5. Potenssi ja juuri

Eskon synnyttyä hänen vanhempansa tallettivat euroa säästötilille, jonka vuotuinen korko on $3,5\%$ . Kuinka paljon Esko saa pankilta rahaa, jos hän päättää tyhjentää tilinsä vuotiaana?

Päättele, mikä luku sopii :n paikalle. Kirjoita ratkaisut muodossa . Jos ratkaisuja on useampi, niin erottele ne 'or' sanalla esim. or .

# seq11_1

# seq11_2

# seq11_3

# seq11_4

Venezuelan inflaation vuoksi kananlihan kilohinta on noussut $27\%$ viikossa ja on nyt miljoonaa bolivaria kiloa kohden. Oletetaan, että inflaatio on säilynyt vakiona kuukauden aikana. Kuinka paljon kananlihan kilohinta Venezuelassa oli kuukausi sitten?

Merkintä $a^{b^c}$ tarkoittaa potenssia, jonka kantaluku on ja eksponentti . Vastaavasti merkintä $x^{a^{b^c}}$ tarkoittaa potenssia, jonka kantaluku on ja eksponentti $a^{b^c}$ .

Merkitse lauseke kertolaskun avulla ja laske

# seq12_1

# seq12_2

# seq12_3

# seq12_4

Ilmaise kahden numeron tarkkuudella kymmenpotenssimuodossa (Potenssin saa ^-merkillä, kertomerkin *-merkillä ja desimaalipilkkuna käytetään pistettä.)

# seq12_5

# seq12_6

# seq12_7

# seq12_8

Maan etäisyys toukokuussa Auringosta on n. miljoonaa kilometriä ja valon nopeus on $2,998\cdot10^8 \frac{m}{s}$ . Nopeudelle pätee yhtälö $v=\frac{s}{t}$ , missä matka ja =aika. Kauanko kestää valon matka Auringosta Maahan?

Vanhan tarinan mukaan sakkipeli keksittiin noin vuotta sitten Intiassa. Kun pelin keksijä oli esitellyt pelinsä kuninkaalleen, tämä ihastui peliin niin, että lupasi keksijälle palkinnoksi mitä tahansa. Keksijä ilmoitti tyytyvänsä vaatiomattomaan palkkioon: hän pyysi ensimmäiselle ruudulle yhden vehnänjyvän, toiselle kaksi, kolmannelle neljä ja niin edelleen, aina seuraavalle ruudulle kaksi kertaa niin monta jyvää kuin edelliselle.

Kuinkta monta jyvää olisi sakkilaudan viimeisellä (64.) ruudulla?
Mikä on sakkilaudan viimeisellä ruudulla olevan vehnämäärän massa? Anna vastuasta tonneina (t= kg). Yhden vehnänjyvän massa on noin g.
Koko maailman vehnäntuotanto on noin miljoonaa tonnia. Kuinka monen vuoden tuotanto on sakkilaudan viimeisellä ruudulla?

Joku numero. Digitaalisessa muodossa tallennetun tiedoston koko ilmoitetaan yleensä tavuina. Tavun tavallisimmat monikerrat ovat kilotavu ( 10^3 tavua), megatavu ( 10^6 tavua) ja giga- tavu ( 10^9 tavua). Käytännössä tiedot tallennetaan kuiten- kin binaarisessa muodossa, jolloin kilo-, mega- ja gigatavun oikea koko on vastaavassa järjestyksessä $2^{10}$ , $2^{20}$ ja $2^{30}$ tavua. Oheinen taulukko kuvaa sitä, kuinka monta prosenttia pienempiä ovat kymmenen potensseina esitetyt tavun monikerrat, kun niitä verrataan vastaaviin kakkosen potensseihin. Selvitä, kuinka taulukkoon merkityt giga- ja teratavujen prosenttien lukuarvot saadaan.


kilotavu	$2,34\%$
megatavu	$4,63\%$
gigatavu	$6,87\%$
teratavu	$9,05\%$
petatavu	$11,18\%$
eksatavu	$13,26\%$

(yo s2018/8)

5.2 Potenssin laskusääntöjä

5.2.1 Stacktehtäviä

# T44

# T45

# T46

# T47

# T49

# T54

# T52

# T1

# T2

# T48

5.2.2 Harjoitustehtäviä

Tosi vai epätosi?

# Potenssimonivalintaeka

Open plugin

Sievennä

# seq12_9

# seq12_10

# seq12_11

# seq12_12

Laske

# seq12_13

# seq12_14

# seq12_15

# seq12_16

Sievennä

# seq12_17

# seq12_18

# seq12_19

# seq12_20

Sievennä

# seq12_21

# seq12_22

# seq12_23

# seq12_24

Muodosta ja sievennä kuutioiden tilavuuksien lausekkeet

Sievennä

# seq12_25

# seq12_26

# seq12_27

Sievennä

# seq12_28

Suomi voitti vuoden jääkiekon maailmanmestaruuden. Mestaruuteen Suomi tarvitsi pudotuspeleissä puolivälierävoiton Ruotsista, välierävoiton Venäjästä sekä finaalivoiton Kanadasta. Oletetaan, että yksittäinen voitto vastaa kolikon heittoa eli toisin sanoen Suomen todennäköisyys voittaa yksittäinen ottelu on $\dfrac{1}{2}$ .

[7]

Mikä on todennäköisyys sille, että Suomi voittaa mestaruuden, kun se oli päässyt jatkopeleihin Ruotsia vastaan.
Muodosta yleinen lauseke todennäköisyydelle voittaa -ottelua ilman häviötä.

Vihje: Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kahden toisistaan riippumattoman tapahtuman todennäköisyys voidaan laskea tuloperiaatteen avulla: Jos tapahtuman todennäköisyys on ja tapahtuman todennäköisyys on , niin tällöin todennäköisyys sille, että 'tapahtuu ja ' voidaan laskea tulona .

Protonin massa on noin $9,1\cdot10^{-31}$ kg ja elektronin $1,7\cdot10^{-27}$ kg. Kuinka moninkertainen on

# seq12_29

# seq12_30

Osoita, että lausekkeen $\dfrac{2^n4^{n+3}}{8^{n+1}}$ arvo ei riipu positiivisen kokonaisluvun arvosta. [5]

Luonnontieteissä ja tekniikassa käytetään itseisarvoltaan pienille luvuille usein esitysmuotoa $a\cdot10^{-n}$ , jossa eksponentti on luvun monikerta ja kerroin on välillä $1\leq a < 1000$ . Taulukossa ovat näiden esitysmuotojen etuliitteet. Ilmoita sopivaa etuliitettä käyttäen

kymmenen potenssi	etuliite	lyhenne
$10^{-3}$	milli	m
$10^{-6}$	mikro	$\mu$
$10^{-9}$	nano	n
$10^{-12}$	piko	p
$10^{-15}$	femto	f
$10^{-18}$	atto	a

m (Mahdollisimman pieni mikroaallon aallonpituus)
$7,6\cdot10^{-7}$ (Mahdollisimman suuri punaisen valon aallonpituus)
g (Loispistiäisen massa)
$8\cdot10^{-16}$ m (Neutronin säde)

Katso oheinen video "suklaatempusta".

Chocolate bar trick

Leikkaamalla suklaata kuten videossa, levystä poistuu aina pala per kierros, jonka jälkeen näyttää kuitenkin siltä, että levyssä olisi alkuperäinen määrä paloja. Olkoon vastaavanlainen x suklaalevy. Toisin kuin videolla, leikkaamme levystä prosentuaalisesti saman osuuden kuin ensimmäisellä kierroksella. Kuinka paljon suklaata on jäljellä alkuperäiseen määrään verrattuna, kun leikkaamme levyä

kertaa?
kertaa?

5.3 Neliö- ja kuutiojuuri

5.3.1 Stacktehtäviä

# Plugin17

# Plugin16

# Plugin25

# Plugin28

# Plugin26

# Plugin27

# Plugin18

5.3.2 Harjoitustehtäviä

Laske.

# seq13_1

# seq13_2

# seq13_3

# seq13_4

Tosi vai epätosi?

# monivalintajuurieka

Open plugin

Laske ja ilmoita tarkka arvo.

$\sqrt{0,25}$
$(\sqrt{5})^2$
$(-\sqrt{36})^2$
$\sqrt{7}$

Laske

# seq14_1

# seq14_2

# seq14_3

# seq14_4

Playstation ohjaimen neliö näppäimen kuvan pinta-ala on noin mm. Laske neliön sivun pituus.

Sievennä. Sqrt tulee englannin kielisestäsanasta square root, joka tarkoittaa neliöjuurta. Esimerkiksi neliöjuuren luvusta saat komennolla .

# seq15_1

# seq15_2

# seq15_3

# seq15_4

Osoita, että $\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{10}{3}$ , kun ja $b=\dfrac{8}{3}$ (yo k1984/1)

Minkä positiivisen luvun neliöjuuri on luku $\sqrt{5}-2$ ? Anna vastaus sekä tarkkana arvona että likiarvona kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (yo s1984/1)

Jasminin isä valmistaa neliön muotoisia mokkapaloja Jasminin yo-juhliin. Hän arvioi, että keskimäärin yksi vieras syö mokkapalan, jonka pinta-ala on mm. Jasminin isä päättääkin tehdä juhliin yhden ison neliön muotoisen mokkapalan, josta vieraat voivat leikata haluamansa määrän. Mikä on tämän ison mokkapalan sivun pituus, jos vieraita on ?

Rationaalilauseke, missä nimittäjänä on neliöjuuri, voidaan sieventää laventamalla nimittäjällä: $^{\sqrt{b}\text{ })}\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$

Esimerkiksi $\dfrac{60}{\sqrt{5}}=\dfrac{60\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\dfrac{60\sqrt{5}}{5}=12\sqrt{5}$

Sievennä

$\dfrac{2}{\sqrt{2}}$
$\dfrac{18}{\sqrt{3}}$
$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$
$\dfrac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$

Standardimittaisen $3\text{ X }3$ rubikin kuution tilavuus on noin cm. Mikä on kuution yksittäisen palan särmän pituus?

Laske lausekkeen

$\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

arvo, kun $a = 1, b = 6 \text{ ja } c = 8$ .

Sijoita lausekkeen arvot yhtälöön muuttujan paikalle. Mitä huomaat?
Osoita, että yhtälö, joka on muotoa , voidaan ratkaista

$\textit{toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaalla}$ $x=\dfrac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . $\pm$ on lyhennysmerkintä, joka tarkoittaa "plus tai miinus".

5.4 Potenssiyhtälö

5.4.1 Stacktehtäviä

# T0

5.4.2 Harjoitustehtäviä

Tosi vai epätosi

# Plugin68

Open plugin

Ratkaise yhtälö

# seq16_1

# seq16_2

# seq16_3

# seq16_4

# seq16_5

# seq16_6

Ratkaise yhtälö

# seq17_1

# seq17_2

# seq17_3

# seq17_4

Kansainvälisen jääkiekkoliiton mukaan jääkiekkokaukalon aloitusympyröiden pinta-ala on yhteensä noin m. Laske yksittäisen aloitusympyrän halkaisijan pituus.

Ratkaise yhtälö

# seq18_1

# seq18_2

# seq18_3

# seq18_4

Auton jarrutusmatkan pituus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Poliisin kamerasta saatiin tieto, että Hatanpään valtatiellä oli ajettu ylinopeutta, mutta valitettavasti kameraan oli tullut häiriö ja ylinopeuden suuruus jäi epäselväksi. Poliisit löysivät kuitenkin rikospaikalta metrin jarrutusjäljet ja ottivat kuljettajaan yhteyttä. Poliisit saivat selville kokeessaan, että ylinopeutta ajaneen kuljettajan BMW:llä syntyi samalla tiellä nopeudella km/h metrin jarrutusjäljet. Paljonko oli BMW kuljettajan ajama ylinopeus?

Vuonna Suomessa hakattiin puuta ennätysmäärä, noin $7,2 \cdot 10^7$ m. Jos kaikki puu varastoidaan

kuution muotoiseen varastoon, niin mikä on kuution sivun pituus?
puolipallon muotoiseen varastoon, niin mikä on pallon säteen pituus?
Kumman varaston rakentamiseen kuluvat raaka-aine -kustannukset tulisivat edullisemmaksi, jos molempien varastojen pohjat jätetään rakentamatta?

Vihje c) Pallon pinta-ala saadaan kaavalla $4\pi r^2$

5.5 Tehtävien ratkaisuja

5.1 Potenssi

Perättäisten lukujen neliöiden erotus on yhtä suuri kuin samojen lukujen summa.

euroa ( $1.035^{18}\cdot5000=9287,445978$ )

miljoonaa bolivaria / kg

Korkoprosentti on $27\%$ , joten korkokerroin on 1,27 . Neljän viikon aikana kilohinta on noussut 10,9 miljoonaan, mistä saamme yhtälön:

$\begin{align*} 1,27^4x=& 10,9 && ||:1,27^4 \\ x&= \frac{10,9}{1,27^4} \\ &= 4,18997676 \approx 4,2 \end{align*}$

min s

Muunnetaan Maan etäisyys Auringosta samaan etäisyysyksikköön kuin nopeus eli metreihin: $151,6\cdot10^6$ km= $151,6\cdot10^9$ m

Nopeudelle pätee $v=\frac{s}{t}$ , josta voidaan ratkaista aika $t=\frac{s}{v}$ .

Sijoitetaan ajan yhtälöön $v=2,998\cdot10^8\frac{m}{s}$ ja $s=151,6\cdot10^9$ m:

$t=\frac{151,6\cdot10^9\text{m}}{2,998\cdot10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}=505,6704470\text{s}\approx$ min s

$2^{63}\approx9,2\cdot10^{18}$ jyvää
$2,8\cdot10^{11}$ t
vuoden

5.2 Potenssin laskusääntöjä

$3x\cdot3x\cdot3x=27x^3$
$2a\cdot2a\cdot2a=8a^3$
$5y\cdot5y\cdot5y=125y^3$

$\dfrac{(3a^4b^3)^2}{(a^2b^3)^3}\cdot \dfrac{(a^2b^2)^3}{9(a^2b)^2} =\dfrac{9a^8b^6}{a^6b^9}\cdot \dfrac{a^6b^6}{9a^4b^2} =\dfrac{9a^{14}b^{12}}{9a^{10}b^{11}} =a^4b$

Suomen tulee voittaa kolme kolikon heittoa putkeen, joten tuloperiaatteen mukaan saadaan todennäköisyys voittaa mestaruus:

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3=\dfrac{1}{8}$

$\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n$

Ilmaistaan lauseke luvun potensseina, jolloin voimme hyödyntää potenssin laskusääntöjä:

$\dfrac{2^n4^{n+3}}{8^{n+1}}=\dfrac{2^n(2^2)^{n+3}}{(2^3)^{n+1}}=\dfrac{2^n2^{2n+6}}{2^{3n+3}}=\dfrac{2^{3n+6}}{2^{3n+3}} =\dfrac{2^{3n}}{2^{3n}}\cdot\dfrac{2^{6}}{2^3}=2^3$

Lausekkeessa ei ole kokonaislukumuuttujaa , joten se ei siis riipu :n arvosta.

mm
nm
$25 \text{ }\mu$ g
am

$77,6\%$

Levyssä on $4\cdot9=36$ palaa, joista leikataan ensimmäisellä kierroksella pala pois ja jäljelle jää palaa. Tällöin ensimmäisen kierroksen jälkeen leikatun massa alkuperäisestä on $\dfrac{35}{36}$ .

Toisella kierroksella, leikkaamme suhteellisesti saman määrän, jolloin suklata jää jäljelle $\dfrac{35}{36}\cdot\dfrac{35}{36}=\Big(\dfrac{35}{36}\Big)^2$ .

Vastaavasti yhdeksännellä kierroksella suklaan suhde alkuperäiseen on $\Big(\dfrac{35}{36}\Big)^9\approx0,776=77,6\%$

$\Big(\dfrac{35}{36}\Big)^n$

$\sqrt{7}$ (Luku $\sqrt{7}$ on irrationaaliluku, joten se kelpaa vastaukseksi.)

mm

$9-4\sqrt{5}$

mm (Ison mokkapalan pinta-ala $A=150\cdot50=7500$ (mm)

$\sqrt{2}$
$6\sqrt{3}$
$\dfrac{\sqrt{35}}{7}$
$\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$

cm

Lausekkeet ovat yhtälön ratkaisuja, sillä

m

Kaukalossa on aloitusympyrää, joten yksittäisen ympyrän pinta-ala A=320/5=64 (m).

Ympyrän yhtälölle pätee $A=\pi r^2$ , josta voidaan ratkaista

$r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$ tai $r=-\sqrt{\dfrac{A}{p\i}}$

Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa, siispä voidaan laskea halkaisija

$h=2r=2\sqrt{\dfrac{64}{\pi}}=9,027033337\approx 9,0$ (m)

$120\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Jarrutusmatkan pituus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön, mistä saadaan verrannollisuus yhtälö

x=kv^2 ,

mistä voidaan ratkaista verrannollisuuskerroin

$k=\dfrac{x}{v^2}=\dfrac{35 \text{ m}}{(60 \text{ km/h})^2} =\dfrac{0,035 \text{ km}}{(60 \text{ km/h})^2}=9,722... \cdot 10^{-6}\dfrac{\text {h}^2}{\text{km}}$

Nyt voidaan ratkaista ylinopeus, kun tiedetään, että x_y=150 m =0,15 km

$v_y=\sqrt{\dfrac{x_y}{k}}=\sqrt{\dfrac{150 \text{ km}}{9,722222\cdot 10^{-6} \dfrac{\text{h}^2}{\text{km}}}} =124,2118012\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\approx120\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

m ( $x=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{7,2\cdot10^7}=416,0167646\approx420$ (m) )
m

Pallon tilavuus saadaan kaavalla $V_{pallo}=\dfrac{4\pi r^3}{3}$ , joten puolipallon tilavuus $V_{puolipallo}=\dfrac{4\pi r^3}{3}$ .

Tästä voidaan ratkaista puolipallon säde

$r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{2\pi}}=\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot7,2\cdot10^7}{2\pi}}=325,15556421\approx 330$ (m)

Puolipallon rakentaminen tulee edullisemmaksi, sillä

$A_{kuutio}=5\cdot x^2=5\cdot (416,0167646)^2=865349.7421 \approx 8,7 \cdot 10^5$ (m).

ja

$A_{puolipallo}=2\pi r^2 = 2\pi (325,15556421)^2=664296,9353 \approx 6,6 \cdot 10^5$ (m)

5. Potenssi ja juuri

5.1 Potenssi

5.1.1 Stacktehtäviä

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

5.1.2 Harjoitustehtäviä

5.2 Potenssin laskusääntöjä

5.2.1 Stacktehtäviä

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

5.2.2 Harjoitustehtäviä

5.3 Neliö- ja kuutiojuuri

5.3.1 Stacktehtäviä

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

Tehtävän otsikko

5.3.2 Harjoitustehtäviä

5.4 Potenssiyhtälö

5.4.1 Stacktehtäviä

Tehtävän otsikko

5.4.2 Harjoitustehtäviä

5.5 Tehtävien ratkaisuja