Kvanttilaskennan aakkoset
osa A

A.1 Mitä on kvanttifysiikka?

Aloitamme kurssin lyhyellä johdatuksella kvanttifysiikkaan.

A.1.1 Kvanttifysiikan alku

Fysiikka on tieteenala, joka pyrkii ymmärtämään maailmankaikkeutta ja sen ilmiöitä perustavanlaatuisella tasolla sekä kehittämään teorioita näiden kuvaamiseksi ja tapahtumien ennustamiseksi. Fysiikalle tyypillistä on se, että tarkasteltavat asiat voivat olla kooltaan hyvin pieniä, kuten atomit ja alkeishiukkaset, tai hyvin suuria, kuten vaikkapa galaksit ja mustat aukot.

Fysiikka jaotellaan karkeasti klassiseen fysiikkaan ja moderniin fysiikkaan. Klassinen fysiikka pitää sisällään mekaniikan, termodynamiikan ja sähkömagnetismin. Mekaniikka tutkii kappaleiden liikettä ja liikkeen aiheuttavia voimia. Termodynamiikka käsittelee lämpöä ja energian muutoksia. Sähkömagnetismi taas tarkastelee sähkö- ja magneettikenttiä sekä niiden vaikutusta varattuihin kappaleisiin.

Modernin fysiikan peruspilarit ovat kvanttiteoria ja suhteellisuusteoria, jotka syntyivät 1900-luvun alkuvuosikymmeninä. Moderni fysiikka on siis jo sata vuotta vanhaa fysiikkaa. Kyseessä on käyttöön jäänyt nimitys, joka kuvasi siirtymistä uuteen ajattelutapaan verrattuna aikaisempaan. Toisaalta kvanttifysiikkaa ja suhteellisuusteoriaa tutkitaan ja kehitetään edelleen. Vaikka näiden teorioiden kehykset tunnetaan, on niissä silti paljon tutkittavaa. Ymmärryksemme ja tietämyksemme on kehittynyt paljon sadassa vuodessa, ja kehittyy edelleen. Niistä on lisäksi versonut uusia fysiikan alalajeja, kuten hiukkasfysiikka ja ydinfysiikka.

Fysiikan tutkimus jaetaan tyypillisesti kokeelliseen ja teoreettiseen tutkimukseen. Tähän tutkimusmenetelmien jakoon perustuen on käytössä nimitykset kokeellinen fysiikka ja teoreettinen fysiikka, vaikka samasta tieteenalasta on kyse. Nämä ovatkin tiiviisti yhteydessä toisiinsa ja etenevät käsi kädessä, välillä keskittyen samoihin tutkimusongelmiin ja välillä toisiaan kirittäen. Fysiikan ala laajenee uusiin suuntiin erityisesti silloin, kun tehdään sellaisia havaintoja, joita vanhat teoriat eivät pysty riittävän hyvin selittämään. Toisaalta uudet teoriat ohjaavat etsimään uusia ilmiöitä jollakin uudella tavalla tai uudesta näkökulmasta. Fysiikan tutkimuksessa kokeellinen ja teoreettinen lähestymistapa ovat pitkälle kehittyneitä ja yhtälailla tärkeitä. Molemmilla oli oma roolinsa myös kvanttifysiikan syntymässä. Nykyisin tietokoneiden kehittymisen myötä voidaan lisäksi erottaa kolmas lähestymistapa, laskennallinen fysiikka, josta on tullut tärkeä osa kvanttifysiikankin tutkimusta kokeellisen ja teoreettisen tutkimuksen rinnalle.

Kvanttimekaniikka oli aluksi pienten kappaleiden, erityisesti atomien, käyttäytymistä selittävä teoria. Myöhemmin ymmärrettiin, että joissakin tilanteissa myös suurten kappaleiden fysiikka vaatii kvanttimekaniikan periaatteiden käyttämistä. Esimerkiksi mustien aukkojen ominaisuuksien selittäminen ei onnistu ilman kvanttimekaniikkaa. Kvanttimekaniikka ei siis enää tarkoita ainoastaan pienten kappaleiden fysiikkaa. Tietyissä olosuhteissa tai tilanteissa fysiikka on erilaista kuin klassinen fysiikka, oli sitten kyseessä iso tai pieni kappale.

A.1.2 Systeemi, tila ja mittaus

Fysikaalisella systeemillä tarkoitetaan jotakin kokonaisuutta, jonka toimintaa pyritään ymmärtämään fysiikan avulla. Fysikaalinen systeemi on harvoin muusta maailmasta erillään, mutta fyysikko jakaa mielessään maailman tarkasteltavaan systeemiin ja sen ympäristöön. Tämä jako riippuu täysin siitä, mistä seikoista ollaan kulloinkin kiinnostuneita. Systeemi vuorovaikuttaa ympäristönsä kanssa silloin kun systeemin toiminta muuttuu jollakin tavoin ympäristön vaikutuksesta. Ympäristöä ei siis tarvitse sivuuttaa, mutta tyypillisesti olemme kiinnostuneet siitä, miten ympäristö vaikuttaa systeemiin, emme siitä miten systeemi muuttaa ympäristöä.

Fysiikan lähtökohtana on se, että tutkittavana olevaa systeemiä havainnoidaan. Havainnoista on pyrkimyksenä löytää säännönmukaisuutta. Säännönmukaisuus voi tarkoittaa esimerkiksi sitä, että jotakin asiaa muuttamalla jokin toinen asia muuttuu samassa suhteessa. Analysoimalla säännönmukaisuuksia voidaan pystyä muodostamaan fysiikan teoria jostakin asiakokonaisuudesta tai ilmiöstä. Voikin sanoa, että fysiikan teorian tavoitteena on yhdistää havaintojen joukko johdonmukaiseksi ja yleispäteväksi järjestelmäksi.

Palataan vielä siihen kylmään juomaan, jonka olet viilentänyt jääpaloilla. Oletko kokeillut juoda sitä metallipillillä? Metallipilli tuntuu kylmemmältä kuin pahvinen pilli. Johtuikohan se eri juomista, vuoroveden korkeudesta tai viikonpäivistä? Tekemällä systemaattisia havaintoja erilaisissa tilanteissa voit todeta, että ero johtuu todellakin pillin materiaalista. Vielä asiaa lisää tutkimalla voisit löytää riippuvuuden lämmön siirtymisen nopeuden ja eri materiaalien välillä. Olennaista tällaiselle tutkimiselle on tehdä useita havaintoja ja analysoida niitä huolella. Kun ilmiön ymmärtää, voi löydetyn säännönmukaisuuden avulla ennustaa tapahtumien kulun kaikissa vastaavissa tilanteissa.

Järjestelmällisten havaintojen tekeminen on keskeistä fysiikassa. Havainnoinnin jäsentämiseksi on hyödyllistä ottaa käyttöön käsitteet tila ja mittaus. Ne ovat etenkin kvanttifysiikassa tärkeitä, joskin ne toki kuuluvat muuhunkin fysiikkaan. Nämä kaksi käsitettä tulevat olemaan tällä kurssilla kvanttifysiikan oppimisen lähtökohtana.

Perusasetelma fysikaalisesta kokeesta on kuvattuna alla. Fysikaalinen systeemi valmistellaan mittausta varten. Tätä tapahtumaa kutsutaan preparoinniksi, ja sen seurauksena systeemi on jossakin tilassa. Kutsumme tätä alkutilaksi. Alkutila voi olla tunnettu tai tuntematon, kunhan samanlaisella preparoinnilla voidaan toistaa koejärjestely. Lähtökohtaisesti fysiikka kuvaa tilanteita, joita voidaan toistaa. Jokaisella toistokerralla mittalaite antaa mittaustuloksen.

Tilanteessa voi olla myös kolmas eroteltavissa oleva osatekijä. Preparoinnin jälkeen systeemi voi vuorovaikuttaa ympäristön kanssa joko kontrolloidusti tai itsestään, osittain hallitsemattomasti. Tätä vuorovaikutusta voimme yleisesti kutsua prosessiksi. Ajallisesti prosessi tapahtuu ennen mittausta.

Prosessissa systeemin tila muuttuu. Prosessi voi olla tarkkaan suunniteltu tapahtuma, jossa systeemin annetaan hallitusti vuorovaikuttaa ympäristön kanssa ja mm. vuorovaikutuksen kestoa ja voimakkuutta säädellään. Prosessi voi myös olla hallitsematon tapahtuma, jossa systeemi pääsee vuorovaikuttamaan ympäristön kanssa tavalla, joka haluttaisiin välttää. Tyypillisesti tämä tarkoittaa sitä, että systeemin tilaan tulee melua tai hälyä. Prosessi saattaa pitää sisällään kumpiakin tapahtumia, hallittuja ja hallitsemattomia.

Joskus saatetaan olla kiinnostuneita systeemin tilasta myös mittauksen jälkeen. Joissakin mittauksissa systeemi menetetään. Tällainen on esimerkiksi fotonin paikan mittaaminen, jossa fotoni tuhoutuu havaitsemisen seurauksena. Joissakin toisissa mittauksissa systeemi saattaa säilyä (ks. kuva alla). Tällöin täytyy kuitenkin muistaa, että systeemin tila voi muuttua mittauksessa. Mittauksen jälkeisen tilan voi pystyä päättelemään saadusta mittaustuloksesta, mutta näin ei aina ole, vaan tilan muutoksessa voi olla satunnaisuutta. Lähtökohtaisesti täytyy varautua siihen, että mittaus muuttaa systeemin tilaa. Mittauksessa saatu tieto systeemin ominaisuuksista liittyy siis systeemin tilaan ennen mittausta ja ainoastaan osittain mittauksen jälkeiseen tilaan.

Tämä kuvattu jako preparoinnin, prosessin ja mittauksen välillä ei ole yksinomaan kvanttifysiikalle ominainen tilanne, vaan kuvaa suurta osaa fysiikan kuvaamia asetelmia. Kvanttifysiikassa on kuitenkin oltava tavallista tarkempi siitä, minkälaisesta tilanteesta puhumme ja mitä käsitteillä tarkoitamme. Arkikokemuksemme ei auta samalla tavoin kuin vaikkapa heittoliikkeen mekaniikkaa tarkasteltaessa.

A.1.3 Kvanttifysiikan erityispiirteet

Klassisessa fysiikassa systeemit ovat joko kappaleita tai aaltoja. Pientä kappaletta kutsutaan myös hiukkaseksi. Kvanttifysiikan lakeja noudattava fysikaalinen systeemi käyttäytyy eri tavoin kuin mihin olemme tottuneet klassisessa fysiikassa. Tätä eroa korostaaksemme saatamme puhua kvanttisysteemistä, kun tarkoitamme fysikaalista systeemiä, jonka toiminnan ymmärtämiseksi vaaditaan kvanttifysiikkaa. Kvanttisysteemi, kuten elektroni, ei ole hiukkanen klassisen fysiikan mielessä. Kvanttisysteemi ei myöskään ole aalto, vaikkakin sen käyttäytymisessä on tietynlaisissa kokeissa aaltomaisia piirteitä. Kvanttisysteemi on kokonaan uudenlainen systeemi, jota kannattaa pyrkiä ymmärtämään ilman liiallista kytköstä klassisen fysiikan kappaleisiin ja aaltoihin. Kvanttiteoria ei kerro kvanttisysteemin, kuten elektronin, kulkureittiä. Sen sijaan kvanttiteoriasta voi laskea todennäköisyydet sille, että elektroni havaitaan myöhemmin jossakin tietyssä paikassa. Tyypillisessä kvanttifysiikan koetilanteessa mahdollisia lopputilanteita on useita.

Kuten videolla tuli ilmi, kvanttisysteemin tilan voi ymmärtää kahdella yhtäpitävällä tavalla. Tilan voi joko ymmärtää preparoinnin kuvauksena, eli tietynlaisena reseptinä siitä, miten jokin preparointi suoritetaan. Vaihtoehtoisesti tilan voi ymmärtää matemaattisena kuvauksena (esim. taulukkona), josta kaikki systeemille mahdollisesti suoritettavien mittausten tulokset voidaan laskea. Puhumme myöhemmin lisää siitä, että kvanttiteoria ennustaa mittaustulosten todennäköisyysjakauman, ja tätä onkin syytä ajatella mittauksen lopputuloksena.

Kvanttisysteemin ominaisuuksiin liittyy siis se, että kvanttiteoria ei ennusta niiden tarkkoja arvoja vaan ainoastaan todennäköisyyksiä. Asiaan liittyy vielä toinenkin puoli, joka on ehkäpä hätkähdyttävämpi. Klassisella hiukkasella, eli hiukkasella, joka noudattaa mekaniikan lakeja, on joka hetki tietty paikka ja nopeus riippumatta siitä, mitataanko nämä suureet vai ei. Toki tällaista väitettä voi olla mahdoton kokeellisesti testata, mutta oletus ominaisuuksien havaitsijasta riippumattomasta olemassaolosta ei ole ristiriidassa klassisen fysiikan kanssa. Myös arkikokemuksemme tukee ajatusta siitä, että tavallisten kappaleiden ominaisuudet ovat joka hetki määrättyjä.

Erona klassisen fysiikan tilanteeseen nähden kvanttisysteemiin liittyy aina ominaisuuksia, joilla ei ole määrättyä arvoa, vaan vasta mittauksessa jokin mahdollisista ominaisuuden arvoista tulee esille. Kvanttiteorian puitteissa olisi ongelmallista olettaa, että kvanttisysteemin kaikki ominaisuudet ovat määrätty jo ennen mittausta. Kvanttifysiikassa havaitsija tekee valinnan suorittaa tietty mittaus, ja näin hän saa jotakin tietoa kvanttisysteemin tilasta. Yksittäisestä mittaustuloksesta ei voi päätellä kvanttisysteemin tuntematonta tilaa, olipa mittaus millainen tahansa.

A.2 Satunnaisuus ja todennäköisyys

Kvanttifysiikassa tulevien tapahtumien ennustamiseen liittyy satunnaisuutta. Tyypillisessä kvanttifysikaalisessa kokeessa emme voi ennustaa lopputulosta täydellä varmuudella, vaan ainoastaan laskea mahdollisten vaihtoehtojen todennäköisyydet. Tämä seikka on yksi keskeisimmistä kvanttiteorian piirteistä. Sen vuoksi käsittelemme tässä jaksossa satunnaisuutta ja todennäköisyyttä.

A.2.1 Satunnaisuuden eri tasot

Arkikokemuksemme mukaan tuleviin tapahtumiin liittyy usein tiettyä satunnaisuutta. Saatamme puhua todennäköisyyksistä silloin, kun tietomme on puutteellista tai epävarmaa.

Osaatko edellisen videon katsottuasi kuvailla satunnaisuuden kolme eri tasoa ja antaa niistä esimerkit? Muistele erityisesti mitä kvanttimittauksen satunnaisuudesta videolla sanottiin ja vastaa seuraavaan kysymykseen.

A.2.2 Todennäköisyyden matemaattinen kuvaaminen

Riippumatta siitä mistä satunnaisuus johtuu, kuvataan satunnaisuutta matemaattisesti todennäköisyyksien avulla. Todennäköisyysjakauma liittyy johonkin tilanteeseen tai tapahtumaan, jossa on useita eri vaihtoehtoja. Jokaisen mahdollisen vaihtoehdon todennäköisyys on luku nollan ja ykkösen väliltä, ja todennäköisyysjakauma listaa nämä luvut. Ääritapaukset 0 ja 1 liittyvät erikoistapauksiin:

• Jos vaihtoehdon todennäköisyys on 1, se tapahtuu varmasti.
• Jos vaihtoehdon todennäköisyys on 0, se jää varmuudella tapahtumatta.

Kun vaihtoehdot on valittu siten, että ne ovat toisensa poissulkevia, mutta kokonaisuudessaan kattavia siinä mielessä, että muita mahdollisuuksia ei ole, on todennäköisyyksien summa 1. Todennäköisyysjakauma on siten lista luvuista, joista jokainen on nollan ja ykkösen välillä, ja yhdessä ne summautuvat ykköseksi. Mitä suurempi todennäköisyys johonkin vaihtoehtoon liittyy, sitä varmemmin se tapahtuu.

Kuten videolla kävi ilmi, jonkin vaihtoehdon todennäköisyys kertoo sen, miten usein tuo vaihtoehto suhteellisesti tapahtuu toistokokeessa. Toistokoe tarkoittaa saman tapahtuman toistamista useita kertoja samankaltaisissa olosuhteissa. Mitä suurempi toistojen määrä on, sitä tarkemmin todennäköisyys kuvaa todellista tilannetta.

Todennäköisyysjakauma on kätevä esittää pylväsdiagrammin avulla. Alla oleva diagrammi on esimerkki sellaisesta todennäköisyysjakaumasta, jossa mahdollisia vaihtoehtoja on neljä. Pylvään korkeus kertoo vaihtoehdon todennäköisyyden. Voit viedä kursorin diagrammissa palkin päälle nähdäksesi tarkan luvun.

Yllä oleva todennäköisyysjakauma on listana kirjoitettuna [0.1, 0.2, 0.1, 0.6]. (Huomaa, että käytämme pistettä desimaaliluvuissa.) Alla on toinen todennäköisyysjakauma. Mikä se on listana kirjoitettuna?

Välillä todennäköisyyksiä ilmaistaan prosenttilukuina. Prosentti tarkoittaa yhtä sadasosaa, eli 1%=0.01. Näin ollen todennäköisyysjakaumassa todennäköisyyksien summa on 100%.

Tarkastele alla olevia pylväsdiagrammeja. Yksi niistä ei ole todennäköisyysjakauma. Tunnistatko sen?

A.2.3 Todennäköisyyteen pohjautuva tieto

Kuvittele, että ojennan sinulle nopan. Noppa on joko tavallinen tai se voi olla painotettu niin, että sillä ei voi saada viitosta eikä kuutosta. Et kuitenkaan tiedä kummanlaisesta nopasta on kyse.

Seuraavassa tehtävässä sinulla on kolme noppaa. Jokin nopista on viallinen siten, että se ei heittämällä anna kaikkia silmälukuja. Et tiedä, mikä kolmesta nopasta on tuo viallinen kappale. Ainoa keino selvittää noppien ominaisuuksia on niiden heittely. Yhden heiton perusteella et voi vielä päätellä viallista noppaa. Voit toki pystyä arvaamaan sen, mutta se on silloin puhdas arvaus. Älä lähde arvailemaan, vaan heitä noppia niin monta kertaa, että voit varmuudella erottaa viallisen nopan.

Kun vaihtoehtojen määrä kasvaa, on tyypillisesti suoritettava enemmän toistoja todennäköisyyteen perustuvan tiedon selvittämiseksi. Seuraava tehtävä on muuten samanlainen kuin edellä, mutta nyt noppia on kahdeksan. Samoin kuin aikaisemmassa tehtävässä, heitä noppia niin monta kertaa, että voit varmuudella erottaa viallisen nopan.

Kootaan vielä yhteen tässä jaksossa tekemämme havainnot. Nopan heitosta saatava silmäluku on satunnainen. Tavallisen nopan ja viallisen nopan silmälukuja vastaa erilaiset todennäköisyysjakaumat. Tämä ero ei tule esille yhdellä heitolla, mutta useamman heiton jälkeen voimme erottaa tavallisen ja viallisen nopan. Todennäköisyyteen pohjautuvia oletuksia tai väitteitä voidaan yleisemminkin testata toistamalla koetta tai havainnoimalla samanlailla toistuvaa tapahtumaa useasti.

A.2.4 Satunnaisuus kvanttimittauksen tuloksissa

Mittaaminen on keino saada tietoa fysikaalisen systeemin tilasta. Klassisessa fysiikassa, esimerkiksi mekaniikassa, teoria ei rajoita mittaustarkkuutta. Mittaustarkkuuteen vaikuttaa kuitenkin käytännön seikkoja eikä kaikkea epätarkkuutta voida poistaa, joten tyypillisesti mittausta toistetaan ja mittaustulokset ilmoitetaan tulosten jakaumana yksittäisen luvun sijaan. Teoriasta laskettua lukua voidaan sitten verrata jakaumaan. Onnistuneessa kokeessa mittaustulosten jakauma on kapea ja teorian antama luku jakauman keskellä. Mittaustuloksen satunnaisuus liittyy siis siihen, että mittaustarkkuus on rajallinen. Tästä syystä eri mittauskerroilla voidaan saada hieman eri mittaustulokset.

Kvanttimittauksella tarkoitamme kvanttisysteemille tehtävää mittausta. Kuten fysiikassa yleensäkin, kvanttimittauksen tarkoituksena on antaa tietoa tarkasteltavan systeemin tilasta. Mutta kvanttimittauksen tapauksessa yksittäisen mittauskerran antama luku ei kerro systeemin tilasta paljoakaan. Edes teorian kannalta mittauksen antamaa tietoa ei voi kiteyttää yhteen lukuun.

Tarkastellaan seuraavaksi kvanttimittausta, jolla on neljä mahdollista tulosta. Kun mittauksia tehdään monia kertoja, voidaan mittaustuloksista laskea todennäköisyysjakauma. Koska yksittäinen mittaustulos ei kerro paljoakaan, on mittaustulosten todennäköisyysjakaumaa parempi ajatella kvanttimittauksen varsinaisena lopputuloksena yksittäisen mittaustuloksen sijaan. Toki yksittäisellä mittauskerralla saamme jonkin mittaustuloksen, mutta ainoastaan mittausta toistamalla saadaan se tieto ulos, jonka kvanttimittaus voi tilasta kokonaisuudessaan antaa.

Alla on todennäköisyysjakauma, joka voisi kuvata kvanttimittauksen lopputulosta. Tässä tapauksessa mahdollisia mittaustuloksia on neljä.

Tällaisen kvanttimittauksen lopputulosta kuvaavan todennäköisyysjakauman kerääminen vaatii lukuisia mittauksen toistoja. Pylväsdiagrammi voi myös edustaa teorian avulla laskettua ennustetta kvanttimittauksen tulosten todennäköisyyksistä.

Kuvitellaan tilanne, jossa lähdet tekemään tiettyä kvanttimittausta ja toistat samaa koetta useaan kertaan. Kvanttisysteemi preparoidaan jokaisen mittauksen jälkeen takaisin alkutilaan, joten koetta toistetaan samanlaisena. Jokaisen mittauskerran jälkeen voidaan laskea mittaustulosten suhteellinen määrä ja tästä saadaan laskettua välivaiheen todennäköisyysjakauma. Tämä välivaihe lähestyy lopputulosta, kun mittausta toistetaan riittävän monta kertaa, esimerkiksi tuhat kertaa. Jos toistojen määrä on pieni, välivaiheen todennäköisyysjakauma voi poiketa teoreettisesta todennäköisyysjakaumasta paljonkin. Välivaiheen todennäköisyysjakaumaa kannattaakin ajatella kirjanpitona saaduista mittaustuloksista. Siitä ei voi ennustaa tulevia mittaustuloksia.

Tarkastellaan seuraavaksi sitä, miten toistokokeesta lasketut suhteelliset määrät alkavat pikku hiljaa lähestyä varsinaista kvanttimittauksen lopputulosta kuvaavaa todennäköisyysjakaumaa.

Tässä kokeilussa huomasimme, että muutamasta mittauksesta laskettu todennäköisyysjakauma saattaa poiketa paljonkin varsinaisesta koko mittaustulostilastoa edustavasta todennäköisyysjakaumasta. Harjoitellaan pylväsdiagrammin tulkintaa vielä lisää. Alla olevassa tehtävässä on toisen kvanttimittauksen simulointi ja sen alla neljä eri todennäköisyysjakaumaa. Sinun tulee tehdä niin paljon mittauksia, että voit riittävällä varmuudella valita oikean todennäköisyysjakauman.

Kerrataan vielä tämän jakson opetus. Kvanttimittauksen antama mittaustulos on (erityistapauksia lukuun ottamatta) satunnainen, eli mittaustulos voi vaihdella mittauskerrasta riippuen. Kvanttiteoria ennustaa mittaustulosten todennäköisyysjakauman, ja tätä kannattaakin ajatella kvanttimittauksen varsinaisena lopputuloksena. Yksittäinen mittauskerta antaa vain yhden mittaustuloksen, eli oikean todennäköisyysjakauman selvittämiseksi tulee suorittaa useita mittauskertoja.

A.2.5 Tarina Timin ennustuksista

Tässä välissä saat vetää hiukan henkeä ja lukea tarinan. Samalla voit miettiä vastikään läpikäytyjä asioita. Muistatko vielä jaksosta A.2.1 satunnaisuuden eri tasot?

Koita löytää seuraavasta tarinasta erilaisia satunnaisuuden tasoja. Millä varmuudella sinun mielestäsi voimme tarinassa kerrottuja tapahtumia ennustaa?

Ystäväsi Tim sanoo, että Köhniönjärven syvin kohta on ainakin 10 metriä. Sinun mielestäni näin ei voi olla. Kiista voidaan ratkaista mittaamalla pohjan syvyyttä. Ei ole olennaista, onko joku jo ollut Köhniönjärvellä mittausretkellä vai ei, sillä järven syvyys on yksikäsitteinen fakta tiettynä ajanhetkenä. Se pysyy samanlaisena kiistahetkestä mittaukseen asti riittävällä tarkkuudella, jos mittaamaan lähdössä ei vitkastella. Tarpeeksi kattavalla mittausretkellä pääsette luultavasti asiasta selvyyteen. Tuntuu varsin sopivalta sanoa, että joko sinä olet oikeassa tai Tim on oikeassa, ja näin on jo ennen mittausten alkamista. Tässä asiassa on siten epätietoisuutta, mutta ei satunnaisuutta. Voihan olla niinkin, että Tim on käynyt mittausretkellä sinulta salassa. Ehkä hän siitä syystä haluasi lyödä asiasta vetoa.

Köhniönjärven syvyyden selvittyä päätätte mennä Killerille seuraamaan raveja. Tim tykkää ystävällishenkisestä kiistelystä, joten hän ehdottaa vetoa liittyen yhteen ravien lähtöön. Tim on perehtynyt päivän raveihin ja vakuuttunut, että suomenhevosori Ylistön Yrjänä on niin kovassa kunnossa, että voittaa oman lähtönsä. Et usko tähän, ja näin saadaan mukava väittely aikaiseksi. Tämä asia on siinä mielessä erilainen kuin Köhniönjärven syvyys, että Yrjänän voitto selviää vasta keskipäivällä orin päästessä kisaamaan.

Timillä saattaa olla tarkkanäköisiä havaintoja hevosista ja tilastoja aikaisemmista raveista. Perustelujen ollessa kattavia ei välttämättä kuulosta täysin väärältä, kun Timi julistaa, että hän tiesi asian. Mutta ei kai hän sitä ihan täydellä varmuudella voinut tietää?

Jatkatte matkaa kirjastolle pelaamaan lautapelejä. Eräässä tiukassa lopputilanteessa Tim voittaa pelin sillä edellytyksellä, että heittää kuutosen. Hän heittääkin halutun tuloksen ja julistaa, että tiesi saavansa kuutosen. Mutta onko väitteessä mitään järkeä? Eikös nopanheiton koko idea ole se, että lopputulos on kokonaan satunnainen? Periaatteellisella tasolla Tim on voinut tietää nopan lopputuloksen jo heittohetkellä, tai ainakin antaa siitä tarkan ennusteen. Näin siis siitäkin huolimatta, että Tim ei olisi varsinaisesti huijannut. Nopan liikerata nimittäin noudattaa mekaniikan lakeja, ja niissä ei ole tilaa sattumalle. Satunnaisuus johtuu puutteellisesta tiedosta, joka siis nopanheiton kohdalla liittyy nopan heittokorkeuteen, alkuvauhtiin ja muihin sellaisiin Timin kontrolloitavissa oleviin asioihin. Ehkä Tim on harjoitellut tietynlaista nopanheittoa, mistä senkin tietää.

Lautapelivoitostaan riemastuneena Tim haluaa jatkaa kisaamista. Penäät reilua vedonlyöntiä, jossa ei voi ennakolta tietää lopputulosta eikä siihen vaikuttaa. Jonkun merkillisen mutkan kautta Tim on saanut radioaktiivista materiaa haltuunsa. Hän laittaa kahteen purkkiin sellaisen kobolttiatomin, joka jossakin kohtaa hajoaa ja muuttuu nikkeliksi. Nyt Tim ehdottaa vetoa siitä, kumman atomi hajoaa ensin. Ydinfysiikan tiedoilla voimme laskea todennäköisyyden sille, että toinen atomi on hajonnut tietyn ajan kuluttua. Esimerkiksi 5 vuoden kuluttua ainakin toinen atomi on hajonnut 75% todennäköisyydellä. Vedonlyönnin kannalta olennainen asia on se, että nykytiedon valossa ei ole mahdollista ennustaa sitä, kumman ydin hajoaa ensin. Ydinfysiikka on kvattifysiikkaa ja radioaktiivisen koboltin hajoaminen nikkeliksi on satunnaisuutta aidoimmillaan. Jos on välttämätöntä lyödä Timin kanssa vetoa, niin ainakaan tässä viimeisessä kisassa hän ei voi saada ennakkotiedosta apua eikä vaikuttaa atomin hajoamiseen.

A.3 Informaatio

Informaatiolla tarkoitetaan tietoa, joka voi välittyä viestien, signaalien tai symbolien kautta. Informaation välittäminen muille on täysin olennaista lähes kaikessa ihmisen toiminnassa. Informaatio ei voi esiintyä yksinään ilman fysikaalista kantajaa. Tämän takia kvanttifysiikka tulee mukaan myös informaation käsittelyssä. Tässä jaksossa käymme läpi informaatioon liittyviä perusasioita.

A.3.1 Informaation määrä

Pitkän viestin lähettäminen tai tallentaminen on hankalampaa kuin lyhyen viestin, ja siitä syystä informaation määrän ymmärtäminen ja sopivalla tavalla kuvaaminen on tärkeää.

Kerrataan videolla tulleet pääkohdat. Informaation perusyksikkö on bitti. Matemaattisesti bitillä voi olla kaksi arvoa, 0 tai 1. Vaikka esimerkiksi tavallinen teksti ei koostu biteistä, voi sen halutessaan sopivalla muunnoksella muuttaa bittijonoksi. Bittijonossa informaation määrä on yksinkertaisesti siinä tarvittujen bittien lukumäärä. Bittien käyttäminen antaa siis yhtenäisen tavan vertailla eri lähteiden informaation määrää.

Informaation määrää on usein hyödyllistä ajatella siten, että haluat tehdä valinnan usean vaihtoehdon välillä ja ilmaista valintasi muille. Yhden bitin avulla voi ilmaista kyllä/ei -tyyppisen asian. Jalankulkijan liikennevalossa on kaksi vaihtoehtoa, vihreä valo ja punainen valo. Päällä olevan valon ilmoittaminen vaatii näin ollen yhden bitin verran informaatiota.

Kahden bitin avulla voi ilmaista valinnan neljän vaihtoehdon väliltä, sillä kahden bitin jonoja on neljä: 00, 01, 10 ja 11. Tällainen valintatilanne voi olla sellainen, jossa meillä on kaksi peräkkäistä kyllä/ei -asiaa, esimerkiksi kahdet jalankulkijan liikennevalot. Neljä vaihtoehtoa liittyy myös vaikkapa suunnan ilmaisemiseen neljän pääilmansuunnan tarkkuudella, jolloin voisimme kirjoittaa esimerkiksi 00 = pohjoinen, 01 = itä, 10 = etelä, 11 = länsi.

Viisi bittiä antaa mahdollisuuden valita jo 32 vaihtoehdon välillä. Tämä riittää vaikkapa tietyn kirjaimen valintaan aakkosissa, ja näin voisimme kääntää tekstin viiden bitin mittaisten palasien jonoksi. Näin itse asiassa tietoliikenteessä tapahtuukin: informaatio käännetään bittijonoksi, se lähetetään vastaanottajalle ja lopulta bittijono käännetään takaisin tekstiksi tai kuvaksi. Aakkosten lisäksi kirjoitetussa tekstissä käytetään useita erikoismerkkejä, kuten !, ? ja @. Nykyisin yleisesti käytetään 8 bitin merkkikoodistoa. Siinä jokaisella 8 bitin pituisella jonolla voidaan ilmaista valinta 256 merkin joukosta. Merkkikoodistoja on erilaisia, joten on aina tärkeä tietää, mikä niistä on käytössä.

Olemme nähneet, että 2 vaihtoehtoa tarvitsee yhden bitin ja 4 vaihtoehtoa 2 bittiä. Entä jos vaihtoehtoja on 3, 5 tai jokin muu määrä, joka ei ole kahden monikerta? Kolmea vaihtoehtoa ei voi ilmaista yhden bitin avulla, mutta kaksi bittiä on siinä mielessä liikaa, että se riittää jo neljän vaihtoehdon ilmaisemiseen. On osoittautunut oikeaksi tavaksi mitata informaation määrää 2-kantaisen logaritmin avulla. Tätä emme tarvitse tällä kurssilla, mutta halutessasi voit lukea lisätietoa alta.

A.3.2 Fysikaalinen bitti

Kun saamme uutta informaatiota, vaikkapa uutisia maailman tapahtumista, on useimmiten yhdentekevää, miten tuon informaation saamme. Tieto on samaa tietoa, tuli se sitten tv-uutisista tai sanomalehdestä. Vaikka informaatio onkin tällä tavoin abstrakti asia, ei se voi esiintyä pelkältään, ilman jotakin fysikaalista kappaletta. Informaatiolla täytyy olla kantaja, eli jokin fysikaalinen systeemi, jonka tilasta pystymme lukemaan informaation. Fysiikan kannalta informaation lukeminen tarkoittaa systeemille suoritettavaa mittausta.

Informaation kantajan valintaan liittyy monta eri puolta. Yksi tärkeä seikka on se, että informaatiota halutaan välittää luotettavasti ja tehokkaasti. Tottumuksemmekin ohjaavat valintoja. Sanomalehti ei välttämättä ole kovin tehokas tapa viestintään, mutta moni haluaa edelleen lukea uutiset paperisesta sanomalehdestä. Informaation säilyvyys ja alttius häiriöille ovat myös tärkeitä näkökantoja. Videolla puhuttiin kupin asennosta ja lämpötilasta viestinnän kannalta. Minkälaiset häiriöt vaikuttavat näihin kuvitteellisiin viestintätapoihin? Kupin lämpötila muuttuu ajan kuluessa huoneen lämpöiseksi ja näin ollen viesti ei pysy siinä pitkään. Toisaalta kuppi saattaa pudota pöydältä melko pienestäkin töytäisystä johtuen ja silloin sen asentoon perustuva viesti menetetään. Kupin lämpötila taas ei pudotuksesta juurikaan muuttuisi. Molemmilla viestintätavoilla on siis hyvät ja huonot puolensa.

A.3.3 Informaation prosessointi

Sekä viestinnässä että laskennassa informaatiota prosessoidaan, eli muokataan ja muunnellaan. Molemmissa tapauksissa valitaan aluksi tietty bittijono, sitten bittijonoa muokataan joidenkin sääntöjen mukaan ja lopuksi bittijono luetaan. Fysiikan näkökulmasta bittijonon lukeminen tarkoittaa, että informaatiota kantavalle systeemille suoritetaan mittaus. Aikaisempi havainnekuva fysikaalisesta koejärjestelystä toimii lähes sellaisenaan informaation prosessoinnin havainnollistamiseen. Lisäyksenä aikaisempaan kuvaan voimme ajatella preparointilaitteessa olevan valintanappeja, joilla tietty bittijono valitaan ja sitten fysikaalinen systeemi preparoidaan sen mukaisesti tiettyyn alkutilaan. Fysiikan kannalta prosessi muuttaa alkutilan toiseksi tilaksi. Informaation prosessointi on siten tilan muuntamista jollakin systemaattisella tavalla.

Prosessi voi koostua useista eri osavaiheista. Seuraavassa jaksossa harjoittelemme erilaisten prosessien rakentamista pienemmistä palasista.

Viestinnässä lähettäjä ja vastaanottaja ovat eri henkilöitä ja prosessi voi mallintaa vaikkapa viestintäkanavan melua. Tällaisessa yhteydessä prosessia kutsutaan kanavaksi. Esimerkiksi valoa voidaan lähettää optisen kuidun avulla, joka silloin on viestinnän kanava.

Tulemme jatkossa merkkaamaan kirjaimella q alussa valittua bittijonoa, jonka mukaan informaation kantajana toimiva fysikaalinen systeemi preparoidaan johonkin tilaan. Tämän jälkeen systeemi kulkee prosessin läpi mittaukseen. Näin ollen bittijono q on informaation prosessoinnin syöte. Joissain tapauksissa syöte on binääriluku, mutta syötteenä oleva bittijono voi myös olla merkkijono, jota ei tulkita binääriluvuksi.

Käytämme merkintää q[0] bittijonon ensimmäiselle bitille vasemmalta lukien, q[1] seuraavalle bitille, jne. Jos esimerkiksi q=100101110, niin tällöin q[0]=1 ja q[1]=0. Huomaa, että tietotekniikalle tyypilliseen tapaan alamme laskemaan bittien paikkoja alkaen nollasta. Harjoitellaan tätä merkintätapaa seuraavissa tehtävissä.

A.3.4 Binääriluvut

Yksi tärkeä informaation prosessoinnin muoto on laskenta. Laskenta tarkoittaa prosessia, jossa suoritetaan matemaattisia toimenpiteitä luvuille. Tällöin syötteenä otettu bittijono merkitsee jotakin lukua tai useita lukuja. Luvut voidaan esittää bittijonoina usealla eri tavalla. Jos tarkoituksena on suorittaa laskentaa, niin tällöin on kätevintä esittää luvut binäärimuodossa, jolloin jokaista lukua 0,1,2,3,... vastaa tietty yksikäsitteinen bittijono. Esimerkiksi yhteenlasku binäärimuotoisille luvuille on helppoa, ja tulemme myöhemmin tarkastelemaan yhteenlaskua suorittavaa laitetta. Kun bittijono edustaa lukua binäärimuodossa, niin voimme selvyyden vuoksi kirjoittaa sen oikeaan alalaitaan 2. Esimerkiksi vastaa lukua 42. Puhumme binääriluvusta, jos luku on esitetty binäärimuodossa. Kun tavallisesti luvut on esitetty 10-kantaisessa muodossa numeroiden 0,1,2,..,9 avulla, esiintyy binääriluvussa vain numeroita 0 ja 1. Binäärimuoto onkin toiselta nimeltään 2-kantainen muoto. Merkintäjärjestelmä on samanlainen kuin tavanomaisessa 10-kantaisessa kirjoituksessa, eli numeron paikka merkkaa kantaluvun kerrannaisia. Nolla ja ykkönen ovat samat molemmissa muodoissa eli

Kaikki luvun kaksi kerrannaiset ovat binäärimuodossa yksinkertaisia, samaan tapaan kuin luvun kymmenen kerrannaiset (eli sata, tuhat jne) 10-kantaisessa lukujärjestelmässä. Siispä

Näissä kakkosen kerrannaisissa nollien lukumäärä kertoo sen, kuinka monta kertaa kakkonen on kerrottu. Esimerkiksi 16 on 2 2 2 2, joten luvun binäärimuodossa on neljä nollaa.

Tarkastellaan sitten lukuja, jotka eivät ole kakkosen monikertoja. Aivan kuten 10-kantainen luku voidaan purkaa muotoon , saadaan luvun binäärimuotokin kantaluvun monikertojen yhteenlaskuna. Esimerkiksi , sillä ja , ja .

Luvut ovat binäärimuodossa :

Osaisitko jatkaa listaa tästä eteenpäin?

Pääsitkö perille siitä, miten luvun kahdesta eri esitystavasta päästään toiseen? Testaa ymmärrystäsi seuraavalla kysymyksellä.

Luvun muuttaminen eri kantamuotojen välillä on hauskaa. Tällä kurssilla emme kuitenkaan keskity tämän asian harjoitteluun sen enempää. Jatkossa voit aina tarvittaessa käyttää alla olevaa lukumuunninta, joka löytyy alta. Voit jo tässä kohtaa testata sen käyttöä.

A.3.5 Tarina Singaporen tähtitaivaasta

Informaatio koostuu biteistä. Miten kvanttifysiikka voisi tätä asiaa muuttaa? Tämän kurssin kuluessa tulee selväksi, että kun informaation kantajana on kvanttifysikaalinen systeemi, niin informaation luonne ja sen prosessointi muuttuu. Puhumme kvantti-informaatiosta silloin, kun informaation kantajana on kvanttifysikaalinen systeemi. Bitin kvanttifysikaalinen vastine on kubitti. Otamme kubitin käyttöön jaksossa A.6.1 ja tarkastelemme silloin sen eroa bittiin. Kerrotaan tässä kohtaa kuitenkin jo havainnollistava tarina mielenkiinnon ylläpitämiseksi.

Kaverisi Tim tykkää matkailla. Hän tietää vain kaksi mahdollista kohdetta: pohjoisnavan ja etelänavan. Timin lempipuuhaa on tuijotella tähtitaivaalle ja siihen napa-alueet soveltuvat hyvin. Pohjoisnavalla hän ihailee erityisesti Otavaa. Otavaa ei voi nähdä etelänavalta lainkaan ja sen löytäminen taivaalta on Timille merkki siitä, että nyt ollaan pohjoisnavalla. Etelänavalle Tim taas menee ihastelemaan Etelän Ristiä, jota puolestaan ei voi nähdä pohjoisnavalta. Tim ei ainoastaan ole viehättynyt näistä kahdesta kohteesta, vaan hän ei ole edes tietoinen, että jonnekin muualle voisi mennä.

Tim pitää tätä mahdottomana – silloinhan sinun pitäisi olla pohjoisnavalla ja etelänavalla yhtä aikaa! Väitteesi ei yksinkertaisesti sovi yhteen sen kanssa, mitä Tim luulee tietävänsä tähtien asemasta ja Maan mahdollisista paikoista.

Sinun ja Timin maailmankuvien ero kuvaa varsin osuvasti kvanttifysikaalisen systeemin ja arkipäivän systeemin eroa informaation kantajana. Informaation maailmassa bitillä on tarkalleen kaksi tilaa, 0 (pohjoisnapa) ja 1 (etelänapa). Kvanttifysikaalisella bitillä, eli kubitilla, on näiden tilojen lisäksi kaikki niiden superpositiotilat. Nämä superpositiotilat vertautuvat siihen, että maapallolla on paljon muitakin paikkoja kuin vain kaksi napaa. Kuten ei Singapore ole pohjoisnapa ja etelänapa samaan aikaan, ei superpositiotilakaan ole 0 ja 1 samaan aikaan. Superpositiotilat ovat uudenlaisia tiloja, joita ei bittimaailmassa kohtaa. Superpositiotilat kylläkin ovat tietyssä mielessä bittitilojen 0 ja 1 välissä. Tämä ’välissä oleminen’ ilmenee siten, että tiloista mittauksien kautta tehdyt havainnot ovat jotakin niiden havaintojen välistä, joita saisimme samanlaisissa mittauksissa tehtynä tiloille 0 ja 1 erikseen. Tässäkin mielessä asia vastaa sitä, että Singaporessa tehdyissä havainnoissa (Otava ja Etelän Risti taivaalla) on tiettyä yhtäläisyyttä sekä pohjoisnavalla että etelänavalla tehtyjen havaintojen kanssa, mutta myös jotakin eroa (tähtikuviot ovat eri paikoissa taivaalla).

Kubitin superpositiotila ei ole millään lailla häilyvä tila, kuten ei ole sinun loikoilusi Singaporessakaan. Joskus superpositiotila kuvaillaan tilojen 0 ja 1 yhtäaikaisuudeksi. Tämä ei kuitenkaan ole hyvä vertaus, sillä kvanttisysteemi on vain yhdessä tilassa kerrallaan. Jokainen superpositiotila on aivan yhtä pätevä tila kuin 0 ja 1.

Kubitti jää odottamaan meitä jaksoon A.6.1 asti. Kahdessa seuraavassa jaksossa harjoittelemme tavallisen informaation prosessointia. Tämä siksi, että meillä tulee ensin olla ymmärrys tavallisesta informaation prosessoinnista ennen kuin voimme nähdä sen uutuuden, jonka kvantti-informaatio aiheeseen tuo. Lisäksi tavallinen porttilaskenta antaa hyödyllisen pohjan kvanttiporttilaskennan oppimiselle.

A.4 Porttilaskenta

Perehdymme tässä jaksossa porttilaskentaan, joka on yksi malli laskennalle ja yleisemmin informaation prosessoinnille. Kurssin loppuosa pitää sisällään aikaisempaa enemmän harjoituksia. Porttilaskenta ja myöhemmin esiteltävä kvanttiporttilaskenta tulevat parhaiten tutuiksi, kun kokeilet erilaisia asioita simulaattoreilla riittävästi.

A.4.1 Porttisimulaattori

Yksi tapa mallintaa informaation prosessointia on ajatella sitä peräkkäisten muutosten jonona, jossa nämä muutokset yksittäin ovat yksinkertaisia tai ainakin helposti mallinnettavissa. Kutsumme yksittäistä muutoksen aiheuttavaa laitetta portiksi. Nimitys kuvaa sitä, että fysikaaliset bitit kulkevat näistä laitteista läpi. Kukin portti muuttaa jollakin tavoin yhtä tai useampaa bittiä. Porttien varsinainen toteutus riippuu siitä, millaiseen fysikaaliseen systeemin bitit ovat kirjoitettu. Meille olennaista on porttilaskennan antama malli informaation prosessoinnille emmekä tässä kohtaa välitä sen fysikaalisesta toteutuksesta.

Käytämme seuraavissa kokeiluissa ja tehtävissä porttisimulaattoria. Simulaattorissa voit vaihdella syötettä (input). Syöte on bittijono, joka on simulaattorin vasemmassa laidassa. Oikeassa laidassa on mittaus. Jokaisen bitin arvo mitataan erikseen, ja kokonaisuudessaan ne muodostavat ulostulon (output). Tässä välissä tapahtuu informaation prosessointi. Prosessointi tapahtuu vaiheittain ja kutsumme näitä vaiheita askeleiksi. Jokaisen askeleen kohdalle voit asettaa portteja, jotka muuttavat bittien arvoja. Askeleita voi jäädä myös tyhjäksi. Tyhjän askeleen kohdalla ei tapahdu mitään.

Kuten aikaisemmin sovimme, q merkkaa bittijonoa joka on koko syöte, ja esim. q[0] syötteen ensimmäistä bittiä. Porttisimulaattorissa puhuttaessa q[0] viittaa sekä kyseiseen bittiin että bitin arvoon. Tämä ei aiheuta meille sekaannusta.

Porttisimulaattori näyttää tältä:

Syötettä saat vaihdettua kunkin bitin kohdalla nollasta ykköseksi ja takaisin klikkaamalla laatikkoa. Poikkeus ovat sellaiset bitit, joiden laatikoiden reunat ovat vaaleita. Niiden arvoa et voi muuttaa.

Porttien toiminnan ymmärtämiseksi syötteen vaihteleminen on olennaista. Kun laitat portteja eri askelien kohdalla, niin kokeile niiden toimintaa vaihtelemalla syötettä.

Välillä kehotetaan laittamaan portteja peräkkäin. Tämä tarkoittaa, että ne vaikuttavat samaan bittiin (tai samoihin bitteihin) eri askeleiden kohdalla.

Käytössä olevat portit vaihtelevat eri tehtävissä. Simulaattorin käyttöohjeisiin (ympyröity kysymysmerkki simulaattorin oikealla laidalla) sinun ei tässä kohtaa tarvitse mennä, sillä harjoittelemme simulaattorin käyttöä vaiheittain. Tallenna -painikkeella raahaamasi portit jäävät muistiin. Se on myös merkki siitä, että olet suorittanut Kokeile itse -osion. Varsinaisissa tehtävissä tallentaminen saa aikaan tehtävän tarkistuksen ja pisteytyksen.

Mieti vielä videolla kuulemasi kuvaus porttilaskennasta ja vastaa seuraavaan kysymykseen.

A.4.2 X-portti

Eräs yhden bitin portti on X-portti. Pääset seuraavaksi selvittämään sen toiminnan itsenäisesti.

X-portti on hyvin yleinen portti ja sillä on käyttöyhteydestä riippuen useita nimiä. Eräs toinen tavallinen nimitys X-portille on NOT-portti. Tutki vielä edellisellä simulaattorilla sitä, mitä kaksi peräkkäistä X-porttia tekee syötteelle ja vastaa sitten alla olevaan kysymykseen.

Tuntuuko helpolta vai tuottaako X-portti vaikeuksia? Katsotaan vielä yhteenveto X-portin toiminnasta videolta.

Kokeile vielä kolmeakin X-porttia peräkkäin. Vaihda syötettä ja vastaa alla olevaan kysymykseen.

Seuraavaksi saat eteesi ensimmäisen porttisimulaattoritehtävän. Tallenna-painikkeesta ratkaisuyrityksesi tarkistetaan. Jos se on väärin, niin voit kokeilla uudestaan. Yrityskertojen määrää ei ole rajoitettu.

Tehdään vielä toinen samanlainen harjoitus.

A.4.3 Swap-portti

Portti voi vaikuttaa useampaan bittiin yhtä aikaa. Tällöin yksittäiselle bitille tapahtuva muutos voi riippua myös jonkin toisen bitin arvosta. Kahden bitin portit ovat olennaisia varsinkin laskennassa, sillä pelkästään yhden bitin porteilla syötteen bitit pysyvät erillisinä eikä niillä voi tehdä mitään kovinkaan hyödyllistä. Seuraavaksi pääset tutkimaan erään kahden bitin portin toimintaa.

Yllä olevaa porttia kutsutaan swap-portiksi. Swap tarkoittaa vaihtamista, joten nimi on hyvin kuvaava tuolle portille. Sitä voisi kutsua myös vaihto-portiksi, mutta se nimitys ei ole vakiintunut. Swap-portin voisi myös kuvata siten, että reitit vaihtavat paikkaa. Eli näin:

Käytämme jatkossa rukseilla yhdistettyä viivaa kuvaamaan swap-porttia, sillä sitä on helppo siirrellä ja muokata. Huomasitko, että porttia voi venyttää sen jälkeen kun sen on laittanut paikalleen viemällä toisen pään kauemmaksi? Kokeile tätä ja tee alla oleva tehtävä. Muista, että syöte luetaan simulaattorissa ylhäältä alas.

Tutki sitten kahta peräkkäistä swap-porttia, jotka vaikuttavat samoihin bitteihin. Käytä yllä olevaa simulaattoria ja laita kaksi swap-porttia peräkkäin. Vaihtele syötteitä ja tarkastele, mikä on porttien kokonaisvaikutus.

Mennään harjoittelussa eteenpäin. Seuraavassa tehtävässä kahdella erilaisella swap-portilla tarkoitetaan sitä, että ne eivät vaikuta täysin samoihin bitteihin. Kolmelle bitille on olemassa kolme erilaista swap-porttia ja ne näyttävät tältä:

Nyt kun olemme tutustuneet kahteen eri porttiin, voimme raahata niitä porttisimulaattoriin sekaisin. Seuraavassa tehtävässä pääset eteenpäin, kun kokeilet erilaisia porttien yhdistelmiä ja siten etsit haluttua toimintoa.

A.4.4 CX-portti

Toinen kahden bitin portti on nimeltään control-X tai lyhyesti vain CX. Myös CNOT on tämän portin yksi lempinimistä, sillä muistanet X-portin olevan toiselta nimeltään NOT-portti.

Huomasitko, että CX-portissa kontrollipallon ei tarvitse olla X-porttia läheisimmällä bitillä?

CX-portilla saadaan kahden bitin välille korrelaatio, eli niiden tilat muuttuvat yhdessä. Lähes kaikessa informaation prosessoinnissa bittien arvojen muuttuminen täytyy jollakin tavalla kytkeä toisiinsa, sillä muuten ne pysyvät irrallisina yksittäisinä bitteinä eikä niillä voi tehdä paljoakaan. CX-portti kytkee bittien muutoksen toisiinsa, mutta halutun muunnoksen rakentamiseen saattaa olla tarpeen laittaa portteja ennen tai jälkeen CX-portin.

Rakennetaan seuraavaksi piiri, joka voisi toimia esimerkiksi risteyksen liikennevalojen ohjauksessa. Risteykseen tullaan kahdesta eri suunnasta. On olennaista, että ensimmäinen ja toinen liikennevalo toimivat siten, että kerrallaan vain toinen niistä on vihreä. Oikeissa liikennevaloissa on lisäksi tietty varoaika sekä keltainen valo, mutta jätämme ne tässä yksinkertaisessa tarkastelussa huomiotta. Risteyksen kahdesta liikennevalosta siten toinen on aina vihreä ja toinen punainen.

Toteutamme liikennevalojen ohjauksen kahden bitin piirillä, jossa kuitenkin ainoastaan yksi syötteen biteistä saa vaihtuvan arvon. Syötteen ensimmäinen bitti q[0] voi olla joko 0 tai 1. Toinen syötteen bitti q[1] on lukittu arvoon 0. Kun vaihtuva syöte q[0] saa arvon 0, niin risteyksen ensimmäinen valo on punainen ja toinen vihreä. Kun taas vaihtuva syöte q[0] on 1, niin ensimmäinen valo on vihreä ja toinen punainen. Syötteen vaihtuminen voisi olla ajastettu. Tässä emme lähde tarkastelemaan syötteen vaihtumisen ajastamista, vaan ainoastaan piiriä, joka pitää huolen, että tarkalleen yhteen suuntaan on vihreä valo kerrallaan.

Syötteen ja ulostulon kannalta haluttu toiminta on tällainen:

A.4.5 CCX-portti

Huomasitko, että X-porttiin voi liittää useamman kuin yhden pallon? Kun X-porttiin on yhdistetty kaksi kontrollipalloa, sanotaan porttia CCX-portiksi. Näin muodostetussa kokonaisuudessa X-portin ja kontrollipallojen pitää olla saman askeleen kohdalla. CCX-portti on siten kolmen bitin portti. Tälläkin portilla on useita lempinimiä, ja yksi niistä on Toffoli-portti. Tutki seuraavaksi tällaisen portin toimintaa.

Kolmelle bitille voi tehdä kolme erilaista CCX-porttia. Nämä eroavat siitä, mitkä kaksi bittiä ovat kontrollibitteinä. Käytä seuraavan tehtävän tekemiseen yllä olevaa simulaattoria ja etsi joka kerralla oikeanlainen CCX-portti.

Seuraavassa tehtävässä sinun tulee kokeilla erilaisia CCX-porttien yhdistelmiä ja etsiä niistä sopiva.

A.4.6 Piiri

Kun käytössä on useita bittejä ja monia portteja yhdistellään peräkkäin, kutsumme tätä kokonaisuutta piiriksi. Piirin toiminnassa meitä kiinnostaa se, miten erilaiset bittijonot muuttuvat piirin läpi kuljettuaan, eli mikä on ulostulo kaikilla mahdollisilla syötteillä. Kaksi eri piiriä, eli erilaista porttien yhdistelmää, voi johtaa samanlaiseen lopputulokseen. Tämä tarkoittaa, että ne antavat samat ulostulot kaikilla mahdollisilla syötteillä. Usein onkin tarkoituksenmukaista pyrkiä saamaan haluttu toiminta mahdollisimman pienellä määrällä portteja. Joskus jotkin muut seikat suosivat tiettyjen porttien käyttöä ylitse muiden. Jokin portti voi vaikkapa olla helpompi rakentaa kuin muut portit. Saattaa vaikkapa olla niin, että kahden bitin portteja voidaan toteutuksesta johtuen rakentaa ainoastaan lähimpien naapurien välille. Muut kahden bitin portit joudutaan silloin koostamaan näistä.

Porttilaskennassa piiri vastaa kokonaisprosessia. Jonkin tietyn informaatioprosessoinnin tehtävän suorittaminen saattaa vaatia lukuisia portteja, sillä portit yksinään ovat toiminnaltaan yksinkertaisia. Portteja voi olla piirissä paljon eikä niiden yhteisvaikutusta ole useinkaan helppo päätellä piiriä katsomalla. Porttisimulaattoritehtävissä kannattaa huoletta kokeilla annetun piirin toimintaa syötteitä vaihtelemalla, tai testata erilaisia porttiyhdistelmiä, jos tehtävänäsi on rakentaa piiri.

Yllä olevassa piirissä on neljä porttia, mutta sen toiminnan voi itse asiassa hoitaa jo pienemmällä määrällä portteja. Riittäisikö peräti yksi portti?

Tehdään vielä toinen samanlainen harjoitus. Nyt piiri on monimutkaisempi. Pidä pää kylmänä ja testaa sen toimintaa. Piirin toiminta on yksinkertainen, vaikkakin se koostuu kahdeksasta portista.

Vaikka kahdessa piirissä olisi täysin samat portit, ei niiden toiminta välttämättä ole samanlainen. Lopputulokseen vaikuttaa nimittäin myös porttien järjestys. Tutkitaan tätä asiaa seuraavaksi. Rakennetaan kaksi piiriä allekkain, joissa on samat portit, mutta eri järjestyksessä.

Kuten edellä näimme, porttien järjestyksellä on väliä: samat portit eri järjestykseen laitettuna saattavat muodostaa erilaiset piirit.

Kuten jo tämän jakson alussa näimme, kaksi hyvin erilaista piiriä saattaa antaa täysin saman ulostulon kaikilla syötteillä. Seuraavassa tehtävässä rakennetaan piiri, jolla on sama toiminta kuin swap-portilla, mutta piirissä on ainoastaan CX-portteja. Samaan lopputulokseen voidaan siis päästä käyttämällä jopa kokonaan eri portteja. Tämä tehtävä saattaa vaatia useampia kokeilukertoja. Ensin kannattaa kuitenkin kerrata swap-portin toiminta jaksosta A.4.3, että tiedät halutun lopputuloksen.

Nyt kun swap-portin toiminta on muisteltu, niin pääset itse tehtävään käsiksi.

A.5 Porttilaskennan toimintoja

Edellisessä luvussa kävimme läpi erilaisia portteja. Tässä luvussa tutustumme yksinkertaisiin porttilaskennan sovelluksiin. Näemme mm. sen, miten kopioiminen, virheenkorjaus ja yhteenlasku onnistuu porttilaskennan avulla. Tarkastelemme näitä toimintoja tässä laajuudessa kahdesta syystä. Ensinnäkin, on olennaista vakuuttua siitä, että porttilaskennalla voi todellakin tehdä informaation prosessointia. Toiseksi, kvanttilaskenta ei ala tyhjästä, vaan porttilaskennan hallitseminen on sielläkin arvokas taito. Erityisesti CX-portti on kvanttiporttilaskennassa keskeinen rakennuspalikka.

Tämän luvun tehtävät ovat soveltavampia kuin aikaisemmat tehtävät. Jos juutut kiinni johonkin tehtävään, niin kysy apua keskustelupalstalla.

A.5.1 Kopioiminen

CX-portti on tärkeä portti, joka yhdistettynä muihin portteihin voi suorittaa monenlaista informaation prosessointia. Yksittäistä CX-porttia voi käyttää esimerkiksi bitin arvon kopioimiseen toiseen bittiin, eli bitin monistamiseen.

Voimme haluta kopioida bitin arvon useampaan toiseen bittiin. Kun yhden bitin arvo kopioidaan kahteen muuhun, on haluttu toiminta tällainen:

Tässä syötteen ylin bitti on se, jonka arvo halutaan kopioida kahteen muuhun. Huomaa, että emme välitä muista syötteistä kuin 000 ja 100, eli monistuksen kohteena olevat bitit ovat alkutilassa 0. Alkutila 0 vastaa tavalliseen kopiokoneeseen syötettävää tyhjää valkoista paperia.

Tarkastellaan bittikopiokoneen rakentamista seuraavassa tehtävässä.

Nyt kun olet selvittänyt kopioimisen toteuttamisen CX-porttien avulla, niin pääset soveltamaan oppimaasi.

Nyt kun osaat kopioida bitin arvoja, voit tehdä kopiointia mukautuvasti. Seuraavassa tehtävässä kopioidaan useamman eri bitin arvoja saman piirin avulla.

A.5.2 Bittien järjestely

Swap-portti ei varsinaisesti prosessoi bittien kantamaa informaatiota, mutta sen avulla saadaan järjesteltyä bittien paikkoja uudella tavalla. Yksittäinen swap-portti vaihtaa kahden bitin paikkaa, mutta portteja ketjuttamalla saadaan erilaisia bittien uudellenjärjestelyjä. Yksittäisen swap-portin toiminnan voi ajatella reitin muutoksena, missä reitti kuvaa bittien paikkojen vaihtumista portin vaikutuksesta. Peräkkäisten swap-porttien toiminnan saa selville ilman simulaattoriakin bittien reittiä seuraamalla.

Tarkastellaan muutamaa yksinkertaista tapausta.

Päättely toimii samalla tavalla vaikka swap-portteja olisi enemmän kuin kaksi.

Harjoitellaan sitten bittien siirtelyä simulaattorin avulla. Näissäkin tehtävissä kannattaa miettiä reittejä päättömän kokeilun sijaan.

Tehdään vielä toinen samankaltainen harjoitus. Nyt sinun tulee tarkastella kahden bitin reittejä.

A.5.3 Virheenkorjaus

Kuvitellaan, että lähettelette ystäväsi Timin kanssa viestejä. Viestit ovat pitkiä bittijonoja, joihin on koodattu teille tärkeitä asioita. Viestinnässä on selvästi ollut jotain häikkää ja pian ymmärrätte, että viestintäkanavassa on häiriötä aiheuttavaa kohinaa. Kohina saa aikaiseksi sen, että joidenkin bittien arvo muuttuu lähetyksen ja vastaanoton välissä. Bittijono 1011101 esimerkiksi muuttuu muotoon 1001101. Siinä toisena olevan bitin arvo on vaihtunut. Arvon muuttuminen on melko harvinaista, mutta silti hyvin harmillista, sillä viestin sisältö saattaa silloin kokonaan muuttua. Tuleeko mieleesi keinoa, jolla voitte Timin kanssa taistella virheitä vastaan?

Yksi mahdollinen keino on lähettää jokainen bitti useampaan kertaan. Onhan sinulle ja Timille jo tuttu jaksossa A.5.1 läpikäyty CX-portin kyky kopioida bitin arvo moneksi, joten monistamisen voi automatisoida. Tuplana lähettäminen ei välttämättä hyödytä, sillä jos toinen bitin arvoista muuttuu, ei oikeaa arvoa voi tunnistaa. Triplana lähettämisestä sen sijaan on jo etua. Esimerkiksi bittijono 1011 lähetetään muodossa 111000111111. Yhden bitin arvon muuttuminen kussakin kolmen bitin ryppäässä kohinan vaikutuksesta ei haittaa, sillä vastaanottaja osaa silloin valita useimmin esiintyvän arvon kustakin kolmen ryppäästä. Koska oletamme arvon muuttumisen olevan harvinaista, on kahden bitin arvon muuttuminen samassa kolmen ryppäässä hyvin harvinaista. Tällainen harvinainen tapahtuma aiheuttaisi virheen viestinnässä.

Tarvittaessa voidaan siirtyä käyttämään monistamista vieläkin useammaksi kuin kolmeksi. Seuraavassa tarkastelussa kuitenkin oletamme, että sinä ja Tim olette huomanneet triplaksi monistamisen riittävän.

Sinun ja Timin välinen virheitä sietävä viestintämenetelmä voidaan automatisoida. Bitin arvon monistaminen kolmeksi onnistuu aikaisemmassa tehtävässä löydetyn kopiointipiirin avulla. Se mikä vielä tarvitaan, on useimmin esiintyvän bitin arvon valinnan suorittava piiri. Alla oleva piiri tekee juuri tämän jälkimmäisen toiminnon: se valitsee syötteen kolmen ensimmäisen bitin arvoista yleisimmän.

Edellinen yleisimmän bitin arvon valitseva piiri ei ole yksinkertainen. Tim koitti rakentaa piiriä, mutta muisti kytkennät väärin ja teki jotkin kohdat eri tavalla. Alla olevassa piirissä et voi muuttaa Timin jo sinne tekemiä portteja, mutta voit lisätä tyhjiin askeliin portteja. Sinun tulee täydentää piiri sellaiseksi, että sen toiminta vastaa aikaisempaa piiriä, eli se pystyy valitsemaan yleisimmän kolmen ensimmäisen bitin arvoista. Syötteenä on edelleenkin bitit q[0], q[1] ja q[2], mutta Timin tekeleessä apubitit ovat eri järjestyksessä kuin alkuperäisessä piirissä. Vertaa Timin piiriä aikaisempaan piiriin ja mieti apubittien osalta sitä, että mikä on kunkin apubitin osa piirissä. Tee sitten niin, että samassa roolissa oleville apubiteille tulee samanlaiset portit. Huomaa, että piiri ei voi ulkoisesti olla samanlainen Timin kytkemien porttien takia. Apubittien arvoilla mittauksen jälkeen ei ole väliä.

A.5.4 Yhteenlasku

Yksi tärkeimpiä informaation prosessoinnin toimintoja on yhteenlasku. Useat monimutkaisetkin laskut palautuvat lukujen yhteenlaskuun ja sitä kautta yhteenlaskua suorittava laite on hyödyllinen kapistus. On siis aika tarkastella yhteenlaskun suorittamista porttilaskennassa.

Binäärilukujen yhteenlasku on helppoa niin ihmiselle kuin tietokoneellekin. Olennaista on tietää seuraavien yksinkertaisten yhteenlaskujen tulokset. Tarvittaessa kertaa luvun binääriesitysmuoto jaksosta A.3.4 ja voit halutessasi muuttaa luvut 10-kantaisen muotoon voidaksesi valita oikeat vastaukset alla olevassa taulukossa.

Kaksi suurempaa binäärilukua voidaan laskea yhteen allekkain. Tällöin yhteenlasku palautuu yllä olevan taulukon yksinkertaisiin yhteenlaskuihin. Periaate on sama kuin 10-järjestelmän lukujen allekkainlaskussa, mutta metodi on helpompi, sillä numeroita on vain kaksi.

Muistellaan ensin, miten 10-järjestelmässä lasketaan allekkain. Lasketaan yhteen luvut 219 ja 1822. Kirjoitamme luvut allekkain siten, että ykköset ovat samalla pystyrivillä, eli numerot 9 ja 2 osuvat kohdakkain. Viivan alle muodostuu laskun lopputulos.

  219                  
+1822
-----                  

Samalla pystyrivillä olevat numerot lasketaan yhteen ja toiminta etenee oikealta vasemmalle. Jos yhteenlaskun tulos on 10 tai enemmän, merkitään muistinumero 1 seuraavalle pystyriville. Selvyyden vuoksi merkitsemme muistinumeroksi 0, jos tulos on alle 10.

   1
  219                  
+1822
-----
    1                  

Näin jatketaan loppuun asti.

 101
  219                  
+1822
-----
 2041                  

Binäärilukujen allekkainlasku toimii samalla tavalla.

Binäärilukujen allekkainlasku on helppoa. Edellisten ohjeiden avulla osaisit laskea binäärilukuja yhteen paperin ja kynän avulla. Annetaan kuitenkin koneen hoitaa hommaa ja tarkastellaan seuraavaksi binääriyhteenlaskua suorittavaan simulaattoriin.

Jatkon kannalta on tärkeä ymmärtää muistirivin merkitys. Muistirivin takia allekkainlaskun toteuttamisessa tarvitaan kolmen bitin yhteenlaskua. Tuliko sinulle jo selväksi, mitä muistirivillä tarkoitetaan? Tee seuraava tehtävä yllä olevan laskukoneen avulla.

Koska yhteenlasku palautuu yksinkertaisiin summiin, riittää, että meillä on piiri, joka laskee yhteen aikaisemman taulukon viisi helppoa summaa. Tätä piiriä toistuvasti käyttämällä voidaan sitten rakentaa laite, joka laskee pitkienkin binäärilukujen summan. Piirin täytyy ottaa kaksi bitin arvoa A ja B sekä mahdollisesti muistista kolmas bitin arvo, sillä allekkainlaskussa edellisestä summasta on voinut jäädä muistiin 1. Tällainen piiri on rakennettu alla.

Yhteenlaskussa tavallisesti unohdetaan informaatiota siinä mielessä, että esim. 4+5 = 9, mutta lopputuloksesta 9 ei voi päätellä laskettiinko yhteen 4+5 vai vaikkapa 3+6. Yllä kuvattu piiri ei hukkaa informaatiota. Tämä tarkoittaa, että jokaisesta mahdollisesta ulostulosta voi yksikäsitteisesti päätellä syötteen. Syynä tähän on se, että pidämme ulostulossa mukana A:n ja B:n arvot. Pelkkää yhteenlaskun lopputulosta ajatellen ainoastaan summa ja Cout riittäisivät, sillä ainoastaan nämä tarvitaan allekkainlaskun seuraavassa vaiheessa. Lukuja voidaan kuitenkin haluta käyttää johonkin toiseen laskuun, joten niiden säilyttäminen on hyödyllistä.

Kahden bitin binäärinen yhteenlasku voidaan tehdä helpomminkin, jos muistista ei tule kolmannen bitin arvoa eikä muistiin tarvitse jäädä syötettä muuttumattomana, kuten yllä. Tällainen yksinkertaisempi piiri voi suorittaa taulukon neljä ylintä riviä. Sitä ei kuitenkaan voida käyttää allekkainlaskussa, sillä viidennen rivin yhteenlasku ei onnistu. Kahden bitin binäärinen summa on joko 00, 01 tai 10, jossa yhtenäisyyden vuoksi merkitsemme kaikki nollat näkyviin.

Seuraavassa tehtävässä S on tällainen kahdella bitillä merkattu summa. Jos esimerkiksi A=1, B=0, niin S=01 ja näin ollen S[0]=0 ja S[1]=1.

A.5.5 Loogiset operaatiot

Looginen operaatio on sellainen toiminto, joka ottaa syötteeksi yhden tai useamman totuusarvon ja antaa ulos yhden totuusarvon. On kätevää merkata totuusarvoja bitteinä, jolloin 1 on tosi ja 0 on epätosi. Yleisimmät loogiset operaatiot ovat NOT, AND ja OR. Looginen operaatio voidaan toteuttaa elektronisten komponenttien avulla, jolloin sille käytetään nimitystä looginen portti. Loogisia portteja yhdistelemällä rakennetaan loogisiksi piireiksi kutsuttuja kokonaisuuksia. Loogisia piirejä käytetään tietokoneiden ja muiden elektronisten laitteiden ytimessä suorittamassa laskentatoimintoja ja automatisoitua päätöksentekoa.

Looginen portti on läheistä sukua aikaisemmin läpikäymämme porttilaskennan portin kanssa. Tärkeä ero näiden kahden välillä on se, että porttilaskennan portissa syötteessä ja ulostulossa on yhtä paljon bittejä, kun taas loogisessa portissa ulostulona on aina yksi bitti, vaikka syötteenä olisi useampi bitti.

Tarkastelemme seuraavaksi loogisten operaatioden toteuttamista porttilaskennassa.

Loogisista operaatioista NOT on yksinkertaisin: se ottaa syötteeksi yhden bitin. Sen toiminta vastaa tarkalleen X-porttia, eli syöte 0 antaa takaisin 1 ja syöte 1 antaa takaisin 0.

Yllä kuvattu AND' voidaan toteuttaa yhden jo meille tutun portin avulla.

Portin OR' rakentaminen porttien AND' ja X avulla onnistuu, kuten mietimme ensin loogisten porttien OR ja AND suhdetta toisiinsa. Oletetaan, että meillä on kaksi bittiä ja emmekä tunne niiden arvoja. Meillä on laitteet, jotka toteuttavat loogiset operaatiot AND ja NOT, mutta ei laitetta operaatiolle OR. Saamme kuitenkin tämän viimeisen kahden edellisen avulla. Se tapahtuu niin, että ensin käännämme molemmat arvot NOT-operaatiolla, sitten käytämme niihin AND-operaatiota ja lopuksi käännämme lopputuloksen NOT-operaatiolla. Tätä sääntöä kutsutaan logiikassa De Morganin laiksi se voidaan esittää näin:

OR = NOT( NOT() AND NOT() ) .

Voit varmistua tämän kaavan paikkansa pitävyydestä vertaamalla operaatioiden AND ja OR taulukkoja ja käymällä läpi kaikki bittiparin eri arvot.

Seuraavassa kysymyksessä on kyseessä De Morganin lain soveltaminen tavallisen lauseen merkityksen ymmärtämisessä.

Vaikka meidän tarkastelemamme portit AND' ja OR' eroavat loogisista operaatioista, antaa De Morganin laki silti vihjeen siitä, miten portti OR' muodostuu porteista AND' ja X. Ohje on siis tämä: laita portti AND' piirin keskelle. Käännä bittien arvot ennen ja jälkeen AND' -porttia. Lisäbitin arvoa ei tule kuitenkaan kääntää ennen AND'-porttia, sillä muuten AND'-portti ei toimi oikein.

Loogiset portit ja sitä kautta loogiset piirit voidaan toteuttaa porttilaskennan piireinä käyttämällä lisäbittejä. Kaksi edellistä tehtävää olivat tästä esimerkkejä. Voi herätä kysymys, miksi ylipäätään olemme ottaneet porttilaskentaan mukaan vain sellaisia portteja, joissa ulos tulee saman verran bittejä kuin syötteessä tulee sisään. Tämä johtuu siitä, että haluamme porttilaskennan mallin olevan kääntyvää laskentaa. Kääntyvässä laskennassa informaatiota ei katoa. Informaation prosessointi voidaan kääntää, jolloin syötteeksi annetaan alkuperäinen ulostulo ja tästä saadaan laskettua alkuperäinen syöte. Kääntyvyydelle edellytys on se, että jokainen eri syöte johtaa erilaiseen ulostuloon. (Jos nimittäin kaksi eri syötettä johtaa samaan ulostuloon, niin silloin käännetty prosessointi ei voi johtaa yksikäsitteiseen lopputulokseen.)

Entä miksi haluamme porttilaskennan olevan kääntyvää? Tällä kurssilla porttilaskenta on välivaihe ennen kuin pääsemme kvanttiporttilaskentaan. Kvanttiporttilaskennassa kaikki portit ovat kääntyviä, sillä kvanttiteorian mukaan eristetyn systeemin aikakehityksessä ei häviä informaatiota. Tästä syystä kääntyvä porttilaskenta on paras askel kohti kvanttiporttilaskentaa.

A.6 Kvanttiporttilaskenta

Tässä jaksossa perehdymme porttilaskennan kvanttifysikaaliseen versioon, eli kvanttiporttilaskentaan.

A.6.1 Kvanttibitti eli kubitti

Aikaisemmin olemme todenneet, että informaatio ei voi esiintyä ilman fysikaalista systeemiä, vaan sillä täytyy olla fysikaalinen kantaja. Informaation kantajana voi olla myös kvanttifysikaalinen systeemi.

Aivan kuten muidenkin fysikaalisten systeemien tapauksessa, tapahtuu informaation kirjoittaminen kvanttisysteemiin preparoimalla se sopivalla tavalla. Vastaavasti informaation lukeminen tapahtuu siihen tarkoitukseen sopivalla mittauksella. Yksinkertaisimmalla mahdollisella kvanttisysteemillä on ainoastaan kaksi toisistaan täydellisesti eroteltavaa tilaa. Tällaista systeemiä kutsutaan kvanttibitiksi, eli kubitiksi.

Kubitilla on äärettömän paljon tiloja kaiken kaikkiaan, ja tämä erottaa sen olennaisella tavalla bitistä. Kubitti on bitin kaltainen informaation kantaja siinä mielessä, että jokaisella tilalla on tarkalleen yksi ortogonaalinen tila, eli toinen tila, jonka siitä pystyy täysin erottamaan. Näin ollen yhden kubitin avulla voi lähettää ainoastaan yhden bitin verran informaatiota. Kubittiin kirjoitettua informaatiota voidaan kuitenkin prosessoida kvanttifysikaalisilla operaatioilla, ja tämä tekee jo yhdestä kubitista erilaisen informaation kantajan kuin aikaisemmin näkemämme bitin fysikaaliset ilmentymät.

Kun valitaan kaksi kubitin ortogonaalista tilaa, voidaan niitä ajatella bittitiloina 0 ja 1. Prosessoinnissa nämä tilat voivat muuttua superpositiotiloiksi, jotka ovat yhdistelmiä tiloista 0 ja 1. Näissä superpositiotiloissa kubitilla ei ole määrättyä bitin arvoa, vaan mittauksessa saadaan satunnaisesti 0 tai 1. Täytyy vielä korostaa, että kubitti on jokaisena ajanhetkenä kuitenkin vain yhdessä tilassa. Tuon tilan ominaisuudet saattavat vain olla sellaiset, että siinä ilmenee jotakin 'nollamaista' ja jotakin 'ykkösmäistä'. Superpositiotilassa näitä kahta piirrettä voi olla eri painotuksilla, ja näin ollen erilaisia superpositiotiloja on äärettömän paljon.

Kaikki aikaisemmin läpikäymämme portit toimivat kubiteille. Jos kubitti on tilassa 0 tai 1, toimivat X-portti, CX-portti ja muut läpikäymämme portit aivan samalla tavoin kuin olemme oppineet bitin tapauksessa. Mutta silloin kun kubitti on superpositiotilassa, on porttien toiminta erilaista. Aikaisemmin jaksossa A.5.1 tarkastelimme kopiokonetta, jolla halutun bitin tila saadaan kopioitua yhteen tai useampaan bittiin. Kopiokone ei kuitenkaan monista superpositiotilaa kahdeksi samanlaiseksi superpositiotilaksi. Tämä onkin yksi suurin ero bitin ja kubitin välillä informaation prosessoinnin kannalta: bitin tuntemattoman tilan voi monistaa, mutta kubitin tuntematonta tilaa ei voi monistaa. Näin ollen myöskään jaksossa A.5.3 käsitelty virheenkorjaus ei toimi yhtä helposti kuin biteillä, vaan siihen pitää keksiä uudenlaiset keinot.

Superposition lisäksi kvanttisysteemeillä on toinen piirre, joka on olennainen kvantti-informaation prosessoinnissa. Useampi kubitti voi olla sellaisessa yhteisessä kvanttitilassa, jota ei voi kirjoittaa yksittäisten kubittitilojen yhdistelmänä. Tällöin kahden tai useamman kubitin tilat ovat keskenään lomittuneet ja niiden yhteistä tilaa sanotaan lomittuneeksi tilaksi. Lomittuminen on yksi niistä ilmiöistä, jotka tekevät kvanttifysikaalisista systeemeistä selvästi erilaisia kuin klassisen fysiikan kappaleet. Lomittumisella ei ole vastinetta klassisessa fysiikassa ja sen takia sen havainnollistaminen on hankalaa. Lomittumisen selittäminen onnistuu matematiikan avulla ja palaammekin asiaan Kvanttiaakkosten B-osassa, kun meillä on tarvittava matemaattinen koneisto käytössä.

Kubitti voidaan toteuttaa useilla eri kvanttifysikaalisilla tavoilla. Esimerkiksi yhteenkytketyistä suprajohtavista elektrodeista voidaan valmistaa erilaisia kubitin toteutuksia. Kun puhumme kubitistä emme viittaa mihinkään tiettyyn fysikaaliseen toteutukseen, vaan — kuten bitinkin tapauksessa — mihin hyvänsä kubitin toteuttavaan systeemiin.

Seuraavaksi siirrymme käyttämään kvanttiporttisimulaattoria. Kubitin ominaisuudet tulevat esille tehtäviä tehdessä. Varsinaiseen matemaattiseen kuvaukseen menemme vasta Kvanttiaakkosten B-osassa.

A.6.2 Kvanttiporttisimulaattori

Kvanttiporttilaskenta on periaatteeltaan samanlaista kuin porttilaskenta: informaatiota kantavalle systeemille tehdään muutoksia askeleittain ja lopuksi suoritetaan mittaus. Bittien sijaan kvanttiporttilaskennassa prosessoidaan kubitteja.

Käydään vielä läpi videon pääkohdat. Tavanomaisesti alkutilana kubitille käytetään joitakin valittuja ortogonaalisia tiloja, jotka vastaavat bittitiloja 0 ja 1. Merkitsemme syötteen arvot muodossa ja muistutuksena siitä, että kyseessä on kvanttiporttilaskenta tavallisen porttilaskennan sijaan. Tämä merkintätapa on peräisin Paul Diracilta, yhdeltä kvanttimekaniikan pioneereista, ja se on jäänyt kvanttifyysikkojen käyttöön. Kvanttiaakkosten B-osassa tämän merkintätavan hyödyllisyys tulee paremmin esille, mutta otamme sen jo nyt käyttöön.

Kun laskenta aloitetaan, kubitit preparoidaan syötettä vastaaviin tiloihin. Prosessoinnin lopuksi suoritetaan mittaus, jonka ulostulona saadaan bittijono. Se, että mittausta ennen kubitit ovat superpositiotilassa, tulee esille siten, että mittauksen ulostulo on satunnainen. Kvanttimittauksen lopputulos onkin paras ymmärtää todennäköisyysjakaumana ja tästähän jo jaksossa A.2.4 puhuimmekin.

Kaikki aikaisemmin tutustumamme portit toimivat sellaisenaan kvanttiporttilaskennassa. Ne tosin eivät muuta alkutiloja superpositiotiloiksi. Siihen, että alkutila saadaan muutettua superpositiotilaksi tai lomittuneeksi tilaksi, tarvitaan kvanttiportteja. Kvanttiporttisimulaattorissa on mukana näitä kvanttiportteja, joita käymme läpi tässä jaksossa.

Käyttämämme kvanttiporttisimulaattori näyttää tältä:

Kvanttiporttilaskennan lopputulosta voimme kuvata eri tavoin. Yllä olevassa kuvassa on yksittäisiä mittauskertoja kuvaava taulukko. Myöhemmin tarkastelemme myös koko todennäköisyysjakaumaa.

A.6.3 H-portti

Aikaisemmin läpikäymämme X-portti toimii myös kubitille. Se, että kubitilla on superpositiotiloja, mahdollistaa kubitin prosessoinnin tavalla, johon bitti ei sovellu. Yksinkertainen mutta tärkeä yhden kubitin portti on Hadamard-portti eli lyhyesti H-portti. Tällä portilla ei ole vastinetta tavalliselle bitille, vaan se vaatii toimiakseen kubitin.

Kuten simulaattorilla voit todeta, H-portin tapauksessa mittaustulos vaihtelee mittauskerrasta riippuen. Syy tähän on se, että H-portti laittaa alkutilan tilojen ja superpositiotilaan. Tässä superpositiotilassa kubitilla ei ole kiinnitettyä ominaisuutta olla joko 0 tai 1. Mittauksessa pakotamme jommankumman vaihtoehdon ulos. Se, tuleeko mittaustulokseksi 0 vai 1, on sattumaa.

Käytä vielä samaa kvanttiporttisimulaattoria ja kokeile kahden portin yhdistelmiä, eli laita kaksi porttia peräkkäin. Antavatko kahden portin yhdistelmät varmasti ennustettavan vai satunnaisen lopputuloksen?

Kvanttifysiikassa mittaustulos on useimmissa tilanteissa satunnainen ja ainoastaan erityistapauksissa jokin mittaustulos tapahtuu varmuudella. Tästä johtuen kvanttiporttien toiminta selviää vasta suorittamalla useita mittauksia ja kokoamalla näistä mittaustulostilaston. Kvanttipiirin toiminnan voi esittää todennäköisyyksien pylväsdiagrammin avulla, jota jaksossa A.2.4 harjoittelimmekin. Pylväsdiagrammissa valitulle syötteelle listataan kaikki ulostulot ja annetaan näiden todennäköisyydet. Jos jonkin ulostulon todennäköisyys on 100%, niin silloin tämä ulostulo saadaan mittauksessa joka kerta. Muutoin ulostulot tapahtuvat satunnaisesti todennäköisyysjakauman listauksen mukaisesti. Esitämme pylväsdiagrammin vaakatasossa kvanttiporttisimulaattorin alla. Lisäksi kunkin ulostulon kohdalla näet pylvään, joka kuvaa ulostulon 1 todennäköisyyttä.

Käytämme useimmiten kvanttiporttisimulaattorin ulostulon havainnollistamiseen teoreettisesti laskettua todennäköisyysjakaumaa. Tätä voi ajatella todennäköisyysjakaumana, jossa toistoja on tehty valtava määrä. Tällöin H-portti antaa ulostulona eri vaihtoehdot tasan 50% todennäköisyydellä.

A.6.4 SX-portti

Muistathan vielä X-portin yksinkertaisen toiminnan: bitin arvo 0 vaihtuu arvoon 1 ja vastaavasti 1 muuttuu arvoksi 0. Voiko olla sellaista porttia, joka kahteen kertaan peräkkäin käytettynä tekee saman kuin yksittäinen X-portti? Tavalliselle bitille sellaista ihmeporttia ei ole olemassa, sillä arvojen 0 ja 1 välissä ei ole mitään kolmatta vaihtoehtoa. Sen sijaan kubitille tällainen portti löytyy ja sitä kutsutaan kuvaavasti nimellä -portti tai SX-portti. Jälkimmäisessä 'S' tulee neliöjuuren englanninkielisestä nimityksestä 'square root'.

Kokeilujesi lomassa vastaa seuraavaan kysymykseen.

Tutki vielä usean peräkkäisen SX-portin toimintaa.

Sekä H-portti että SX-portti antavat satunnaisen ulostulon molemmilla syötteillä 0 ja 1. Niitä ei voi erottaa toisistaan pelkästään sen perusteella, miten yksi portti vaikuttaa yksittäiseen kubittiin. Onneksi olet tutustunut myös siihen, miten kaksi perättäistä H-porttia ja kaksi perättäistä SX-porttia toimii. Käytä tätä tietoa seuraavissa tehtävissä. Niissä ei ole näkyvissä todennäköisyysjakaumaa. Onnistut tehtävässä, kun muistat, että kunkin ulostulon kohdalla oleva värillinen alue kuvaa ulostulon 1 todennäköisyyttä.

Pääsit varmaankin edellisen tehtävän ideasta perille? Tehdään vielä toinen samanlainen harjoitus.

A.6.5 Kontrolloidut portit

Olemme aikaisemmin käyneet läpi CX-portin ja CCX-portin, joissa joko yksi tai kaksi bittiä kontrolloi sitä, onko X-portti toiminnassa vai ei. Kontrollipalloja voi lisätä mihin hyvänsä yhden kubitin portteihin. Kontrollipallojen määrää ei myöskään ole rajattu.

Myös kahden kubitin porttiin voidaan lisätä kontrollipallo. Kun swap-porttiin lisätään kontrollipallo, kutsutaan näin saatua porttia Fredkin-portiksi. Fredkin-portti on kolmen bitin tai kolmen kubitin portti, riippuen onko syötteenä bittejä vai kubitteja.

Olemme aikaisemmin jaksossa A.4.6 tehneet kolmen CX-portin avulla piirin, jonka toiminta vastaa yksittäistä swap-porttia. Tämä on hyvä käydä kertaamassa ennen seuraavaa tehtävää, jossa kolmen CCX-portin avulla tehdään Fredkin-portti.

A.6.6 Käänteisportti

Olemme aikaisemmin nähneet, että moni portti on sellainen, että sen toiminta kumoutuu kun kaksi samanlaista porttia laittaa peräkkäin. Jos esimerkiksi laitat kaksi X-porttia peräkkäin, vastaa se toiminnaltaan tilannetta, jossa ei ole yhtäkään porttia.

Muistele läpikäymiämme portteja ja vastaa alla olevaan kysymykseen.

Sellaista porttia, joka kumoaa annetun portin toiminnan, kutsutaan sen käänteisportiksi. Portti voi olla oma käänteisporttinsa, mutta voi myös olla niin, että käänteisportti on jokin muu portti. Joka tapauksessa kvanttiteorian matemaattisesta rakenteesta seuraa, että jokaisella kvanttiportilla on käänteisportti. Tästä voimme päätellä sen, että kvanttiporteista koostuva piiri voidaan kääntää, eli etsiä sellainen yhdistelmä portteja, joka kumoaa piirin toiminnan.

Seuraavassa tehtävässä ruskea laatikko on tuntematon portti. Yhdistele tuntemiamme portteja ja etsi sellainen kombinaatio, joka kumoaa tuntemattoman portin toiminnan. Tämä tarkoittaa, että lopputuloksena syötteen 0 tulee antaa ulostuloksi 0 ja syötteen 1 vastaavasti 1.

Tavallisten porttien tapauksessa käänteisportti löytyy kuvailemallamme tavalla, eli etsimällä porttien yhdistelmä, jossa ulostulo on sama kuin syöte kaikilla eri syötteillä. Kvanttiporttien tapauksessa tämä ei kuitenkaan riitä, sillä mittauksessa kvanttitilasta ei paljastu kaikkea. Portin toiminta saattaa näyttää kumoutuneen, vaikka se ei olekaan palauttanut tilaa alkutilaksi. Annetun portin käänteisportti on sellainen portti, joka kumoaa portin vaikutuksen, vaikka ne olisivat toisten porttien välissä.

Olemme aikaisemmin jaksossa A.6.3 huomanneet, että kaksi H-porttia peräkkäin ei tee syötteelle mitään. Näin ollen voimme todeta, että kun kubittiin vaikuttaa portti ja käänteisportti kahden H-portin ympäröimänä, tulee ulostulon olla sama kuin syöte.

Johtopäätöksenä aikaisemmasta on se, että kvanttiporttien tapauksessa käänteisporttia täytyy testata myös muiden porttien välissä. Aikaisemmin löytämäsi porttien yhdistelmä ei ole tuntemattoman portin käänteisportti, sillä se ei kumoa tuntemattoman portin toimintaa H-porttien välissä. Korostettakoon vielä, että kun tässä puhumme tuntemattomasta portista ja sen käänteisportista, ei kyseessä ole välttämättä mikään aikaisemmin nimeämämme portti. Portti voi olla esimerkiksi yhdistelmäportti kahdesta portista.

Voidaan osoittaa, että yhden kubitin tapauksessa riittää tarkastella portteja ilman muita portteja sekä kahden H-portin ympäröimänä. Yhden kubitin tapauksessa käänteisportti on siis sellainen portti, jossa annetun portin toiminta kumoutuu kaikilla syötteillä

(1) ilman toisia portteja

sekä

(2) H-porttien ympäröimänä.

Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu nämä kaksi tilannetta. On olennaista, että vihreä portti, joka kuvaa käänteisporttia, on molemmissa tapauksissa sama. Käänteisportti voi olla usean perusporttimme yhdistelmä ja sen vuoksi se on kuvassa piirretty pidempänä.

Kummassakin näistä tapauksista syötteen tulee mennä läpi muuttumattomana. Kun näin tapahtuu, on vihreä portti tuntemattoman portin käänteisportti.

Palataan aikaisempaan tehtäväämme. Löytämämme tuntemattoman portin käänteisporttiehdokas toteuttaa ehdon (1), mutta ei ehtoa (2). Täytyy siis jatkaa etsintöjä.

Muistutetaan vielä lopuksi, että mittauksen jälkeen laskentaa ei voi enää peruuttaa takaisin syötteeseen. Kvanttilaskenta on kääntyvää kvanttiporttien osalta, mutta viimeinen vaihe, eli mittaus, ei ole käännettävissä oleva tapahtuma.

A.6.7 Z-portti

Tutustutaan vielä yhteen uuteen kvanttiporttiin. Mieti kysymyksiä ajatuksella, sillä jakson viimeisessä tehtävässä tarvitset niiden kautta oppimiasi tietoja.

Kuten käänteisportteja käsittelevässä jaksossa totesimme, kvanttiporttien koko toiminta ei tule esille alkutilojen ja muutoksissa. Tämä johtuu siitä, että kvanttiportti voi jotenkin muuttaa superpositiotiloja muuttamatta lainkaan tiloja ja .

Muistele sitten vielä käänteisportin määritelmä ja käytä edellistä kvanttiporttisimulaattoria etsiäksesi Z-portin käänteisportti. Muista testata yhdistelmän toiminta ilman muita portteja sekä H-porttien ympäröimänä.

Kontrolloitua Z-porttia kutsutaan luonnollisesti CZ-portiksi. Käy vielä läpi mitä olet tässä jaksossa Z-portista oppinut. Se auttaa sinua seuraavassa tehtävässä.

Z-portti on tyypiltään vaiheportti. Tämä tarkoittaa, että se jättää tilat ja ennalleen, mutta muuttaa niiden välisiä superpositiotiloja. Vaiheporttien toiminta on sinällään yksinkertaista, mutta niiden kuvaaminen vaatii hieman matematiikkaa. Kubittitilojen ja kvanttiporttien matemaattiseen kuvaukseen pääsemme Kvanttiaakkosten B-osassa. Siellä pystymme täsmällisesti selittämään Z-portin toiminnan.

A.7 Kvanttitietokone

Kvanttiporttilaskennan toteuttaminen käytännössä edellyttää kvanttitietokonetta. Tutustumme seuraavaksi siihen, millainen laite kvanttitietokone on.

A.7.1 Mikä on kvanttitietokone?

Porttilaskenta on malli informaation prosessointia suorittavalle laitteelle - siis tietokoneelle. Olemme käyneet porttilaskentaa läpi sen vuoksi, että meillä täytyy olla ensin jokin määritelmä tavalliselle tietokoneelle ennen kuin voimme lähteä miettimään erikoisempien tietokoneiden toimintaa. Tässä kohtaa täytyy mainita, että porttilaskenta on vain yksi malli informaation prosessoinnille ja muitakin malleja on kehitelty.

Kvanttiporttilaskenta on vastaavasti malli kvantti-informaatiota prosessoivalle laitteelle. Tällaista laitetta voi siten luontevasti kutsua kvanttitietokoneeksi. Kvanttitietokone ottaa syötteeksi bittijonon ja antaa ulostuloksi bittijonon, samoin kuten tavallinenkin tietokone. Prosessoinnin aluksi bittijono kirjoitetaan kvanttisysteemin tiloihin. Näin informaatio on kvantti-informaation muodossa ja sitä voidaan muokata kvanttiporteilla. Lopuksi mittaus muuttaa kvantti-informaation takaisin tavalliseksi informaatioksi, siis bittijonoksi. Käymissämme harjoituksissa tämä asetelma on varmasti tullut sinulle selväksi.

Kvanttiporttilaskenta on sinällään melko abstrakti malli kvanttitietokoneelle. Käytännöllisemmästä näkökulmasta katsoen kvanttitietokone on jotakin hieman muuta. Voikin ajatella niin, että porttilaskentaa suorittava laite on tietokoneen prosessori ja kvanttiporttilaskentaa suorittava laite on kvanttiprosessori. Kvanttitietokoneessa tulee olla kummankinlaisia prosessoreita ja vielä muitakin komponentteja. Lisäksi täytyy olla kvanttitietokonetta varten kirjoitettu ohjelma ja sen käyttöön sopiva ohjelmointikieli.

Kvanttiprosessori rakentuu kubiteista, joita voidaan ohjata riittävän tarkasti. Oulun yliopiston apulaisprofessori Matti Silveri on tutkinut kubitin erilaisia toteutuksia ja kertoo asiasta seuraavalla videolla.

Videolla kuvailtu transmon-kubitti on tällä hetkellä laajalti käytössä oleva suprajohtavuutta hyödyntävä kubitin toteutus. Useita muita kubitin toteutuksia on kehitelty ja uusiakin kehitellään. Kubitin toteutustavasta riippuu se, miten portit saadaan aikaiseksi. Portti ei usein ole fyysinen rakennelma, vaan jokin tietty prosessi, jolla saadaan haluttu vaikutus kubittiin.

Kvanttitietokoneen pohjimmainen idea on se, että kvanttifysiikka mahdollistaa kubittien prosessoinnin tavalla, johon bitit eivät väänny. Tälläkin kurssilla olemme tutustuneet H-porttiin, SX-porttiin ja Z-porttiin, joita ei voi suorittaa bitille. Tästä kvanttifysiikan avaamasta laajemmasta ulottuvuudesta tulee odotukset nopeammasta laskennasta. Kun on enemmän mahdollisuuksia perusoperaatioille, voi koittaa keksiä uusia tapoja laskea jokin asia. Kvanttitietokoneen käyttäminen hyödyllisellä tavalla ei kuitenkaan ole mitenkään suoraviivaista. Kvanttitietokone tarvitsee erityisiä kvanttialgoritmeja, jotka sopivalla tavalla hyödyntävät kvanttifysiikan avaamia uusia mahdollisuuksia. Kvanttitietokone ei siis ole taikakalu, joka saman tien tekisi kaiken laskennan supertietokoneita nopeammin. Luultavasti kvanttitietokone tulee nopeuttamaan vain tietynlaisten laskentaongelmien ratkaisua.

A.7.2 Kvanttiprosessorin vaatimukset

Kvanttiprosessorin rakentaminen on vaikeaa. Isoin yksittäinen syy on se, että kvanttisysteemit ovat alttiita melulle ja häiriolle. Kun melua on liikaa, ei kvanttisysteemi ole sen kummempi kuin klassista fysiikkaa noudattava systeemi. Melu siis tuhoaa systeemin kvanttiominaisuudet. Kvanttifysiikassa sitä aikaa, jonka kvanttisysteemi säilyttää kvanttiominaisuutensa, kutsutaan koherenssiajaksi. Koherenssiaika on kvanttifysikaalisen systeemin ominaisuus, jonka arvo riippuu myös ympäristöstä. Kvanttiteknologiaa hyödyntyvä laite pyritään rakentamaan ja eristämään niin, että koherenssiaika olisi mahdollisimman pitkä. Sitä ilmiötä tai tapahtumaa, jossa kvanttiominaisuudet menetetään, kutsutaan dekoherenssiksi.

Kun mennään tarkemmin kvanttiprosessorin edellytyksiin, on hyvänä lähtökohtana DiVincenzon kriteerit kvanttiprosessorille. Ne ovat ikään kuin muistilista kvanttiprosessorin rakentajalle niistä seikoista, jotka täytyy saada kuntoon. DiVincenzon kriteerit ovat seuraavat:

1. Skaalautuva määrä kubitteja. Skaalautuvuus tarkoittaa, että kubitteja voidaan lisätä tarpeen mukaan. Tyypillisesti laskentaongelman vaikeuden noustessa tarvittavien kubittien määrä kasvaa. Kubitteja tarvitaan lisäksi virheenkorjaukseen. Tämän kurssin harjoituksissa olemme tehneet hyvin yksinkertaisia toimenpiteitä ja kubittien lukumäärä on siitä syystä ollut pieni.
2. Mahdollisuus alustaa laskennassa käytetyt kubitit, eli preparoida ne toistuvasti alkutilaan. Laskennan kannalta on tärkeää, että kubitit ovat alussa tunnetussa alkutilassa. Samaan tilaan pitää voida palata aina, kun laskenta halutaan toistaa. Kvanttiporttilaskennassa alkutila on yleensä se tila, jossa jokainen kubitti on tilassa .
3. Riittävän pitkä koherenssiaika. Koherenssiajalle ei voi antaa tiettyä kynnysarvoa, vaan sen riittävyys on suhteessa prosessoinnin nopeuteen. Kubiteille pitää ehtiä tekemään halutut prosessoinnit koherenssiajan aikana. Kvanttiporttilaskennassa prosessointi vastaa porttien toteuttamista. Tällöin hyödyllinen käsite on porttisyvyys, joka tarkoittaa niiden askelten määrää, joka kvanttiprosessorilla voidaan suorittaa koherenssiajan sisällä.
4. Universaali kvanttiporttijoukko. Kvanttiporttijoukkoa sanotaan universaaliksi, jos sillä voidaan suorittaa mikä hyvänsä kvanttiportti, tai vähintäänkin approksimoida niin tarkasti kuin halutaan. Tämä tarkoittaa, että universaali kvanttiporttijoukko mahdollistaa minkä hyvänsä kvanttialgoritmin toteuttamisen. Voidaan osoittaa, että yhden ja kahden kubitin kvanttiportteja yhdistelemällä voidaan toteuttaa kaikki useamman kubitin kvanttiportit.
5. Kubittien mittaaminen. Mittaus on oleellinen osa kvanttilaskentaa, sillä laskennan lopullinen tulos on mittauksessa saatava bittijono. Kvanttisysteemien kantamaa informaatiota ei voi lukea ilman mittausta. Mittausprosessin tulee olla luotettava ja toistettavissa oleva.

Riippuen kvanttiprosessorin fysikaalisesta toteutuksesta ovat jotkin portit natiiviportteja, eli sellaisia, jotka voidaan suorittaa suoraan. Muut portit rakentuvat natiiviporttien yhdistelminä. Rajallisen koherenssiajan takia on suotavaa pyrkiä tekemään haluttu informaation prosessointi käyttäen niin pientä määrää portteja kuin mahdollista. Tosin myös natiiviporttien suoritusajassa voi olla eroa, joten asia on tätäkin monimutkaisempi. Joka tapauksessa piirin muuttaminen erilaiseksi, mutta saman prosessoinnin suorittavaksi piiriksi, on kvanttialgoritmin ajamisen suunnittelussa tärkeää. Aikaisemmissa harjoituksissa olet päässyt etsimään tietyille piireille vaihtoehtoisia toteutuksia. Esimerkiksi jaksossa A.4.6 näimme, että swap-portin voi rakentaa CX-porttien avulla.

A.7.3 Suomalaiset kvanttitietokoneet

Kvanttitietokoneita kehittävät tällä hetkellä useat eri tahot: yliopistot, tutkimuslaitokset sekä yritykset. Suuryrityksistä IBM, Google ja Microsoft kehittävät omia kvanttitietokoneitaan ja netistä löytää tietoa näiden projektien nykytilanteesta. Myös Suomessa on merkittävää kvanttiteknologian osaamista korkeakouluissa, tutkimuslaitoksissa ja yrityksissä. Suomen valtio on rahoittanut hanketta, joissa kehitetään kvanttitietokoneiden vaatimaa teknologiaa. Hankkeen suorana seurauksena on valmistunut kvanttitietokoneita, joita tutkijat ja yritykset pääsevät käyttämään. Käydään lyhyesti läpi julkisessa käytössä olevien kvanttitietokoneiden tarina, joka valottaa kvanttitietokoneiden kehityksen nykytilannetta. Kaikki suomalaiset kvanttitietokoneet perustuvat suprajohtavaan kvanttiteknologiaan, eli niiden kubitit ovat transmon-kubitteja. Niiden rakentaminen on tapahtunut kvanttiteknologiayritys IQM:n ja teknologian tutkimuskeskus VTT:n yhteistyönä.

VTT Q5 alias Helmi
Suomen ensimmäinen kvanttitietokone VTT Q5 rakennettiin IQM:n ja VTT:n yhteistyönä vuosien 2021 ja 2022 välillä. Se oli täysin toiminnassa marraskuussa 2022. Kvanttitietokoneelle annettiin lempinimi Helmi, koska se on pieni ja arvokas – kuten helmi. Kun Helmi-kvanttitietokone julkaistiin, se yhdistettiin Kajaanissa sijaitsevaan LUMI-supertietokoneeseen. Näin suomalaiset yliopistotutkijat ja opiskelijat pääsivät käyttämään kvanttitietokonetta. Pienen kubittimääränsä vuoksi Helmi-koneelle riittää melko pieni jäähdytinlaitteisto, joka jäähdyttää sen noin kymmenen millikelvinin lämpötilaan.

Kahden kubitin portteja voidaan käyttää ainoastaan keskimmäisen ja jonkin reunimmaisen kubitin välillä. Jos kahden kubitin porttia halutaan käyttää kahden reunakubitin välillä, on ensin käytettävä swap-porttia. Kahden kubitin porteista CZ-portti on natiiviportti.

VTT Q20 alias Leena
VTT Q20 oli 20-kubittinen kvanttitietokone. Se rakennettiin vuonna 2023 samassa laboratoriossa VTT:llä kuin Helmi. Suuremman kubittimäärän vuoksi se tarvitsee huomattavasti suuremman jäähdytinlaitteiston. Kone sai lempinimekseen Leena osoituksena arvostuksesta akateemikko Leena Peltonen-Palotielle. Leenassa käytettiin samaa teknologiaa kuin Helmessä, sillä tavoitteena oli osoittaa kvanttitietokoneen skaalautuvuus. Vuoden 2024 alussa Leena poistettiin käytöstä sen päivittämiseksi isommaksi kvanttitietokoneeksi. Leenan jäähdytinlaitteisto voitiin ottaa suoraan uuteen käyttöön.

VTT Q50 alias Olli
VTT Q50 oli kolmas suomalainen kvanttitietokone. Se rakennettiin vuonna 2024 ja avattiin julkiseen käyttöön vuonna 2025. Leena-koneen kvanttiprosessori korvattiin uudella versiolla, jossa on 53 kubittia. Näin ollen VTT Q50 sijaitsee samassa laboratoriossa kuin Helmi. Tämän koneen lempinimeksi tuli Olli, kunnioittaen akateemikko Olli Lounasmaata.

Myös tässä koneessa CZ-portti on kahden kubitin porteista ainoa natiiviportti.

Suunnitellut kvanttitietokoneet
Vuonna 2025 VTT sai valtiolta rahoituksen uuteen hankkeeseen, jossa päämääränä on jatkaa kvanttiteknologian kehittämistä. VTT:n koordinoiman yhteiskehityshankkeen laitetoimittajaksi valittiin IQM. Suunnitelman mukaan IQM toimittaa 150 kubitin kvanttitietokoneen kesällä 2026 ja 300 kubitin kvanttitietokoneen vuoden 2027 loppuun mennessä.

Ei ole selvää, kuinka iso kubittimäärä tarvitaan, että kvanttitietokone voi laskea jonkin asian nopeammin kuin supertietokone. Tämä seikka ei nimittäin riipu ainoastaan kvanttiprosessorin kubittien lukumäärästä ja laadusta, vaan myös virheenkorjausmenetelmistä ja kvanttialgoritmeista. Tutkimus ja teknologian kehittyminen tulee näyttämään, milloin ja millä tavoin tämä raja ylittyy. Olennaista on myöskin pystyä tunnistamaan kvanttilaskennan vahvuudet, jolloin laskennallisista ongelmista voidaan tunnistaa sellaisia, joissa kvanttitietokone pääsee hyötymään informaation prosessoinnista kvantti-informaation muodossa. Käsite kvanttietu on otettu kuvaamaan sitä tilannetta, jossa kvanttitietokone pystyy ratkaisemaan jonkin laskennallisen ongelman nopeammin kuin mikään supertietokone. Tämä on yksi tieteenalan keskeisiä tavoitteita. Ehkäpä sinä, kvanttiaakkosten opiskelija, annat vielä oman panoksesi kvanttiedun saavuttamisessa?

A.8 Harjoitustehtäviä

Tämä jakso aukeaa kurssille kirjautuneille opiskelijoille, kun aikaisemmat tehtävät on suoritettu.

Tämä jakso aukeaa sitten, kun olet tehnyt kaikki aikaisemmat tehtävät. Pääset vielä kertaamaan ja harjoittelemaan oppimiasi asioita kvanttiporttisimulaattorin avulla. Tehtävät saattavat vaatia useita kokeilukertoja. Jos et pääse tehtävissä eteenpäin, voit kysyä vinkkiä keskustelupalstalla.

A.9 Loppusanat

Tämä jakso aukeaa kurssille kirjautuneille opiskelijoille, kun kaikki tehtävät on suoritettu.