4. Prosenttilaskenta

4.1 Prosentti

4.1.1 Tehtävä

Valitse prosenttilukua vastaava desimaaliluku.

# Plugin2

md:a. $3\;\%$

# Plugin3

md:b. $347\;\%$

# Plugin4

md:c. $0,017\;\%$

4.1.2 Tehtävä

# seq2_1

# seq2_2

# seq23

4.1.3 Tehtävä

# T56

4.1.4 Tehtävä

Vuonna 2019 Suomen eduskuntavaaleissa oli $3\;081\;916$ äänestäjää. Kolme suurinta puoluetta SDP, Perussuomalaiset ja Kokoomus saivat $17,7\;\%$ , $17,5\;\%$ ja $17,0\;\%$ äänestäneiden äänistä. Kuinka monta kansalaista äänesti

# sdp

# ps

# kokoomus

# muut

4.1.5 Tehtävä

Vuoden 2018 syksyn ylioppilaskirjoituksissa matematiikan (pitkä/lyhyt) maksimipistemäärä oli 60 pistettä. Kuinka monta prosenttia pisteistä vaadittiin Laudaturiin, kun pisteraja tähän oli

# seq416

# seq417

4.1.6 Tehtävä

Pankki tarjoaa 1 000 euron suuruisen lainan 3,45 %:n vuotuisella korolla. Pikavipin vuotuinen korko 1 000 euron lainasta on 475 %. Jos lainan maksaa vuoden päästä, niin kuinka paljon enemmän korkoa joutuu maksamaan pikavipistä kuin pankkilainasta?

# seq415

4.1.7 Tehtävä

Vuoden 2018-2019 NHL:n playoffeissa Pekka Rinne torjui 162 laukausta ja päästi maalia. Mikä oli Rinteen torjuntaprosentti (eli torjuttujen laukausten suhde maalia kohti tulleisiin laukauksiin prosentteina)?

4.1.8 Tehtävä

Coca-Colan sokeripitoisuus on $2,1\;\%$ . Kuinka paljon Coca-Colaa saadaan, kun sokeria on käytettävissä $75\;\text{kg}$ ?

4.1.9 Tehtävä

Tilastokeskuksen mukaan vuoden 2019 maaliskuussa työssäkäyvien lukumäärä oli 2 538 000 ja työllisyysaste 71,8 %. Kuinka paljon oli työttömiä?¨

4.1.10 Tehtävä

gramman makeissekoitukseen, missä on % salmiakkia, lisätään grammaa hedelmämakeisia. Mikä on uuden makeissekoituksen salmiakkipitoisuus?
gramman makeissekoitukseen, missä on % salmiakkia, lisätään grammaa salmiakkia. Mikä on uuden makeisseituksen salmiakkipitoisuus?
kilogrammaan omenamehua, jonka sokeripitoisuus on %, lisätään kilogramma kuusiprosenttista kevyt omenamehua. Mikä on uuden omenamehu seoksen sokeripitoisuus?

4.1.11 Tehtävä

Seychellien lipussa on viisi eri väriä kuvan 3.A mukaisesti. Kuinka monta prosenttia kukin väri peittää koko lipun pinta-alasta? (yo k2019/A3)

Lähde: Prog Zoo. https://progzoo.net/wiki/Flags_with_Polygons_Tutorial. Viitattu 29.5.2019.

4.2 Muutos- ja vertailuprosentti

4.2.1 Stacktehtäviä

# T55

4.2.2 Harjoitustehtäviä

Irtokarkkien kilohinta nousee eurosta euroon. Kuinka monta prosenttia hinta nousi?

euron T-paidan sai alennuksesta eurolla. Kuinka monta prosenttia oli alennus?

Aarolla on euroa ja Sannilla euroa. Mitkä seuraavista väittämistä pitävät paikkansa?

# Plugin1

Open plugin

Vapun kunniaksi irtomakeisten kilohinta oli euroa, mikä oli euroa vähemmän kuin alkuperäinen hinta. Kuinka monta prosenttia oli alennus?

Vuonna Samsungin liikevaihto oli miljardia ja Applen miljardia (USD).

# seq4_1

# seq4_2

Anna vastaukset prosentin kymmenesosan tarkkuudella ilman %-merkkiä ja käytä desimaalipilkun sijaan pistettä.

Puolen litran Jaffa maksaa Prismassa euroa per pullo ja puolentoista litran -pack Jaffaa maksaa euroa.

Mikä on Jaffan litrahinta kummassakin tapauksessa?
Kuinka monta prosenttia halvempi on litrahinnaltaan kuin puolen litran pullo?

Vuonna Usain Bolt juoksi metrin maailmanennätyksen aikaan sekuntia virallisen mittauksen mukaan. Matin mukaan Boltin aika oli sekuntia, kun taas Iida mittasi ajaksi sekuntia. Oletetaan, että virallinen mittaus on oikeassa.

Kuinka suuri oli Matin mittauksen suhteellinen virhe?
Kuinka suuri oli Iidan mittauksen suhteellinen virhe?

Suhteellinen virhe ilmaisee, kuinka monta prosenttia virheellinen arvo poikkeaa oikeasta arvosta.

4.3 Muuttuneen arvon laskeminen ja prosenttilausekkeita

4.3.1 Stacktehtäviä

# T59

3.625 pyöristys on 3.63 eikä 3.62

— 22 May 22

# T58

31.465 pyöristys on 31.47 eikä 31.46

— 22 May 22

# T61

# T62

# T66

# T64

4.3.2 Harjoitustehtäviä

Millä desimaaliluvulla hinta tulee kertoa, jos hintaa

# seq3_1

# seq3_2

# seq3_3

# seq3_4

Muodosta lauseke, kun hintaa

# seq5_1

# seq5_2

# seq5_3

# seq5_4

Hintoja korotetaan $22,5\%$ . Laske uusi hinta sentin tarkkuudella, kun alkuperäinen hinta on

# seq6_1

# seq6_2

# seq6_3

# seq6_4

Hintoja alennetaan $17,5\%$ . Laske uusi hinta sentin tarkkuudella, kun alkuperäinen hinta on

# seq7_1

# seq7_2

# seq7_3

# seq7_4

Firman työntekijät olivat tyytymättömiä tämän hetken palkkaansa, jonka vuoksi työnantaja tiedotti: "Minulla on teille tarjous, josta ette voi kieltäytyä! Ensi vuonna maksan teille kaikille $60\%$ ekstraa ensimmäiset kuukautta, jonka jälkeen alennan palkasta $50\%$ loppuvuodeksi." Kuinka paljon oli työn tekijän kuukausipalkka, jos se ennen tätä tarjousta oli

euroa
euroa
euroa?

Jatkoa edelliseen tehtävään. Kuinka monta prosenttia enemmän tai vähemmän oli työntekijän uusi vuotuinen palkka alkuperäisestä?

Laske alkuperäinen hinta (älä merkitse yksikköä), jos

# seq8_1

# seq8_2

# seq8_3

# seq8_4

Elokuvalipun myyntihinta muodostuu perushinnasta ja $10\%$ arvonlisäverosta.

Kuinka monta prosenttia arvonlisävero on perushinnasta?
Kuinka monta prosenttia arvonlisävero on myyntihinnasta?

Jalkapalloseura korotti mestaruuskautensa jälkeen lippujen myyntihintojoja. Seuraavalla kaudella joukkue ei menestynyt ja alensi lippujensa hintoja $15\%$ , jolloin ne olivat saman hintaiset kuin ennen mestaruutta. Kuinka monta prosenttia lippujen hintoja korotettiin mestaruuden jälkeen?

Bensan hinta nousi viime viikon jälkeen $7,5\%$ , jonka vuoksi perhe päätti, että autolla ajetaan puolet vähemmän. Paljonko perheen tämän viikon polttoainekustannukset muuttuvat verrattuna viime viikon kustannuksiin?

Humalatilan mittarina käytetään yleensä kehon nesteiden alkoholipitoisuutta promilleina ( $1\text{\textperthousand}=\frac{1}{1000}$ ). Henkilö, jonka paino on kilogrammaa juo yhden keskioluen, jonka alkoholipitoisuus on $4,7\%$ ja tilavuus litraa. Oletetaan, että litra olutta painaa kilogramman ja lisäksi, että henkilö juo juoman nopeasti, jolloin alkoholi ei ehdi poistumaan elimistöstä. Ylittyykö henkilöllä rattijuopumuksen eli $0,5\text{\textperthousand}$ :n raja, jos

henkilön painosta $70\%$ on nesteitä
henkilön painosta $50\%$ on nesteitä?

Lihassa on aluksi $70\%$ vettä. Lihasta halutaan tehdä kuivalihaa, jonka vesipitoisuus on $35\%$ . Kuinka monta prosenttia vedestä on haihdutettava?

4.3.3 Esimerkki

Viekas kaupistelija ajatteli, että jos hän nostaa ensin joulusuklaan hintaa $75\%$ ja tämän jälkeen ilmoittaa asiakkaillensa, että joulusuklaa on $60\%$ alennuksessa, niin hän saisi alennusmyynnin turvin myytyä suklaata alkuperäistä hintaa kalliimmalla. Oliko kauppias oikeassa? Kuinka monta prosenttia halvemmalla tai kalliimmalla alkuperäisestä kauppias myy joulusuklaata?

Ratkaisu:

Olkoon 'joulusuklaan alkuperäinen hinta'.

Kauppias korottaa hintaa $75\%$ : 1,75x .

Korotettua hintaa alennetaan $60\%$ : $0,4\cdot1,75x=0,7x$

Kauppiaan myyntikikkailujen jälkeen uusi hinta on siis $70\%$ alkuperäisestä, joten kauppias myy nyt $100\%-70\%=30\%$ halvemalla joulusuklaataan.

Vastaus: Kauppias oli väärässä ja uusi hinta oli $30\%$ alkuperäistä alhaisempi.

4.4 Tehtävien ratkaisuja

4.1.4

euroa
euroa

(Muiden puolueiden äänestäjiä oli %-%-%-%=%.)

%
%

%

Rinne torjui 162 laukausta ja päästi , joten häntä kohti lauottujen laukauksien lukumäärä on 162+17=179 . Nyt voidaan laskea Rinteen torjuntaprosentti:

$\frac{162}{179}=0,905027933\approx 90,5$ %

kg

Olkoon 'Coca-Colan määrä (kg). Tällöin voidaan muodostaa yhtälö:

$\begin{align*} 0,021\cdot x & = 75 && |:0,021 \\ x & = \frac{75}{0,021} = 3571,428571 \approx 3600 \end{align*}$

Olkoon 'Työllisten (eli 15-64 vuotiaiden) lukumäärä'. Tällöin työllisten lukumäärä voidaan ratkaista yhtälöstä:

$\begin{align*} 0,718\cdot x & = 2538000 && |:0,718 \\ x & = \frac{2538000}{0,718} \end{align*}$

Koska työllisiä oli 71,8 %, niin työttömiä on 100 %- 71,8 %= 28,2 %. Siispä työttömien lukumäärä on $0,282\cdot x=0,282\cdot \frac{2538000}{0,718}=996818,9415\approx997000$ .

%
%
%

4.2 Muutos- ja vertailuprosentti

$16\%$

$15\%$

$33,4\%$

Puolen litran jaffan litrahinta: $\frac{2,01}{0,5}=4,02$ (€/l)

-packin litrahinta: $\frac{3,97}{2\cdot1,5}=1,32333...$ (€/l)
$67,1\%$

$4,3\%$
$-5,8\%$ (Negatiivinen etumerkki ilmaisee sen, että Liisan mittaus oli $5,8\%$ vähemmän kuin oikea arvo.)

4.3 Muuttuneen arvon laskeminen ja prosenttilausekkeita

euroa
euroa
euroa ( $1,6\cdot0,5\cdot x=0,8x$ )

Vuosipalkka oli $20\%$ suurempi.

Olkoon 'Työntekijän kuukausi palkka' (euroa).

Tällöin alkuperäinen vuotuinen palkka oli suurudeltaan 12x .

$60\%$ palkankorotuksen jälkeen, työntekijä saa palkkaa 1,6x kuukaudessa, joten kuuden kuukauden palkka on $6\cdot1,6x=9,6x$ .

Loppuvuodesta palkkaa alennetaan $50\%$ , jolloin palkkaa maksetaan $0,5\cdot1,6x=0,8x$ , joten loppuvuoden palkka on $6\cdot0,8x=4,8x$ .

Nyt työntekijän vuotuinen palkka on 9,6x+4,8x=14,4x .

Tämän osuus alkuperäisestä palkasta on $\frac{14.4x}{12x}=1.2=120\%$ .

1. $10\%$ ( $\frac{0,1x}{x}=0,1$ , missä 'elokuvalipun perushinta')
2. $9,1\%$ ( $\frac{0,1x}{1,1x}=0,090909...\approx0,091$ )

$17,6\%$

Olkoon 'lipun hinta ennen mestaruutta' ja 'korko'.

Mestaruuden jälkeen lipun hinta on .

Tämän jälkeen lipun hintaa alennetaan $15\%$ , jolloin uusi hinta on 0,85kx . Tämän hinnan tulee olla yhtä suuri kuin lipun hinnan ennen mestaruutta, joten saadaan yhtälö:

$\begin{align*} 0,85kx & = x && |:x \\ 0,85k & = 1 && |:0,85 \\ k & = \frac{1}{0,85}\approx1,176 \end{align*}$

Polttoainekustannukset vähenivät $46,3\%$ .

Olkoon 'Polttoaineen viime viikon hinta'.

Bensan hinta nousi $7,5\%$ , joten uusi hinta on 1,075x .

Perhe ajaa autolla puolet vähemmän, joten polttoaineeseen kuluu $0,5\cdot1,075x=0,5375x$ .

Muutos viime viikon kustannuksiin on $\frac{x-0,5375x}{x}=0,4625\approx46,3\%$

Ei ylity.

Henkilön massasta $70\%$ on nesteitä, joten nesteen massa on $0,7\cdot50$ kg=35kg.

Koska litra olutta painaa kilogramman, niin yhdessä 0,33 litran $4,7\%$ :ssa oluessa on alkoholia $0,047\cdot0,33$ kg =0,01551 kg.

Tämän osuus henkilön nesteen massasta on $\frac{0,01551kg}{35kg}=0,000443143\approx0,44\text{\textperthousand}$

Ylittyy

$82,1\%$

Olkoon 'lihan massa alussa' ja 'veden massa lopussa'

Aluksi: Lihassa on 0,7x vettä ja 0,3x muuta.

Lopuksi: Lihassa on vettä ja edelleen 0,3x muuta.

Lihan vesipitoisuus on lopussa 0,35 , joten saamme yhtälön

$\begin{align*} \frac{y}{y+0,3x} & = 0,35 && |\cdot (y+0,3x) \\ y & = 0,35y+0,105x && |-0,35y \\ 0,65y & = 0,105x && |:0,65 \\ y &= \frac{0,105}{0,65}x=0,161538462x \end{align*}$

Nyt veden massan suhde alkuperäiseen on $\frac{y}{0,9x}=\frac{0,161538462x}{0,9x}\approx0,179=17,9\%$ .

Haihdutettava määrä on siis $100\%-17,9\%=82,1\%$ alkuperäisestä veden määrästä.

4. Prosenttilaskenta

4.1 Prosentti

4.1.1 Tehtävä

4.1.2 Tehtävä

4.1.3 Tehtävä

Tehtävän otsikko

4.1.4 Tehtävä

4.1.5 Tehtävä

4.1.6 Tehtävä

4.1.7 Tehtävä

4.1.8 Tehtävä

4.1.9 Tehtävä

4.1.10 Tehtävä

4.1.11 Tehtävä

4.2 Muutos- ja vertailuprosentti

4.2.1 Stacktehtäviä

Tehtävän otsikko

4.2.2 Harjoitustehtäviä

4.3 Muuttuneen arvon laskeminen ja prosenttilausekkeita

4.3.1 Stacktehtäviä

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

4.3.2 Harjoitustehtäviä

4.3.3 Esimerkki

4.4 Tehtävien ratkaisuja