. Funktiot on määritelty lausekkeilla $f(x)=x^2+3, \qquad g(x)=3x+1.$

Funktion määrittelee lauseke $\text{(a) } \qquad f(x) = x^2 - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} \quad\quad\quad \text{(b) } \qquad g(x) = (x - 2)^2 + 1$ Vastaa seuraaviin kysymyksiin funktioiden ja osalta.

Onko funktiolla nollakohtaa tai nollakohtia? Mikä se on tai mitkä ne ovat?
Saako funktio positiivisia arvoja? Jos saa, niin missä?

1. Ratkaise
2. Ratkaise
3. - Mikä on tai mitkä ovat funktion , $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x -1},$ nollakoht(i)a?
  - Milloin funktio on aidosti positiivinen?

# 4

4. Yhtälöparit

Tässä osassa käsitellään seuraavia asioita

yhtälöpari
yhtälöryhmän ratkaisemisesta

Osiota vastaa [EMEA, 15.1].

Yhtälöryhmässä on useampi kuin yksi yhtälö. Yhtälöryhmän ratkaisevat ne muuttujan arvot, jotka toteuttavat kaikki yhtälöt.

Jos muuttujia on vain yksi, yhtälöryhmä voidaan ratkaista selvittämällä erikseen kunkin yhtälön ratkaisut ja yhdistämällä saadut ratkaisut.

# yhtaloryhmia

Esimerkkejä

Yhtälöryhmällä $\left\{ \aligned -3x + 6 &=0 \\ x - 2 &= 0 \endaligned \right.$ on yksi ratkaisu , joka saadaan ratkaisemalla kumpikin yhtälö erikseen.
Etsitään ratkaisut yhtälöryhmälle $\left\{ \aligned x^2 - 4x + 3 &=0 \\ x - 1 &= 0 \endaligned \right.$ Ensimmäiselle yhtälölle saamme esimerkiksi toisen asteen ratkaisukaavalla (2.2.4) ratkaisut ja . Toisella yhtälöllä on yksi ratkaisu . Yhtälöryhmällä on siis yksi ratkaisu , sillä tämä on ainut muuttujan arvo, joka toteuttaa molemmat yhtälöt.
Yhtälöryhmällä $\left\{ \aligned -3x + 6 &=0 \\ x^2 &= 9 \endaligned \right.$ ei ole yhtään ratkaisua, sillä ensimmäisen yhtälön ratkaisu on ja toinen yhtälö toteutuu vain, kun tai .

4.1 Kahden muuttujan yhtälöpari

Esimerkki

Meillä on kaksi eri rikkihappopulloa. Ensimmäisen väkevyys on 20% ja toisen 12%. Kuinka paljon happoja on sekoitettava, jotta saadaan litra 13 prosenttista happoa?

Rikkihappopitoisuudet ovat 20% ja 12%. Otetaan ensimmäisestä happoastiasta litraa ja toista happoa litraa.

Ensimmäisestä happoastiasta rikkihappoa tulee $0,\!20 x$ litraa ja toisesta $0,\!12 y$ litraa. Pitoisuuden pitää olla 13%, joten $\begin{equation}\label{happo} \frac{0,\!20 x + 0,\!12 y}{x + y} = \frac{13}{100} \end{equation}$

Yhteensä happoa pitää saada 1 litra, joten x + y = 1. Tästä saadaan, että y = 1 - x . Sijoitetaan saatu ensimmäiseen yhtälöön (1) : $\frac{0,\!20 x + 0,\!12 (1 - x)}{1} = \frac{13}{100}.$ Siis ${\color{red}0,\!20 x} + 0,\!12 \, {\color{red} - \, 0,\!12 x} = 0,\!13$ eli ${\color{red}0,\!08 x} = 0,\!13 - 0,\!12.$

Saatiin $x = \frac{0,\!01}{0,\!08} = 0,\!125.$ Nyt $y = 1 - x = 1 - 0,\!125 = 0,\!875$ .

Ensimmäisestä happoastiasta otetaan 0,125 litraa ja toisesta 0,875 litraa.

Tuloksen voi tarkistaa sijoittamalla saadut arvot alkuperäisiin yhtälöihin. Nyt $x + y = 0,\!125 + 0,\!875 = 1$ ja $\frac{0,\!20 x + 0,\!12 y}{x + y} = \frac{0,\!20 \cdot 0,\!125 + 0,\!12 \cdot 0,\!875}{1} = 0,\!13$ eli väkyvyys on juurikin 13%.

Kahden muuttujan ja lineaarinen yhtälöpari on muotoa $\left\{ \aligned a_1 x + b_1 y &= c_1 \\ a_2 x + b_2 y &= c_2 \endaligned \right.,$ missä a_1 , a_2 , b_1 , b_2 , c_1 , c_2 ovat reaalilukuja.

Yhtälöparin ratkaisuja ovat ne muuttujien ja arvot, joilla kumpikin yhtälö toteutuu.

Esimerkki

Yhtälöparilla $\left\{ \aligned -2x+y &=0 \\ x+y &=3 \endaligned \right.$ on täsmälleen yksi ratkaisu: x = 1 ja y = 2 .

# V11

Kahden muuttujan yhtälöparin voi ratkaista usealla tavalla:

Ratkaistaan ensin jommastakummasta yhtälöstä tai ja sijoitetaan saatu tulos toiseen yhtälöön. Tavoitteena on saada ensimmäisen asteen yhtälö, josta saadaan ratkaistua toinen muuttujista. Tämän jälkeen ratkaistaan toinenkin muuttuja.
Muokataan yhtälöitä ja "lisätään yhtälöt puolittain toisiinsa". Tavoitteena on saada taas ensimmäisen asteen yhtälö.
Matriisilaskennan avulla: tätä käsitellään Matematiikka 3 -kurssilla.

Mahdollisia tilanteita

Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu.
Yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Tämä tapahtuu silloin, kun ratkaisumenetelmä johtaa ristiriitaan.
Yhtälöparilla on äärettömän monta ratkaisua. Tämä tapahtuu silloin, kun yhtälöparin ensimmäinen yhtälö voidaan muokata parin toiseksi yhtälöksi.

Esimerkki

Yhtälöparilla $\left\{ \aligned -2x+3y &=2 \\ -2x+3y &=1 \endaligned \right.$ ei ole yhtään ratkaisua.

# V2

Esimerkki

Yhtälöparilla $\left\{ \aligned -2x+3y &=2 \\ -4x+6y &=4 \endaligned \right.$ on äärettömän monta ratkaisua.

# V33

Esimerkki

Etsitään yhtälöparin $\left\{ \aligned x+4y &=2 \\ 2x+3y &=-1 \endaligned \right.$ ratkaisut.

Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä x=2-4y (lisäämällä puolittain -4y ).

Sijoitetaan tämä saatu n arvo, ${\color{red}x=2-4y}$ , toiseen yhtälöön, jolloin saadaan $2{\color{red}x} + 3y = 2({\color{red}2-4y})+3y=-1.$ eli 4-8y+3y=-1 eli 4 - 5y = -1, josta voidaan ratkaista ${\color{blue}y=1}$ .

Sijoittamalla tämä yhtälöön ${\color{red}x=2-4y}$ saadaan $x= 2 - 4{\color{blue}y} = 2 - 4\cdot {\color{blue}1} = -2$ .

4.2 Lineaarinen yhtälöryhmä

Eri tieteenalojen matemaattiset mallit koostuvat usein yhtälöistä, jotka muodostavat yhtälöryhmän. Yhtälöt kuvaavat kuinka yksi tai useampi muuttuja riippuu toisista muuttujista ja mallin parametreista. Lineaariset yhtälöryhmät ovat perusta myös ekonometrisille tekniikoille.

Limeaarinen yhtälöpari on esimerkki lineaarisesta yhtälöryhmästä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on muuttujaa ja yhtälöä, näyttää seuraavalta $\left\{ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots & +&a_{1n}x_n&=&b_1\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots & +&a_{2n}x_n&=&b_2\\ &\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots & +&a_{mn}x_n&=&b_m\\ \end{array} \right.$ Yhtälöryhmässä tuntemattomat muuttujat ovat $x_1,\ldots,x_n$ (äsken meillä oli ja ), luvut $a_{ij}$ , $i=1,\ldots,m$ , $j=1,\ldots,n$ , ovat kertoimia ja luvut b_i ( $i=1,\ldots,m$ ) ovat vakioita.

Yhtälöryhmän ratkaisu on lukujoukko $x_1,\ldots,x_n$ , joka toteuttaa jokaisen yhtälöryhmän yhtälön.

Alun esimerkkistä 1 on lineaarinen yhtälöryhmä ja 2 sekä 3 eivät (niissä on muutujan potensseja mukana - molemmissa x^2 ).

Lisää harjoitusta yhtälöpareista voi etsiä myös Kisällioppinen-sivustolta.

Tehtäviä

Ratkaise seuraavat yhtälöparit.
1. $\left\{ \aligned x+3y &=1 \\ 5x+2y &=4 \endaligned \right.$
2. $\left\{ \aligned 4x+10y &=-1 \\ -5x+2y &=-3 \endaligned \right.$

Ratkaise seuraavat yhtälöparit.
1. $\left\{ \aligned 6x-3y &=9 \\ -2x+y &=-3 \endaligned \right.$
2. $\left\{ \aligned (a - 1)x + by &=-1 \\ bx + (a - 1)y &=1 \endaligned \right.$

# geo2taso17

Jatkoa seuraa kurssilla Matematiikka 2.

Taloustieteen osasto, Helsingin yliopisto, elokuu 2025

Jarmo Jääskeläinen
jarmo.jaaskelainen@helsinki.fi

1. Reaaliluvuilla laskemista

1.1 Reaaliluvut

Esimerkki

1.2 Laskusääntöjä

1.2.1 Sääntöjä

1.2.2 Murtolukujen laskusäännöt

Esimerkki

Esimerkki

Esimerkki

Murtolukujen yhteenlasku

Murtolukujen yhteenlasku 2

Murtolukujen vähennyslasku

1.3 Lukujen järjestys

1.3.1 Järjestyssääntöjä

1.4 Potenssit

1.4.1 Kokonaislukupotenssit

Esimerkki

Ongelma

1.4.2 Potenssin laskusäännöt

Esimerkkejä

Potenssien laskutoimitukset 1

Potenssien laskutoimitukset 2

1.4.3 Muistisäännöt

Muistikaavat 1

Muistikaavat 2

Muistikaavat 3

Muistikaavat 4

Muistikaavat 5

Muistikaavat 6

Muistikaavat 7

1.4.4 Kymmenpotenssimuoto

Esimerkki

Esimerkki

1.4.5 Potenssit

Esimerkki

1.4.6 Potenssin määritelmä

1.4.7 Sääntöjä

Esimerkki

Esimerkki

Potenssin sievennys 1

Potenssin sievennys 2

Neliöjuuri 1

Neliöjuuri 2

Neliöjuuri 3

Neliöjuuri 4

1.5 Pyöristäminen ja merkitsevät numerot

Esimerkki

1.5.1 Merkitsevät numerot

Esimerkki

1.5.2 Pyöristämisestä

Esimerkki

Esimerkki

1.6 Prosenttilaskentaa

Esimerkki

Esimerkki

Esimerkki

Esimerkki

Esimerkki

Ongelma

1.6.1 Prosenttiyksikkö

Esimerkki

Tehtäviä

2. Yhtälöistä ja epäyhtälöistä

2.1 Lauseke

Esimerkki

Laskujärjestys

Ongelma

Lausekkeiden muokkaus 1

Lausekkeiden muokkaus 2

Lausekkeiden muokkaus 3

Lausekkeiden muokkaus 4

Lausekkeiden muokkaus 5

Lausekkeiden muokkaus 6

2.2 Yhtälö

Esimerkki

Esimerkki

Esimerkki

Esimerkki

Ongelma

2.2.1 Yksikkömuunnokset